東第三節(jié)冪級數(shù)

1函數(shù)項級數(shù)的定義定義在區(qū)間I上的一列函數(shù)則由這一列函數(shù)構(gòu)成的表達式稱為定義在區(qū)間I函數(shù)項級數(shù)。（1）一、函數(shù)項級數(shù)§1.3冪級數(shù)12函數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散

對于每一個確定的值函數(shù)項級數(shù)就成為常數(shù)項級數(shù):（1’）如果（1’）收斂，稱點x0是函數(shù)項級數(shù)（1）的收斂點；如果（1’）發(fā)散，則稱點x0是函數(shù)項級數(shù)（1）的發(fā)散點此級數(shù)可能收斂可能發(fā)散2

由所有的收斂點構(gòu)成的集合稱為函數(shù)項級數(shù)的收斂域，由所有的發(fā)散點構(gòu)成的集合稱為函數(shù)項級數(shù)的發(fā)散域

顯然，在收斂域上，函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)，記作稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)，即和函數(shù)的定義域就是級數(shù)的收斂域3函數(shù)項級數(shù)（1）的前n項和稱為它的部分和函數(shù)，且在收斂域上有

稱為函數(shù)項級數(shù)的余項，在收斂域上有4形如的級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中的常數(shù)稱為冪級數(shù)的系數(shù).二、冪級數(shù)及其收斂性1冪級數(shù)定義或5如冪級數(shù)的收斂域是(-1,1)，當時有即當時,收斂；當時,發(fā)散.收斂域發(fā)散域

一個冪級數(shù)的和是定義在它們的收斂域內(nèi)的一個函數(shù)，即和函數(shù)6定理1(阿貝爾Abel定理)(1)如果級數(shù)在處收斂,則它在滿足不等式的一切處絕對收斂；(2)如果級數(shù)在處發(fā)散,則它在滿足不等式的一切處發(fā)散.阿貝爾1802～1829

78推論如果冪級數(shù)不是僅在一點收斂,也不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個完全確定的正數(shù)存在,使得當時,冪級數(shù)絕對收斂；當時,冪級數(shù)發(fā)散；當與時,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散9幾何意義收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域10

正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.從而決定了收斂域為以下四個區(qū)間之一:規(guī)定收斂域(1)冪級數(shù)只在處收斂,收斂域(2)冪級數(shù)對一切都收斂,2收斂半徑收斂域也稱為收斂區(qū)間11冪級數(shù)收斂域舉例(先不證明):1213定理2設(shè)冪級數(shù)的所有系數(shù),若(1)則當時,(2)則當時,(3)則當時,14例1求冪級數(shù)的收斂域。解：因為又當時，級數(shù)為，發(fā)散；當時，級數(shù)為，發(fā)散。所以這個冪級數(shù)的收斂域為

。1516

例5

求冪級數(shù)的收斂域.解級數(shù)缺少奇次冪的項,對級數(shù)用比值判別法17當級數(shù)為,收斂.故原級數(shù)的收斂域為當即時,原級數(shù)收斂.當即時,原級數(shù)發(fā)散.18解令t=x–1,則級數(shù)變?yōu)?9解

求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:該級數(shù)發(fā)散；當時,級數(shù)為該級數(shù)收斂；當時,級數(shù)為故收斂域是練習120故收斂域是級數(shù)只在處收斂.解解21當時,,級數(shù)發(fā)散,當時,,級數(shù)收斂,原級數(shù)的收斂域為

的收斂域為解令,原級數(shù)化為

求冪級數(shù)的收斂域.練習2221.運算(1)

加（減）法(其中設(shè)和的收斂半徑分別為三冪級數(shù)的運算及其性質(zhì)23(2)乘法(其中柯西乘積242.冪級數(shù)的分析運算:冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù).(2)冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間

內(nèi)可積.其積分可通過對冪級數(shù)逐項積分求得.25收斂半徑不變.即26收斂半徑不變.即(3)冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),