2021高考數(shù)學（文）真題名師評析（全國甲卷帶解析）

2021高考數(shù)學（文）真題名師點評（全國甲卷帶解析）本資料分試卷使用地區(qū)、試卷總評、考點分布細目表、試題深度解讀四個模塊,其中試題深度解讀模塊又分為【命題意圖】【答案】【解析】【點評】【知識鏈接】等欄目,其中【解析】中盡可能提供多種解法供參考.本資料部分內(nèi)容來源于網(wǎng)絡試卷使用地區(qū)2021年全國甲卷即原來的全國=3\*ROMANIII卷,使用地區(qū)為四川、云南、貴州、廣西、西藏二、試卷總評2021年高考數(shù)學全國甲卷文科命題,落實高考內(nèi)容改革總體要求,貫徹德智體美勞全面發(fā)展教育方針,聚焦核心素養(yǎng),突出關鍵能力考查,體現(xiàn)了高考數(shù)學的科學選拔功能和育人導向.《深化新時代教育評價改革總體方案》提出,構建引導考生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系,改變相對固化的試題形式.2021年高考數(shù)學全國甲卷文科命題積極貫徹《總體方案》要求,加大開放題的創(chuàng)新力度,利用開放題考查考生數(shù)學學科核心素養(yǎng)和關鍵能力,發(fā)揮數(shù)學科的選拔功能.如第21題給出已知條件,要求考生根據(jù)條件推測結論,并進行證明,充分考查考生對數(shù)學本質(zhì)的理解,引導中學數(shù)學在數(shù)學概念與數(shù)學方法的教學中,重視培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng).該套試題突出數(shù)學本質(zhì),重視理性思維,堅持素養(yǎng)導向、能力為重的命題原則；倡導理論聯(lián)系實際、學以致用,關注我國社會主義建設和科學技術發(fā)展的重要成果,通過設計真實問題情境,體現(xiàn)數(shù)學的應用價值.如第2題以我國在脫貧攻堅工作取得全面勝利和農(nóng)村振興為背景,通過圖表給出某地農(nóng)戶家庭收入情況的抽樣調(diào)查結果,以此設計問題,考查考生分析問題和數(shù)據(jù)處理的能力.身心健康是素質(zhì)教育的核心內(nèi)容,在高考評價體系的核心價值指標體系中,包含有健康情感的指標,要求考生具有健康意識,注重增強體質(zhì),健全人格,鍛煉意志.本套試卷對此也有所體現(xiàn),如第6題以社會普遍關注的青少年視力問題為背景,重點考查考生的數(shù)學理解能力和運算求解能力.此外,該套試卷還具有入手容易的特點,如前9道題都為常規(guī)試題,且運算量都比較少,這樣的設置充分考慮的文理的不同,能迅速穩(wěn)定考生生情緒,讓考生考出真實水平,此外保證文科試卷更容易的前提條件下,為與新教材文理同卷接軌,今年的文理相同題目及姊妹題也有所增加.總之,2021年高考數(shù)學全國甲卷文科很好地落實了立德樹人、服務選才、引導教學的高考核心功能,同時突出數(shù)學學科特色,試題有坡度,發(fā)揮了高考數(shù)學科的選拔功能,對深化中學數(shù)學教學改革發(fā)揮了積極的導向作用.三、考點分布細目表題號命題點模塊（題目數(shù)）1集合的交集集合（共1題）2頻率分布直方圖概率與統(tǒng)計（共3題）3復數(shù)的概念與運算復數(shù)（共1題）4函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)（共4題）5雙曲線解析幾何（共3題）6指數(shù)與對數(shù)的應用函數(shù)（共4題）7三視圖立體幾何（共3題）8解三角形三角函數(shù)與解三角形（共3題）9等比數(shù)列數(shù)列（共2題）10古典概型概率與統(tǒng)計（共3題）11三角變換三角函數(shù)與解三角形（共3題）12函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)（共4題）13平面向量的數(shù)量積平面向量（共1題）14圓錐的側面積立體幾何（共3題）15三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)與解三角形（共3題）16橢圓解析幾何（共3題）17獨立性檢驗概率與統(tǒng)計（共3題）18等差數(shù)列數(shù)列（共2題）19線線垂直的證明及體積的計算立體幾何（共3題）20函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)圖象交點個數(shù)1.函數(shù)（共4題）2.導數(shù)（共1題）21圓與拋物線解析幾何（共3題）22極坐標與參數(shù)方程選修4-423絕對值函數(shù)的圖象及恒成立問題選項4-5四、試題深度解讀1.設集合,則（）A. B. C. D.【命題意圖】本題考查集合的交集運算,考查數(shù)學運算與數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).難度：容易.【答案】B【解析】因為,所以,故選B.【點評】集合是高考每年必考知識點,一般以容易題面目呈現(xiàn),位于選擇題的前3題的位置上,考查熱點一是集合的并集、交集、補集運算,二是集合之間的關系,這種考查方式多年來保持穩(wěn)定.本題所給兩個集合均為不等式的解集,但無需化簡,足見命題者有意降低試題難度,突出對交集概念的考查,該題難度與往年老教材全國卷=3\*ROMANIII的文科集合試題難度相當.【知識鏈接】1.求解集合的運算問題的三個步驟：(1)看元素構成,集合是由元素組成的,從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的關鍵,即辨清是數(shù)集、點集還是圖形集等,如{x|y＝f(x)},{y|y＝f(x)},{(x,y)|y＝f(x)}三者是不同的．