高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)資料-45分基礎(chǔ)送分題

層級一145④的基礎(chǔ)送分題練中自檢，無須挖潛

——為攻克后面的難點、盲點留足復(fù)習(xí)時間

［編排設(shè)計圖解］共設(shè)計6個送分〃題

送分專題（一）集合與常用邏輯用語

這6個專題在高考考查中較為簡單，題型多為選擇、填空題,

送分專題（二）平面向量屬送分題型.通過一輪復(fù)習(xí)，大多數(shù)考生已能熟練掌握.為節(jié)省寶

送分專題（三）不等式貴的二輪復(fù)習(xí)時間，本部分以練代講，以練促學(xué).在練中抓牢基

送分專題（四）空間幾何體的三視圖、表面積與體積礎(chǔ)題型，在練中提升解題速度和準(zhǔn)度，確保送分題一分不丟.

送分專題（五）算法、復(fù)數(shù)、推理與證明教學(xué)建議：課堂練通考點，課下練“12+4”小題的解題速度，

送分專題（六）統(tǒng)計與統(tǒng)計案例學(xué)生自學(xué)為主，教師適當(dāng)點評.

送分專題（一）集合與常用邏輯用語

［全國卷3年考情分析］

年份卷別考查內(nèi)容及考題位置命題分析

卷集合的交、并集運算

I1.集合作為高考必考內(nèi)容，多年來命題

卷口集合的并集運算

較穩(wěn)定，多在第1題的位置以選擇題形

2017

集合的表示、集合的交集運式進(jìn)行考查，難度較小，命題的熱點依

卷in

算F然會集中在集合的運算上，常與不等式

卷I集合的交集運算結(jié)合命題.

2016卷口集合的交集運算2.高考對常用邏輯用語考查的頻率較

卷田集合的補集運算低，且命題點分散，其中含有量詞的命

集合的表示、集合的交集運題的否定、充分必要條件的判斷需要關(guān)

卷I

2015算F注，多結(jié)合函數(shù)、平面向量、三角函數(shù)、

卷口集合的并集運算不等式、數(shù)列等內(nèi)容命題.

考點一,集合的概念及運算

［題點?考法?全練］

1.(2017?全國卷口)設(shè)集合Z={1,2,4},3={x|f-4x+m=0},若2門3={1},則B

=()

A.{1,-3}B.{1,0}

C,{1,3}D.{1,5}

解析：選C因為403={1},所以1€瓦所以1是方程f-4x+m=0的根，所以1

—4+zn=0,m=3,方程為V—4x+3=0,解得x=l或x=3,所以3={1,3}.

2.（2018屆高三?安徽名校階段測試）設(shè)Z={x|V—4x+3<0},B=

{x|ln（3—2勾VO},則圖中陰影部分表示的集合為（）

|33

ASxx<~?B."xkF]

C…三”Dx%<3

解析：選BA={x|幺-4x+3?0}={x|l<x?3},B={x|ln(3-2勾<0}={x|0<3-2A<1}

33

XIV/5卜結(jié)合Venn圖知，圖中陰影部分表示的集合為4門3=X1<X<T

2

3.（2017,全國卷DI）已知集合4={（x,則幺+/=1},3={（x,則尸x},則ZCI與中元

素的個數(shù)為（）

A.3B.2

C.1D.0

解析：選B因為4表示圓d+/=l上的點的集合，8表示直線尸x上的點的集合，

直線尸x與圓？+/=1有兩個交點，所以4A刀中元素的個數(shù)為2.

4.已知集合P={n\n=2k-1,皴N*,1<50},Q={2,3,5},則集合T={xy\x^P,y

CQ}中元素的個數(shù)為（）

A.147B.140

C.130D.117

解析：選B由題意得，y的取值一共有3種情況，當(dāng)尸2時，孫是偶數(shù)，與y=3,y

=5時，沒有相同的元素，當(dāng)尸3,x=5,1525,…，95時,與尸5,x=3,9」5,…,57時

有相同的元素，共10個，故所求元素個數(shù)為3X50-10=140.

