四川省成都東部新區(qū)養(yǎng)馬高級中學2023-2024學年高二上學期開學考試數(shù)學試題【含答案】

東部新區(qū)養(yǎng)馬高級中學2022級數(shù)學開學考試一、選擇題（本題共8道小題，每小題5分，共40分）1.若?，則?（）A.? B.?C.? D.?【答案】B【解析】【分析】直接利用二倍角的余弦公式即可得解.【詳解】解：因為?，所以?.故選：B.2.已知向量，，那么（）A.5 B. C.8 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量模的坐標運算公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為向量，，所以.故選：B.3.復數(shù)（是虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)除法運算可求得，根據(jù)對應(yīng)點的坐標可得結(jié)果.【詳解】，對應(yīng)的點為，位于第三象限.故選：C.4.已知，是兩條不重合的直線，，，是三個不重合的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】對ABC，舉反例判斷即可；對D根據(jù)線面平行與線面垂直的性質(zhì)判定即可【詳解】對A，若，，則或，故A錯誤；對B，若，，則或，故B錯誤；對C，長方體同一頂點所在的三個平面滿足，，，故C錯誤；對D，若，則平行于內(nèi)的一條直線，又，故，故成立，故D正確；故選：D5.在四邊形中，，，，，，，分別為，的中點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為原點、所在的直線為軸，建立如圖所示的坐標系，求出所需各點坐標，利用向量數(shù)量積的坐標表示即可求解.【詳解】以為原點、所在的直線為軸，建立如圖所示的坐標系，設(shè)與軸交于點，因為，，，，，分別為，的中點，可得，，，，所以，，，，，，所以，，，故選：D.6.在中，，則是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理實現(xiàn)角化邊，再整理條件可得，從而為直角三角形.【詳解】在中，由正弦定理得，，又，所以，整理得.所以為直角三角形.故選：C.7.已知空間四邊形中，，分別是，的中點，若，，，則與所成的角為（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A【解析】【分析】設(shè)G為AD的中點，連接GF，GE，由三角形中位線定理可得，，則∠GFE即為EF與CD所成的角，結(jié)合AB=2，CD=4，EF⊥AB，在△GEF中，利用三角函數(shù)即可得到答案.【詳解】解：設(shè)G為AD的中點，連接GF，GE，則GF，GE分別為△ABD，△ACD的中線.∴，且，，且，則EF與CD所成角的度數(shù)等于EF與GE所成角的度數(shù)，又EF⊥AB，，∴EF⊥GF，則△GEF為直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°，∴在直角△GEF中，，∴∠GEF=30°.故選：A.8.在三棱錐中，平面，且，若球在三棱錐的內(nèi)部且與四個面都相切（稱球為三棱錐的內(nèi)切球），則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)球的半徑為r，由等積法得，由此可求得設(shè)球的半徑為r，再根據(jù)球的表面積公式可求得答案.【詳解】解：因為平面，平面，平面，平面，所以，，，又，所以平面，所以，所以均為直角三角形，設(shè)球的半徑為r，則，而，，所以，解得，所以球的表面積為，故選：A.二、多選題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）9.在銳角三角形ABC中，A，B，C為三個內(nèi)角，a，b，c分別為A，B，C所對的三邊，則下列結(jié)論成立的是（）A.若，則 B.若，則B取值范圍是C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由正弦定理判斷A；由角形為銳角三角形，，所以，即有，根據(jù)可得的范圍，從而判斷B；由，可得，進而得，從而判斷C；由，可得，從而判斷D.【詳解】解：對于選項A，因為A>B，所以有,所以，故正確；對于選項B，因為，則，所以，由可得的取值范圍是，故錯誤；對于選項C，銳角三角形ABC中，，，∴，同理，，所以故正確；對于選項D，銳角三角形ABC中，因為，即，，又∵，∴，故正確．故選：ACD．10.如圖，在正方體中，點是棱上的一個動點，給出以下結(jié)論，其中正確的有（）A.與所成的角為45°B.//平面C.平面平面D.對于任意的點，四棱錐的體積均不變【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)異面直線夾角的定義，線面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】連接，∵，∴為與所成角，設(shè)正方體棱長為1，則，∴，故A錯誤；∵平面平面，平面，∴平面，故B正確；連接，則，∵平面，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面，故C正確；設(shè)正方體棱長為1，則，故三棱錐的體積均不變，故D正確；故選：BCD.【點睛】本題考查異面直線夾角的求解，線面平行的判定以及面面垂直的判定，屬綜合基礎(chǔ)題.11.如圖，正六邊形的邊長為2，半徑為1的圓的圓心為正六邊形的中心，，若點在正六邊形的邊上運動，動點在圓上運動且關(guān)于圓心對稱，則的值可能為（）A. B. C.3 D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)平面向量加法的幾何意義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)、圓的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由題意：因為正六邊形的邊長為2，所以圓心到各邊的距離為：，所以，所以，故選：BC．12.函數(shù)的圖象，可由的圖象經(jīng)過下列哪項變換而得（）A.向右平移個單位長度，橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標伸長到原來的倍B.向右平移個單位長度，橫坐標縮短到原來的，縱坐標伸長到原來的倍C.橫坐標縮短到原來的，向右平移個單位長度，縱坐標伸長到原來的倍D.橫坐標縮短到原來的，向右平移個單位長度，縱坐標伸長到原來的倍【答案】BC【解析】【分析】利用誘導公式化簡函數(shù)解析式為，利用三角函數(shù)圖象變換可得出結(jié)論.