專題03 填空壓軸題（解析版）

專題03填空壓軸題1．（2023?上海）在中，，，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，且，如果過點(diǎn)，過點(diǎn)，若與有公共點(diǎn)，那么半徑的取值范圍是．【答案】【詳解】連接，如圖：過點(diǎn)，且，的半徑為7，過點(diǎn)，它的半徑為，且，，，，，，在邊上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，，，與有公共點(diǎn)，，，由①得：，解方程得：或，畫出函數(shù)的大致圖象如下：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，即不等式①的解集為，同理可得：不等式②的解集為或，不等式組的解集為，又，半徑的取值范圍是．故答案為：．2．（2022?上海）定義：有一個(gè)圓分別和一個(gè)三角形的三條邊各有兩個(gè)交點(diǎn)，截得的三條弦相等，我們把這個(gè)圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個(gè)斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，當(dāng)?shù)认覉A最大時(shí)，這個(gè)圓的半徑為．【答案】【詳解】如圖，圓與三角形的三條邊都有兩個(gè)交點(diǎn)，截得的三條弦相等，圓心就是三角形的內(nèi)心，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，且在等腰直角三角形的三邊上截得的弦相等，即，此時(shí)最大，過點(diǎn)分別作弦、、的垂線，垂足分別為、、，連接、、，，，，，，，由，，設(shè)，則，，解得，即，在中，，故答案為：．3．（2021?上海）定義：在平面內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)到圖形的距離是這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)圖上所有點(diǎn)的最短距離，在平面內(nèi)有一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)為2，中心為，在正方形外有一點(diǎn)，，當(dāng)正方形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，則點(diǎn)到正方形的最短距離的取值范圍為．【答案】【詳解】如圖：設(shè)的中點(diǎn)是，過點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與邊上所有點(diǎn)的連線中，最小，此時(shí)最大，過頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與邊上所有點(diǎn)的連線中，最大，此時(shí)最小，如圖①：正方形邊長(zhǎng)為2，為正方形中心，，，，，，；如圖②：正方形邊長(zhǎng)為2，為正方形中心，，，，，，；的取值范圍為．故答案為：．4．（2020?上海）在矩形中，，，點(diǎn)在對(duì)角線上，圓的半徑為2，如果圓與矩形的各邊都沒有公共點(diǎn)，那么線段長(zhǎng)的取值范圍是．【答案】【詳解】在矩形中，，，，，如圖1，設(shè)與邊相切于，連接，則，，，，，，如圖2，設(shè)與邊相切于，連接，則，，，，，，，如果圓與矩形的各邊都沒有公共點(diǎn)，那么線段長(zhǎng)的取值范圍是，故答案為：．5．（2019?上海）在和△中，已知，，，，點(diǎn)、分別在邊、上，且△，那么的長(zhǎng)是．【答案】【詳解】△，可以將△與重合，如圖，，，，，，，，解得，的長(zhǎng)為，故答案為．6．（2023?徐匯區(qū)二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、點(diǎn)，的半徑為5，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，那么長(zhǎng)的取值范圍是．【答案】【詳解】、點(diǎn)，，，，連接，，取的中點(diǎn)，即的坐標(biāo)，連接，又分別是、的中點(diǎn)，，是定點(diǎn)，，即點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)為中心，為半徑的圓．，點(diǎn)坐標(biāo)，，的取值范圍是，即，即．故答案為：．7．（2023?楊浦區(qū)二模）如圖，已知在扇形中，，半徑，點(diǎn)在弧上，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，那么線段的長(zhǎng)為．【答案】【詳解】如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，，在和中，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，，根據(jù)圓的定義可知，點(diǎn)，，，四點(diǎn)均在同一個(gè)圓，即上，又，，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由垂徑定理得，，在中，，，．故答案為：．8．（2023?徐匯區(qū)一模）規(guī)定：如果經(jīng)過三角形一個(gè)頂點(diǎn)的直線把這個(gè)三角形分成兩個(gè)小三角形，其中一個(gè)小三角形是等腰三角形，另一個(gè)小三角形和原三角形相似，那么符合這樣條件的三角形稱為“和諧三角形”，這條直線稱為這個(gè)三角形的“和諧分割線”．例如，如圖所示，在中，，，是斜邊上的高，其中是等腰三角形，且和相似，所以是“和諧三角形”，直線為的“和諧分割線”．