1

5.已知集合力=-1,"\B={x|znx—1=0,R},若則所有符合條件

的實數(shù)m組成的集合是（）

1

A.{-1,02}B.0,1-

1

c.{-1,2}D.-1,0,--

解析：選A因為4nB=8,所以匹4若8為0,則m=0；若B#。，則一切一1=

1

0或5。-1=0,解得m=-l或2.綜上，小6{—1,02}.

［準(zhǔn)解?快解?悟通］

1.看到集合中的元素，想到代表元素的意義；

看到點集，想到其對應(yīng)的幾何意義.

快審題2.看到數(shù)集中元素取值連續(xù)時，想到借助數(shù)軸

求解交、并、補集等；看到gN,想到集合

"可能為空集.

1.記牢集合的運算性質(zhì)及重要結(jié)論

⑴4U/=/,AUe>=A,

(2)AQA=A,AC］e>=0,

(3)4n(［必)=。,^U(CuA)=U.

2.活用集合運算中的常用方法

準(zhǔn)解題⑴數(shù)軸法：若已知的集合是不等式的解集，

用數(shù)軸法求解.

⑵圖象法：若已知的集合是點集，用圖象法

求解.

(3)Venn圖法：若已知的集合是抽象集合，用

Venn圖法求解.

1.在求集合的子集時，易忽視空集.

2.在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集

避誤區(qū)

合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿

足“互異性”而導(dǎo)致解題錯誤.

考點二充分與必要條件的判斷

[題點?考法?全練]

1.（2017?天津高考）設(shè)xWR,則“2—x>0"是的（）

A.充分而不必要條件B,必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選B由2—x?0,得x42,

由得0<x<2.

0<x<2^x<2,x<2=>/0<x<2,

故"2-x>0"是的必要而不充分條件.

2.（2017-惠州三調(diào)）設(shè)函數(shù)尸=4匈，x€R,"嚴(yán)=|《必是偶函數(shù)”是“尸儂的圖象關(guān)

于原點對稱”的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

解析：選c設(shè)a=九尸|的|是偶函數(shù)，但是不能推出尸《勾的圖象關(guān)于原點對

稱.反之，若尸儂的圖象關(guān)于原點對稱，則尸儂是奇函數(shù)，這時尸I儂I是偶函數(shù)，

故選C.

3.（2017?浙江高考）已知等差數(shù)列｛嗎的公差為《前〃項和為兄,則“冷0”是"國

+就>2國”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選C因為｛4｝為等差數(shù)列，所以￡+￡=4藥+6d+6藥+15d=104+21”國=10a

+20J,S4+S6-2S5=d,所以冷00￡+￡>2&

3

4.已知是B—<r的充分不必要條件，則A的取值范圍是（）

X-V1

A.[2,+oo）B.[1,+oo）

C.（2,+oo）D.（-oo,-1]

33—x+2

解析：選A由工<1,可得工T=—TT<°，所以KT或X>2,因為“x>/是

X十1X十1X十1

3

“F<i”的充分不必要條件，所以

X+1

5.已知條件p：x+尸-2,條件q：x,了不都是一1,則p是9的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選A因為p：x+尸一2,q:x*=-1或尸一1,

所以㈱p：x+y=-2,q：x=-1且尸一1,

因為㈱尸㈱p但除尸/㈱q,所以第g是的充分不必要條件，即p是g的充分不

必要條件.

［準(zhǔn)解?快解?悟通］

看到充分與必要條件的判斷，想到定條件，找推式（即判定命題"條件=>

快審題結(jié)論"和"結(jié)論=條件”的真假），下結(jié)論（若“條件=結(jié)論”為真，且

“結(jié)論"條件”為假，則為充分不必要條件）.

等價轉(zhuǎn)化法妙解充分與必要條件判定題

根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題

用妙法進(jìn)行判斷.這個方法特別適合以否定形式給出的問題，如“k1”是

“x去1或產(chǎn)1”的某種條件，即可轉(zhuǎn)化為判斷"x=l且尸=1"是"xy

=1”的某種條件.