【詳解】由誘導公式可得，所以，為了得到函數(shù)的圖象，可由的圖象向右平移個單位長度，橫坐標縮短到原來的，縱坐標伸長到原來的倍，B選項滿足條件，也可由的圖象橫坐標縮短到原來的，向右平移個單位長度，縱坐標伸長到原來的倍，C選項滿足條件.故選：BC.三、填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）13.在平行四邊形ABCD中，_________．【答案】##【解析】【分析】先用平行四邊形法則，再用三角形法則．【詳解】平行四邊形ABCD中，.故答案為：.14.______．【答案】【解析】【分析】利用兩角差的正弦公式可求得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.15.已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)m的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】首先將復數(shù)化簡，再根據(jù)復數(shù)的幾何意義，列不等式求實數(shù)的取值范圍.【詳解】復數(shù)，因為復數(shù)對于的點在第四象限，所以，解得：.故答案為：16.已知三棱錐的四個頂點都在球的表面上，平面，，，，，則：（1）球的表面積為__________；（2）若是的中點，過點作球的截面，則截面面積的最小值是__________．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系,可將三棱錐可放入以為長方體的長,寬,高的長方體中,則體對角線為外接球直徑,進而求解即可；（2）易得為底面的外接圓圓心,當截面時,截面面積最小,即截面為平面,求解即可.【詳解】（1）由題,根據(jù)勾股定理可得,則可將三棱錐可放入以為長方體的長,寬,高的長方體中,則體對角線為外接球直徑,即,則,所以球的表面積為；（2）由題,因為,所以為底面的外接圓圓心,當截面時,截面面積最小,即截面為平面,則外接圓半徑為,故截面面積為故答案為：（1）；（2）【點睛】本題考查三棱錐的外接球問題,考查球的表面積,考查轉(zhuǎn)化思想,考查空間想象能力.四、解答題（本題共6道小題，第1題10分，第2題12分，第3題12分，第4題12分，第5題12分，第6題12分，共70分）17.已知向量，，，．（1）若，且，求x的值；（2）是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）或；（2）存在；.【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量平行的坐標表示可得答案；（2）根據(jù)平面向量垂直的坐標表示可得答案.【小問1詳解】∵，又，∴，即．又，∴或；【小問2詳解】∵，，若，則，即，∴．由得，得．∴當時，．18.如圖，在棱長為6的正方體中，點E是的中點，與交于點O.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理可證得；（2）利用三棱錐的體積公式可求解.【小問1詳解】因為四邊形為正方形，所以點O為的中點，又點E是的中點，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】由正方體性質(zhì)知平面，且點E是的中點，所以點E到平面的距離等于點到平面的距離的一半，即于是，所以三棱錐的體積為.19.已知向量，，函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）當時，求的零點和單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1）（2）零點為和；單調(diào)遞增區(qū)間為，【解析】【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算以及二倍角公式，輔助角公式，將化簡為，利用周期公式即可求解.（2）將零點轉(zhuǎn)化為方程的根即可求解，根據(jù)整體法代入正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間中即可求解.【小問1詳解】由向量，，函數(shù)得．所以的最小正周期為．【小問2詳解】令，∴，，解得，，∵，所以的零點為和．令，，得，．又，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，．20.四棱錐的底面是邊長為1的菱形，，E是CD的中點，，平面．（1）求直線與平面所成角；（2）求證：平面平面．【答案】（1）（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)平面，得到AD為直線PD在平面ABCD上的射影，從而直線與平面所成的角求解；（2）易知是等邊三角形，再由E為CD的中點，得到，從而，然后由平面，得到，再利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理證明.【小問1詳解】解：因為平面，所以AD為直線PD在平面ABCD上的射影，所以直線與平面所成的角，在中，，因為，所以；【小問2詳解】中，，，所以是等邊三角形，又E為CD的中點，所以，又，所以，又平面，平面，所以，又，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，又平面PBE，所以平面平面PAB.21.如圖，我國南海某處的一個圓形海域上有四個小島，小島與小島、小島相距都為，與小島相距為.為鈍角，且.（1）求小島與小島之間的距離和四個小島所形成的四邊形的面積；（2）記為，為，求的值.【答案】（1）2，18平方（2）【解析】【分析】（1）由同角的平方關(guān)系，求出，在中結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)果；（2）在中結(jié)合正弦定理求得，然后根據(jù)同角的平方關(guān)系求出，再由平面幾何圖形以及誘導公式求出和，然后利用兩角和的正弦公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，且角為鈍角，所以.在中，由余弦定理得，，所以，即，解得或（舍），所以小島與小島之間的距離為.∵，，，四點共圓，∴角與角互補，∴，，在中，由余弦定理得：，∴，∴.解得（舍）或.∴.∴四個小島所形成的四邊形的面積為18平方.（2）在中，由正弦定理，，即，解得又因為，所以，且為銳角，所以為銳角，所以，又因為，，所以.22.已知向量，，函數(shù)，相鄰對稱軸之間的距離為．（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，再向左平移個單位得的圖象，若關(guān)于x的方程在上只有一個解，求實數(shù)m的取