2022-2023學(xué)年吉林省長春市重點(diǎn)大學(xué)附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年吉林省長春市重點(diǎn)大學(xué)附中高一（下）期末數(shù)學(xué)

試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知G,bWR,Q+3i=（8+為虛數(shù)單位），則（）

A.Q=1,b=-3B.Q=-1,b=3

C.a=-1,b=-3D.a=1,b=3

2.己知向量五、族不共線，c=3a+b>d=ma+（m+2）6，若=/日，則m=（）

A.-12B.-9C.-6D.-3

3.己知△ABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,則下列命題正確的是（）

A.若cosA>cosB,則a<b

B.若a2+b2—c2>0,則△ABC是銳角三角形

C.若acosA=bcosB,則△ABC為等腰三角形

D.若bcosC+ccosB=asinA,則8=90°

4.某校1500名學(xué)主參加交通安全知識(shí)競賽，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的競賽成績（單位：分）,

成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.頻率分布直方圖中a的值為0.0045

B.估計(jì)這100名學(xué)生競賽成績的中位數(shù)為73

C.估計(jì)這100名學(xué)生競賽成績的眾數(shù)為80

D.估計(jì)總體中成績落在［70,80）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為525

5.已知m，n為異面直線，7nl平面a,nJ?平面￡.若直線［滿足/_Lm,11n,Icta,1C則

下列說法正確的是（）

A.aj[B，1//aB.a1/3,11/?

C.a與夕相交，且交線平行于，D.a與S相交，且交線垂直于I

6.黨的十八大以來的十年，是砥礪奮進(jìn)、矢志“為中國人民謀幸?！钡氖?在黨中央的正

確領(lǐng)導(dǎo)下，我國堅(jiān)定不移貫徹新發(fā)展理念，著力推進(jìn)高質(zhì)量發(fā)展，推動(dòng)構(gòu)建新發(fā)展格局，實(shí)

施供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革，制定一系列具有全局性意義的區(qū)域重大戰(zhàn)略，經(jīng)濟(jì)實(shí)力實(shí)現(xiàn)歷史性躍

升.國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）從五十四萬億元增長到一百一十四萬億元，穩(wěn)居世界第二位：下表是

2022年我國大陸31省市區(qū)GDP數(shù)據(jù).則由各省市區(qū)GDP組成的這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（單

位：億元）（）

2022年中國大陸31省市區(qū)GDP（單位：億元）

排名省份GDP排名省份GDP排名省份GDP

1廣東129118.612河北42370.423新疆17741.3

2江蘇122875.613北京41610.924天津16311.3

3山東87435.114陜西32772.725黑龍江15901.0

4浙江77715.415江西32074.726吉林13070.2

5河南61345.116重慶29129.027甘肅11201.6

6四川56749.817遼寧28975.128海南6818.2

7湖北53734.918云南28954.229寧夏5069.6

8福建53109.919廣西26300.930青海3610.1

9湖南48670.420山西25642.631西藏2132.6

10安徽45045.021內(nèi)蒙古23158.7

11上海44652.822貴州20164.6

A.16311.3B.17741.3C.48670.4D.53109.9

7.虎殿（圖1）是中國古代傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，多用于宮殿、壇廟、重要門樓等高級(jí)

建筑上，虎殿的基本結(jié)構(gòu)包括四個(gè)坡面，坡面相交處形成5根屋脊，故又稱“四阿殿”或“五

脊殿”.圖2是根據(jù)虎殿頂構(gòu)造的多面體模型，底面4BCD是矩形，且四個(gè)側(cè)面與底面的夾角均

相等，則（）

E

C.AB=BC+^D.AB=2BC-EF

8.如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為2,圓0的圓心為正六邊形的中心，半徑為1,若點(diǎn)

P在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，MN為圓。的直徑，則麗?麗的取值范圍是（）

A.[|,3]B.[|<4]C.[2,3]D.[2,4]