“4的充分不必要條件是"是指8能推出4且4不能推出邑而“小

避誤區(qū)

是方的充分不必要條件”則是指/能推出瓦且8不能推出A

考點三命題真假的判定與命題的否定

［題點?考法?全練］

1.下列命題中為真命題的是（）

A.命題“若x>l,則父>1”的否命題

B.命題“若x>y,則x>0”的逆命題

C.命題“若x=l,則2=0”的否命題

D.命題“若tanx=小，則的逆否命題

解析：選B對于選項A,命題“若x>l,則$>1”的否命題為“若x<l,則，

易知當(dāng)x=-2時，9=4>1,故選項A為假命題；對于選項B,命題“若x>y,則x>\y\n

的逆命題為“若X>|川，則,分析可知選項B為真命題；對于選項C,命題“若X

=1,則V+x—2=0"的否命題為“若x于1,則V+x—2r0”,易知當(dāng)x=-2時，d+x

-2=0,故選項C為假命題；對于選項D,命題“若tanx=S，則x=；”為假命題，故其

逆否命題為假命題，綜上可知，選B.

2.（2015?全國卷I）設(shè)命題p:m〃6N,">2",則㈱0為（）

A.VZJ€N,n2>2flB.3n€N,

C.Vn€N,ri<2°D.3n€N,"=2"

解析：選C因為七x6M,以藥”的否定是“Vx￡M,㈱以為”，所以命題力nW

N,4>2”的否定是"Vn€N,"《2”.

3.（2017?山東高考）已知命題p：Vx>0,ln（x+l）>0；命題q：若蘇>幾則才）".下列命

題為真命題的是（）

A.pAqB.pt\轆：q

C.糠p/\qD.糠p人編q

解析：選B當(dāng)x>0時，x+l>l,因此ln（x+l）>0,即p為真命題；取a=l,b=-2,

這時滿足a>b,顯然才〉"不成立，因此g為假命題.由復(fù)合命題的真假性，知B為真命題.

［準(zhǔn)解?快解?悟通］

1.看到命題真假的判斷，想到利用反例和命題的等價性.

快

2.看到命題形式的改寫，想到各種命題的結(jié)構(gòu)，尤其是特稱命題、全稱命題的否定，要

審

改變的兩個地方.

題

3.看到含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷，想到聯(lián)結(jié)詞的含義.

掌握判定命題真假的4種方法

⑴一般命題p的真假由涉及的相關(guān)知識辨別.

⑵四種命題真假的判斷根據(jù)：一個命題和它的逆否命題同真假，而與它的其他兩個命題

準(zhǔn)的真假無關(guān).

解

⑶形如pVg,pAq,第0命題的真假根據(jù)真值表判定.

題（4）全稱命題與特稱命題的真假的判定：

①全稱命題：要判定一個全稱命題為真命題，必須對限定集合〃中的每一個元素X驗

證以藥成立，要判定其為假命題時，只需舉出一個反例即可；

②特稱命題：要判定一個特稱命題為真命題，只要在限定集合〃中至少能找到一個元

素與，使得以廝）成立即可；否則，這一特稱命題就是假命題.

[專題過關(guān)檢測]_____________________________________________

一、選擇題

1.(2016?全國卷n)已知集合4={12,3},B={x|(x+1)?(x-2)<0,x€Z},則4UB

=()

A.{1}B.{1,2}

C.{0,123}D.{-1,04,2,3}

解析：選C因為B={x|(x+l)(x-2)<0,X€Z}={X|-1<JS：2,X€Z}={0,1},A=

{123},所以4UB={0,123}.

2.(2017?成都一診)命題“若則a+c>b+c”的否命題是()

A.若則a+c<6+cB.若a+c<6+c,則

C.若a+c>h+c,則a>bD.若ai>b,則a+c<b+c

解析：選A命題的否命題是將原命題的條件和結(jié)論均否定，所以題中命題的否命題為

“若a<b,則a+c<Z>+c.

3.(2017?廣西三市第一次聯(lián)考)設(shè)集合4={x[8+2x-f>0},集合B={x|x=2n-l,n

€N*},則/D3等于()

A.{-1,1}B.{-1,3}

C.{1,3}D.{3,1,-1)

解析：選C-：A={x\-2<x<4},B={1,3,5,-??},

.?.4門8={1,3}.

