上海交通大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》2008-2009學(xué)年期末試卷

J-1上海交通大學(xué)2008級《高等數(shù)學(xué)》第二學(xué)期期末考試解答（180A卷一單項選擇題（每小題3分共15分1.設(shè)u(x,y)=(x+y)2+x?y+∫ψ(t)dt其中ψ(t)具有一階導(dǎo)數(shù)則（（A=（B=?（C=（D=.解ux=2(x+y)+1+ψ(x+y)?ψ(x?y)uxx=2+ψ′(x+y)?ψ′(x?y)uy=2(x+y)?1+ψ(x+y)+ψ(x?y)uyy=2+ψ′(x+y)?ψ′(x?y)，答案A2.函數(shù)z=xy(3?x?y)的極值點是（）（A(0,0)（B(1,1)（C(3,0)（D(0,3).解1zx=3y?2xy?y2zy=3x?2xy?x2ABCD都是駐點zxx=?2yzxy=3?2x?2yzyy=?2xAC?B2=4xy?(3?2x?2y)2>0僅當(dāng)(1,1)滿足答案：B解2x,y對稱C對D也對單選題故排除CDz=xy(3?x?y)≈3xy(x,y)≈(0,0)z≈3xy可正可負不是極值點答案：B3.設(shè)有空間區(qū)域?1:x2+y2+z2≤R2,z≥0與?2:x2+y2+z2≤R2,x≥0,y≥0,z≥0則（（A）∫∫∫xdV=4∫∫∫xdV；?1?2（B）∫∫∫ydV=4∫∫∫ydV；?1?2J-2（C）∫∫∫zdV=4∫∫∫zdV；?1?2?1?2解答案：C4.一個形如bnsinnx的級數(shù)，其和函數(shù)S(x)在(0,π)上的表達式為(π?x)，則S(x)在x=處的值S()=（）（A；（B?（C；（D?.3π3πππ111解S()=S(?2π)=S(?)=?S3π3πππ1112222224答案B5.若級數(shù)收斂，則a的取值范圍是（）（Aa>0（Ba>（Ca>（Da>1.=(?1)na>0時收斂，，2a>1，即a>時收斂，答案C二填空題（每小題3分共15分6.設(shè)D={(x,y)|x|+|y|≤1}則二重積分∫∫(x+|y|)dxdy=__________Dz)j+(z2?2x)k則rotA=__________.1DD1J-3ijk?x?y?zx2??x?y?zx2?2yy2?2zz2?2x8.曲面z=+在點(1,9,4)處的切平面方程是：________________.1122解n=(?zx,?zy,1)=(?,112211n|(1,9,4)=(?2,?6,1)或(3,1,?6)切平面3(x?1)+(y?9)?6(z?4)=0或3x+y?6z+12=09.設(shè)C為球面x2+y2+z2=a2與平面x+y+z=0的交線，則∫x2ds=____C)ds=a2ds=a2?2πa=πa310.級數(shù)的收斂域為___________0,|x|<1解||=→,|x|=1收斂域為[?1,1]三計算下列各題（第1小題6分第2小題8分,共14分）11.設(shè)z=z(x,y)由方程F(2x?3z,2y?z)=0所確定其中F是可微函數(shù)求dz.zydy123F12J-42y2x2y2x1xx422x解I=∫dy∫2eydx22四計算下列各題（每小題10分共30分）13.設(shè)曲面∑為柱面x2+z2=1介于平面y=0和x+y=2之間部分，求∫∫zdS.∑分析：求柱面x2+z2=1部分的面積式I=∫∫zdxdyxyxy.用公式I=∫∫zdydzyzyz用S:z=±求導(dǎo)，√用S:x=±1?z2求導(dǎo)3.不能用公式I=∫∫zdxdzxzxz解∑1:z=,∑2:z=?∑∑1∑2∑1∑1zz14.計算∫dx+dy其中C為上半圓周y14.計算∫dx+dy其中C為上半圓周y=，方向從(1,0)到(0,0)，r=.Crr解1=??＝=??，J-5解2C:x=1+1cost,y=1sintt:0→π222∫dx+dy=∫dt∫dx+dy=∫dtCr3r320313(+cost?sint)222222215.計算∫∫(?2xy?y)dydz+(y2?1)dzdx+(x2+z)dxdy其中∑為曲面∑z=2?在xoy平面上方部分的上側(cè)。解1Gauss公式取平面域∑1:x2+y2≤4，z=0∫∫=∫+∫∫∑∑+∑1?∑1+∑1+=π+2π?=π+2π?=π3243解2合一投影法：∑在xoy平面上投影區(qū)域Dxy:x2+y2≤4，n=(,,1)n=(,,1) J-6=(?2xy?y,y2?1,x2+z)?(,,1)dxdy=∫∫(++x+2?)dxdy?2x2y=∫∫(++x+2?)dxdyx2+y2≤4x2+y2≤4五（本題8分16.將函數(shù)f(x)=2arctanx+∫et2dt展開為x的冪級數(shù).解1f'(x)=+ex2=2(?1)nx2n+x2nf(x)=∫f'(t)dt=[+2(?1)n]x2n+1（?1≤x≤1=[+2(?1)n]x2n+1（?1≤x≤1六（本題10分17.求數(shù)項級數(shù)(?1)n的和.解(?1)n=n2()n，J-7+(a?b)[f()+f()+L+f()] S+(a?b)[f()+f()+L+f()] =x[x()]′′=?1<x<1七（本題8分18.設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且lim=0,lim=0,f''(x)≥m>0。x→0x（1證明級數(shù)(?1)n?1fx→0x（2設(shè)a，b為任意常數(shù)，試討論級數(shù)：111111 12342n?12naf()?bf()+af111111 12342n?12n的斂散性。解（1）由limf(x)=0得：f(0)=f′(0)=0，再由f''(x)≥m>0得：x→0x當(dāng)x>0時，f(x)>0，f(x)是單調(diào)增函數(shù)，且limf(x)=0，→0故f()單調(diào)減且趨于0，所以(?1)n?1f()收斂。（2當(dāng)a=b時級數(shù)=a(?1)n?1f()收斂。當(dāng)a≠b時，11111111111 111S2n=af()?bf1111111