專題16 特殊角問題（解析版）

特殊角問題一、知識導(dǎo)航一、什么是特殊角？說到特殊角我們很快就能想到比如30°、45°、60°、90°等，事實(shí)上，之所以以上角能稱為特殊角，關(guān)鍵在于這些角的三角函數(shù)值特殊，比如同為整十，為什么我們會將60°稱為特殊角，而50°便不是，原因很簡單，，而我們并不知道50°的任一三角函數(shù)值．因此角度特殊不在于這個角是多少度，而在于其三角函數(shù)值是否有特殊值，所以除了常見的30°、45°、60°，我們可以擴(kuò)充一下特殊角的范圍．

以及從最后一張圖中可得二倍角或者半角的三角函數(shù)構(gòu)造：比如求tan15°：tan22.5°：一般半角三角函數(shù)值求法：一般二倍角函數(shù)值求法：

二、特殊角在坐標(biāo)系中的意義當(dāng)我們初次接觸到平面直角坐標(biāo)系時，我們就認(rèn)識了一、三象限角平分線及二、四象限角平分線，即直線y=x和直線y=-x，在一次函數(shù)中我們知道，若兩直線平行，則k相等．綜合以上兩點(diǎn)，可得：對于直線y=x+m或直線y=-x+m，與x軸夾角為45°．并且我們還可通過畫圖與計(jì)算得知：即“y=kx+b的k”與“直線和x軸的夾角”存在某種固定的聯(lián)系．關(guān)系就是：（是直線與x軸的夾角）．不裝了，我攤牌了~

三、坐標(biāo)系中特殊角的處理在坐標(biāo)系中構(gòu)造定角，從其三角函數(shù)值著手：思路1：構(gòu)造三垂直相似（或全等）；思路2：通過三角函數(shù)值化“角度條件”為“直線k”．二、典例精析引例1：如圖，在平面直線坐標(biāo)系中，直線AB解析式為，點(diǎn)M（2，1）是直線AB上一點(diǎn)，將直線AB繞點(diǎn)M順時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線CD，求CD解析式．【分析】思路1：構(gòu)造三垂直相似（全等）在坐標(biāo)系中存在45°角，可作垂直即可得到等腰直角三角形，構(gòu)造三垂直全等確定圖形．在直線AB上取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OP⊥AB交CD于P點(diǎn)，分別過M、P向x軸作垂線，垂足為E、F點(diǎn)．易證△OEM≌△PFO，故PF=OE=2，OF=ME=1，故P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），結(jié)合P、M坐標(biāo)可解直線CD解析式：．構(gòu)造等腰直角的方式也不止這一種，也可過點(diǎn)O作CD的垂線，但直角頂點(diǎn)未知的情況計(jì)算略難于直角頂點(diǎn)已知的情況，故雖可以做但并不推薦．思路2：利用特殊角的三角函數(shù)值．過M點(diǎn)作MN∥x軸，則，，考慮到直線CD的增減性為y隨著x的增大而減小，故，所以直線CD：，化簡得：．

引例2：如圖，在平面直線坐標(biāo)系中，直線AB解析式為，點(diǎn)M（2，1）是直線AB上一點(diǎn)，將直線AB繞點(diǎn)M順時針旋轉(zhuǎn)得到直線CD，且，求直線CD解析式．【分析】在直線AB上再選取點(diǎn)O構(gòu)造三垂直相似，如下圖所示，易證△PFO∽△OEM，且相似比，即，，故P點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合P、M點(diǎn)坐標(biāo)可解直線CD解析式：．本題并不容易從三角函數(shù)值本身下手，原因在于角度并不屬于我們所討論的特殊角范圍之內(nèi)，簡便的做法只存在于特殊的角中．認(rèn)識特殊角，了解特殊角，運(yùn)用特殊角，就能在復(fù)雜問題中找到簡便的求法．三、中考真題演練1．（2023·四川攀枝花·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且頂點(diǎn)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)拋物線與軸正半軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)位于拋物線上且在軸下方，連接、，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，【分析】（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入可得；（2）過作軸于，過作軸于，設(shè)，求出；根據(jù)，，得，故，從而，即可解得答案．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入得：，解得，；（2）過作軸于，過作軸于，如圖：

