8 微專題：平面向量基本定理的應(yīng)用 講義-2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)滬教版（2020）必修第二冊VIP

【學(xué)生版】微專題：平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量基本定理:如果是一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這個平面內(nèi)任意向量，有且只有一對實數(shù)，使.其中，不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．平面向量基本定理的實質(zhì)及解題思路：（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算；（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決；【典例】例1、下面幾種說法中，正確的是（填序號）①一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；②零向量不可以作為基底中的向量；③()可以表示平面內(nèi)的所有向量；④若是平面內(nèi)不共線的兩個向量，則與可作為表示平面內(nèi)所有向量的一組基底；⑤是平面內(nèi)不共線的兩個向量，若，則；⑥同一向量在不同基底下的表示是相同的；⑦若是平面α內(nèi)不共線的兩個向量，則對于平面內(nèi)的任意向量，使成立的實數(shù)對有無窮多個；【提示】；【答案】；【解析】【說明】例2、向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示；若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝________.【說明】本題考查了依據(jù)平面向量基本定理利用已知基底表示平面向量；平面向量基本定理的實質(zhì)及應(yīng)用思路：1、應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．2、用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決；例3、已知在中，點滿足，點在線段(不含端點，)上移動，（1）若，則__________；（2）若，則的取值范圍為__________；（3）若，則的最小值為__________；【說明】本題考查了平面向量的線性運算、平面向量基本定理的應(yīng)用和代數(shù)求值、求最值的交匯；依次為：利用平面向量基本定理找關(guān)系，依據(jù)比例求值；等價為一元二次函數(shù)，在給定區(qū)間上求最值；利用基本不等式的求最值；【歸納】應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用．當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的；應(yīng)用平面向量基本定理的關(guān)鍵點（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量；（2）選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來；（3）強調(diào)幾何性質(zhì)在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等；用平面向量基本定理解決問題的一般思路（1）先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進行向量的運算；（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用線段中點的向量表達式；【即時練習(xí)】1、在下列向量組中，可以把向量＝(3，2)表示出來的是（）A．＝(0，0)，＝(1，2)B．＝(－1,，2)，＝(5，－2)C．＝(3，5)，＝(6，10)D．＝(2，－3)，＝(－2，3)2、在△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝3eq\o(EA,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝，eq\o(AC,\s\up6(→))＝，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,3)＋eq\f(5,12)B．eq\f(1,3)－eq\f(13,12)C．－eq\f(1,3)－eq\f(5,12) D．－eq\f(1,3)＋eq\f(13,12)3、如圖所示，在中，點D是邊上任意一點，M是線段的中點，若存在實數(shù)和，使得，則4、已知，若點滿足，且，則________．5、如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D；設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝，eq\o(AC,\s\up6(→))＝，則向量eq\o(AD,\s\up6(→))＝6、如圖，已知在△OCB中，A是CB的中點，D是將eq\o(OB,\s\up6(→))分成2∶1的一個內(nèi)分點，DC和OA交于點E，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝；（1）用和表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))；（2）若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求實數(shù)λ的值．【學(xué)生版】微專題：平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量基本定理:如果是一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這個平面內(nèi)任意向量，有且只有一對實數(shù)，使.其中，不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．平面向量基本定理的實質(zhì)及解題思路：（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算；（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決；【典例】例1、下面幾種說法中，正確的是（填序號）①一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；②零向量不可以作為基底中的向量；③()可以表示平面內(nèi)的所有向量；④若是平面內(nèi)不共線的兩個向量，則與可作為表示平面內(nèi)所有向量的一組基底；⑤是平面內(nèi)不共線的兩個向量，若，則；⑥同一向量在不同基底下的表示是相同的；⑦若是平面α內(nèi)不共線的兩個向量，則對于平面內(nèi)的任意向量，使成立的實數(shù)對有無窮多個；【提示】注意：理解平面向量基本定理；【答案】②⑤；【解析】①錯誤：只要是不共線的一對向量就可以作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底，基底的選取并不是唯一的；②正確：零向量和任何向量都共線，與基底的定義不符；③錯誤：根據(jù)平面向量基本定理可知，必須是不共線向量；④錯誤：因為，所以向量與是共線向量，不能作為表示平面α內(nèi)所有向量的一組基底；⑤正確：因為為一組不共線向量，若，即，只有當(dāng)時，才能成立；⑥錯誤：基底不同，向量的表示也不同，當(dāng)基底確定后，向量的表示才是唯一的；⑦錯誤：根據(jù)平面向量基本定理可知，實數(shù)對應(yīng)該只有唯一一對．