新疆維吾爾自治區(qū)昌吉回族自治州呼圖壁縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期初模塊測(cè)試數(shù)學(xué)試題【含答案】

呼圖壁縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)期初數(shù)學(xué)模塊測(cè)試卷分值：150分時(shí)間：120分鐘一、單選題（每題5分，共40分）1.若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，則，根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法與復(fù)數(shù)相等求得結(jié)果.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，則，則，，所以．故選：C.2.已知向量，，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算，向量平行可得到，從而解出的值【詳解】因?yàn)椋詢蓚€(gè)向量的坐標(biāo)滿足，即：，得：故選：B3.如圖是正方體的平面展開圖，在原正方體中：①與所在直線平行；②與所在直線異面；③與所在直線互相垂直；④與所在直線成角是．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（）A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④【答案】B【解析】【分析】首先還原正方體，再根據(jù)線線的位置關(guān)系，判斷選項(xiàng).【詳解】如圖，直線與是異面直線，故①錯(cuò)誤；直線與是異面直線，故②正確；直線，故③錯(cuò)誤；如圖，，所以異面直線與所成角為，而三角形是等邊三角形，所以，故④正確.故選：B4.在5件產(chǎn)品中，有3件一級(jí)品和2件二級(jí)品，從中任取2件，下列事件中概率為的是（）A.2件都是一級(jí)品 B.2件都是二級(jí)品C.一級(jí)品和二級(jí)品各1件 D.至少有1件二級(jí)品【答案】D【解析】【分析】利用列舉法求得任取兩件的樣本點(diǎn)的總數(shù)，根據(jù)選項(xiàng)，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式和互斥事件的概率加法公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】設(shè)，，分別表示3件一級(jí)品，，分別表示2件二級(jí)品,任取2件，則樣本空間，共10個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，記事件A表示“2件都是一級(jí)品”，包含3個(gè)樣本點(diǎn)，則.記事件B表示“2件都是二級(jí)品”，包含1個(gè)樣本點(diǎn)，則.記事件C表示“2件中1件一級(jí)品、1件二級(jí)品”，包含6個(gè)樣本點(diǎn)，則.事件A，B，C兩兩互斥，所以，又由表示“至少有1件二級(jí)品”故選：D.5.在中，已知，則的形狀為（）A直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利二倍角公式展開，再由正余弦定理角化邊，然后因式分解可得.【詳解】因?yàn)?，所以，由正余弦定理可得，整理得，所以或，所以為等腰三角形或直角三角?故選：D6.某班在體育課上組織趣味游戲，統(tǒng)計(jì)了第一組14名學(xué)生的最終得分：13，10，12，17，9，12，8，9，11，14，15，12，10，12．這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）A.12 B.13 C.13.5 D.14【答案】D【解析】【分析】先將數(shù)據(jù)從小到大排序，再根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法，即可求解.【詳解】由題意，將14名學(xué)生的最終得分，從小到大排序：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17，又由，所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為第12個(gè)數(shù)，即為14.故選：D.7.在中，邊上的中線與邊上的中線的交點(diǎn)為，若，則（）A.1 B.-1 C. D.【答案】D【解析】【分析】易得E為三角形的重心，然后利用平面向量基本定理求解.【詳解】解：由題可知E為三角形的重心，則，∴，，∴．故選：D8.已知三棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，底面是邊長為3的等邊三角形．若三棱錐的體積的最大值為，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)球O的半徑為R，的外心為，由題意，可得外接圓的半徑及面積，即可得，代入體積公式，結(jié)合題意，可求得R值，代入球的表面積公式，即可得答案.【詳解】設(shè)球O的半徑為R，的外心為，由題意得外接圓半徑為，面積為，所以，所以最大值，所以，即，解得，所以球O的表面積為.故選:A.

