2021年九年級中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題：【三角形綜合】培優(yōu)訓(xùn)練(二)(含答案)

2021年九年級中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題：【三角形綜合】培優(yōu)訓(xùn)練（二）一．選擇題1．判斷下列幾組數(shù)能作為直角三角形的三邊長的是（）A．8，10，7 B．2，3，4 C．12，15，20 D．，1，22．在下列條件中，能判斷兩個直角三角形全等的是（）A．一個銳角對應(yīng)相等 B．兩銳角對應(yīng)相等 C．一條邊對應(yīng)相等 D．一條斜邊和另外一條直角邊對應(yīng)相等3．如圖，若AC＝DF，BC＝EF，AD＝BE，∠A＝65°，∠C＝85°，則∠E的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．65° D．85°4．如圖，△ABC是等邊三角形，AD為中線，DE⊥AC，若CE＝1，則AE＝（）A．1 B．2 C．3 D．45．如圖，要測量河兩岸相對的兩點A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂線DE，使點A、C、E在同一條直線上（如圖），可以說明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此測得DE的長就是AB的長，判定△ABC≌△EDC，最恰當(dāng)?shù)睦碛墒牵ǎ〢．SAS B．HL C．SSS D．ASA6．如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC邊上的高，點E為AD的中點，連接BE并延長交AC于點F．若∠AFB＝90°，EF＝2，則BF長為（）A．4 B．6 C．8 D．107．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，M是BC邊上的動點，過M作MN∥AB交AC于點N，P是MN的中點，當(dāng)PA平分∠BAC時，BM＝（）A． B． C． D．8．如圖，已知點O為△ABC的兩條角平分線的交點，過點O作OD⊥BC，垂足為D，且OD＝4．若△ABC的面積是34，則△ABC的周長為（）A．8.5 B．15 C．17 D．349．如圖，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，那么，按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，圖中實線所圍成的圖形面積為（）A．40.5 B．48.5 C．50 D．52.510．如圖，點E在△DBC的邊DB上，點A在△DBC內(nèi)部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．給出下列結(jié)論：①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中不正確的結(jié)論有（）個．A．3 B．2 C．1 D．0二．填空題11．已知△ABC的三邊長分別是5cm，12cm，13cm，則△ABC的面積是．12．如圖，△ABC中，AC＝7，BC＝4，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交邊AC于點E，那么△BCE的周長為．13．如圖，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，則∠DAE＝°．14．如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，CD＝CB，∠ACB＝∠ACD，AE⊥BC于點E，AE交BD于點F，AC＝DF，CE＝5，BE＝12，則AE＝．15．如圖，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C點與A點關(guān)于直線OB對稱，動點P、Q分別在線段AC、AB上（點P不與點A、C重合），滿足∠BPQ＝∠BAO．當(dāng)△PQB為等腰三角形時，OP的長度是．16．如圖，△ABC中，D，E是AB邊上兩點，且∠A＝∠B＝∠DCE＝45°，若AD＝1，EB＝2，則△CDE與△ADC的面積之比為．三．解答題17．如圖，△ADC中，DB是高，點E是DB上一點，AB＝DB，EB＝CB，M，N分別是AE，CD上的點，且AM＝DN．（1）求證：△ABE≌△DBC．（2）探索BM和BN的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．18．如圖，在△ABC中，AB＜AC，邊BC的垂直平分線DE交△ABC的外角∠CAM的平分線于點D，垂足為E，DF⊥AC于點F，DG⊥AM于點G，連接CD．（1）求證：BG＝CF；（2）若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的長．19．