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知Z「Z2為復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.若Z1=Z2，則Z1=Z2B.若%-Z2I=憶1+Z2I，則Z1Z2=0

：

C.若Z1Z2=0,則Z1=0或Z2=0D.若Z+Z2=0,則Z1=z2=0

10.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件4="第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)"，事件B="第二枚出現(xiàn)

偶數(shù)點(diǎn)"，事件C=''兩枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為8”，事件"兩枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為9”，則

（）

A.A與B互斥B.C與D互斥C.4與D獨(dú)立D.B與C獨(dú)立

11.如圖,正方體4BCD-&B1GD1中，M,N,Q分別是4D,

CCi，441的中點(diǎn)，AP=2AB(0<A<1),則下列說法正確

的是()

A.若a=看則當(dāng)以〃平面MPN

B.若;1=1,則AC1〃平面MPN

C.若4Gl1平面MPQ,則4=j

D.若4=則平面MPN截正方體所得的截面是五邊形

12.現(xiàn)有甲、乙、丙三位籃球運(yùn)動(dòng)員連續(xù)5場(chǎng)籃球比賽得分情況的記錄數(shù)據(jù)，已知三位球員

得分情況的數(shù)據(jù)滿足以下條件：

甲球員：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是26,眾數(shù)是24；

乙球員；5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是29,平均數(shù)是26；

丙球員：5個(gè)數(shù)據(jù)有1個(gè)是32,平均數(shù)是26,方差是9.6；

根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列統(tǒng)計(jì)結(jié)論一定正確的是()

A.甲球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于24分

B.乙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于24分

C.丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于24分

D.丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分的第60百分位數(shù)大于24

三'填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.設(shè)4B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且P(4)=P(B)=i,P(A+fi)則P(4B)=

14.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，向量瓦5=(1,1,2),OB==(2,1,-1),若。，A,

B,C四點(diǎn)共面，則1=.

15.某校采用分層隨機(jī)抽樣采集了高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生的身高情況，部分調(diào)查數(shù)據(jù)如

下:

項(xiàng)目樣本量樣本平均數(shù)樣本方差

高一100167120

高二100170150

高三100173150

則總的樣本均值，總的樣本方差S2=

16.直三棱柱4BC-48傳1的底面ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4/7,A.A=3，？.

若以點(diǎn)C為球心，r(0<rS4/2)為半徑的球與側(cè)面4CG&的交線長為空，且所對(duì)的弦長

為r,則球C與三棱柱ABC—4181cl的交線長為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

如圖，在直三棱柱—中，AC=3,BC=4,AB=5,點(diǎn)。是4B的中點(diǎn).

(1)求證：AC1BG；

(2)求證：AC1〃平面

18.(本小題12.0分)

我校開展體能測(cè)試，甲、乙兩名男生準(zhǔn)備在跳遠(yuǎn)測(cè)試中挑戰(zhàn)280米的遠(yuǎn)度，已知每名男生有

兩次挑戰(zhàn)機(jī)會(huì)，若第一跳成功，則等級(jí)為優(yōu)秀，挑戰(zhàn)結(jié)束；若第一跳失敗，則再跳一次，若

第二跳成功，則等級(jí)也為優(yōu)秀，若第二跳失敗，則等級(jí)為良好，挑戰(zhàn)結(jié)束.已知甲、乙成功跳

過280米的概率分別是,，全且每名男生每跳相互獨(dú)立.記“甲、乙在這次跳遠(yuǎn)挑戰(zhàn)中獲得優(yōu)

秀”分別為事件A，B.

⑴求P(Z)、P(B)；

(2)求甲、乙兩人在這次跳遠(yuǎn)挑戰(zhàn)中恰有一人獲得良好的概率.

19.（本小題12.0分）

在A/IBC中，內(nèi)角4、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,其面積為S,且滿足，3而?前+2S=Cbc.

