5.5 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用（分層作業(yè)）（解析版）

5.5指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用分層作業(yè)基礎(chǔ)鞏固基礎(chǔ)鞏固1．某種細(xì)菌每半小時(shí)分裂一次(一個(gè)分裂為兩個(gè))，經(jīng)過小時(shí)，這種細(xì)菌由個(gè)可繁殖()A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)題意，建立該種細(xì)菌分裂的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)模型，求出經(jīng)過3小時(shí)，細(xì)菌分裂6次的細(xì)菌個(gè)數(shù)即可．【詳解】根據(jù)題意知，該種細(xì)菌分裂的個(gè)數(shù)滿足指數(shù)函數(shù)；經(jīng)過3小時(shí)，細(xì)菌分裂6次，x＝6，細(xì)菌分裂的個(gè)數(shù)為y＝26＝64．故選：D．2．某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，……，這樣一個(gè)細(xì)胞分裂__________次以后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)是128個(gè).A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由題意，次分裂后，共有個(gè)，故可得方程，從而得解．【詳解】由題意，次分裂后，共有個(gè)，所以有，∴，故選C.3．第1次從盛有純酒精的容器中倒出，然后用水填滿，第2次再?gòu)脑撊萜髦械钩?，又用水填滿；…．若要使容器中的純酒精不足，則至少要連續(xù)進(jìn)行以上操作（

）A．3次 B．4次 C．5次 D．6次【答案】B【分析】計(jì)算出4次后，容器中的純酒精小于，得到答案.【詳解】進(jìn)行1次后，容器中的純酒精為；進(jìn)行2次后，容器中的純酒精為；進(jìn)行3次后，容器中的純酒精為；進(jìn)行4次后，容器中的純酒精為．故連續(xù)進(jìn)行4次后，容器中的純酒精不足．故選：B4．某種病毒的繁殖速度快、存活時(shí)間長(zhǎng)，a個(gè)這種病毒在t天后將繁殖到個(gè)．已知經(jīng)過4天后病毒的數(shù)量會(huì)達(dá)到原來的2倍．且再過m天后病毒的數(shù)量將達(dá)到原來的16倍，則（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)式的運(yùn)算求解.【詳解】由題可知，，所以，經(jīng)過天，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?6倍，即，則有，解得，故選:C.5．碳14的半衰期為5730年，那么碳14的年衰變率為（

）A． B．25730 C． D．【答案】C【分析】令碳14的年衰變率為m，原有量為1，根據(jù)定義知，利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求衰變率即可.【詳解】設(shè)碳14的年衰變率為m，原有量為1，則，故，所以碳14的年衰變率為.故選：C6．隨著人們健康水平的不斷提高，某種疾病在某地的患病率以每年的比例降低，若要將當(dāng)前的患病率降低到原來的一半，需要的時(shí)間至少是（

）(，)A．6年 B．7年 C．8年 D．9年【答案】B【分析】首先根據(jù)條件列式，再通過兩邊取對(duì)數(shù)，計(jì)算需要的時(shí)間.【詳解】設(shè)至少需要年的時(shí)間，則，兩邊取對(duì)數(shù)，即.故選：B能力進(jìn)階能力進(jìn)階1．全球變暖使北冰洋冬季冰蓋面積在最近50年內(nèi)減少了5%，按此規(guī)律，設(shè)2018年的冬季冰蓋面積為m，從2018年起，經(jīng)過x年后冬季冰蓋面積y與x的函數(shù)關(guān)系是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用衰減指數(shù)函數(shù)模型求解.【詳解】設(shè)北冰洋冬季冰蓋面積的年齡均變化率為，則，所以，從2018年起，經(jīng)過x年后冬季冰蓋面積，故選:A.2．世界人口在過去?年翻了一番，則每年人口平均增長(zhǎng)率約是（

