機(jī)械振動(dòng)理論：具有粘性阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

2024/5/131機(jī)械振動(dòng)理論(n4)2024/5/1322.5具有粘性阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)——是一種理想情況。實(shí)際系統(tǒng)振動(dòng)——

不可避免地存在阻力

——

因而自由振動(dòng)都是會(huì)衰減的

——

振幅將隨時(shí)間而逐漸減小

——

直到最后停止振動(dòng)。在實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)中，存在著多種類型的阻尼。為簡(jiǎn)化振動(dòng)問(wèn)題的分析

——通常將系統(tǒng)阻尼簡(jiǎn)化為粘性阻尼。

——粘性阻尼力與速度成線性關(guān)系，

——這種假設(shè)在小阻尼時(shí)成立。2024/5/133單自由度有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型——圖2-14設(shè)：阻尼器為粘性阻尼，阻尼力與質(zhì)體m的速度

成正比且反向，式中：r—粘性阻尼系數(shù)，單位—據(jù)牛頓二定律,建立具有粘性阻尼的自由振動(dòng)微分方程：

令：，代入上式有——衰減系數(shù)2024/5/134

——

為齊次二階常系數(shù)線性微分方程設(shè)其特解為：將其一階、二階導(dǎo)數(shù)代入式（2-39），得：因:所以必有：——

稱為特征方程帶粘性阻尼的自由振動(dòng)微分方程：此方程有兩個(gè)根：

式中：2024/5/135微分方程式（2-39）的通解可表達(dá)為:現(xiàn)引進(jìn)一個(gè)無(wú)量綱參數(shù)：，表示系統(tǒng)的阻尼狀態(tài)

——

相對(duì)阻尼系數(shù)或阻尼比。根式是虛數(shù)，討論以下三種情況：（1）此時(shí)特征方程（2－40）有一對(duì)共軛復(fù)根:

稱為弱阻尼狀態(tài)。式中：——有阻尼系統(tǒng)的固有圓頻率或減幅振動(dòng)圓頻率。

2024/5/136應(yīng)用歐拉公式:式（2-42）改寫成：

——由初始條件確定。

2024/5/137式中A與將（42）式通過(guò)三角函數(shù)變換可得：為待定常數(shù)，決定于初始條件。代入式（2－43）中可得:

設(shè)t=0時(shí)，2024/5/138解聯(lián)立方程：從式（2－43）可以看出：系統(tǒng)振動(dòng)的振幅將隨時(shí)間延續(xù)逐漸減??；？系統(tǒng)振動(dòng)為振幅逐漸減小的周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)，

——這種振動(dòng)稱為減幅阻尼振動(dòng)。2024/5/139減幅振動(dòng)的圓頻率:減幅振動(dòng)的頻率:減幅振動(dòng)的周期:減幅振動(dòng)的響應(yīng)曲線——[固有圓頻率減小][固有頻率減小][振動(dòng)周期增大][振動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)]參數(shù)討論：2024/5/1310用相鄰兩振幅之比表示——振幅衰減程度：式中：

——減幅系數(shù)

——衰減系數(shù)

為運(yùn)算方便，常用對(duì)數(shù)衰減系數(shù)δ代替減幅系數(shù)：即：

減幅系數(shù)

對(duì)數(shù)衰減系數(shù)2024/5/1311實(shí)際意義——通過(guò)實(shí)測(cè)，測(cè)出振動(dòng)系統(tǒng)的周期及相鄰振幅即可求出衰減系數(shù)n。即：實(shí)際應(yīng)用——為得到更高的測(cè)試精度，用相距j個(gè)周期的兩個(gè)振幅比計(jì)算對(duì)數(shù)衰減系數(shù)2024/5/1312由代入上式得：因此，只要實(shí)測(cè)出系數(shù)——振動(dòng)周期

及相距j個(gè)周期的兩個(gè)振幅，便可以求出系統(tǒng)得阻尼系數(shù)r。阻尼系數(shù)r求解：2024/5/1313（2）根式是個(gè)實(shí)數(shù)——

稱為強(qiáng)阻尼狀態(tài)。則微分方程式（2-39）的通解可表達(dá)為：設(shè)初始條件為t＝0時(shí)，代入上式求得：2024/5/1314將系數(shù)代入（2－53）位移方程：即：

強(qiáng)阻尼狀態(tài)響應(yīng)曲線——雙曲正弦：

雙曲余弦：

2024/5/1315運(yùn)動(dòng)為蠕變地返回到平衡位置，是一種非周期性運(yùn)動(dòng)。即——

當(dāng)粘性阻尼很大（）時(shí)，系統(tǒng)不產(chǎn)生振動(dòng)。分析：當(dāng)系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)（初始位移，初始速度），2024/5/1316（3）或ζ＝1時(shí)——稱為臨界阻尼狀態(tài)此時(shí)微分方程（2－39）的特征方程有重根，即：故微分方程通解應(yīng)為：

將和代回（2－55a）中，得：？將初始條件為t＝0時(shí)代入上式求得：2024/5/1317臨界阻尼狀態(tài)響應(yīng)曲線——圖2－17：分析：系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)后，盡管初始速度不同，但隨著時(shí)間的延續(xù)，質(zhì)體都蠕變地返回到原來(lái)地平衡位置。結(jié)論：和一樣，

——

系統(tǒng)都不能形成周期性振動(dòng)。臨界阻尼——

是系統(tǒng)從振動(dòng)到不振動(dòng)過(guò)渡地臨界狀態(tài)，這時(shí)的阻尼稱為臨界阻尼，用表示：2024/5/1318例2－4

已知一質(zhì)量——彈簧系統(tǒng)，質(zhì)體的質(zhì)量為10kg,

在粘性阻尼中振動(dòng)頻率為10Hz