（1）求角A的大小;

（2）設(shè)BC邊上的高4。=1,求S的最小值.

20.（本小題12.0分）

某校工會(huì)開展健步走活動(dòng)，要求教職工上傳3月1日至3月711的微信記步數(shù)信息，如圖1是職

工甲和職工乙微信記步數(shù)情況:

步數(shù)步數(shù)

85661989116820520713022118601552411845105779780487217022965512396

圖I

0510152025微信記步數(shù)單位:千羽

圖2

（1）從3月2日至3月7日中任選一天，求這一天職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000的概

率；

（2）如圖2是校工會(huì)根據(jù)3月1日至3月7日某一天的數(shù)據(jù)制作的全校200名教職工微信記步數(shù)的

頻率分布直方圖.已知這一天甲和乙微信記步數(shù)在單位200名教職工中排名（按照從大到小排

序）分別為第68和第142,請(qǐng)指出這是根據(jù)H那一天的數(shù)據(jù)制作的頻率分布直方圖，并說明理由.

21.（本小題12.0分）

請(qǐng)?jiān)谶@三個(gè)條件：①sin乙4BC=g；@AB=5；（3）AB=AC,中任選一個(gè)條件補(bǔ)充在下面的

橫線上，并加以解答.

如圖.銳角AABC中sinz_B4C=空，,BC=6,。在BC上，且BC=2DC,點(diǎn)E在邊4c上,

且BE14C,BE交4。于點(diǎn)F.

⑴求"、4D的長;

(2)求4尸的長.

22.(本小題12.0分)

在四棱臺(tái)4BCD—也中，1平面4BCD,AB//CD,^ACD=90。，AC=y/~3,CD=1,

垂足為

AM1CC1；M.

⑴證明：平面ABM1平面CDD￡；

(2)若二面角8—AM—D正弦值為手，求直線4c與平面C。。】G所成角的余弦值.

A,

B,

.二

8

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：a+3i=(b+=-1+抗，a,beR,

a=—1,b=3,

故選：B.

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡，再利用復(fù)數(shù)的相等求解.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的相等，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查平面向量共線定理和向量的數(shù)乘運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)平面向量共線定理和向量的數(shù)乘運(yùn)算，即可求出m的值.

【解答】

二存在實(shí)數(shù)；I,使乙=4Z，

???向量N、B不共線，c=3a+b<d=ma+(m+2)6>

3a+b=Ama+X(m+2)b，

(3—Am

"(1=2(771+2),

解得：A=-1,m=-3.

故選；D.

3.【答案】A

【解析】解：若cos4>cosB,且4,BG(0,7i),y=cosx在(0,兀)遞減，

可得4<B,即有a<b,故A正確；

若a2+b2—c2>o,即cosC>0,可得C為銳角，不能說三角形為銳角三角形，故B錯(cuò)誤;

若acosA=bcosB,即有a.Q±￡*=b.

2bc2ca

化為(M—h2)(a2+fe2—c2)=0,即有Q=b或小+fa2=C2

則△ABC為等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；

由正弦定理和bcosC+ccosB=asinA,可得sinBcosC+sinCcosB=siMa,

即為sin(B+C)=sinA=siMA,

可得sinA=l,由4為三角形的內(nèi)角，可得2=90。，故。錯(cuò)誤.

故選：A.

運(yùn)用余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷4由余弦定理可判斷B；由余弦定理和因式分解可得三角形的形狀,

可判斷C；由三角形的正弦定理化簡整理可判斷D.

本題考查三角形的正弦定理和余弦定理，以及余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力、推理

能力，屬于中檔題.

4.【答案】D

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?0x(2a+3a+7a+6a+2a)=l,可得a=0.005,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,由圖可知前三組的頻率和為0.10+0.15+0.35=0.6,

所以這100名學(xué)生競賽成績的中位數(shù)為70+10X-蕊。15x77,故8錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?0,80)的頻率最大，所以這100名學(xué)生競賽成績的眾數(shù)為75,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。：總體中成績落在［70,80)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為0.35x1500=525,故。正確.