；(2)對集合化簡,有些集合是可以化簡的,先化簡再研究其關系并進行運算,可使問題簡單明了、易于解決；(3)應用數(shù)形結合進行交、并、補等運算,常用的數(shù)形結合形式有數(shù)軸、坐標系和韋恩圖(Venn).2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況,對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查,將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖,下面結論中不正確的是（）A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶,其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間【命題意圖】本題考查頻率分布直方圖及樣本的數(shù)字特征,考查數(shù)據(jù)分析與直觀想象的核心素養(yǎng).難度：容易.【答案】C【解析】因為頻率直方圖中的組距為1,所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應比率的估計值.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元農(nóng)戶的比率估計值為,故A正確；該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計值為,故B正確；該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為,故D正確；該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計值為(萬元),超過6.5萬元,故C錯誤.綜上,給出結論中不正確的是C.故選C.【點評】統(tǒng)計圖表是高考考查的熱點,但考查方式不限于課本涉及的統(tǒng)計分布直方圖及莖葉圖,生產(chǎn)與生活中常用的折線圖、柱形圖、扇形圖、雷達圖在高考中多次考查.【知識鏈接】1.解決頻率分布直方圖問題時要抓住3個要點(1)直方圖中各小長方形的面積之和為1.(2)直方圖中縱軸表示eq\f(頻率,組距),故每組樣本的頻率為組距×eq\f(頻率,組距),即矩形的面積．(3)直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總體數(shù)．2.用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法(1)眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點橫坐標；(2)中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標；(3)平均數(shù)等于每個小矩形面積與小矩形底邊中點橫坐標之積的和.3.已知,則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解法一：因為,所以.故選B.解法二：因為,所以.故選B.解法三：因為,設,由可得,所以,即,所以,故選B.【點評】復數(shù)是高考每年必考知識點,一般以容易題面目呈現(xiàn),位于選擇題的前3題的位置上,考查熱點一是復數(shù)的概念與復數(shù)的幾何意義,如復數(shù)的模、共軛復數(shù)、純虛數(shù)、復數(shù)的幾何意義等,二是復數(shù)的加減乘除運算.【知識鏈接】解復數(shù)運算問題的常見類型及解題策略(1)復數(shù)的乘法．復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算,可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項,不含i的看作另一類同類項,分別合并即可．(2)復數(shù)的除法．除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù),解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.(3)復數(shù)的運算與復數(shù)概念的綜合題．先利用復數(shù)的運算法則化簡,一般化為a＋bi(a,b∈R)的形式,再結合相關定義解答．(4)復數(shù)的運算與復數(shù)幾何意義的綜合題．先利用復數(shù)的運算法則化簡,一般化為a＋bi(a,b∈R)的形式,再結合復數(shù)的幾何意義解答．4.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）A. B. C. D.【命題意圖】本題考查函數(shù)的單調(diào)性,考查數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).難度：容易【答案】D【解析】對于A,為上的減函數(shù),不滿足題意；對于B,為上的減函數(shù),不滿足題意；對于C,在為減函數(shù),不滿足題意；對于D,為上的增函數(shù),滿足題意,故選D.【點評】本題選擇基本的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù),判斷其單調(diào)性,既突出了對重點知識的考查,又照顧了試題的難度.【知識鏈接】1.一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．2.單調(diào)區(qū)間是定義域的子集,故求單調(diào)區(qū)間時應樹立“定義域優(yōu)先”的原則單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示,如有多個單調(diào)區(qū)間應分開寫,不能用并集符號“∪”連接,也不能用“或”連接.3.若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相同,則它們的復合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相反,則它們的復合函數(shù)為減函數(shù)．函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性的關系是“同增異減5.點到雙曲線的一條漸近線的距離為（）A. B. C. D.