高中數(shù)學(xué)湘教版2019選擇性必修第一冊課件第3章直線與橢圓的位置關(guān)系

培優(yōu)課直線與橢圓的位置關(guān)系第3章內(nèi)容索引01重難探究?能力素養(yǎng)全提升02學(xué)以致用?隨堂檢測全達標課標要求1.掌握直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法;2.掌握直線被橢圓截得的弦長的求法;3.能夠求解直線與橢圓位置關(guān)系的相關(guān)問題.重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點一直線與橢圓的位置關(guān)系(1)求橢圓L的標準方程;(2)過點Q(0,2)的直線l與橢圓L交于A,B兩點,若以AB為直徑的圓恰好過坐標原點,求直線l的方程及|AB|的大小.規(guī)律方法

直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷方法

位置關(guān)系解的個數(shù)Δ的取值相交兩解Δ>0相切一解Δ=0相離無解Δ<0變式訓(xùn)練1已知直線l:y=kx+4,橢圓C:+y2=1.(1)若直線l過C的左焦點,求實數(shù)k的值;(2)若直線l與橢圓C有公共點,求實數(shù)k的取值范圍.

解

(1)由已知可得,橢圓C的左焦點的坐標是(-2,0),∵直線l:y=kx+4過C的左焦點,∴-2k+4=0,解得k=2.探究點二直線被橢圓截得的弦長的求法【例2】已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.(1)當直線和橢圓有公共點時,求實數(shù)m的取值范圍;(2)求直線y=x+m被橢圓截得的弦最長時,直線的方程.分析

聯(lián)立直線方程和橢圓方程,消元后求得判別式、兩交點的坐標之間的關(guān)系式,利用兩點間的距離公式求出弦長關(guān)于m的關(guān)系式,求解直線方程.規(guī)律方法

直線被橢圓截得的弦長的求法(1)直接利用兩點間的距離公式:當弦的兩端點的坐標易求時,可直接求出交點坐標,再用兩點間的距離公式求弦長.(2)弦長公式:當弦的兩端點的坐標不易求時,可用弦長公式.(k為直線斜率).[提醒]如果直線方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情況.變式訓(xùn)練2已知斜率為2的直線l經(jīng)過橢圓

的右焦點F1,與橢圓交于A,B兩點,則|AB|=

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探究點三中點弦問題【例3】已知橢圓,過點P(2,1)引一弦,使弦在這點被平分,求此弦所在直線的方程.解

(方法1)易知所求直線的斜率存在且不為0,設(shè)所求直線方程為y-1=k(x-2),k≠0.代入橢圓方程并整理得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.(方法2)設(shè)直線與橢圓的兩個交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2).∵P(2,1)為線段AB的中點,∴x1+x2=4,y1+y2=2.規(guī)律方法

解決橢圓中點弦問題的兩種方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系法:聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組,消去一個未知數(shù),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標公式解決;(2)處理有關(guān)中點弦及對應(yīng)直線斜率(斜率存在且不為0)關(guān)系的問題時,常用“點差法”,步驟如下:設(shè)點——設(shè)出弦的兩端點坐標↓代入——代入圓錐曲線方程↓作差——兩式相減,再用平方差公式把上式展開↓整理——轉(zhuǎn)化為斜率與中點坐標的關(guān)系式,然后求解變式訓(xùn)練3已知點P(4,2)是直線l:x+2y-8=0被焦點在x軸上的橢圓所截得的線段的中點,則該橢圓的離心率為

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探究點四直線與橢圓相交的綜合問題(1)求橢圓C的標準方程.(2)經(jīng)過點M(2,-1)的直線l與C相交于P,Q兩點(l不經(jīng)過點A),設(shè)直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,試問k1+k2是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.分析

由已知可得b,再由B點坐標求得a,因此橢圓方程可求.依題意直線l的斜率存在且不為0,設(shè)為k(k≠0),則直線方程為y=k(x-2)-1,k≠0,聯(lián)立直線方程與橢圓方程化為關(guān)于x的一元二次方程,再表示出k1,k2,兩者求和后利用根與系數(shù)的關(guān)系代入求k1+k2的值.規(guī)律方法

解決直線與橢圓相交的綜合問題的思路求解直線與橢圓的交點問題,首先需要將直線方程代入橢圓的方程,消元后,結(jié)合交點的性質(zhì),利用方程根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為交點的坐標之間的關(guān)系求解,這其中要注意利用根的判別式來確定參數(shù)的限制條件.變式訓(xùn)練4已知橢圓C:+y2=1,動直線l:y=x+m.若l與C相交于A,B兩點,且OA⊥OB,求l的方程.∴x1x2+(x1+m)(x2+m)=0,即2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,學(xué)以致用?隨堂檢測全達標1.直線y=x+1與橢圓x2+=1的位置關(guān)系是(

)A.相離

B.相切C.相交

D.無法確定答案

C答案

C3.直線y=x+1被橢圓x2+4y2=16截得的弦長為

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4.已知P(1,1)為橢圓

內(nèi)一定點,經(jīng)過點P引一