山西省忻州市朝陽中學(xué)高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

山西省忻州市朝陽中學(xué)高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意x[一1，1]都有≥0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A．（-,2] B．[0+）

C．[0,2]

D．[1,2]參考答案：D2.由直線x=,x=2,曲線及x軸所圍圖形的面積為()（A）

（B）

（C）

（D）2ln2參考答案：D3.已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=﹣f（x），且f（1）=2，則f（2015）的值為（）A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣1參考答案：C【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由題意可得函數(shù)的周期為4，結(jié)合奇偶性和題意可得答案．【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），又∵函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，且f（1）=2，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，∴f（2015）=﹣2故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，函數(shù)的值的求法，屬基礎(chǔ)題．4.已知集合，，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（

）A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：B【分析】判斷集合元素的屬性特征，可以知道集合都是點(diǎn)集，所以就是求直線的交點(diǎn)，這樣就可以確定中元素的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)榧?，，所以，所以中元素的個(gè)數(shù)為1，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集運(yùn)算.解決此類問題的關(guān)鍵是對(duì)集合元素屬性特征的認(rèn)識(shí).5.在程序框圖中，輸入，按程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C由于程序中根據(jù)的取值，產(chǎn)生的值也不同，故可將程序中的值從小到大，每四個(gè)分為一組，即，．∵當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)，即時(shí)，；否則，即時(shí)，．故可知：每組的4個(gè)數(shù)中，偶數(shù)值乘以累加至，但兩個(gè)奇數(shù)對(duì)應(yīng)的值相互抵消，即，故選C．6.角的終邊經(jīng)過點(diǎn)A，且點(diǎn)A在拋物線的準(zhǔn)線上，則

（）A．

B．

C．

D．參考答案：B7.在中，有如下三個(gè)命題：①；②若D為邊中點(diǎn)，則；③若，則為等腰三角形．其中正確的命題序號(hào)是（

）A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③參考答案：D略8.設(shè)，，在中正數(shù)的個(gè)數(shù)是()A.25 B.50 C.75 D.100參考答案：D【分析】由于的周期，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，，，…，，，，…，，單調(diào)遞減，，…都為負(fù)數(shù)，但是，，…，，從而可判斷的符號(hào)，同理可判斷的符號(hào).【詳解】由于周期，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，，…，，，，，…，，且，…但是單調(diào)遞減，都為負(fù)數(shù)，但是，，…，∴，，…，中都為正，且，，…，都為正，同理，，…，都為正，且，…，都為正，即個(gè)數(shù)為100，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的周期的應(yīng)用，數(shù)列求和的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正弦函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用，屬于中檔題.9.若P＝＋

,Q＝＋，(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系為()A．P>Q

B．P＝Q

C．P<Q

D．由a的取值確定參考答案：A10.不等式的解集為M，且，則的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標(biāo)系中，分別是與軸正方向同向的單位向量，平面內(nèi)三點(diǎn)、、滿足，，，則實(shí)數(shù)m的值為

．參考答案：12.定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是____________.參考答案：1207由可知是以5為周期的周期函數(shù)，又在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，故在任意周期上都有3個(gè)零點(diǎn)，故上包含402個(gè)周期，又時(shí)也存在一個(gè)零點(diǎn)，故零點(diǎn)數(shù)為.13.若函數(shù)

則方程的解為___________。參考答案：114.在極坐標(biāo)系中，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為

．參考答案：15.若變量x，y滿足條件且z=x+y的最大值是10，則k的值是．參考答案：5考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．

專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直線y=﹣x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣x+z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線y=﹣x+z的截距最大，此時(shí)z最大為x+y=10．由解得，即B（k，k），代入x+y=10得k+k=2k=10，解得k=5．故答案為：5點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．16.在平面直角坐標(biāo)系中，橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，如果函數(shù)的圖象恰好通過個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)為階格點(diǎn)函數(shù).下列4個(gè)函數(shù)中是一階格點(diǎn)函數(shù)的有