【命題意圖】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)及點到直線距離公式,考查數(shù)學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：容易.【答案】A【解析】解法一：由題意可知,雙曲線的漸近線方程為：,即,結合對稱性,不妨考慮點到直線距離：.故選A.【點評】雙曲線的幾何性質(zhì)是高考考查熱點,一般為容易題,若與圓等其他曲線結合在一起考查,常作為客觀題的壓軸題【知識鏈接】1.兩種距離(1)點P0(x0,y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(2)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).2.研究雙曲線的幾何性質(zhì)常與焦點分不開,雙曲線的性質(zhì)重點是漸近線方程和離心率,在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0,b>0)中,離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±eq\f(b,a)滿足關系式e2＝1＋k2.6.青少年視力是社會普遍關注的問題,視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【命題意圖】本題考查對數(shù)式與指數(shù)式的互化,考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).難度：容易.【答案】C【解析】由,當時,,則.故選C.【點評】本題以社會普遍關注的青少年視力問題為背景,重點考查考生的數(shù)學理解能力和近似求解能力.身心健康是素質(zhì)教育的核心內(nèi)容,在高考評價體系的核心價值指標體系中,包含有健康情感的指標,要求考生具有健康意識,注重增強體質(zhì),健全人格,鍛煉意志.【知識鏈接】若,則.7.在一個正方體中,過頂點A的三條棱的中點分別為E,F,G．該正方體截去三棱錐后,所得多面體的三視圖中,正視圖如圖所示,則相應的側視圖是（）A. B. C. D.【命題意圖】本題考查三視圖的識別,考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：容易【答案】D【解析】由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖,如圖所示,所以其側視圖為,故選D.【點評】有關三視圖的試題,往年大多與幾何體的體積、表面積交匯考查,今年考查三視圖的識別,不需要計算,難度也有所降低,屬于送分題.【知識鏈接】三視圖問題的常見類型及解題策略(1)由幾何體的直觀圖求三視圖．注意正視圖、側視圖和俯視圖的觀察方向,注意看到的部分用實線表示,不能看到的部分用虛線表示．(2)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖．先根據(jù)已知的一部分三視圖,還原、推測直觀圖的可能形式,然后再找其剩下部分三視圖的可能形式．當然作為選擇題,也可將選項逐項代入,再看看給出的部分三視圖是否符合．(3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀．要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖,明確三視圖的形成原理,結合空間想象將三視圖還原為實物圖．8.在中,已知,,,則（）A.1 B. C. D.3【命題意圖】本題考查解三角形,考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).難度：容易【答案】D【解析】解法一：設,可得：,即：,解得：或（舍去）,所以.故選D.解法二：由正弦定理得,即,解得,由題意可知C為銳角,所以=,所以=,再由正弦定理可得,所以BC=3.【點評】給出三角形的兩邊與一邊所對的角求第三邊,可以用余弦定理整理出關于第三邊的一元二次方程（解法一）,也可以先用正弦定理求出其中一個角,再利用正弦定理或余弦定理求第三邊（解法二）.【知識鏈接】已知三角形的三條邊求三個角,可用正弦定理,已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊可用正弦定理；已知三角形的兩邊與其中一邊的對角,解三角形,可用正弦定理也可用余弦定理,但要注意三角形具有不唯一性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷．9.記為等比數(shù)列的前n項和.若,,則（）A.7 B.8 C.9 D.10【命題意圖】本題考查等比數(shù)列基本量的計算,考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).【答案】A【解析】解法一：由題意可知等比數(shù)列的公比,所以,解得,,所以,故選A.解法二：由等比數(shù)列的通項公式可得,所以,解得,所以,故選A.解法三：∵為等比數(shù)列的前n項和,∴,,成等比數(shù)列∴,∴,∴.故選A.【點評】高考全國卷中,若解答題沒有數(shù)列題,客觀題中一般有2道數(shù)列題,數(shù)列客觀題一般具有小巧活的特點,恰當使用數(shù)列的有關性質(zhì)可提高解題速度.【知識鏈接】1.在等比數(shù)列五個基本量a1,q,n,an,Sn中,已知其中三個量,可以將已知條件結合等比數(shù)列的性質(zhì)或通項公式、前n項和公式轉化為關于基本量的方程(組)來求得余下的兩個量,計算有時要整體代換,根據(jù)前n項和公式列方程還要注意對q是否為1進行討論．2.設等比數(shù)列的公比為q,前n項和為,則3.設等比數(shù)列前n項和為,若的各項均不為零,則該數(shù)列為等比數(shù)列.10.將3個1和2個0隨機排成一行,則2個0不相鄰的概率為（）A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8【命題意圖】本題考查古典概型.