二、多選題（每題5分，共20分）9.某學(xué)生社團(tuán)有男生32名，女生24名，從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為7的樣本，某次抽樣結(jié)果為：抽到3名男生和4名女生，則下列說法正確的是（）A.這次抽樣可能采用的是抽簽法B.這次抽樣不可能按性別分層隨機(jī)抽樣C.這次抽樣中，每個(gè)男生被抽到的概率一定小于每個(gè)女生被抽到的概率D.這次抽樣中，每個(gè)男生被抽到的概率不可能等于每個(gè)女生被抽到的概率【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)抽樣方法的概念求解即可.【詳解】根據(jù)抽樣結(jié)果，此次抽樣可能采用的是抽簽法，A正確；若按分層抽樣，則抽得的男女人數(shù)應(yīng)為4人，3人，所以這次抽樣不可能是按性別分層隨機(jī)抽樣，B正確；若按抽簽法，則每個(gè)男生被抽到的概率和每個(gè)女生被抽到的概率均相等，C,D錯(cuò)誤.故選:AB.10.下列說法正確的是（）A.復(fù)數(shù)的虛部為B.方程的復(fù)數(shù)根為C.若，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限D(zhuǎn).復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)【答案】BD【解析】【分析】化簡即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)韋達(dá)定理，即可得出B項(xiàng)；化簡得出，求出共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可判斷C項(xiàng)；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得出D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，虛部為3，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，B正確；對(duì)于C，，則，復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，C不正確；對(duì)于D，復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，D正確.故選：BD.11.下列命題正確的是（）A.對(duì)立事件一定是互斥事件B.若為不可能事件，則C.若事件，，兩兩互斥，則D.事件，滿足，則，是對(duì)立事件【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的關(guān)系可判斷A；根據(jù)為不可能事件，可判定，互斥即可判斷B；舉反例可判斷C，D.【詳解】由對(duì)立事件的定義可知對(duì)立事件一定是互斥事件，A正確；由于為不可能事件，所以，互斥，則，即B正確；事件，，兩兩互斥，比如擲骰子試驗(yàn)中，事件：投擲出1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)，這三個(gè)事件兩兩互斥，但這三個(gè)事件的和事件并不一定發(fā)生，所以不一定是必然事件，故C不正確；D中，設(shè)擲一枚硬幣3次，事件A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事件：“3次出現(xiàn)正面”，則，，滿足，但，不是對(duì)立事件，故D不正確．故選：AB12.已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（）．A.該圓錐的體積為 B.該圓錐的側(cè)面積為C. D.的面積為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識(shí)判斷C、D選項(xiàng)的正確性.【詳解】依題意，，，所以，A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題（每題5分，共20分）13.如圖是用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的正三角形的直觀圖，其中，則三角形的面積為_________．【答案】【解析】【分析】將圖還原成正三角形，求出其面積，再根據(jù)面積比即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：因?yàn)?，所以，且為正三角形，則，因此中，，∴，故答案為：．14.已知是兩個(gè)平面，是兩條直線．有下列命題：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么．其中所有真命題的序號(hào)是__________．【答案】②③【解析】【分析】利用線面平行的判斷定理，性質(zhì)定理，以及面面平行和面面垂直的性質(zhì)定理判斷.【詳解】①如果，那么或，故①不正確；②如果，那么，這就是線面平行推得線線平行的性質(zhì)定理，故②正確；③如果，那么，這就是利用面面平行推線面平行的性質(zhì)定理，故③正確；④缺少這個(gè)條件，故④不正確.故答案為：②③15.已知樣本5，6，7，a，b的平均數(shù)為7，方差為2，則_________．【答案】72【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)以及方差的計(jì)算公式列方程，解方程即可求解.【詳解】因?yàn)闃颖?，6，7，a，b的平均數(shù)為7，所以，，由方差定義可得，即，即，將代入，得．故答案為：7216.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則的面積是______．【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理求出，再利用面積公式可求得結(jié)果【詳解】由余弦定理得，，即，化簡得，解得，所以，故答案為：四、解答題17.已知復(fù)數(shù)．