二維連續(xù)型隨機(jī)向量聯(lián)合分布密度及邊緣分布_第1頁
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文檔簡介

二維連續(xù)型隨機(jī)向量聯(lián)合分布密度及邊緣分布對于二維隨機(jī)向量，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即有

則稱為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。

分布密度具有下面兩個性質(zhì)：

一般來說，當(dāng)（X，Y）為邊疆型隨機(jī)向量，并且其聯(lián)合分布密度為，則X和Y的邊緣分布密度為

例2設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布密度為考研教育網(wǎng)

試求：（1）常數(shù)C；（2）P{0＜X＜1，0＜Y＜2｝；（3）X與Y的邊緣分布密度

解（1）由的性質(zhì)，有

即C=12

（3）先求X的邊緣分布：

①當(dāng)x＜0時，，于是

②當(dāng)x≥0時，只有y≥0時，，于是

因此

同理

下面介紹兩種常見的連續(xù)型隨機(jī)向量的分布：

（1）均勻分布

設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為

其中為區(qū)域D的面積，則稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）～U（D）。

在以后的討論中，我們經(jīng)常遇到的區(qū)域D有下面八種情況：

問題：試求出上面八種情況下二維均勻分布的邊緣分布，以為例，其步驟如下：

（?。┫扔寐?lián)立不等式表示區(qū)域：

（ⅱ）寫出聯(lián)合分布密度函數(shù)：由均勻分布的定義，

考慮到，因此考研教育網(wǎng)

（ⅲ）分別求出X與Y的邊緣分布，這里分兩種情況來討論X的邊緣分布：

①當(dāng)x＜0或x＞1時，，于是

②當(dāng)0≤x≤1時，只有0≤y≤x時，,于是

同理，可求出Y的邊緣分布

例3設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，其中

考研教育網(wǎng)

求X的邊緣密度

解區(qū)域D實際上是以（-1，0），（0，1），（1，0），（0，-1）為頂點的正方形區(qū)域（見圖3.9），其邊長為，面積，因此（X，Y）的聯(lián)合密度是

即

（2）正態(tài)分布

設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為

其中是5個參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為

由

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