1

4.(2017?鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)已知集合4={幻1。a乂<1},5=G->1k則4n([

㈤=()

A.(-oo,2]B.(0,1]

C.[V]D.(2,+oo)

解析：選C因為A={x|0<x<2},B={X|0<A<1},所以4n(C0=

{x[0<x<2}D{x|x<0或l}={x|l<x<2}.

5.(2017?北京高考)設(shè)m,〃為非零向量，則”存在負(fù)數(shù)4,使得是?n<0”

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選Am—Xn,.'.m-n—Xn-n=X\n\2.

二.當(dāng)2<0,n=^0時，zn?zz<0.

反之，由zn?Z2=|zn|lalcos<zn,n><0<=>cos<zn,n><0<=><zn,n>€I—>兀，

當(dāng)〈m,ti>eQ,n)時，m,A不共線.

故"存在負(fù)數(shù)九使得是的充分而不必要條件.

6.(2018屆高三?湘中名校聯(lián)考)已知集合/={x|/-llx-12<0},8={X|X=2(3A+1),

ZJCZ},則4nB等于()

A.{2}B.{2,8}

C.{4,10}D.{2,4,8,10}

解析：選B因為集合4={XH-11X—12<0}={X|-1VX<12},集合B為被6整除

余數(shù)為2的數(shù).又集合A中的整數(shù)有0,123,4,5,6,7,8,9,10,11,故被6整除余數(shù)為2的數(shù)有2

和8,所以4nB={2,8}.

7.(2017.石家莊調(diào)研)設(shè)全集￡/=R,集合/={x|x>l},B={x|(x+2)(x—l)<0}^J()

A.Ar\B=e>B.AUB=U

C.CuBQAD.CuA^B

解析：選A由(x+2)(x-l)〈0,解得一2VA<1,所以B={X|-2<A<1},則4nB=。，

A\JB={x\x>—2},CIJB={X\X>\或x4—2},AQCyB,CuA={x\x<l},BQQ/，故

選A.

1f111

8.若xCA,則一€4,就稱/是伙伴關(guān)系集合，集合知='-1,0,1,2,3,4

XJZJ

的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)為()

A.15B.16

C.28D.25

解析：選A本題關(guān)鍵看清一1和1本身也具備這種運算，這樣所求集合即由一1,1,3和

11

2和5這“四大"元素所能組成的集合.所以滿足條件的集合的個數(shù)為24-1=15.

11

9.(2017?鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測)已知命題p:->》命題g:Vx€R,"+1>0,則

a4

p成立是g成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選A命題p等價于0<a<4.命題g,對Vx€R,戒+公+1>0,必有a=0或

fa>0,

\則0<姓4,所以命題p是命題g的充分不必要條件.

10.已知儂=3sinx—7tx,命題p：VI0,~I,式為〈0,則（）

A.p是假命題，轆Jp：V(

,《勾》0

I，代)>0

B.p是假命題，糠p：3與€

）,傘））>0

C.p是真命題，㈱p:3

D.p是真命題，㈱pVxQ11,儂＞0

解析：選C因為，(因=3cosx一兀，所以當(dāng)2J

時，/③<0,函數(shù)的單調(diào)遞減，即對VxW。，胃，(勾<<0)=0恒成立，所以P是真

命題.而。的否定為m題e(o,3,《切,0,故選C.

11.已知命題p：函數(shù)《勾二2"2-x—l在(0,1)內(nèi)恰有一個零點；命題q：函數(shù)尸幺-,

在(0,+2上是減函數(shù).若p且為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(1,+8)B.(-8,2]

C.(V]D.(-8,1]U(2,+00)

解析：選C由題意可得，對命題P，令<0)?41)<0,即一1?(2a-2)<0,得Al；對

命題g,令2-K0,即A2,則g對應(yīng)的a的范圍是(-8,2],因為p且第q為真命題，

所以實數(shù)a的取值范圍是(12.

12.在下列結(jié)論中，正確的個數(shù)是()

①命題p:匕』€R,舄―2>0”的否定形式為㈱尸："VxWR,野一2<0”；

②。是△4BC所在平面上一點，若蘇?~OB=~OB■~OC=~OC■~OA,則。是△48。

的垂心;

③?M>N是“?”>飲的充分不必要條件;

④命題“若3x—4=0,則x=4”的逆否命題為“若曠4,則3x—4羊0”.