故選：D.

先根據(jù)頻率之和為1可得a=0.005,進(jìn)而可得每組的頻率，再結(jié)合統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)分析判斷.

本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：由于m,n為異面直線，7nl?平面a,nJL平面

則平面a與平面6必相交，但未必垂直，且交線垂直于直線n,故AB錯(cuò)誤；

又直線1滿足，_Lm,l_Ln,Ita,I”則交線平行于，故C正確，。錯(cuò)誤.

故選：C.

利用異面直線、線面的位置關(guān)系即可求解.

本題考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查了平面的基本性質(zhì)及推論，考查了線面平行、線面

垂直的判定與性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象和思維能力，是中檔題.

6.【答案】D

【解析】解：31x75%=23.25,

所以各省市區(qū)GDP組成的這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為從小到大排名第24名的省份的數(shù)據(jù),

即31個(gè)省份的從高到低的第8位的省份的數(shù)據(jù)，

因此為第8名的福建省的53109.9億元.

故選：D.

根據(jù)百分位數(shù)的定義即可求解.

本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：設(shè)點(diǎn)E在底面ABCD上的射影為G,作GM1BC,GN1AB,垂足分別為M,N,如圖

所示：

則4EMG為側(cè)面EBC與底面4BCD的夾角，4ENG為側(cè)面E84尸與底面4BC0的夾角，

設(shè)四個(gè)側(cè)面與底面的夾角為。，則在Rt△EMG和Rt△ENG中，乙EMG=乙ENG=9,

又GE為公共邊，貝IJGN=GM,即絲產(chǎn)=竽，整理得4B=BC+EF.

故選：A.

設(shè)點(diǎn)E在底面4BCD上的射影為G,作GM1BC,GNLAB,垂足分別為M,N,設(shè)四個(gè)側(cè)面與底面

的夾角為仇即可得到ZEMG=ZENG=6,根據(jù)三角形全等得到方程，即可得出答案.

本題考查二面角，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：如圖，取4尸的中點(diǎn)Q,

根據(jù)題意，A40F是邊長為2的正三角形，

易得|0Q|=/?，

~PM-PN=（P0+0M）?（P0+ON）

=時(shí)+方.而+而.而+詞.而

=|P0|2+P0-（ON+0M）-1

=|P0|2-1,

根據(jù)圖形可知，當(dāng)點(diǎn)P位于正六邊形各點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，|可|有最小值二，

此時(shí)|而產(chǎn)-1=2;

當(dāng)點(diǎn)位于正六邊形的頂點(diǎn)時(shí)，|同|有最大值2,

此時(shí)|而|2-1=3;

綜上，23麗?麗W3.

故選：C.

取4F的中點(diǎn)Q，可求得|。<2|=，有，而）??麗=（而+3祈）?（同+而）=|由『一1，結(jié)合圖

形可知，|所|的最大值和最小值，由此得解.

本題考查平面向量的數(shù)量積，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于4,Z1=Z2，

則Z1=Z2,故A正確；

對(duì)于B,令Zi=1,z2=i,滿足％-Z2I=[Z]+Z2I，但z】Z2#0,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,zxz2=0

則IZ/2I=%|憶2|=0,故Z]=0或Z2=0,故C正確；

對(duì)于D,令Zi=1,z2=i>滿足z1+z/=0,但Zi#：Z2，故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

根據(jù)已知條件，結(jié)合共聊復(fù)數(shù)的定義，判斷4結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，判斷C,結(jié)合特例，判斷BD.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：對(duì)于A,記(x,y)表示事件“第一枚點(diǎn)數(shù)為久，第二枚點(diǎn)數(shù)為y”，

則事件4包含事件(1,2),事件B也包含事件(1,2),

所以4nBR0,故A與B不互斥，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,事件C包含的基本事件有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)共5件，事件。包含的基本事件

