chp3-兩自由度系統(tǒng)的振動-1(振動微分方程的建立)

機械工程學院機械裝備與控制工程系緒論單自由度線性系統(tǒng)的振動兩自由度線性系統(tǒng)的振動多自由度線性系統(tǒng)的振動連續(xù)體振動工程振動及應(yīng)用《振動理論及應(yīng)用》講授內(nèi)容第3章兩自由度系統(tǒng)的振動在工程實際中，有許多振動問題是非常復雜的，無法用單自由度的模型和方法進行分析，需要簡化成多自由度系統(tǒng)才能反映實際問題的物理本質(zhì)。兩自由度系統(tǒng)是多自由度系統(tǒng)最簡單的特例，與單自由度相比較，具有一些新的概念，需要新的分析方法；而從兩自由度到更多自由度系統(tǒng)，則主要是量的擴充，在問題的表述、求解方法及振動特性上沒有本質(zhì)的區(qū)別。TheoryofVibrationwithApplications

第3章兩自由度系統(tǒng)的振動3.1振動微分方程的建立

3.2自由振動的求解

3.3拍振

3.4坐標耦聯(lián)與主坐標

3.5強迫振動的求解3.1振動微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動3.1振動微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)例3-1：雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，兩質(zhì)量分別受到激振力,不計摩擦和其他形式的阻尼.試建立系統(tǒng)的振動微分方程。3.1振動微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)解：受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x23.1振動微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動解：P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2建立方程：矩陣形式：坐標間的耦合項

3.1振動微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動例3-2：雙轉(zhuǎn)盤系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動微分方程的建立。兩圓盤轉(zhuǎn)動慣量軸的三個段的扭轉(zhuǎn)剛度外力矩3.1振動微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動解：受力分析：3.1振動微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動解：建立方程：矩陣形式：坐標間的耦合項

3.1振動微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)的角振動與直線振動在數(shù)學描述上相同。

如同在單自由度系統(tǒng)中所定義的，在多自由度系統(tǒng)中也將質(zhì)量、剛度、位移、加速度及力都理解為廣義的。例3-1：例3-2：3.1振動微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動例3-3：梁的彎曲振動微分方程的建立x1x2l/3l/3l/3m1m2P1P23.1振動微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動解：m1

位移：m2位移：時（1）f11f21P1=1時（2）m1

位移：m2位移：f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2

同時作用（3）m1

位移：m2位移：3.1振動微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動解：由材料力學可知當B點作用有單位力時，A點的撓度為：

labABP=1柔度影響系數(shù)3.1振動微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動解：柔度矩陣3.1振動微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動例3-4：試建立如圖所示系統(tǒng)的振動微分方程。（擺長

l，無質(zhì)量，微擺動）xMk/2k/2l3.1振動微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動Lagrange方程式中：L為Lagrange函數(shù)，它是系統(tǒng)動能T和勢能V之差，L=T-V

。而和(i=1,2,…,n)是系統(tǒng)的廣義坐標和廣義速度；是耗散函數(shù)，其中cij為系統(tǒng)在廣義坐標qj方向有單位廣義速度時，在廣義坐標qi方向產(chǎn)生的阻尼力；Qi是在廣義坐標方向qi的廣義力，，其中W是除阻尼力外的其他非保守力所作的功。和分別是對廣義坐標和對廣義速度求偏導數(shù)，是對時間求一次導數(shù)。拉格朗日方程利用廣義坐標來描述非自由質(zhì)點系的運動，這組方程以系統(tǒng)的動能、勢能、耗散函數(shù)和廣義力的形式出現(xiàn)，具有以下形式：3.1振動微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動解：xMk/2k/2l建立廣義坐標x和θ，坐標x的原點在系統(tǒng)靜平衡位置，方向向右為正。θ為擺桿轉(zhuǎn)角，逆時針方向為正，擺桿處于鉛垂位置時θ為零。系統(tǒng)靜平衡時勢能為零。

質(zhì)量M的速度：質(zhì)量m的速度：

3.1振動微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動解：系統(tǒng)的動能:系統(tǒng)的勢能:Lagrange函數(shù):

對廣義坐標分別運用lagrange方程得

3.1振動微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第3章兩自由度系統(tǒng)的振動解：當θ很小時，有4.1微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第4章兩自由度線性系統(tǒng)的振動

牛頓第二運動定律m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)4.1微分方程的建立TheoryofVibrationwithApplications第4章兩自由度線性系統(tǒng)的振動柔度影響系數(shù)法x1x2l/3l/3l/3m1m2P1P2xMk/2k/2l4.1微分方程的建立TheoryofVibrationwith