專題16 特殊角問題（解析版）

特殊角問題一、知識導航一、什么是特殊角？說到特殊角我們很快就能想到比如30°、45°、60°、90°等，事實上，之所以以上角能稱為特殊角，關鍵在于這些角的三角函數(shù)值特殊，比如同為整十，為什么我們會將60°稱為特殊角，而50°便不是，原因很簡單，，而我們并不知道50°的任一三角函數(shù)值．因此角度特殊不在于這個角是多少度，而在于其三角函數(shù)值是否有特殊值，所以除了常見的30°、45°、60°，我們可以擴充一下特殊角的范圍．

以及從最后一張圖中可得二倍角或者半角的三角函數(shù)構(gòu)造：比如求tan15°：tan22.5°：一般半角三角函數(shù)值求法：一般二倍角函數(shù)值求法：

二、特殊角在坐標系中的意義當我們初次接觸到平面直角坐標系時，我們就認識了一、三象限角平分線及二、四象限角平分線，即直線y=x和直線y=-x，在一次函數(shù)中我們知道，若兩直線平行，則k相等．綜合以上兩點，可得：對于直線y=x+m或直線y=-x+m，與x軸夾角為45°．并且我們還可通過畫圖與計算得知：即“y=kx+b的k”與“直線和x軸的夾角”存在某種固定的聯(lián)系．關系就是：（是直線與x軸的夾角）．不裝了，我攤牌了~

三、坐標系中特殊角的處理在坐標系中構(gòu)造定角，從其三角函數(shù)值著手：思路1：構(gòu)造三垂直相似（或全等）；思路2：通過三角函數(shù)值化“角度條件”為“直線k”．二、典例精析引例1：如圖，在平面直線坐標系中，直線AB解析式為，點M（2，1）是直線AB上一點，將直線AB繞點M順時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線CD，求CD解析式．【分析】思路1：構(gòu)造三垂直相似（全等）在坐標系中存在45°角，可作垂直即可得到等腰直角三角形，構(gòu)造三垂直全等確定圖形．在直線AB上取一點O，過點O作OP⊥AB交CD于P點，分別過M、P向x軸作垂線，垂足為E、F點．易證△OEM≌△PFO，故PF=OE=2，OF=ME=1，故P點坐標為（-1，2），結(jié)合P、M坐標可解直線CD解析式：．構(gòu)造等腰直角的方式也不止這一種，也可過點O作CD的垂線，但直角頂點未知的情況計算略難于直角頂點已知的情況，故雖可以做但并不推薦．思路2：利用特殊角的三角函數(shù)值．過M點作MN∥x軸，則，，考慮到直線CD的增減性為y隨著x的增大而減小，故，所以直線CD：，化簡得：．

引例2：如圖，在平面直線坐標系中，直線AB解析式為，點M（2，1）是直線AB上一點，將直線AB繞點M順時針旋轉(zhuǎn)得到直線CD，且，求直線CD解析式．【分析】在直線AB上再選取點O構(gòu)造三垂直相似，如下圖所示，易證△PFO∽△OEM，且相似比，即，，故P點坐標為，結(jié)合P、M點坐標可解直線CD解析式：．本題并不容易從三角函數(shù)值本身下手，原因在于角度并不屬于我們所討論的特殊角范圍之內(nèi)，簡便的做法只存在于特殊的角中．認識特殊角，了解特殊角，運用特殊角，就能在復雜問題中找到簡便的求法．三、中考真題演練1．（2023·四川攀枝花·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過坐標原點，且頂點為．

(1)求拋物線的表達式；(2)設拋物線與軸正半軸的交點為，點位于拋物線上且在軸下方，連接、，若，求點的坐標．【答案】(1)(2)，【分析】（1）設拋物線的表達式為，將代入可得；（2）過作軸于，過作軸于，設，求出；根據(jù)，，得，故，從而，即可解得答案．【詳解】（1）解：設拋物線的表達式為，將代入得：，解得，；（2）過作軸于，過作軸于，如圖：

設，在中，令得或，；，，，，，，，，解得或（此時與重合，舍去），，．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法，三角形相似的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是證明，用對應邊成比例列式求出的值．2．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．

(1)求此拋物線的解析式；(2)已知拋物線上有一點，其中，若，求的值；【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）在中，，則，得到直線的表達式為：，進而求解；【詳解】（1）解：設拋物線的表達式為：，即，則，故拋物線的表達式為：①；（2）解：在中，，，則，故設直線的表達式為：②，聯(lián)立①②得：，解得：（不合題意的值已舍去）；3．（2023·黑龍江大慶·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，兩點，且自變量的部分取值與對應函數(shù)值如下表：