）（參考數(shù)據(jù)?，?）A．? B．? C．? D．?【答案】A【分析】根據(jù)增長(zhǎng)型模型的指數(shù)表示即可求解.【詳解】設(shè)40年前人口數(shù)為，則現(xiàn)在人口數(shù)為，假設(shè)每年的增長(zhǎng)率為，則經(jīng)過40年增長(zhǎng)人口數(shù)為?，即，?，?，?，?.故選::A.3．有關(guān)部門2019年向某市投入128輛電力型公交車，且隨后電力型公交車計(jì)劃每年的投入量比上一年增加50%，則該市在2025年應(yīng)投入電力型公交車輛．【答案】1458【分析】根據(jù)增長(zhǎng)指數(shù)函數(shù)模型求解.【詳解】從2019年起，經(jīng)過年，投入電力型公交車為輛，則有，因?yàn)?019年起，經(jīng)過年，到在2025年，投入電力型公交車為輛，故答案為:1458.4．某公司2013年產(chǎn)值為2000萬元，2019年產(chǎn)值為8000萬元，則年產(chǎn)值的平均每年的增長(zhǎng)率是.【答案】【分析】由題設(shè)等量關(guān)系列方程，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算即可得解.【詳解】設(shè)年產(chǎn)值的平均每年的增長(zhǎng)率是x，則，解得.故答案為：.5．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留污垢不超過原來的1%，則至少要漂洗次．【答案】4【分析】由題意知每次清洗后所留下的污垢是原來的，由此知，剩余污垢的量是關(guān)于洗滌次數(shù)的指數(shù)型函數(shù)，由此給出洗次后存留的污垢的函數(shù)解析式，再由限制條件存留的污垢不超過1%，建立不等式關(guān)系解不等式即可【詳解】經(jīng)過第一次漂洗，存留量為總量的；經(jīng)過第二次漂洗，存留量為第一次漂洗后的，也就是原來的；經(jīng)過第三次漂洗，存留量為原來的，…，經(jīng)過第x次漂洗，存留量為原來的，故式為.由題意，，，，∴，即至少漂洗4次．故答案為：4.6．森林具有凈化空氣的功能，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，森林凈化空氣量Q與森林面積S的關(guān)系是．（1）若要保證森林具有凈化效果（），則森林面積至少為多少個(gè)單位？（2）當(dāng)某森林面積為80個(gè)單位時(shí)，它能凈化的空氣量為多少個(gè)單位？【答案】（1）10個(gè)單位；（2）150個(gè)單位．【分析】（1）由求得，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得時(shí)，的范圍；（2）由代入計(jì)算．【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，代入關(guān)系式可得，解得，因?yàn)镼隨S的增大而增大，所以當(dāng)時(shí)．所以森林面積至少有10個(gè)單位．（2）將代入關(guān)系式，得，所以當(dāng)森林面積為80個(gè)單位時(shí)，它能凈化的空氣量為150個(gè)單位．素養(yǎng)提升素養(yǎng)提升1．2018年5月至2019年春，在阿拉伯半島和伊朗西南部，沙漠蝗蟲迅速繁衍量指數(shù)增長(zhǎng)，引發(fā)了蝗災(zāi)，到2020年春季蝗災(zāi)已波及印度和巴基斯坦，假設(shè)蝗蟲的日增長(zhǎng)率為6%，最初有只，則大約經(jīng)過（）天能達(dá)到最初的1600倍(參考數(shù)據(jù)：ln1.06≈0.0583，ln1.6≈0.4700，ln1600≈7.3778，ln6000≈8.6995.A．126 B．150 C．197 D．199【答案】A【解析】建立關(guān)系式，由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可求得解.【詳解】設(shè)經(jīng)過天能達(dá)到最初的1600倍故故故選：A2．復(fù)利是一種計(jì)算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計(jì)算下一期的利息．某同學(xué)有壓歲錢元，存入銀行，年利率為，若放入微信零錢通或者支付寶的余額寶，年利率可達(dá).如果將這元選擇合適方式存滿年，可以多獲利息元．(參考數(shù)據(jù)：，，【答案】【分析】分別計(jì)算將存入微信零錢通或者支付寶的余額寶、和存入銀行所得的利息，即可求解.【詳解】將元存入微信零錢通或者支付寶的余額寶，選擇復(fù)利的計(jì)算方法，則存滿年后的本息和為元，故共得利息元，將元存入銀行，則存滿年后的本息和為，即獲利息元，故可以多獲利息元，故答案為：.3．聲音的等級(jí)（單位：）與聲音強(qiáng)度（單位：）滿足.噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)，聲音的等級(jí)約為；一般說話時(shí)，聲音的等級(jí)約為，那么噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度的（

）A．105倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍【答案】B【解析】首先設(shè)噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度和一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度分別為，根據(jù)題意得出，，計(jì)算求的值.【詳解】設(shè)噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度和一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度分別為，，，，，所以，因此，噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度的倍.故選：B4．大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．記鮭魚的游速為V(m/s)，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q，研究中發(fā)現(xiàn)V與log3成正比，且當(dāng)Q＝900時(shí)，V＝1.（1）求出V關(guān)于Q的函數(shù)解析式；（2）計(jì)算一條鮭魚的游速是1.5m/s時(shí)耗氧量的單位數(shù)．【答案】（1）；（2）2700個(gè)單位．【分析】（1）根據(jù)成正比的性質(zhì)，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；（2）利用代入法，結(jié)合對(duì)數(shù)與指數(shù)式互化公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1）設(shè)V＝k·log3，∵當(dāng)Q＝900時(shí)，V＝1，∴1＝k·log3，∴k＝，∴V關(guān)于Q的函數(shù)解析式為;（2）令V＝1.5，則，∴Q＝2700，即一條鮭魚的游速是1.5m/s時(shí)耗氧量為2700個(gè)單位．5．20世紀(jì)30年代，里克特()制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大.這就是我們常說的里氏震級(jí)，其計(jì)算公式為，這里是被測(cè)地震的最大振幅，是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差).（1）若一次地震中，一個(gè)距離震中的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是，計(jì)算這次地震的震級(jí)(精確到0.1)；（2）計(jì)算里氏8級(jí)地震的最大振幅是里氏6級(jí)地震最大振幅的多少倍？(附：)【答案】（1）4.6級(jí)；（2）100倍.【解析】（1）根據(jù)，,計(jì)算即可得出結(jié)果；（2）由，化簡(jiǎn)計(jì)算求得即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題設(shè)可知：因此，該次地震的震級(jí)約為里氏4.6級(jí).（2）設(shè)里氏8級(jí)和里氏6級(jí)地震的最大振幅分別為，.由題設(shè)可得：∴因此，里氏8級(jí)地震的最大振幅是里氏6級(jí)地震最大振幅的100倍.6．有一種放射性元素，最初的質(zhì)量為，按每年衰減(1)求兩年后，這種放射性元素的質(zhì)量；(2)求年后，這種放射性元素的質(zhì)量（單位為：）與時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式；(3)由（2）中的函數(shù)表達(dá)式，求這種放射性元素的半衰期（剩留量為原來的一半所需的時(shí)間叫做半衰期）．（精確到年，已知：，）【答案】(1)405(2)(3)年.【分析】(