有(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)共4件，故CnD=0,即C與?；コ?故B正確；

對(duì)于C,總的基本事件有6x6=36件，事件4的基本事件有3x6=18件，故P(4)=!|=；,

由選項(xiàng)8知0(。)=表=/

而事件4D包含的基本事件有(3,6),(5,4)共2件，故P(4D)=之=白，

所以P(4D)=PQ4)P(D),故A與。獨(dú)立，故C正確；

對(duì)于D,事件B的基本事件有6x3=18件，故P(B)=^|=；,由選項(xiàng)B知P(C)=蔡，

而事件BC包含的基本事件有(2,6),(4,4),(6,2)共3件，故P(BC)=烹=也，

所以P(B)P(C)=：x￡=費(fèi)7*=P(BC),故8與C不獨(dú)立，故O錯(cuò)誤.

故選：BC.

對(duì)于4結(jié)合互斥事件的概念舉反例排除即可；

對(duì)于B,列舉出事件C,。所包含的基本事件，結(jié)合結(jié)合互斥事件的概念即可判斷；

對(duì)于CD,利用古典概型求出事件4B,C,D,AD,BC的概率，結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式判斷

即可.

本題主要考查互斥事件和獨(dú)立事件，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于4連接/Di，BD,在正方體中，可知

當(dāng);I=；時(shí)，P是4B的中點(diǎn)，貝UMP〃BD,所以MP〃BiD「由于MPu平面MNP,平面MNP,

所以當(dāng)名〃平面MPN,故A正確;

￡>,

對(duì)于B,當(dāng)；1=1時(shí)，P與點(diǎn)B重合，連接交4c于點(diǎn)。，連接NO,

若4Gl〃平面MPN,則AC】u平面ACCi，且平面4CG0平面MNP=N。，則力CJ/NO,

由于N是CQ的中點(diǎn)，貝IJO為4C中點(diǎn)，這顯然不符合要求，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若4cli?平面MPQ,則AC11MP,由于MPu平面4BC。，8Du平面ABC。，又BO14C,

BD1CC],

ACnCQ=C,AC,equ平面ACC1，

所以BD_L平面4CC「ACru平面4CC「則BD1ACr,

顯然AG與平面4BCD不垂直，故ACi，MP,則8￡>〃MP,

由于M為4。中點(diǎn)，所以P為4B中點(diǎn)，故4=標(biāo)C正確；

對(duì)于D,取NC中點(diǎn)F,在。。1上取點(diǎn)H,使得DH=在棱BBi取E,使得BE=；BB],在棱CC】

上取CK=：CCi，

o

由于N,M分別為CCi，4。的中點(diǎn)，所以黑=；,隰隰嗎=MH〃NE,

xEF4MD4MDEF''

日工田E83NK3NKEB,

同理一=一，一=一，=—=—=rHrKNT/nPrE,

1JPB8HK8HKPB/

連接PE,NE,HN,MH,MP即可得到截面多邊形，故。正確.

故選：ACD.

APB

根據(jù)線線平行即可判斷4,根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可得矛盾判斷B,根據(jù)線面線面垂直的性質(zhì)即可

判斷C,根據(jù)平行關(guān)系，即可由線段成比例得線線平行，即可求解截面.

本題考查立體幾何性質(zhì)推論，屬于中檔題.