請(qǐng)依據(jù)規(guī)定求解問題：已知是“和諧三角形”，，當(dāng)直線是的“和諧分割線”時(shí)，的度數(shù)是（寫出所有符合條件的情況）【答案】或或或【詳解】若是等腰三角形，與相似，如圖1，當(dāng)，時(shí)，，，如圖2，當(dāng)，時(shí)，，，當(dāng)是等腰三角形，與相似時(shí)，如圖3，當(dāng)，時(shí)，，，如圖4，當(dāng)，時(shí)，，設(shè)，，，，，綜上所述：或或或，故答案為或或或．9．（2023?浦東新區(qū)二模）我們規(guī)定：兩個(gè)正多邊形的中心之間的距離叫做中心距，在同一個(gè)平面內(nèi)有邊長(zhǎng)都為6的正三角形和正方形，當(dāng)它們的一邊重合時(shí)，中心距為．【答案】或【詳解】如圖1，設(shè)正三角形和正方形的中心分別為和，正三角形和正方形是軸對(duì)稱圖形，它們的一邊重合，正三角形和正方形的中心點(diǎn)在它們的對(duì)稱軸上，連接并延長(zhǎng)交于，則，連接，則，，，中心距為，如圖2，同理可得中心距為，故答案為：或．10．（2023?楊浦區(qū)一模）如圖，已知在矩形中，，，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，點(diǎn)、分別落在點(diǎn)、處，邊、分別與邊交于點(diǎn)、，那么線段的長(zhǎng)為．【答案】【詳解】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在矩形中，，，，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，，，，，，，△，，即，，，，，，，△，，即，，，，，設(shè)，則，，，△，，即，解得：，，．故答案為：．11．（2023?黃浦區(qū)二模）我們規(guī)定：在四邊形中，是邊上的一點(diǎn)，如果與全等，那么點(diǎn)叫做該四邊形的“等形點(diǎn)”．在四邊形中，，，，，如果該四邊形的“等形點(diǎn)”在邊上，那么四邊形的周長(zhǎng)是．【答案】8或【詳解】四邊形的“等形點(diǎn)”在邊上，與全等，，，，如圖，當(dāng)時(shí)，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形的周長(zhǎng)為：；如圖，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，，，，，，，四邊形的周長(zhǎng)為：，故答案為：8或．12．（2023?虹口區(qū)一模）我們規(guī)定：如果一個(gè)三角形一邊上的高等于這條邊，那么這個(gè)三角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做這個(gè)三角形的“等底”．如圖，已知直線，與之間的距離是3，“等高底”的“等底”在直線上（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)在直線上，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、，那么的長(zhǎng)為．【答案】或6【詳解】當(dāng)邊上是高在形內(nèi)時(shí)，如圖：，，，，當(dāng)邊上是高在形外時(shí)：，故答案為：或6．13．（2023?嘉定區(qū)二模）如圖，在中，，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、如果點(diǎn)落在線段上，那么線段．【答案】【詳解】點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，，，，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，，，，，，在和△中，，△，，，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，，，，故答案為：．14．（2023?普陀區(qū)一模）如圖，在中，為邊上的中線，，，．將繞點(diǎn)以逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△，點(diǎn)、分別與點(diǎn)、對(duì)應(yīng)．連接，與線段交于點(diǎn)．如果點(diǎn)、、在同一條直線上，那么．【答案】【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，過作于，設(shè)交軸于，如圖：為邊上的中線，，，，，設(shè)，則，，，解得，，，，，由，，得直線解析式為，將繞點(diǎn)以逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，由，，得直線解析式為，聯(lián)立得，，，，故答案為：．15．（2023?閔行區(qū)二模）閱讀理解：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角、滿足，那么我們稱這個(gè)三角形為特征三角形．問題解決：如圖，在中，為鈍角，，，如果是特征三角形，那么線段的長(zhǎng)為．【答案】【詳解】由題意可分：①設(shè)，，則在上截取一點(diǎn)，使得，如圖所示：，，，為鈍角，故不存在；②設(shè)，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：是特征三角形，即，且，，平分，，，，設(shè)，，，則有，，，在中，由勾股定理得，解得：或（舍去），；故答案為：．16．（2023?靜安區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為，如果已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在的內(nèi)部，的半徑長(zhǎng)為（如圖所示），那么點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是．