A.1B.2

C.3D.4

解析：選C由特稱（存在性）命題與全稱命題的關(guān)系可知①正確.

?：~OA?~OB=~OB?~OC,

：.~OB?(OA-~6C)=G,即方?~CA=0,

：.~OBV~CA.

同理可知示_|_友\~OCLBA,故點。是△4BC的垂心，，②正確.

|｝是減函數(shù),

（|卜吩,當(dāng)鼾仔時,M<N.

當(dāng)〃>N時,

2

“M>N是的既不充分也不必要條件，，③錯誤.

由逆否命題的寫法可知，④正確.

正確的結(jié)論有3個.

二、填空題

13.設(shè)命題p：Va>0,aXl,函數(shù)儂=k—x—z有零點，則㈱p：

解析：全稱命題的否定為特稱（存在性）命題，p：3*0,物去1,函數(shù)而=宓-x-

的沒有零點.

答案：3為>0,%*1,函數(shù)儂=/-x一陽沒有零點

14.設(shè)全集C7=｛（x,力|xWR,”R｝,集合上｛x,y^-=11,P=｛（x,則產(chǎn)x

+1｝,則C.

解析：集合"A^={(x,則尸x+1,且k2,尸3},

所以MJP={(x,力|x€R,y€R,且xR2,尸3}.

則C從MU乃={(2,3)}.

答案：{(2,3)}

X

15.已知命題p：不等式口<0的解集為{x［O<x<l};命題g:在△4BC中，

是“sin/>sin"成立的必要不充分條件.有下列四個結(jié)論：①p真g假；②"pAg”為真；

③為真；④?假g真，其中正確結(jié)論的序號是________.

解析：解不等式知，命題p是真命題，在△48。中，"/是"sin/Asin*的充

要條件，所以命題g是假命題，所以①③正確.

答案：①③

16.a,b,c為三個人，命題4”如果6的年齡不是最大，那么a的年齡最小”和命

題"如果c不是年齡最小，那么a的年齡最大”都是真命題，則2,6,c的年齡由小到

大依次是_______.

解析：顯然命題/和3的原命題的結(jié)論是矛盾的，因此我們應(yīng)該從它們的逆否命題來

看.

由命題4可知，當(dāng)6不是最大時，則a是最小，所以c最大，即c>b>a；而它的逆否命

題也為真，即“若2的年齡不是最小，則b的年齡是最大”為真，即b>2>C.

同理，由命題B為真可得a>c>b或b?c.

故由4與8均為真可知6>a>c,所以2,b,c三人的年齡大小順序是：b最大，a次之,

C最小.

答案：c,a,b

送分專題(二)平面向量

［全國卷3年考情分析］

年份卷別考查內(nèi)容及考題位置命題分析

卷I向量的垂直、向量的坐標(biāo)運算-Ti3

1.平面向量是高考必考內(nèi)容，每年每卷

平面向量數(shù)量積的運算、向量垂直的

2017卷口均有一個小題(選擇題或填空題)，一般

判斷

出現(xiàn)在第2~6或第13-15題的位置

卷m兩向量垂直、向量的數(shù)量積?

上，難度較低，主要考查數(shù)量積的運

向量的坐標(biāo)運算、向量垂直的性

2016卷I算、線性運算、兩向量垂直與平行、

質(zhì)

卷n向量共線的應(yīng)用-Tis坐標(biāo)運算等，數(shù)量積是其考查的熱點.

卷I向量的坐標(biāo)運算2.有時也會以平面向量為載體，與三角

2015函數(shù)、解析幾何等其他知識相交匯綜

卷口向量的坐標(biāo)運算

合命題，難度中等.

考點一V平面向量的概念及線性運算

V

［題點-考法?全練］

1.（2017?貴州適應(yīng)性考試）已知向量/與心不共線，且向量48=6+功0,AC=n^

+0，若Z,B,C三點共線，則實數(shù)m,刀滿足的條件是（）

A.mn=lB.mn=-1

C.zn+n=lD.zn+n=-1

解析：選A法一：因為A,B,C三點共線，所以一定存在一個確定的實數(shù)心使得石

=JtAC,所以有ei+m0=zUo+3,由此可得所以mn=L

[m=4,

1m

法二：因為4，B,C三點共線，所以必有一=彳,

n1

所以Z2M=1.