（1）如圖①，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點B，C，E在一條直線上，連結(jié)BD和AE，直線BD，AE相交于點P．則線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系為；BD與AE相交構(gòu)成的銳角的度數(shù)為．（2）如圖②，點B，C，E不在同一條直線上，其它條件不變，上述的結(jié)論是否還成立？請說明理由．（3）應(yīng)用：如圖③，點B，C，E不在同一條線上，其它條件依然不變，此時恰好有∠AEC＝30°．設(shè)直線AE交CD于點Q，請把圖形補全．若PQ＝2，則DP＝．20．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點D從B點出發(fā)，沿射線CB方向以每秒3個單位長度的速度運動，射線MP⊥射線CB，且BM＝10，點Q從M點出發(fā)，沿射線MQ方向以每秒a個單位長度的速度運動，已知D，Q兩點同時出發(fā)，記時間為t．（1）當(dāng)t＝10時，△DMQ是等腰三角形，求a的值；（2）求t為何值時，△DCA為等腰三角形；（3）若△DMQ與△ABC全等，求a的值．21．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．點D是直線AB上一點（點D與點A、B不重合），以CD為直角邊作等腰直角三角形DCE，使∠DCE＝90°，連結(jié)AE．（1）如圖①，當(dāng)點D在線段AB上，點E與點A在CD同側(cè)．求證：AE＝BD．（2）如圖②，當(dāng)點D在AB的延長線上，點E與點A在CD同側(cè)．若AE＝1，AB＝4，則AD＝．（3）如圖③，當(dāng)點D在BA的延長線上，點E與點A在CD的兩側(cè)時，直接寫出線段AB、AD、AE三者之間的數(shù)量關(guān)系：．22．在平面直角坐標(biāo)系中，B（2，2），以O(shè)B為一邊作等邊△OAB（點A在x軸正半軸上）．（1）若點C是y軸上任意一點，連接AC，在直線AC上方以AC為一邊作等邊△ACD．①如圖1，當(dāng)點D落在第二象限時，連接BD，求證：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求點C的坐標(biāo)；（2）如圖2，若FB是OA邊上的中線，點M是FB一動點，點N是OB一動點，且OM+NM的值最小，請在圖2中畫出點M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．

參考答案一．選擇題1．解：A、82+72≠102，故不能作為直角三角形三邊長；B、22+32≠42，故不能作為直角三角形三邊長；C、122+152≠202，故不能作為直角三角形三邊長；D、（）2+12＝22，故能作為直角三角形三邊長；故選：D．2．解：A、一個銳角對應(yīng)相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項不符合題意；B、兩銳角對應(yīng)相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項不符合題意；C、一條邊對應(yīng)相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項不符合題意；D、一條斜邊和另外一條直角邊對應(yīng)相等能判定兩直角三角形全等，故此選項符合題意；故選：D．3．解：∵AD＝BE，∴AB＝DE，且AC＝DF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠A＝∠FDE＝65°，∠C＝∠F＝85°，∴∠E＝180°﹣∠FDE﹣∠F＝30°，故選：A．4．解：∵△ABC是等邊三角形，AD為中線，DE⊥AC，∴∠DAC＝30°，∠C＝60°，∠ADC＝90°，∠DEC＝90°，∴∠CDE＝30°，∵CE＝1，∴CD＝2，∴AC＝4，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣1＝3，故選：C．5．解：因為證明在△ABC≌△EDC用到的條件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，所以用到的是兩角及這兩角的夾邊對應(yīng)相等即ASA這一方法．故選：D．6．解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC邊上的高，∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∵∠AFB＝90°，EF＝2，∴AE＝2EF＝4，∵點E為AD的中點，∴DE＝AE＝4，∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，∴∠EBD＝30°，∴BE＝2DE＝8，∴BF＝BE+EF＝8+2＝10，故選：D．7．