【答案】【詳解】點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)在的內(nèi)部，，整理得：，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是．故答案為：．17．（2023?崇明區(qū)二模）如圖，已知在兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合的和中，，，，，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，聯(lián)結(jié)，那么．【答案】【詳解】和中，，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，在中，，，（負(fù)根已經(jīng)舍去），．18．（2023?長(zhǎng)寧區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)為圖示中正方形網(wǎng)格交點(diǎn)之一（點(diǎn)除外），如果以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】或或【詳解】由圖可知，是兩條直角邊的比為的直角三角形，在方格中畫出與相似的三角形，如圖：點(diǎn)的坐標(biāo)是或或，故答案為：或或．19．（2023?楊浦區(qū)三模）如圖，已知在中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、分別落在點(diǎn)、處，連接，如果，那么邊的長(zhǎng)為．【答案】【詳解】如圖，連接，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、分別落在點(diǎn)、處，，．，，與是等邊三角形，．，，，，點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，，，．設(shè)，，，，，（負(fù)值舍去），的長(zhǎng)為，故答案為：．20．（2023?金山區(qū)一模）如圖，為等腰直角三角形，，，為的重心，為線段上任意一動(dòng)點(diǎn)，以為斜邊作等腰（點(diǎn)在直線的上方），為的重心，設(shè)、兩點(diǎn)的距離為，那么在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的取值范圍是．【答案】【詳解】當(dāng)與重合時(shí)，與重合，此時(shí)最小為0，當(dāng)與重合時(shí)，最大，連接并延長(zhǎng)交于，連接并延長(zhǎng)交于，連接，過作于，如圖：為等腰直角三角形的重心，為中點(diǎn)，，和是等腰直角三角形，，，，，是為等腰的重心，為中點(diǎn)，，，，，，共線，，，，，，，即，，，，，最大值為，的范圍是，故答案為：．21．（2023?松江區(qū)一模）已知中，，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至△，如果直線，垂足記為點(diǎn)，那么的值為．【答案】或【詳解】設(shè)，則，，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)，，，，，，，同理：當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)，，故答案為：或．22．（2023?虹口區(qū)二模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)在邊上，，聯(lián)結(jié)，將沿著翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)、，分別交邊于點(diǎn)，，如果，那么的長(zhǎng)是．【答案】【詳解】延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖，，，即，，，，四邊形為矩形，，，，，，，即，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，，，，，，，即，．故答案為：．23．（2023?松江區(qū)二模）我們定義：二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，圖象都經(jīng)過原點(diǎn)且對(duì)稱軸相同的兩個(gè)二次函數(shù)稱作互為友好函數(shù)．那么的友好函數(shù)是．．【答案】【詳解】，二次項(xiàng)系數(shù)為2，對(duì)稱軸為直線，的友好函數(shù)是，故答案為：．24．（2023?青浦區(qū)一模）定義：如圖1，點(diǎn)，把線段分割成、和，如果以、、為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，那么稱點(diǎn)、是線段的勾股分割點(diǎn)．問題：如圖2，在中，已知點(diǎn)、是邊的勾股分割點(diǎn)（線段，射線、與射線分別交于點(diǎn)、．如果，，，那么的值為．【答案】【詳解】點(diǎn)、是邊的勾股分割點(diǎn)（線段，，，，，，，，，，同理，，．故答案為：．25．（2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模）如圖，將平行四邊形沿著對(duì)角線翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，交于點(diǎn)，如果，，且，那么平行四邊形的周長(zhǎng)為．