．①

②

③

④參考答案：②④17.已知函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，，則

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某種類型的題目有A，B，C，D，E5個(gè)選項(xiàng)，其中有3個(gè)正確選項(xiàng)，滿分5分.賦分標(biāo)準(zhǔn)為“選對(duì)1個(gè)得2分，選對(duì)2個(gè)得4分,選對(duì)3個(gè)得5分，每選錯(cuò)1個(gè)扣3分，最低得分為0分”在某校的一次考試中出現(xiàn)了一道這種類型的題目，已知此題的正確答案為ACD，假定考生作答的答案中的選項(xiàng)個(gè)數(shù)不超過3個(gè).（1）若甲同學(xué)無法判斷所有選項(xiàng)，他決定在這5個(gè)選項(xiàng)中任選3個(gè)作為答案，求甲同學(xué)獲得0分的概率；（2）若乙同學(xué)只能判斷選項(xiàng)AD是正確的，現(xiàn)在他有兩種選擇：一種是將AD作為答案，另一種是在B，C，E這3個(gè)選項(xiàng)中任選一個(gè)與AD組成一個(gè)含有3個(gè)選項(xiàng)的答案，則乙同學(xué)的最佳選擇是哪一種,請(qǐng)說明理由.參考答案：（1）；（2）見解析【分析】（1）先確定甲同學(xué)獲得0分時(shí)對(duì)應(yīng)答題情況，再根據(jù)古典概型概率公式求解，（2）分別計(jì)算兩種情況下得分的數(shù)學(xué)期望值，再比較大小，即可判斷選擇.【詳解】（1）甲同學(xué)在這5個(gè)選項(xiàng)中任選3個(gè)作為答案得分為0分，只有一種情況，那就是選了1個(gè)正確答案2個(gè)錯(cuò)誤答案.所以，所求概率.（2）乙同學(xué)的最佳選擇是選擇.理由如下：設(shè)乙同學(xué)此題得分為分，①若乙同學(xué)僅選擇，則，的數(shù)學(xué)期望②若乙同學(xué)選擇3個(gè)選項(xiàng)，則他可能的答案為，共3種.其中選擇，得分均為分，其概率為；選擇，得分為5分，其概率為.所以數(shù)學(xué)期望.由于，所以乙同學(xué)的最佳選擇是選擇.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率以及數(shù)學(xué)期望，考查基本分析判斷與求解能力，屬中檔題.19.已知曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程，并說明其表示什么軌跡．（2）若直線的極坐標(biāo)方程為sinθ﹣cosθ=，求直線被曲線C截得的弦長(zhǎng)．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）由sin2α+cos2α=1，能求出曲線C的普通方程，再由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲線C的極坐標(biāo)方程，由此得到曲線C是以（3，1）為圓心，以為半徑的圓．（2）先求出直線的直角坐標(biāo)為x﹣y+1=0，再求出圓心C（3，1）到直線x﹣y+1=0的距離d，由此能求出直線被曲線C截得的弦長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），∴由sin2α+cos2α=1，得曲線C的普通方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，即x2+y2=6x+2y，由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2=6ρcosθ+2ρsinθ，即ρ=6cosθ+2sinθ，它是以（3，1）為圓心，以為半徑的圓．（2）∵直線的極坐標(biāo)方程為sinθ﹣cosθ=，∴ρsinθ﹣ρcosθ=1，∴直線的直角坐標(biāo)為x﹣y+1=0，∵曲線C是以（3，1）為圓心，以r=為半徑的圓，圓心C（3，1）到直線x﹣y+1=0的距離d==，∴直線被曲線C截得的弦長(zhǎng)|AB|=2=2=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程的求法，考查直線被圓截得的弦長(zhǎng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程、普通方程、參數(shù)方程互化公式的合理運(yùn)用．20.（本小題滿分14分）w已知過點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，、分別是該拋物線在、兩點(diǎn)處的切線，、分別是、與直線的交點(diǎn)．

（Ⅰ）求直線的斜率的取值范圍；（Ⅱ）試比較與的大小，并說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)直線，則，

……①依題意，有或；w。w-w*k&s%5￥u（Ⅱ）由，所以拋物線在處的切線的方程為，即．令，得．

同理，得．w。w-w*k&s%5￥u

注意到、是方程①的兩個(gè)實(shí)根，故，即，從而有，因此，．略21.(本小題滿分14分)已知函數(shù)，，其中a>1.（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線平行，證明；（III）證明當(dāng)時(shí)，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.參考答案：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和方法.考查函數(shù)與方程思想、化歸思想.考查抽象概括能力、綜合分析問題和解決問題的能力.滿分14分.（I）解：由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：x00+極小值所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為.（II）證明：由，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.由，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.因?yàn)檫@兩條切線平行，故有，即.兩邊取以a為底的對(duì)數(shù)，得，所以.（III）證明：曲線在點(diǎn)處的切線l1：.曲線在點(diǎn)處的切線l2：.要證明當(dāng)時(shí)，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線，只需證明當(dāng)時(shí)，存在，，使得l1和l2重合.即只需證明當(dāng)時(shí)，方程組有解，由①得，代入②，得.

③因此，只需證明當(dāng)時(shí)，關(guān)于x1的方程③有實(shí)數(shù)解.設(shè)函數(shù)，即要證明當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn).，可知時(shí)，；時(shí)，單調(diào)遞減，又，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.由此可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.在處取得極大值.因?yàn)椋?，所?下面證明存在實(shí)數(shù)t，使得.由（I）可得，當(dāng)時(shí)，有，所以存在實(shí)數(shù)t，使得因此，當(dāng)時(shí)，存在，使得.所以，當(dāng)時(shí)，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線分別與圓O：交于點(diǎn)A，B，與圓M：交于點(diǎn)C，D．（1）若，求CD的長(zhǎng)；（2）若CD中點(diǎn)為E，求面積的取值范圍．參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）先由AB的長(zhǎng)度求出圓心O到直線AB的距離，列方程求出直線AB的斜率，從而得到直線CD的斜率，寫出直線CD的方程，用垂徑定理求CD得長(zhǎng)度；（2）△ABE的面積，先考慮直線AB、CD平行于坐標(biāo)軸的情況，不平行時(shí)先由垂徑定理求出AB，再在△PME中用勾股定理求出PE，將面積S表示成直線AB斜率k的函數(shù)式，再求其范圍.【詳解】解：（1）因?yàn)锳B＝，圓O半徑為2所以點(diǎn)O到直線AB的距離為顯然AB、CD都不