專題22 胡不歸模型（解析版）

胡不歸模型一、知識(shí)導(dǎo)航在前面的最值問題中往往都是求某個(gè)線段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我們還可能會(huì)遇上形如“PA+kPB”這樣的式子的最值，此類式子一般可以分為兩類問題：（1）胡不歸問題；（2）阿氏圓．本文簡單介紹“胡不歸”模型．【故事介紹】從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”（“胡”同“何”）而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會(huì)不會(huì)更早些到家？【模型建立】如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。締栴}分析】，記，即求BC+kAC的最小值．【問題解決】構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。灸Ｐ涂偨Y(jié)】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．而這里的PB必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPB的等線段．二、典例精析如圖，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_______．【分析】本題關(guān)鍵在于處理“”，考慮tanA=2，△ABE三邊之比為，，故作DH⊥AB交AB于H點(diǎn)，則．問題轉(zhuǎn)化為CD+DH最小值，故C、D、H共線時(shí)值最小，此時(shí)．【小結(jié)】本題簡單在于題目已經(jīng)將BA線作出來，只需分析角度的三角函數(shù)值，作出垂線DH，即可解決問題，若稍作改變，將圖形改造如下：則需自行構(gòu)造α，如下圖，這一步正是解決“胡不歸”問題關(guān)鍵所在．三、中考真題演練1．（2023·山東·中考真題）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，其對(duì)稱軸為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(3)如圖2，動(dòng)點(diǎn)P在直線上方的拋物線上，過點(diǎn)P作直線的垂線，分別交直線，線段于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)F作軸，垂足為G，求的最大值．【分析】（1）由題易得c的值，再根據(jù)對(duì)稱軸求出b的值，即可解答；（3）求得所在直線的解析式為，設(shè)，設(shè)所在直線的解析式為：，得，令，解得，分別表示出和，再對(duì)進(jìn)行化簡計(jì)算，配方成頂點(diǎn)式即可求解．【詳解】（1）解：拋物線與y軸交于點(diǎn)，∴，∵對(duì)稱軸為，∴，，∴拋物線的解析式為；（3）設(shè)所在直線的解析式為，把B、C坐標(biāo)代入得：，解得，∴，∵，∴，∵，∴直線與x軸所成夾角為，設(shè)，設(shè)所在直線的解析式為：，把點(diǎn)P代入得，∴，令，則，解得，∴∴∵點(diǎn)P在直線上方，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．2．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過，，三點(diǎn)，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(3)將拋物線的圖象向右平移個(gè)單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）．點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在直線下方．已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過點(diǎn)作于點(diǎn)．求為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，則，點(diǎn)在拋物線上，且橫坐標(biāo)為得出，進(jìn)而可得，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：把，，代入得

解得

∴

把代入得∴（3）∵向右平移8個(gè)單位長度得到拋物線當(dāng)，即解得：∴，∵過，，三點(diǎn)∴

在直線下方的拋物線上任取一點(diǎn)，作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)

∵，∴∴是等腰直角三角形∵，∴又∴是等腰直角三角形∴∵點(diǎn)在拋物線上，且橫坐標(biāo)為∴∴

∵∴∴∴

∴∴當(dāng)時(shí)，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求與的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；【分析】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；（2）可求直線的解析式為，設(shè)（），可求，從而可求，即可求解；【詳解】（1）解：由題意得，解得：，拋物線的解析式為．（2）解：設(shè)直線的解析式為，則有，解得：，直線的解析式為；設(shè)（），，解得：，，，，，，，當(dāng)時(shí)，的最大值為，，．故的最大值為，．4．（2023·天津·中考真題）已知拋物線，為常數(shù)，的頂點(diǎn)為，與軸相交于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸相交于點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，過點(diǎn)作，垂足為．(1)若．①求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)①點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；②點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)【分析】（1）①待定系數(shù)法求解析式，然后化為頂點(diǎn)式，即可求得的坐標(biāo)，令，解方程，即可求得的坐標(biāo)；②過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．得出．可得中，．中，．設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)．根據(jù)，解方程即可求解；（2）根據(jù)題意得出拋物線的解析式為．得點(diǎn)，其中．則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線．過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，點(diǎn)．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．根據(jù)已知條件式，建立方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：①由，得拋物線的解析式為．∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，．解得．又點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．②過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．

∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴．可得中，．∴中，．∵拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，其中，∴設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)．得．即點(diǎn)．∴．中，可得．∴．又，得．即．解得(舍)．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）∵點(diǎn)在拋物線上，其中，∴．得．∴拋物線的解析式為．得點(diǎn)，其中．∵，∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線．過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，點(diǎn)．由，得．于是．∴．即．解得(舍)．同(Ⅰ)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．∵，∴．即．解得(舍)．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，角度問題，線段問題，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知拋物線（為常數(shù)，且）與軸從左至右依次交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為．

(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在（1）條件下，設(shè)為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到，再沿線段以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少?【答案】(1)(2)【分析】（1）由點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線的解析式，再由點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入直線的解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式求，從而得到拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)和點(diǎn)分別作軸的平行線和軸的平行線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)求線段、和的長度，得到，結(jié)合速度可知時(shí)間為，然后利用“角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”得，從而得到，進(jìn)而求得此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，或，∴，，將點(diǎn)代入，得：∴，則直線的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，∴，將點(diǎn)代入，得：，∴，∴拋物線的表達(dá)式為：；（2）由題意得：點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

∵，，∴，，，∴，過點(diǎn)和點(diǎn)分別作軸的平行線和軸的平行線，交于點(diǎn)，∴，∴，∴，過點(diǎn)作于點(diǎn)，此時(shí)，∴與直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求拋物線解析式、特殊角的直角三角形三邊關(guān)系，第2問的突破點(diǎn)是利用轉(zhuǎn)化的思想結(jié)合“角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用垂線段最短求得用時(shí)最小時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)．6．（2023·廣西柳州·二模）已知拋物線過點(diǎn)，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為拋物線上位于直線下方的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問：是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)解析式為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)存在，最小值為【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的交點(diǎn)式，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求解即可；（2）作軸，交于點(diǎn)，通過設(shè)和的坐標(biāo)，利用“割補(bǔ)法”表示出，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可；（3）將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并過點(diǎn)作其垂線，垂足為，分別連接，，，構(gòu)造出含角的直角三角形，然后轉(zhuǎn)換為求得最小值，繼而確定當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，滿足取得最小值，此時(shí)利用含角的直角三角形的性質(zhì)分段求解再相加即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意，設(shè)拋物線解析式為，其中，∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，將代入，解得：，∴，∴拋物線的解析式為，∵對(duì)稱軸為直線，∴將代入，得：，∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：∵，，∴直線的解析式為：，∵點(diǎn)在拋物線上，且位于直線下方，∴設(shè)，其中，，如圖所示，作軸，交于點(diǎn)，∴，∴，∵，，，∴，∴，整理可得：，其中，∵，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，將代入，得：，∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（3）解：存在最小值，理由如下：如下圖所示，將直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并過點(diǎn)作其垂線，垂足為，分別連接，，，則，，

∴在中，，∴隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，總有，∴，要使得取得最小值，即要使得取得最小值，如下圖，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，滿足取得最小值，