設(shè)，在中，令得或，；，，，，，，，，解得或（此時與重合，舍去），，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形相似的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明，用對應(yīng)邊成比例列式求出的值．2．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求此拋物線的解析式；(2)已知拋物線上有一點(diǎn)，其中，若，求的值；【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）在中，，則，得到直線的表達(dá)式為：，進(jìn)而求解；【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，即，則，故拋物線的表達(dá)式為：①；（2）解：在中，，，則，故設(shè)直線的表達(dá)式為：②，聯(lián)立①②得：，解得：（不合題意的值已舍去）；3．（2023·黑龍江大慶·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，兩點(diǎn)，且自變量的部分取值與對應(yīng)函數(shù)值如下表：

備用圖(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若將線段向下平移，得到的線段與二次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)（在左邊），為二次函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時，求的值；【詳解】（1）解：由表格可知，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，代入得到，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）如圖，連接，，過點(diǎn)R作交的延長線于點(diǎn)M，

∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線對稱，設(shè)點(diǎn)，則，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，當(dāng)時，，即，則，∴，，∴，即的值為；4．（2023·山東泰安·中考真題）如圖1，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(3)小明認(rèn)為，在第三象限拋物線上有一點(diǎn)D，使；請判斷小明的說法是否正確，如果正確，請求出D的坐標(biāo)；如果不正確，請說明理由．【詳解】（1）解：將代入得：，解得：，∴拋物線解析式為：；（3）解：正確，，理由如下：如圖所示，連接，，設(shè)與對稱軸交點(diǎn)為，對稱軸與軸交點(diǎn)為，連接，延長與對稱軸交于點(diǎn)，

由（1）、（2）可得，，∴，，根據(jù)拋物線的對稱性，，∴，，∵，∴，∴，在中，，∵且，∴，∴，即：在中，，∵，∴，∴，設(shè)直線解析式為：，將、代入解得：，∴直線解析式為：，聯(lián)立，解得：或（不合題，舍去）∴小明說法正確，D的坐標(biāo)為．5．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對稱軸交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接和交于點(diǎn)，當(dāng)時．求點(diǎn)的坐標(biāo)；【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，拋物線的對稱軸交軸于點(diǎn)，則對稱軸為直線，∴，解得：∴拋物線解析式為；（2）解：由，當(dāng)時，，解得：，∴，當(dāng)時，，則，∵，∴，∴，即，∴，∴，則，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，如圖所示，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，

∵，∴∵∴，則設(shè)，則即，將點(diǎn)代入即解得：或（舍去）當(dāng)時，，∴；6．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對稱軸交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(3)在（2）的條件下，連接，在直線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)拋物線過點(diǎn)，對稱軸為直線，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（3）根據(jù)題意可得，以為對角線作正方形，則，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求得的解析式，聯(lián)立解析式，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，拋物線的對稱軸交軸于點(diǎn)，則對稱軸為直線，∴，解得：∴拋物線解析式為；（3）∵，，則，是等腰直角三角形，∴，由（2）可得，∵∴，由（2）可得，設(shè)直線的解析式為，則解得：∴直線的解析式為如圖所示，以為對角線作正方形，則，

∵，則，則，，設(shè)，則，解得：，，則，，設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為則，，解得：，，設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為，∴解得：，則，解得：,則，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；(2)P是拋物線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，C重合），作軸，垂足為D，連接．①如圖，若點(diǎn)P在第三象限，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【詳解】（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，∴把，代入得，，解得，，∴拋物線的函數(shù)解析式為；（2）①設(shè)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，

∴∵∴∵軸，∴又∴四邊形是矩形，∴∴∵∴∴（不合題意，舍去）∴∴；8．（2023·湖北·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，連接．