（1）若的實(shí)部與的模相等，求a的值；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，求a的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，解方程可求出a的值；（2）先求出，然后由其在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，可得從而可求出a的取值范圍【小問1詳解】依題意，，因?yàn)榈膶?shí)部與的模相等，所以，整理得，解得或，所以或．【小問2詳解】因?yàn)?，又在?fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，所以解得，所以a的取值范圍是．18.已知，，且與的夾角為.（1）求；（2）求與的夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；（2）首先根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)夾角公式計(jì)算可得.【小問1詳解】由已知可得，所以，所以.【小問2詳解】因?yàn)椋?19.如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，E為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）設(shè)，，四棱錐的體積為1，求證：平面平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，通過直線與平面平行的判定定理證明平面；（2）通過體積得到底面為正方形，再由線面垂直得到面面垂直即可.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)O，連結(jié),因?yàn)闉榫匦?，所以O(shè)為的中點(diǎn),又E為的中點(diǎn)，所以,平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?所以，所以底面為正方形，所以，因?yàn)椋?，且，所以平面，又平面，所以平面平?【點(diǎn)睛】本題主要考查了立體幾何及其運(yùn)算，要證明線面平行先證明線線平行，要證明面面垂直，先證明線面垂直，考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、空間想象力.20.某工廠有工人名，其中名工人參加過短期培訓(xùn)（稱為類工人），另外名工人參加過長期培訓(xùn)（稱為類工人）．現(xiàn)用分層抽樣方法（按類，類分二層）從該廠的工人中共抽取名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）（1）類工人和類工人各抽取多少人（2）將類工人的抽查結(jié)果分別繪制成頻率分布直方圖（如圖1），根據(jù)頻率分布直方圖通過計(jì)算估計(jì)類工人的中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（3）就生產(chǎn)能力而言，類工人中個(gè)體間的差異程度與類工人個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更小？（不用計(jì)算，可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論）【答案】（1）；（2）；；（3）類工人個(gè)體間的差異程度更小【解析】【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的概念直接計(jì)算；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，利用中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)的概念及公式直接計(jì)算；（3）根據(jù)頻率分布直方圖直接可得結(jié)論【小問1詳解】解：由已知分層抽樣可得：類工人抽取人，類工人抽取人；【小問2詳解】解：中位數(shù)：設(shè)中位數(shù)為，由頻率分布直方圖可得，，所以，且，解得：，即中位數(shù)為；眾數(shù)：由頻率分布直方圖可得眾數(shù)為；平均數(shù)：，即平均數(shù)為；【小問3詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可判斷類工人個(gè)體間的差異程度更小.21.甲、乙兩人用4張撲克牌（分別是紅桃2、紅桃3、紅桃4、方片4）玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張．（1）寫出甲、乙兩人抽到的牌的樣本空間．（2）若甲抽到紅桃3，則乙抽到的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少？（3）甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝，反之則乙勝，你認(rèn)為此游戲是否公平？并說明你的理由．【答案】（1）答案詳見解析（答案不唯一）（2）（3）不公平，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)抽取的方法寫出樣本空間.（2）根據(jù)古典概型的概率問題計(jì)算公式，計(jì)算出所求答案.（3）根據(jù)甲、乙的勝率進(jìn)行說明.【小問1詳解】用a表示方片4，2，3，4分別表示紅桃2、紅桃3、紅桃4，則甲、乙兩人抽到的牌的樣本空間為：．【小問2詳解】甲抽到3，乙抽到的只能是2，4，a，所以乙抽到的牌的牌面數(shù)字大于3的概率為．【小問3詳解】甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大的樣本點(diǎn)有，所以甲勝的概率為，乙勝的概率為，故游戲不公平．22.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求B；（2）從下面三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知條件，求a與c的值．條件①：；條件②：的而積為；條件③：．注：如果選擇不同的組合分別解答，接第一個(gè)解答計(jì)分．【答案