【說明】本題考查了平面向量基本定理在基底的判斷方面的應(yīng)用；注意：理解基底的“唯一”與“不唯一”；“不唯一”：只要同一平面內(nèi)兩個向量不共線，就可以作為表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，對基底的選取不唯一；“唯一”：平面內(nèi)任意向量都可被這個平面內(nèi)的一組基底線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的．例2、向量，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示；若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝________.【提示】注意：由題意確定基向量；【答案】4；【解析】設(shè)，分別為水平方向和豎直方向上的正向單位向量，則＝－＋，＝6＋2，＝－－3，所以－－3＝λ(－＋)＋μ(6＋2)，根據(jù)平面向量基本定理，得λ＝－2，μ＝－eq\f(1,2)，所以eq\f(λ,μ)＝4【說明】本題考查了依據(jù)平面向量基本定理利用已知基底表示平面向量；平面向量基本定理的實質(zhì)及應(yīng)用思路：1、應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．2、用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決；【例2】在中，點滿足，當(dāng)點在射線（不含點）上移動時，若，則的取值范圍為__________．例3、已知在中，點滿足，點在線段(不含端點，)上移動，（1）若，則__________；（2）若，則的取值范圍為__________；（3）若，則的最小值為__________；【提示】注意：用平面向量基本定理正確表示，然后，利用代數(shù)求值、最值；【答案】（1）3；（2）；（3）；【解析】（1）如圖，由題意得存在實數(shù)，使得，又，所以，又因為，，且不共線，故由平面向量的分解的唯一性得，所以，故答案為：3；（2）因為點在線段(不含端點，)上移動，設(shè)，又，所以，所以，，故的取值范圍；（3）由，得，即，因為點在線段(不含端點，)上移動，所以，又因為，所以，，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）；故填；【說明】本題考查了平面向量的線性運算、平面向量基本定理的應(yīng)用和代數(shù)求值、求最值的交匯；依次為：利用平面向量基本定理找關(guān)系，依據(jù)比例求值；等價為一元二次函數(shù)，在給定區(qū)間上求最值；利用基本不等式的求最值；【歸納】應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用．當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的；應(yīng)用平面向量基本定理的關(guān)鍵點（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量；（2）選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來；（3）強調(diào)幾何性質(zhì)在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等；用平面向量基本定理解決問題的一般思路（1）先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進行向量的運算；（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用線段中點的向量表達式；【即時練習(xí)】1、在下列向量組中，可以把向量＝(3，2)表示出來的是（）A．＝(0，0)，＝(1，2)B．＝(－1,，2)，＝(5，－2)C．＝(3，5)，＝(6，10)D．＝(2，－3)，＝(－2，3)【答案】B；【解析】設(shè)＝k1＋k2，A項，∵(3,2)＝(k2,2k2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝3，,2k2＝2，))無解；B項，∵(3,2)＝(－k1＋5k2,2k1－2k2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－k1＋5k2＝3，,2k1－2k2＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝2，,k2＝1.))故B中的，可把表示出來．同理，C，D項同A項，無解．2、在△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝3eq\o(EA,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝，eq\o(AC,\s\up6(→))＝，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,3)＋eq\f(5,12)B．eq\f(1,3)－eq\f(13,12)C．－eq\f(1,3)－eq\f(5,12) D．－eq\f(1,3)＋eq\f(13,12)【答案】C；3、如圖所示，在中，點D是邊上任意一點，M是線段的中點，若存在實數(shù)和，使得，則【提示】由題意結(jié)合中點的性質(zhì)和平面向量基本定理首先表示出向量，，然后結(jié)合平面向量的運算法則即可求得最終結(jié)果；【答案】【解析】如圖所示，因為點D在線段上，所以存在，使得，因為M是線段的中點，所以：，又，所以，，所以.4、已知，若點滿足，且，則________．【答案】【解析】由，可得，所以，，即，所以，，故．5、如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D；設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝，eq\o(AC,\s\up6(→))＝，則向量eq\o(AD,\s\up6(→))＝【答案】；【解析】連接BD，DC(圖略)，設(shè)圓的半徑為r，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，所以∠BAC＝eq\f(π,3)，∠ACB＝eq\f(π,6)，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝eq\f(π,6).根據(jù)圓的性質(zhì)得BD＝CD＝AB，又因為在Rt△ABC中，AB＝eq\f(1,2)AC＝r＝OD，所以四邊形ABDO為菱形，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝；6、如圖，已知在△OCB中，A是CB的中點，D是將eq\o(OB,\s\up6(→))分成2∶1的一個內(nèi)分點，DC和OA交于點E，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝；（1）用和表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))；（2）若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求實數(shù)λ的值．【解析】（1）由題意知，A是BC的中點，且eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，由平行四邊形法則，得eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝2－，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝(2