2.如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

_>33—>3―>31

①PQ=y+0；②PT=；a-b；③PS=于一中;

A.（D@B.③④

c.(D@D.(2X3)

33

解析：選C①根據(jù)向量的加法法則，得》=于+于，故①正確；②根據(jù)向量的減法

—>33—>—>—>3331

法則，得一次故②錯誤；③網(wǎng)=PQ+QS=5a+?-26=yFb,故③正確;

3331

?PR=PQ+QR=p+-6—6=-a+-Z>,故④錯誤.故正確命題的結(jié)論為①③.

―>—>—>|AB|

3.已知平面內(nèi)不共線的四點O,4,8,C,若04—3OB+2OC=0,則=^-=.

\BC\

解析：由已知得后:一言=2(而一西，即京=2萬,

_>_>\'AB\

：.\BA\=2\CB\,：.--=2.

答案：2

m

4.已知.，,是不共線向量，w=me+2%,b=萌一%,且皿KO,若allb,則一等于

n

解析：'.'allb,a—Xb,即/72.+2/=4(〃6一

Xn—m,m

則解得_=_2.

T=2,n

答案：一2

［準(zhǔn)解?快解?悟通］

1.看到向量的線性運算，想到三角形和平行四邊形法則.

快審題

2.看到向量平行，想到向量平行的條件.

1.掌握平面向量線性運算的2種技巧

(1)對于平面向量的線性運算問題，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，靈活運

用三角形法則、平行四邊形法則，緊密結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)進(jìn)行運算.

⑵在證明兩向量平行時，若已知兩向量的坐標(biāo)形式，常利用坐標(biāo)運算來判斷；若兩

向量不是以坐標(biāo)形式呈現(xiàn)的，常利用共線向量定理(當(dāng)6Ko時，存在唯一實

數(shù)4,使得2=4e來判斷.

2.記牢向量共線問題的4個結(jié)論

準(zhǔn)解題

⑴若a與6不共線且則2=/z=0.

⑵直線的向量式參數(shù)方程，A,P,8三點共線O3=(1一。?萬才+而(O為平

面內(nèi)任一點，r€R).

(3)~0A=i0B+^0C(X,〃為實數(shù))，若/,B,。三點共線，則4+〃=1.

與

⑷若a=(xi,jj),b=(x,yj,則all扶”m=秘，當(dāng)且僅當(dāng)時，all*>—=

2x2

工

yi

考點二平面向量的數(shù)量積

［題點-考法-全練］

1.已知向量切=(-1,1),/3=(H-2,2),若(m+力)_L(m—A),則胃()

A.0B.-3

C.3D.-1

解析：選B法一：由(m+z2)_L(m—功可得(m+n)?(m—A)=0,即￡=",故(-1產(chǎn)+

1=(62)2+4,解得胃一3.

法二：m+n=(2H-3,3),m—n=(―1,—1),*/(zn+ii)J_(zn—n),/.一(2H-3)—3=0,

解得胃一3.

2.(2017?洛陽統(tǒng)考)已知向量a=(l,0),|b|=、/5,a與6的夾角為45°,若c=a+b,

d=z-b,則c在，方向上的投影為()

C.1D.-1

解析：選D依題意得|a|=l,a-b—1X^2Xcos45°=1,|d\=[—a-b~=

N才+Z?-2a-b=l,c*d=孑一"=一1,因此c在d方向上的投影等于三[=一1.

v\d\

3.已知向量a=(2,1),b=(l,與，且2與b的夾角為銳角，則實數(shù)4的取值范圍是()

A.(—2,9B.(一2‘同’+8)

C.(-2,+oo)D.[-2,+OO)

1

解析：選B當(dāng)為6共線時，2A—1=0,k=3,此時為b方向相同，夾角為0,所以

1

要使a與6的夾角為銳角，則有a?6>0且26不共線.由a”=2+狂0得狂一2,又任亍

即實數(shù)左的取值范圍是(一2,；)ug,+8),選B.