解：作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，MF⊥AB于F，由勾股定理得，AB＝＝5，∵PA平分∠BAC，PD⊥AC，PE⊥AB，∴PD＝PE，∵PE⊥AB，MF⊥AB，MN∥AB，∴四邊形PMFE為矩形，∴PE＝MF，設(shè)PD＝PE＝MF＝3x，∵∠B＝∠B，∠BFM＝∠BCA，∴△BMF∽△BAC，∴＝，即＝，解得，BM＝5x，∵PD∥BC，P是MN的中點，∴BC＝6x+5x＝11x，由題意得，11x＝4，解得，x＝，∴BM＝5x＝，故選：A．8．解：∵點O為△ABC的兩條角平分線的交點，∴點O到△ABC各邊的距離相等，而OD⊥BC，OD＝4，∴點O到△ABC各邊的距離為4，∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，∴×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，∴AB+AC+BC＝17，即△ABC的周長為17．故選：C．9．解：∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG，∴∠F＝∠AGB＝∠EAB＝90°，∴∠FEA+∠EAF＝90°，∠EAF+∠BAG＝90°，∴∠FEA＝∠BAG，在△FEA和△GAB中∵，∴△FEA≌△GAB（AAS），∴AG＝EF＝6，AF＝BG＝2，同理CG＝DH＝3，BG＝CH＝2，∴FH＝2+6+3+2＝13，∴梯形EFHD的面積是×（EF+DH）×FH＝×（6+3）×13＝，∴陰影部分的面積是S梯形EFHD﹣S△EFA﹣S△ABC﹣S△DHC＝﹣×6×2﹣×（6+3）×2﹣×3×2＝40.5．故選：A．10．解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠EAC∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①結(jié)論正確，∴∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，故②結(jié)論正確，∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，∴∠CEB＝90°，即BD⊥CE，故③結(jié)論正確，∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．故④結(jié)論正確，∴不正確的結(jié)論有0個．故選：D．二．填空題（共6小題）11．解：∵△ABC的三邊長分別是5cm，12cm，13cm，∴52+122＝132，∴△ABC是直角三角形，直角邊為5cm和12cm，∴△ABC的面積為cm×12cm＝30cm2，故答案為：30cm2．12．解：∵DE是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∴△BCE的周長＝BC+BE+EC＝BC+EA+EC＝BC+AC＝11，故答案為：11．13．解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，∴DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝70°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝40°，故答案為：40．14．解：∵CD＝CB，∠ACB＝∠ACD，CA＝CA，∴△CAB≌△CAD（SAS），∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC，∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∵CD＝CB，AD＝AB，∴AC垂直平分線段BD，∴DG＝BG＝AG，∵AC＝DF，∴CG＝GF，設(shè)CG＝GF＝x，AG＝BG＝DG＝y(tǒng)．∵AE⊥BC，∴∠AEC＝∠BGC＝∠AGF＝90°，∴∠BCG+∠CBG＝90°，∠BCG+∠FAG＝90°，∴∠CBG＝∠FAG，∵BG＝AG，∴△BGC≌△AGF（ASA），∴AF＝BC＝CE+BE＝5+12＝17，則有x2+y2＝172①，由△BEF∽△AGF，可得＝，∴＝，∴12×17＝y(tǒng)（y﹣x）②，①×12得到：172×12＝12x2+12y2，②×17得到172×12＝17y2﹣17xy，∴12x2+12y2＝17y2﹣17xy，∴12x2+17xy﹣5y2＝0，∴（3x+5y）（4x﹣y）＝0，∵3x+5y≠0∴y＝4x，∴12×17＝4x×3x，∴x2＝17，連接CF，可得CF2＝2x2＝34，∴EF＝＝＝3，∴AE＝EF+AF＝3+17＝20，故答案為20．15．