考查邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等偏易【答案】C【解析】將3個1和2個0隨機排成一行,可以是：,共10種排法,其中2個0不相鄰的排列方法為：,共6種方法,故2個0不相鄰的概率為,故選C.【點評】概率與統(tǒng)計是高考重點,在高考試卷中既有客觀題又有解答題,由于該模塊涉及知識點比較多,高考命題沒有固定的熱點,一般情況下,統(tǒng)計與概率、隨機變量的分布列都會涉及,客觀題至少會有2道.求解本題的關鍵是正確計數(shù),注意4個1和2個0分別為相同元素,不要誤用排列計數(shù).【知識鏈接】古典概型的概率的關鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù),這就需要正確列出基本事件,基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹狀圖法,具體應用時可根據(jù)需要靈活選擇,注意用列舉法時要按照一定的標準進行列舉,防止重復與遺漏．11.若,則（）A. B. C. D.【命題意圖】本題同角三角函數(shù)基本關系式及二倍角公式的應用,考查數(shù)學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中點【答案】A【解析】由可得,,,,解得,,.故選A.【點評】三角函數(shù)與解三角形是高考中的重點,若解答題中沒有解三角形,則客觀題中一般有3道三角函數(shù)與解三角形試題,這3道題分別考查三角變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及解三角形.【知識鏈接】1.利用sin2α＋cos2α＝1可實現(xiàn)正弦、余弦的互化,開方時要根據(jù)角α所在象限確定符號；利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化．2.解決三角函數(shù)的求值問題的關鍵是把“所求角”用“已知角”表示．①當“已知角”有兩個時,“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；②當“已知角”有一個時,此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差、倍的關系．12.設是定義域為R的奇函數(shù),且.若,則（）A. B. C. D.【命題意圖】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性,考查數(shù)學抽象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).難度：中等.【答案】C【解析】解法一：由題意可得,而,.故選C.解法二：因為是奇函數(shù),所以,,所以,故選C.【點評】函數(shù)的奇偶性是高考考查的熱點,若單獨考查,一般為基礎題,若與函數(shù)的單調(diào)性、周期性交匯考查,常作為客觀題的壓軸題.【知識鏈接】函數(shù)對稱性與函數(shù)周期性的關系(1)若函數(shù)的圖象既關于直線對稱,又關于直線對稱,則是周期函數(shù),且是它的一個周期.(2)若函數(shù)的圖象既關于點對稱,又關于點對稱,則是周期函數(shù),且是它的一個周期.(3)若函數(shù)的圖象既關于直線對稱,又關于點對稱,則是周期函數(shù),且是它的一個周期.13.若向量滿足,則_________.【命題意圖】本題考查平面向量數(shù)量積的應用,考查數(shù)學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：容易【答案】【解析】解法一：∵,∴∴.解法二：.【點評】平面向量是高考數(shù)學必考知識點,一般以客觀題形式考查,熱點是平面向量的線性運算及平面向量的數(shù)量積,可以是容易題,也可以是中等難度題,中等難度題常用平面幾何、不等式等知識交匯考查.本題屬于常規(guī)題型,難度與課本練習題難度相當,且學生訓練比較多,所以此題屬于得分題.【知識鏈接】平面向量數(shù)量積求解問題的策略=1\*GB3①求兩向量的夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|),要注意θ∈[0,π]．=2\*GB3②兩向量垂直的應用：兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.=3\*GB3③求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a);|a±b|＝eq\r(a2±2a·b＋b2);若a＝(x,y),則|a|＝eq\r(x2＋y2).14.已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為,則該圓錐的側面積為________.【命題意圖】本題考查圓錐側面積的計算,考查直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).難度：容易【答案】【解析】∵,∴,∴,∴.【點評】有關空間幾何體的表面積的計算通常是將空間圖形問題轉化為平面圖形問題,這是解決立體幾何問題常用的基本方法．【知識鏈接】1.計算棱柱、棱錐、棱臺等多面體的表面積,可以分別求各面面積,再求和,對于直棱柱、正棱錐、正棱臺也可直接利用公式；圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面,計算其側面積時需將曲面展為平面圖形計算,而表面積是側面積與底面圓的面積之和；組合體的表面積應注意重合部分的處理．2.計算柱、錐、臺體的體積,關鍵是根據(jù)條件找出相應的底面面積和高,應注意充分利用多面體的截面,特別是軸截面,將空間問題轉化為平面問題求解．注意求體積的一些特殊方法：分割法、補體法、還臺為錐法、等積變換法(如求三棱錐的體積可靈活變換頂點與底面)等,它們是計算一些不規(guī)則幾何體體積常用的方法,應熟練掌握．利用三棱錐的“等體積性”可以解決一些點到平面的距離問題,即將點到平面的距離視為一個三棱錐的高,通過將其頂點和底面進行轉化,借助體積的不變性解決問題．