12.【答案】AD

【解析】解：對(duì)于4設(shè)甲球員的5場(chǎng)籃球比賽得分按從小到大排列為修，x2,x3,x4,x5,

則<x2<X3<x4<x5,x3=26,且24至少出現(xiàn)2次，

故/=&=24,故A正確；

對(duì)于B,設(shè)乙球員的5場(chǎng)籃球比賽得分按從小到大排列為力,y2,丫3,外，則，

則為<y2<y3<y4<ys^丫3=29，

取力=20,y2=23,y4=29,y5=29,可得其滿足條件，但有2場(chǎng)得分低于24,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，設(shè)丙球員的5場(chǎng)籃球比賽得分按從小到大排列為Z],Z2,Z3,Z4,Z5,

1

由已知w[(Z[-26)2+(Z2-26)2+(Z3—26y,|_(z4-26/+(z$-26)。=9.6,

22222

所以Qi-26)+⑵-26)+(z3-26)+(z4-26)+(z5-26)=48,

若Z4>32,貝收5>32,

22222

所以Qi-26)+(Z2-26)+(Z3-26)+(z4-26)+(zs-26)>72,矛盾，

222

所以Z5=32,⑵-26)+(z2-26/+(z3-26)+(z4-26)=12,

因?yàn)閆i，z2,Z3,Z4,Z5的平均數(shù)為26,所以Zi+Z2+Z3+Z4=98,

取Z]=23,z2=25,Z3=25,Z4=25,滿足要求，但有一場(chǎng)得分低于2(4分)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，因?yàn)?x60%=3,所以丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分的第60百分位數(shù)為告幺，

若空W24,則迫尹W24,故Zi+Z2+Z3+Z4<98,矛盾，

所以歿幺>2%所以丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分的第60百分位數(shù)大于24,故。正確.

故選：AD.

根據(jù)中位數(shù)，眾數(shù)的定義判斷4,結(jié)合中位數(shù)，平均數(shù)的定義舉反例判斷B,根據(jù)平均數(shù)和方差的

定義，百分位數(shù)的定義，分析丙球員的得分判斷CD.

本題主要考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和百分位數(shù)的計(jì)算，屬于中檔題.

13.【答案】卷

【解析】解：由題意得P(4B)=PQ4)+P⑻一P(4+B)=|+A*=5

故答案為：去

根據(jù)概率的加法計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.

本題主要考查概率的加法公式，屬中檔題.

14.【答案】8

【解析】

【分析】

本題考查了空間向量坐標(biāo)的數(shù)乘和加法運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

0,A,B,C四點(diǎn)共面時(shí)，可得出而=4瓦？+〃死，然后代入坐標(biāo)即可求出t的值.

【解答】

解：0,A,B,C四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)4,〃使得通=4+“5^,

代入向量的坐標(biāo)得：(-1,1,t)=(4+2出4+〃,24-〃)，

A+2/z=-1

???4+〃=1,解得4=3,〃=—2,t=8.

2A—jU=t

故答案為：8.

15.【答案】170146

【解析】解：高一樣本的均值記為五，方差記為登，

高二樣本的均值記為石，方差記為登，

高三樣本的均值記為石，方差記為*,

則總樣本均值為：

-100,-、-|167+170+173

X=而01+%2+%3)=------3------=170)

所以總樣本方差為：

22

$2=擊X{100X[sf+(無1-X)]+100X[S2+(x2-x)2]+100X[sj+(x3—x)])

=1x{[120+(170-167)2]+[150+(170-170)2]+[150+(170-173)2]}

=146.

故答案為：170,146.

高一樣本的均值記為五，方差記為受，高二樣本的均值記為五，方差記為赍，高三樣本的均值記

為五，方差記為耳，利用定義求出總樣本均值和方差即可.

本題考查了分層抽樣方法的平均數(shù)和方差的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】?-ZV_yarccos,

【解析】解：因?yàn)榈酌?BC是等腰直角三角形，且AC=BC=412,所以48=VAC2+BC2=8,

故點(diǎn)C到48的距離為JBC2-^AB2=4.

球的半徑大小影響球與三棱柱的上底面是否存在交線，故需根據(jù)三棱柱的高為分界點(diǎn)對(duì)球

的半徑進(jìn)行分類討論.