此時(shí)，，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴存在最小值，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合面積問題，以及利用“胡不歸”模型構(gòu)造三角形求線段和最值問題，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，熟練運(yùn)用函數(shù)思想解決圖形面積問題是解題關(guān)鍵．7．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）拋物線分別交x軸于點(diǎn)，，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)M為線段OC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)線段MN，NC在數(shù)量上有何關(guān)系，請(qǐng)寫出你的理由；(3)在M，N移動(dòng)的過程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，請(qǐng)寫出理由．【答案】(1)(2)，見解析(3)有，最小值為【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）在中，，，根據(jù)，有，即可得，問題得解；（3）先求出，即，即有，則的最小值是的最小值，即點(diǎn)D到AC的垂線段DN的長，問題隨之得解．【詳解】（1）把點(diǎn)，代入拋物線中得：，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2），理由是：如圖1，令，則，即，∵，，∴，，，在中，，，∵，∴，∴，∴，∴；（3）在M，N移動(dòng)的過程中，有最小值是，理由如下：由（2）知：，∴，即，∴，∴的最小值是的最小值，即D、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到AC的垂線段DN的長，如圖2，拋物線解析式為：；∴對(duì)稱軸是：，即，∴，在中，，∴，即，∴在M，N移動(dòng)的過程中，有最小值是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解拋物線解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形以及垂線段最短等知識(shí)．題目難度不大，細(xì)心作答即可．掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x，y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線恰好經(jīng)過這兩點(diǎn)．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)是，將繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E．①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn)，求取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①點(diǎn)E在拋物線上；②P（0，?）【分析】（1）先求出A、B坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出EF=AO=3，CF=CO=6，從而可求E的坐標(biāo)，然后把E的坐標(biāo)代入（1）的函數(shù)解析式中，從而判斷出點(diǎn)E是否在拋物線上；②過點(diǎn)E作EH⊥AB，交y軸于P，垂足為H，，則，得，可知HP＋PE的最小值為EH的長，從而解決問題．【詳解】（1）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=-4，當(dāng)y=0時(shí)，，∴x=-3，∴A（-3，0），B（0，-4），把A、B代入拋物線，得，∴，∴拋物線解析式為．（2）解：①∵A（-3，0），C（0，6），∴AO=3，CO=6，由旋轉(zhuǎn)知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°∴E到x軸的距離為6-3=3，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，3），當(dāng)x=3時(shí)，，∴點(diǎn)E在拋物線上；②過點(diǎn)E作EH⊥AB，交y軸于P，垂足為H，∵A（?3，0），B（0，?4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，∵，∴，∴，∴HP＋PE的最小值為EH的長，作EG⊥y軸于G，∵∠GEP＝∠ABO，∴tan∠GEP＝tan∠ABO，∴，∴，∴，∴OP＝?3＝，∴P（0，?）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)，兩點(diǎn)之間、線段最短等知識(shí)，利用三角函數(shù)將轉(zhuǎn)化為HP的長是解題的關(guān)鍵．9．（2018·江蘇徐州·一模）如圖，拋物線y=-x2+bx+c與直線AB交于A（-4，-4），B（0，4）兩點(diǎn)，直線AC：y=-交y軸與點(diǎn)C，點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)EF∥y軸交AC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．（1）直接寫出拋物線y=-x2+bx+c的解析式為_______；（2）在y軸上存在一點(diǎn)H，連接EH，HF，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)E，H的坐標(biāo)；（3）在（2）的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長為半徑作圓，點(diǎn)M為圓E上一動(dòng)點(diǎn)，求AM+CM的最小值．【答案】（1）；（2）運(yùn)動(dòng)到x軸時(shí)，此時(shí)，；（3）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；（2）先判斷出要以A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，只有為對(duì)角線，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程即可；（3）先取的中點(diǎn)，進(jìn)而判斷出，即可得出，連接交圓于點(diǎn)，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）將點(diǎn)代入拋物線解析式可得：，解得拋物線的解析式為（2）設(shè)直線解析式為將代入得，解得由題意可得：設(shè)，，則∵，，∴為直角三角形，結(jié)合圖形可得，以A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的矩形為矩形，為矩形的對(duì)角線由矩形的性質(zhì)可得，線段的中點(diǎn)重合則，解得，∴，由E點(diǎn)坐標(biāo)可知，E在x軸上（3）取的中點(diǎn)，如下圖：由（2）可知，，，∴∴連接交圓于點(diǎn)，連接∴∴又∵∴∴∴∴，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立設(shè)，化簡得解得或（舍去，在點(diǎn)的左邊）∴∴即的最小值為【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求解析式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，距離公式，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．10．（2021九年級(jí)·全國·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（0，），C（2，0），其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，求PB＋PD的最小值．【答案】（1）y=（x）2，（，）；（2）（，）或（，）或（，）或（，）或（，）；（3）【詳解】思路引領(lǐng)：（1）將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝ax2+bx+c，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而得到其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，分三種情況：①以A為圓心AB為半徑畫弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)AM＝AB；②以B為圓心AB為半徑畫弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)BM＝AB；③線段AB的垂直平分線與對(duì)稱軸有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)AM＝BM，分別列出方程，求解即可；（3）連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此時(shí)PB+PD最小．最小值就是線段DH，求出DH即可．答案詳解：（1）由題意，解得，∴拋物線解析式為yx2x，∵yx2x（x）2，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（，）；（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，y）．∵A（﹣1，0），B（0，），∴AB2＝1+3＝4．①以A為圓心AB為半徑畫弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)AM＝AB，則（1）2+y2＝4，解得y＝±，即此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，）；②以B為圓心AB為半徑畫弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)BM＝AB，則（）2+（y）2＝4，解得y或y，即此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，）；③線段AB的垂直平分線與對(duì)稱軸有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)AM＝BM，則（1）2+y2＝（）2+（y）2，解得y，即此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）或（，）或（，）；（3）如圖，連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此時(shí)PB+PD最小．理由：∵OA＝1，OB，∴tan∠ABO，∴