15.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示,則_______________.【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).難度：中等偏易【答案】【解析】由題意可得：,當時,,令可得：,據(jù)此有.【點評】本題易錯之處是根據(jù)錯誤認為,得出的錯誤結論,提醒考生注意：根據(jù)零點確定的值要注意區(qū)分該零點是在遞增區(qū)間內(nèi)還是遞減區(qū)間內(nèi).【知識鏈接】根據(jù)y＝Asin(ωx＋φ),x∈R的圖象求解析式的步驟：(1)首先確定振幅和周期,從而得到A與ω.(Ⅰ)A為離開平衡位置的最大距離,即最大值與最小值的差的一半．(Ⅱ)ω由周期得到：①函數(shù)圖象在其對稱軸處取得最大值或最小值,且相鄰的兩條對稱軸之間的距離為函數(shù)的半個周期；②函數(shù)圖象與x軸的交點是其對稱中心,相鄰兩個對稱中心間的距離也是函數(shù)的半個周期；③一條對稱軸與其相鄰的一個對稱中心間的距離為函數(shù)的eq\f(1,4)個周期(借助圖象很好理解記憶)．(2)求φ的值時最好選用最值點求．峰點：ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ；谷點：ωx＋φ＝－eq\f(π,2)＋2kπ.也可用零點求,但要區(qū)分該零點是升零點,還是降零點．升零點(圖象上升時與x軸的交點)：ωx＋φ＝2kπ；降零點(圖象下降時與x軸的交點)：ωx＋φ＝π＋2kπ(以上k∈Z)．16.已知為橢圓C：的兩個焦點,P,Q為C上關于坐標原點對稱的兩點,且,則四邊形的面積為________．【命題意圖】本題考查橢圓的定義及幾何性質(zhì),考查數(shù)學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等偏易.【答案】【解析】因為為上關于坐標原點對稱的兩點,也關于原點對稱,所以四邊形為平行四邊形,又,所以四邊形為矩形,設,則,所以,,即四邊形面積等于.【點評】注意與橢圓焦點弦長或焦半徑有關的計算問題及與焦點有關的距離問題,常利用橢圓的定義求解.本題通過橢圓定義整體代入,直接求mn,避開了復雜的運算.【知識鏈接】橢圓中幾個常用的結論：(1)焦點三角形：橢圓上的點P(x0,y0)與兩焦點構成的△PF1F2叫做焦點三角形．r1＝|PF1|,r2＝|PF2|,∠F1PF2＝θ,△PF1F2的面積為S,則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①當r1＝r2時,即點P的位置為短軸端點時,θ最大；②S＝b2taneq\f(θ,2)＝ceq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y0)),當eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y0))＝b時,即點P的位置為短軸端點時,S取最大值,最大值為bc.(2)焦點弦(過焦點的弦)：焦點弦中以通徑(垂直于長軸的焦點弦)最短,弦長lmin＝eq\f(2b2,a).(3)AB為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中點M(x0,y0),則①弦長l＝eq\r(1＋k2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－x2))＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；②直線AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).17.甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品,為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量,分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品,產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?（2）能否有99%把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【命題意圖】本題考查頻率的計算與獨立性檢驗,考查數(shù)據(jù)分析與數(shù)學建模的核心素養(yǎng).難度：容易【解析】（1）甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為,乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為.（2）,故能有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.【點評】作為解答題,本題實在太容易了,只相當于課本基礎題的難度,且這種題型平時訓練較多,該題就是送分題.本題文科與理科試題相同,最近兩年的高考試卷在使文科試題更容易的前提下,文理相同試題有所增加.【知識鏈接】獨立性檢驗的一般步驟(1)假設兩個分類變量x與y沒有關系；(2)計算出K2的觀測值,其中；(3)把K2的值與臨界值比較,作出合理的判斷．注意：在列聯(lián)表中注意事件的對應及相關值的確定,不可混淆．18.記為數(shù)列的前n項和,已知,且數(shù)列是等差數(shù)列,證明：是等差數(shù)列.【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的證明,考查邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).【證明】∵數(shù)列等差數(shù)列,設公差為∴,∴,∴當時,當時,,滿足,∴的通項公式為,∴∴是等差數(shù)列.【點評】本題與理科18題是姊妹題,只是比理科試題更容易.注意在利用求通項公式時一定要分與兩種情況討論.