備用圖(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若將線段向下平移，得到的線段與二次函數(shù)的圖象交于，兩點（在左邊），為二次函數(shù)的圖象上的一點，當點的橫坐標為，點的橫坐標為時，求的值；【詳解】（1）解：由表格可知，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，，代入得到，解得，∴二次函數(shù)的表達式為；（2）如圖，連接，，過點R作交的延長線于點M，

∵點的橫坐標為，∴，∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∵點P與點Q關于直線對稱，設點，則，解得，∴點P的坐標為，當時，，即，則，∴，，∴，即的值為；4．（2023·山東泰安·中考真題）如圖1，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．

(1)求二次函數(shù)的表達式；(3)小明認為，在第三象限拋物線上有一點D，使；請判斷小明的說法是否正確，如果正確，請求出D的坐標；如果不正確，請說明理由．【詳解】（1）解：將代入得：，解得：，∴拋物線解析式為：；（3）解：正確，，理由如下：如圖所示，連接，，設與對稱軸交點為，對稱軸與軸交點為，連接，延長與對稱軸交于點，

由（1）、（2）可得，，∴，，根據(jù)拋物線的對稱性，，∴，，∵，∴，∴，在中，，∵且，∴，∴，即：在中，，∵，∴，∴，設直線解析式為：，將、代入解得：，∴直線解析式為：，聯(lián)立，解得：或（不合題，舍去）∴小明說法正確，D的坐標為．5．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，過點作直線軸，過點作，交直線于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點為第三象限內(nèi)拋物線上的點，連接和交于點，當時．求點的坐標；【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，則對稱軸為直線，∴，解得：∴拋物線解析式為；（2）解：由，當時，，解得：，∴，當時，，則，∵，∴，∴，即，∴，∴，則，設直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，如圖所示，過點作軸，交于點，

∵，∴∵∴，則設，則即，將點代入即解得：或（舍去）當時，，∴；6．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，過點作直線軸，過點作，交直線于點．

(1)求拋物線的解析式；(3)在（2）的條件下，連接，在直線上是否存在點，使得？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)拋物線過點，對稱軸為直線，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（3）根據(jù)題意可得，以為對角線作正方形，則，進而求得的坐標，待定系數(shù)法求得的解析式，聯(lián)立解析式，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，則對稱軸為直線，∴，解得：∴拋物線解析式為；（3）∵，，則，是等腰直角三角形，∴，由（2）可得，∵∴，由（2）可得，設直線的解析式為，則解得：∴直線的解析式為如圖所示，以為對角線作正方形，則，

∵，則，則，，設，則，解得：，，則，，設直線的解析式為，直線的解析式為則，，解得：，，設直線的解析式為，直線的解析式為，∴解得：，則，解得：,則，綜上所述，或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．7．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點．

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；(2)P是拋物線上一動點（不與點A，B，C重合），作軸，垂足為D，連接．①如圖，若點P在第三象限，且，求點P的坐標；【詳解】（1）∵拋物線與x軸交于點，與y軸交于點，∴把，代入得，，解得，，∴拋物線的函數(shù)解析式為；（2）①設，過點作于點，如圖，

∴∵∴∵軸，∴又∴四邊形是矩形，∴∴∵∴∴（不合題意，舍去）∴∴；8．（2023·湖北·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于點，與軸交于點，頂點為，連接．

(1)拋物線的解析式為__________________；（直接寫出結(jié)果）(2)在圖1中，連接并延長交的延長線于點，求的度數(shù)；【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）待定系數(shù)法求得直線直線的解析式為：，直線的解析式為：．聯(lián)立兩直線解析式，得出點的坐標為．方法1：由題意可得：．過點E作軸于點F．計算得出，又，可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出；方法2：如圖2，延長與軸交于點，過點作于點，過點作軸于點．等面積法求得，解即可求解．方法3：如圖2，過點作于點．根據(jù)，得出，進而得出；【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，∴，解得：，∴拋物線解析式為；（2）∵點，點，設直線的解析式為：．∴，∴，直線的解析式為：．同上，由點，可得直線的解析式為：．令，得．∴點的坐標為．方法1：由題意可得：．∴．如圖1，過點E作軸于點F．∴．∴．∴．又，∴．∴．∵，∴．∵，即．