解：∵OA＝8，OB＝6，C點與A點關(guān)于直線OB對稱，∴BC＝AB＝＝5，分為3種情況：①當(dāng)PB＝PQ時，∵C點與A點關(guān)于直線OB對稱，∴∠BAO＝∠BCO，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BPQ＝∠BCO，∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝∠BCO+∠CBP，∴∠APQ＝∠CBP，在△APQ與△CBP中，，∴△APQ≌△CBP（AAS），∴PA＝BC，此時OP＝5﹣4＝1；②當(dāng)BQ＝BP時，∠BPQ＝∠BQP，∵∠BPQ＝∠BAO，∴∠BAO＝∠BQP，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得：∠BQP＞∠BAO，∴這種情況不存在；③當(dāng)QB＝QP時，∠QBP＝∠BPQ＝∠BAO，∴PB＝PA，設(shè)OP＝x，則PB＝PA＝8﹣x在Rt△OBP中，PB2＝OP2+OB2，∴（4﹣x）2＝x2+32，解得：x＝；∵點P在AC上，∴點P在點O左邊，此時OP＝．∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時，OP的長度是1或．故答案為：1或．16．解：∵∠A＝∠ABC＝45°，∴∠ACB＝90°，把△ADC逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCF，如圖所示：則CD＝CF，BF＝AD＝1，∠DCF＝90°，∠CBF＝∠A＝45°，∵∠DCE＝45°，∴∠FCE＝90°﹣45°＝45°，∴∠DCE＝∠FCE，在△DCE和△FCE中，，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE＝FE，在△BEF中，∵∠ABC＝45°，∠CBF＝45°，∴∠EBF＝90°，∴EF＝＝＝，∴DE＝，∴△CDE與△ADC的面積之比＝＝＝；故答案為：．三．解答題（共6小題）17．（1）證明：∵DB是高，∴∠ABE＝∠DBC＝90°．在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC．（2）解：BM＝BN，MB⊥BN．證明如下：∵△ABE≌△DBC，∴∠BAM＝∠BDN．在△ABM和△DBN中，∴△ABM≌△DBN（SAS）．∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN．∴∠DBN+∠DBM＝∠ABM+∠DBM＝∠ABD＝90°．∴MB⊥BN．18．（1）證明：連接BD，∵DE垂直平分BC，∴BD＝CD，∵AD平分∠CAM，DF⊥AC，DG⊥AM，∴DG＝DF，在Rt△BDG和Rt△CDF中，，∴Rt△BDG≌Rt△CDF（HL），∴BG＝CF；（2）解：在Rt△ADG和Rt△ADF中，，∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL），∴AG＝AF，∵AC＝AF+CF，BG＝AB+AG，BG＝CF，∴AC＝AF+AB+AG，∴AC＝2AG+AB，∵AB＝10cm，AC＝14cm，∴AG＝＝2cm．19．解：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴BD＝AE，∠AEC＝∠BDC，由三角形的外角性質(zhì)，∠DPE＝∠AEC+∠BDC，∠DCE＝∠BDC+∠DBC，∴∠DPE＝∠DCE＝60°；故答案為：相等，60°；（2）成立．證明：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴BD＝AE，∠AEC＝∠BDC，又∵∠DNA＝∠ENC，∴∠DPE＝∠DCE＝60°．（3）補全圖形如圖③，由（1）（2）可知△AEC≌△BDC，∴∠AEC＝∠BDC＝30°，∵△DEC為等邊三角形，∴∠DEC＝∠EDC＝60°，∴∠DEP＝∠DEC﹣∠CEP＝60°﹣30°＝30°，∠PDE＝∠BDC+∠EDC＝60°+30°＝90°，∴∠DPQ＝60°，∴∠DQP＝90°，∵PQ＝2，∴DP＝2PQ＝2×2＝4．故答案為：4．20．解：（1）當(dāng)t＝10時，DB＝30，∵BM＝10，∴DM＝20，∵△DMQ是等腰三角形，∠DMQ＝90°，∴DM＝MQ，即20＝10a，∴a＝2；（2）①當(dāng)AC＝AD時，△DCA為等腰三角形，∵AB⊥CD，∴BD＝BC＝3，∴t＝1，②當(dāng)AC＝CD＝5時，△DCA為等腰三角形，∵BC＝3，∴BD＝1，∴t＝，③當(dāng)AD＝CD＝3+3t時，△DCA為等腰三角形，∵∠ABD＝90°，∴AB2+BD2＝AD2，即42+（3t）2＝（3+3t）2，∴t＝，綜上所述：t＝1，，時，△DCA為等腰三角形；（3）當(dāng)△DMQ與△ABC全等，①△DMQ≌△ABC，∴MQ＝BC＝3，DM＝AB＝4，∵BM＝10，∴BD＝6或BD＝14，∴t＝2或t＝，∴a＝，a＝；②△DMQ≌△CBA，∴DM＝BC＝3，MQ＝AB＝4，∴BD＝7或13，∴t＝或，∴a＝或，綜上所述：當(dāng)△DMQ與△ABC全等時，a＝，，，．21．（1）證明：如圖①，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACE+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD；（2）解：如圖②，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠BCD+∠BCE＝90°，∠ACE