4.(2017?全國卷I)已知向量％6的夾角為60°,|旬=2,|切=1,則|2+26|=.

解析：法一：易知|a+2bl=N|2/+4a?6+4|6，=4+4X2Xlx；+4=2小.

法二：（數(shù)形結(jié)合法）由|a|=|2b|=2,知以2與2b為鄰邊可作出

邊長為2的菱形O4CB,如圖，則|a+2b|=|友|.又N423=60°,

所以|什26|=2動.

答案：273

5.（2017?山東高考）已知自，Q是互相垂直的單位向量.若、61一？與1+4/的夾角為

60°,則實數(shù)4的值是________

解析：因為一女二生一』十色一=玲,

H3e［一%|?|6+短|2勺1+"

1乖

故沂h5'解得43?

答案:平

［準(zhǔn)解?快解?悟通］

1.看到向量垂直，想到其數(shù)量積為零.

快審題

2.看到向量的模與夾角，想到向量數(shù)量積的有關(guān)性質(zhì)和公式.

兩個向量夾角的范圍是［0,可，在使用平面向量解決問題時要特別注意兩個

避誤區(qū)向量夾角可能是0或兀的情況，如已知兩個向量的夾角為鈍角時，不僅要求

其數(shù)量積小于零，還要求不能反向共線.

平面向量在幾何中的應(yīng)用

［題點?考法?全練］

1.在△ABC中，ZASC=90°,43=6,點。在邊4c上，S.2AD=~DC,則京?~BD

的值是（）

A.48B.24

C.12D.6

解析：選B法一：由題意得，~BA-~BC=0,~BA-~CA='BA■(BA-BQ=\1BA\2

—>—>—>—>—>—>(—>2—>]2

=36,BA?BD=BA?(BC+CD)=BA-ICAl=0+-X36=24.

法二：（特例法）若△ABC為等腰直角三角形，建立如圖所示的平面直

角坐標(biāo)系，則4（6,0）,Q0,6）.

由2而=/，得。（42）.

.--'BA■說=（6,0）?（40=24.

2.如圖所示，已知點G是△4BC的重心，過點G作直線與AB,AC

兩邊分別交于MN兩點，且HAf=x4B,AN=yAC,則x+27?的最小

值為(

1

2B-

A.3

3

D

Z-

解析：選c

iiiifin

G,N三點共線，故短=1,.??；+1=3,則X+2T=(X+2J).；+；.

nyxvyj

產(chǎn)（當(dāng)且僅當(dāng)許收時取等號）.

3.（2017?全國卷口）已知△43C是邊長為2的等邊三角形，?為平面48C內(nèi)一點，則

~PA?（石+定）的最小值是（）

3

A.-2B--2

4

C--3D.-1

解析：選B如圖，以等邊三角形的底邊3c所在直線為x軸,

以的垂直平分線為了軸建立平面直角坐標(biāo)系，則/（0，S），B（—1，°），

6（1,0）,設(shè)牛，力，則/=（一與瘍=（一1一與一另，~PC=

(1-x,-y),所以京.(PS+7?)=(-x,?(-2x,-2y)=2^+

當(dāng)x=0,尸當(dāng)時，~PA?(石+￥?)取得最小值，為一|.

4.如圖，已知△ABC中，N34C=90°,25=30°,點P在線段

上運動，且滿足蘇=4屈，當(dāng)京?元取到最小值時，4的值為

()

11

A2

1

解析：選D如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)BC=4,

取0)(0?*<4),則4(3,仍)，C(4,0),AP4?~PC=(3-x,仍)?(4

O(B)

-^0)=(3—^(4—^=1?—7jr+12=

7—>—>1

當(dāng)x=彳時，PA?尸C取得最小值一7

?；0=后，。卜(—4,0),

11

.*.-42=--,解得4=占故選D.

Zo

5.如圖，在平行四邊形48co中，已知4B=8,40=5,~CP=3PD,

~AP-~BP=2,則萬?后的值是________

---->---->---->---->1---->

解析：因為4P=4?+。尸=&?+[40,

~BP^BCVCP=AD-^AB,

—>—>(—?1—(—?3—

所以/p.BP=\AD+-AB\-\AD--AB\=

|AD|2-^|AS|2-1AB■