方法2：如圖2，延長與軸交于點，過點作于點，過點作軸于點．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∵，，∴．∴∴，即．

方法3：如圖2，過點作于點．∵．∴．∵，∴．∴．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)的平移，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．9．（2023·四川·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)已知為拋物線上一點，為拋物線對稱軸上一點，以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，求出點的坐標；【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先求得拋物線的對稱軸為直線，設與交于點，當點F在x軸上方時，過點作于點，證明，設，則，，進而得出點的坐標，代入拋物線解析式，求得的值即可求出點F的坐標；當點F在x軸上方，且點E與點A重合時，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出，即可求出點F的坐標；同理可求得當點F在x軸下方時的坐標；當點與點重合時，求得另一個解，進而即可求解；【詳解】（1）解：將點，，代入中得，解得：，∴拋物線解析式為；（2）解：∵點，，∴拋物線的對稱軸為直線：，如圖所示，當點F在x軸上方時，設與交于點，過點作于點，

∵以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，∵點在拋物線上∴解得：（舍去）或,∴；如圖所示，當點F在x軸上方時，且點E與點A重合時，設直線l與x軸交于G，∵是等腰直角三角形，且，∴，∴；如圖所示，當點F在x軸下方時，，設與交于點，過點作于點

∵以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，∵點在拋物線上∴解得：（舍去）或，∴，如圖所示，當點F在x軸上方，當點與點重合時，

∵，是等腰直角三角形，且，∴∴，綜上所述，或或或；10．（2023·四川·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(3)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點，連接交軸于點，連接并延長交軸于點，在點運動過程中，是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；（3）設，直線的解析式為，的解析式為，求得解析式，然后求得，即可求解．【詳解】（1）解：將點，，代入中得，解得：，∴拋物線解析式為；（3）解：設，直線的解析式為，的解析式為，∵點，，，∴，解得：，∴直線的解析式為，的解析式為，對于，當時，，即，對于，當時，，即，∵在拋物線上，則∴∴為定值．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標軸交點問題，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)并利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．11．（2023·湖南郴州·中考真題）已知拋物線與軸相交于點，，與軸相交于點．(1)求拋物線的表達式；(3)如圖2，取線段的中點，在拋物線上是否存在點，使？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（3）求出點坐標為，進而得到，得到，分點在點上方和下方，兩種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸相交于點，，∴，解得：，∴；（3）解：存在，∵為的中點，∴，∴，∵，∴，在中，，∵，∴，①當點在點上方時：過點作，交拋物線與點，則：，此時點縱坐標為2，設點橫坐標為，則：，解得：，∴或；②當點在點下方時：設與軸交于點，則：，設，則：，，∴，解得：，∴，設的解析式為：，則：，解得：，∴，聯(lián)立，解得：或，∴或；綜上：或或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，正確的求出二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．本題的綜合性強，難度較大，屬于中考壓軸題．12．（2023·湖南·中考真題）如圖，已知拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點C，連接，過B、C兩點作直線．

(1)求a的值．(3)拋物線上是否存在點P，使，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可得出結(jié)果；（3）分兩種情況討論，當點在直線下方時，與當點在直線上方時．【詳解】（1）解：拋物線與x軸交于點，得，解得：；（3）解：存在點P，理由如下：當點在直線下方時，在軸上取點，作直線交拋物線于（異于點）點，

由（2）中結(jié)論，得，，，，，設直線的解析式為，代入點，得，解得，故直線的解析式為；當點在直線上方時，如圖，在軸上取點，連接，過點作交拋物線于點，

∴，∴，，，，設直線的解析式為，代入點，得，解得，故設直線的解析式為，，且過點,故設直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為．綜上所述：直線的解析式為或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象、全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．13．（2023·湖南懷化·中考真題）如圖一所示，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式及頂點坐標；(2)點為第三象限內(nèi)拋物線上一點，作直線，連接、，求面積的最大值及此時點的坐標；(3)設直線交拋物線于點、，求證：無論為何值，平行于軸的直線上總存在一點，使得為直角．【答案】(1)(2)面積的最大值為，此時點的坐標為(3)見解析【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）如圖所示，過點作軸于點，交于點，得出直線的解析式為，設，則，得出，當取得最大值時，面積取得最大值，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）設、，的中點坐標為，聯(lián)立，消去，整理得：，得出，則，設點到的距離為，則，依題意，