【知識鏈接】等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．(2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．(3)通項公式：an＝pn＋q(p,q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．(4)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn(A,B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．注意證明是等差數(shù)列,只能用（1）（2）.19.已知直三棱柱中,側面為正方形,,E,F分別為和的中點,.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點,證明：.【命題意圖】本題考查幾何體體積的計算及線面位置關系的證明,考查直觀想象及邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等.【解析】(1)解法一：如圖所示,連結AF,由題意可得：,由于AB⊥BB1,BC⊥AB,,故平面,而平面,故,從而有,從而,則,為等腰直角三角形,,.解法二：因為AB⊥BB1,BC⊥AB,,所以平面,所以=.(2)解法一：由(1)結論可將幾何體補形為一個棱長為2的正方體,如圖所示,取棱的中點,連結,正方形中,為中點,則,又,故平面,而平面,從而.解法二：（1）取BC中點G,連接EG,則EG∥,共面,且,所以,連接,由四邊形為正方形,可得,因為,所以平面,因為平面,所以.因為三棱柱是直三棱柱,所以底面,所以因為,,所以,【點評】立體幾何解答題是高考全國卷必考題,難度中等,一般分2問,通常1問考查平行或垂直的證明,1問考查求幾何體的表面積、體積或距離問題,對于線面位置關系的證明,步驟不規(guī)范是失分的主要原因,對于求幾何體的表面積、體積或距離問題,運算錯誤是失分的主要原因.【知識鏈接】1.證明線面垂直的常用方法及關鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b,a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α,α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關鍵是證線線垂直,而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此,判定定理與性質(zhì)定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思想．2．證明面面垂直的常用方法及關鍵(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β,a?α?α⊥β)．(2)在已知平面垂直時,一般要用性質(zhì)定理進行轉化．在一個平面內(nèi)作交線的垂線,轉化為線面垂直,然后進一步轉化為線線垂直．3.證明線面位置關系應注意的問題(1)線面平行、垂直關系的證明問題的指導思想是線線、線面、面面關系的相互轉化,交替使用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理；(2)線線關系是線面關系、面面關系的基礎．證明過程中要注意利用平面幾何中的結論,如證明平行時常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時常用的等腰三角形的中線等；(3)證明過程一定要嚴謹,使用定理時要對照條件、步驟書寫要規(guī)范．20.設函數(shù),其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒有公共點,求a的取值范圍.【命題意圖】本題考查函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)圖象交點問題.考查邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).【解析】（1）函數(shù)的定義域為,又,因為,故,當時,；當時,；所以的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為.（2）由（1）得在上遞減,在上遞增,所以,因為的圖象與軸沒有公共點,,所以即.所以a的取值范圍是.【點評】注意第2問的求解要規(guī)范,的圖象與軸沒有公共點,有兩種可能,一是恒成立,二是恒成立,由排除恒成立這種可能,所以恒成立,這一點必須交代清楚.【知識鏈接】含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性,要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論．(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,一般要分類討論,常見的分類討論標準有以下幾種可能：①方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根,求出根后判斷其是否在定義域內(nèi)；③若根在定義域內(nèi)且有兩個,比較根的大小是常見的分類方法．(3)個別導數(shù)為0的點不影響所在區(qū)間的單調(diào)性,如f(x)＝x3,f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0時取到),f(x)在R上是增函數(shù)．22.拋物線C的頂點為坐標原點O．焦點在x軸上,直線l：交C于P,Q兩點,且．已知點,且與l相切．（1）求C,的方程；（2）設是C上的三個點,直線,均與相切．判斷直線與的位置關系,并說明理由．【命題意圖】本題考查圓與拋物線的方程及直線與圓、拋物線的位置關系,考查邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng).難度：中等偏難.【解析】（1）依題意設拋物線,,所以拋物線的方程為,與相切,所以半徑為