極坐標系與極坐標方程

極坐標系及極坐標方程一、根底知識歸納總結：1．伸縮變換：設點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換的作用下，點P(x,y)對應到點，稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換。2.極坐標系的概念：在平面內(nèi)取一個定點Ｏ，叫做極點；自極點Ｏ引一條射線Ｏｘ叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系。3．點M的極坐標：設M是平面內(nèi)一點，極點Ｏ與點M的距離叫做點M的極徑，記為；以極軸Ｏx為始邊，射線OM為終邊的∠XOM叫做點M的極角，記為。有序數(shù)對叫做點M的極坐標，記為M.極坐標與表示同一個點。極點O的坐標為.4.假設,那么,規(guī)定點與點關于極點對稱，即與表示同一點。如果規(guī)定，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標表示；同時，極坐標表示的點也是唯一確定的。5.極坐標與直角坐標的互化：6.直線的極坐標方程：極坐標系中，表示以極點為起點的一條射線；表示過極點的一條直線.在極坐標系中，過點，且垂直于極軸的直線l的極坐標方程是.在極坐標系中，過點，且垂直于直線OA的直線l的極坐標方程是.在極坐標系中，過點，且與極軸成角的直線的極坐標方程是.7.圓的極坐標方程：在極坐標系中，以極點為圓心，r為半徑的圓的極坐標方程是；在極坐標系中，以為圓心，為半徑的圓的極坐標方程是；在極坐標系中，以為圓心，為半徑的圓的極坐標方程是；在極坐標系中，以為圓心，為半徑的圓的極坐標方程是；8.圓錐曲線方程：〔1〕表示離心率為，焦點到相應準線距離為的圓錐曲線方程。當時，表示極點在拋物線的焦點；當時，極點在雙曲線的右焦點；表示雙曲線，表示雙曲線右支；當時，表示極點在橢圓的左焦點〔2〕當極點與直角坐標原點重合，極軸與x軸正半軸重合時，圓錐曲線方程只需要利用互化公式轉化即可。9．參數(shù)方程的概念：在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x,y都是某個變數(shù)t的函數(shù)并且對于t的每一個允許值，由這個方程所確定的點M(x,y)都在這條曲線上，那么這個方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程。10．圓的參數(shù)方程可表示為.橢圓(a>b>0)的參數(shù)方程可表示為.拋物線的參數(shù)方程可表示為.經(jīng)過點，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程可表示為〔t為參數(shù)〕。11．在建立曲線的參數(shù)方程時，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x,y的取值范圍保持一致.例1.在平面直角坐標系中，方程所對應的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形所對應的方程是_________________.練習1.在同一平面直角坐標系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線C變?yōu)榍€，那么曲線C的方程是_________________.練習2.在同一平面直角坐標系中，使曲線變?yōu)榍€的伸縮變換是___________.練習3.將橢圓變?yōu)閳A的伸縮變換為。例2．〔1〕點的直角坐標是，那么點的極坐標為。〔2〕在極坐標系中，過點，并且和極軸平行的直線的極坐標方程是___________________.練習1.極坐標方程化為直角坐標方程是_______________________.練習2.直角坐標方程化為極坐標方程是_________________________.練習3.在極坐標系中，圓心在，半徑為1的圓的極坐標方程是_______________________.例3.在極坐標系中，極點到直線的距離是____________.練習1．極坐標系內(nèi)，曲線上的動點P與定點的最近距離等于____________.練習2.〔2007廣州一模文、理〕在極坐標系中，圓上的點到直線的距離的最小值是_____．例4.曲線繞極點逆時針旋轉后，新曲線的極坐標方程為.練習1.曲線與曲線C關于直線對稱，那么曲線C的方程為。練習2.橢圓上兩點A、B滿足，其中O為極點，那么|AB|=。練習3.橢圓，F(xiàn)為其左焦點，過F作兩直線分別交橢圓于P、Q和M、N且，求四邊形PMQN的最大值和最小值。例5.參數(shù)方程化為普通方程是_________________________.練習1.橢圓的焦點坐標是_________________________.練習2.雙曲線的離心率是_________________________.練習3.曲線上的點與定點A〔-1，-1〕距離的最小值是_____________.練習4.，那么的最小值是_________________.練習5.點M〔x,y〕在橢圓上，那么點M到直線的最大距離為________,此時，點M的坐標是_____________.三、高考、模擬考試題選編：1．〔2005福建理〕設的最小值是〔〕A．B．C．－3D．2.〔2004春招北京理〕在極坐標系中，圓心在且過極點的圓的方程為〔〕A.B.C.D.3.〔2002廣東、河南、江蘇〕極坐標方程ρ＝cosθ與ρcosθ＝EQ\f(1,2)的圖形是()0EQ\f(1,2)0EQ\f(1,2)x0EQ\f(1,2)x0EQ\f(1,2)x0EQ\f(1,2)x0EQ\f(1,2)x4.〔2001廣東〕極坐標方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲線是〔〕A．兩條相交直線B．圓C．橢圓D．雙曲線5．(2007廣東文)在極坐標系中，直線l的方程為ρsinθ=3，那么點(2，π/6)到直線l的距離為．6．〔2002全國理〕點到曲線〔其中參數(shù)〕上的點的最短距離為〔〕〔A〕0〔B〕1〔C〕〔D〕27.(2007廣東理)在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為，圓的參數(shù)方程為，那么圓的圓心坐標為，圓心到直線的距離為.8．(2007海南、寧夏文、理)⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別為．(Ⅰ)把⊙O1和⊙O2的極坐標方程化為直角坐標方程；(Ⅱ)求經(jīng)過⊙O1，⊙O2交點的直線的直角坐標方程．9．〔2007深圳一模理〕在極坐標系中，點〔1，〕和,那么、兩點間的距離是．10．(2007韶關二模文、理)將極坐標方程化為直角坐標方