（參考數(shù)據(jù)：，【答案】【詳解】四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，在等腰中，，，，平行四邊形的周長(zhǎng)．故答案為：．26．（2023?寶山區(qū)二模）如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“倍角互余三角形”．已知在中，，，，點(diǎn)在邊上，且是“倍角互余三角形”，那么的長(zhǎng)等于．【答案】或【詳解】如圖，，，，作于，設(shè)，，①當(dāng)時(shí)，，，，，，，，設(shè)，，，，即．②當(dāng)時(shí)，，，，即，，．故答案為：或．27．（2023?奉賢區(qū)一模）我們知道四邊形具有不穩(wěn)定性，容易變形（給定四邊形各邊的長(zhǎng)，其形狀和大小不確定）．如圖，一個(gè)矩形發(fā)生變形后成為一個(gè)平行四邊形，設(shè)這個(gè)平行四邊形中較小的內(nèi)角為，我們把的值叫做這個(gè)平行四邊形的“變形系數(shù)”，如果矩形的面積為5，其變形后的平行四邊形的面積為4，那么這個(gè)平行四邊形的“變形系數(shù)”是．【答案】【詳解】設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為，，變形后的平行四邊形的高為，，，，，．故答案為：．28．（2023?金山區(qū)二模）已知中，，，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，如果點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)恰好落在線段上，那么的最大值為．【答案】【詳解】在中，，，，，．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)恰好落在線段上，．點(diǎn)在線段上，，當(dāng)取最小值時(shí)取最大值．如圖，當(dāng)時(shí)，最?。?，，即的最大值為．故答案為：．29．（2023?崇明區(qū)一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在射線上，將沿翻折，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)且時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】【詳解】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，，，，，，，，由翻折得，，解得，，，，，，，，，，，，，解得，故答案為：．30．（2023?普陀區(qū)二模）在中，，，，為中點(diǎn)（如圖），為射線上一點(diǎn)，將沿著翻折得到△，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，如果，那么．【答案】或6【詳解】①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖，，為中點(diǎn)，，，，，根據(jù)折疊可知，，，，，，設(shè)，則，在△中，，，解得：，；②當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，，為中點(diǎn)，，，，，根據(jù)折疊可知，，，，，設(shè)，則，在△中，，，解得：，．綜上，的長(zhǎng)為或6．故答案為：或6．31．（2023?青浦區(qū)二模）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，將沿所在的直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，如果，那么．【答案】【詳解】如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，，，，，，為的中點(diǎn)，，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，，，，四邊形為矩形，，，，，在中，，．故答案為：．32．（2023?奉賢區(qū)二模）如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，．將沿直線翻折，如果點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在線段上，那么的正切值是．【答案】2【詳解】四邊形是正方形，，，過點(diǎn)作于，，，，，將沿直線翻折，如果點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在線段上，，，，，，，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，，，，，，；在中，，在中，，，．故答案為：2．33．（2023?靜安區(qū)校級(jí)一模）定義：把二次函數(shù)與，、是常數(shù)）稱作互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．如果二次函數(shù)與、是常數(shù)）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】，【詳解】根據(jù)題意得，解得．點(diǎn)的坐標(biāo)為，，故答案為：，．34．（2023?浦東新區(qū)模擬）如圖，已知中，，，，點(diǎn)、分別在線段、上，將沿直線折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在線段上，當(dāng)為直角三角形時(shí)，折痕的長(zhǎng)為．【答案】或【詳解】分兩種情況：①如圖，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，在中，，，，，，由折疊可得，，，，，，，，，；②如圖，