(1)拋物線的解析式為__________________；（直接寫出結(jié)果）(2)在圖1中，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，求的度數(shù)；【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）待定系數(shù)法求得直線直線的解析式為：，直線的解析式為：．聯(lián)立兩直線解析式，得出點(diǎn)的坐標(biāo)為．方法1：由題意可得：．過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)F．計(jì)算得出，又，可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出；方法2：如圖2，延長與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．等面積法求得，解即可求解．方法3：如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)．根據(jù)，得出，進(jìn)而得出；【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線解析式為；（2）∵點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為：．∴，∴，直線的解析式為：．同上，由點(diǎn)，可得直線的解析式為：．令，得．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．方法1：由題意可得：．∴．如圖1，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)F．∴．∴．∴．又，∴．∴．∵，∴．∵，即．

方法2：如圖2，延長與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∵，，∴．∴∴，即．

方法3：如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)．∵．∴．∵，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)的平移，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·四川·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)已知為拋物線上一點(diǎn)，為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先求得拋物線的對稱軸為直線，設(shè)與交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，設(shè)，則，，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求得的值即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方，且點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出，即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；同理可求得當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，求得另一個解，進(jìn)而即可求解；【詳解】（1）解：將點(diǎn)，，代入中得，解得：，∴拋物線解析式為；（2）解：∵點(diǎn)，，∴拋物線的對稱軸為直線：，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時，設(shè)與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∵點(diǎn)在拋物線上∴解得：（舍去）或,∴；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時，且點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時，設(shè)直線l與x軸交于G，∵是等腰直角三角形，且，∴，∴；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時，，設(shè)與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)

∵以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∵點(diǎn)在拋物線上∴解得：（舍去）或，∴，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，

∵，是等腰直角三角形，且，∴∴，綜上所述，或或或；10．（2023·四川·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(3)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接并延長交軸于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動過程中，是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；（3）設(shè)，直線的解析式為，的解析式為，求得解析式，然后求得，即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，，代入中得，解得：，∴拋物線解析式為；（3）解：設(shè)，直線的解析式為，的解析式為，∵點(diǎn)，，，∴，解得：，∴直線的解析式為，的解析式為，對于，當(dāng)時，，即，對于，當(dāng)時，，即，∵在拋物線上，則∴∴為定值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)并利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．11．（2023·湖南郴州·中考真題）已知拋物線與軸相交于點(diǎn)，，與軸相交于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(3)如圖2，取線段的中點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（3）求出點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而得到，得到，分點(diǎn)在點(diǎn)上方和下方，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸相交于點(diǎn)，，∴，解得：，∴；（3）解：存在，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，在中，，∵，∴，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時：過點(diǎn)作，交拋物線與點(diǎn)，則：，此時點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則：，解得：，∴或；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時：設(shè)與軸交于點(diǎn)，則：，設(shè)，則：，，∴，解得：，∴，設(shè)的解析式為：，則：，解得：，∴，聯(lián)立，解得：或，∴或；綜上：或或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．本題的綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于中考壓軸題．12．（2023·湖南·中考真題）如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，連接，過B、C兩點(diǎn)作直線．

(1)求a的值．(3)拋物線上是否存在點(diǎn)P，使，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可得出結(jié)果；（3）分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)在直線下方時，與當(dāng)點(diǎn)在直線上方時．【詳解】（1）解：拋物線與x軸交于點(diǎn)，得，解得：；（3）解：存在點(diǎn)P，理由如下：當(dāng)點(diǎn)在直線下方時，在軸上取點(diǎn)，作直線交拋物線于（異于點(diǎn)）點(diǎn)，

由（2）中結(jié)論，得，，，，，設(shè)直線的解析式為，代入點(diǎn)，得，解得，故直線的解析式為；當(dāng)點(diǎn)在直線上方時，如圖，在軸上取點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，

∴，∴，，，，設(shè)直線的解析式為，代入點(diǎn)，得，解得，故設(shè)直線的解析式為，，且過點(diǎn),故設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為．綜上所述：直線的解析式為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象、全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．13．（2023·湖南懷化·中考真題）如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，作直線，連接、，求面積的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)直線交拋物線于點(diǎn)、，求證：無論為何值，平行于軸的直線上總存在一點(diǎn)，使得為直角．【答案】(1)(2)面積的最大值為，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)見解析【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，得出直線的解析式為，設(shè)，則，得出，當(dāng)取得最大值時，面積取得最大值，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）設(shè)、，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，聯(lián)立，消去，整理得：，得出，則，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，依題意，