設(shè)球C與CCi，ZC分別交于點(diǎn)。，E,

則球C與側(cè)面4CC出的交線長為r-乙4CCi=%,則會(huì)=學(xué),

即「=殍，此時(shí)所對(duì)的弦長為空裝「，不滿足題意:

②若「6(3，號(hào),4門］,如圖2所示，

設(shè)球C與&Cr力C分別交于點(diǎn)M,N,則MN=r=MC=CN,所以NMQV=g,

所以球C與側(cè)面4CG&的交線長為gr=*,解得r=2/7,滿足題意.

則球C與側(cè)面BCC/i的交線長為*兀，與底面ABC的交線長為廣=E,

在RtACCiM中，QM=Vr2-CCl=1.

所以球C與平面4181G的交線長為GM-N&CiBi=p

由于CQ=CP=2/7,可求出PQ=2,28—16=4二,設(shè)NPCQ=。，

由余弦定理可得cos"CQ="%PQ2=1,

所以zPCQ=arccos^,則弧長河=2V^arccos^

所以與底面/BC的交線長為-2-/-7arccosi=yj~7n-2V^arccos|,

所以球C與三棱柱4BC-劣aCi的交線長為2x49+yHn-2/7arccos1=當(dāng)+Cn一

2V^arccos^.

故答案為：+y/~7n-2V~^7arccos^.

球的半徑大小影響球與三棱柱的上底面4&G是否存在交線，故需根據(jù)三棱柱的高為分界點(diǎn)對(duì)球

的半徑進(jìn)行分類討論，畫出圖形，由球與側(cè)面4CCM1的交線長為殍I,結(jié)合弧長公式去掉不合要

求的情況，求出交線長.

本題考查三棱柱的截面問題，球與三棱柱的位置關(guān)系，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

17.【答案】證明：(1)因?yàn)槿庵?8。一/1遇16為直三棱柱,

所以GC1平面4BC,所以CiC_L4C.

又因?yàn)?c'=3,BC=4,AB=5,

所以心+叱=4口2,

所以4c1BC.

又CiCCBC=C,

所以AC，平面CGBiB,

所以4CJ.BC].

(2)連結(jié)GB交CBi于E,再連結(jié)。E,

由已知可得E為GB的中點(diǎn)，

又「O為AB的中點(diǎn)，[DE為ABAG的中位線.

???ACJ/DE

又DEu平面COB1，AQC平面Cg

4G〃平面CDB1.

【解析】(1)利用勾股定理的逆定理可得AC1BC.利用線面垂直的性質(zhì)定理可得CG1AC,再利用

線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；

(2)利用直三棱柱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角形的中位線定理即可得出ED〃4Ci，再利用線面平

行的判定定理即可證明結(jié)論

熟練掌握勾股定理的逆定理、線面垂直的判定和性質(zhì)定理、直三棱柱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三

角形的中位線定理、線面平行的判定定理是解題的關(guān)鍵.

18.【答案】解：⑴由題意可知PQ4)=,+”,=抵P(B)=1+!x|=~

(2)結(jié)合(1)可知本次比賽中恰有一人獲得優(yōu)秀有甲良好、乙優(yōu)秀或甲優(yōu)秀、乙良好兩種情況,

所以其概率為(1x.+得x(1_,)=套

【解析】(1)分一次成功和第二次才成功兩種情況進(jìn)行計(jì)算即可;

(2)分為甲良好、乙優(yōu)秀或甲優(yōu)秀、乙良好兩種情況.

本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬中檔題.

19.【答案】解：（1）因?yàn)檐?而=|荏||而|cosO=bc-cos4，S=^bc-sinA,

所以C荏-AC+2S=Cbc可化簡為CcosA+sinA=V_3,

根據(jù)化一公式得到：?cos4+齊譏4=?，即sin（4+今=?，

因?yàn)?€（0。,180。），所以4=全

（2）根據(jù)題意作圖如下：

因?yàn)镾=34",BC=￡a,S=｝：AB-AC-sinA=-4-hc>所以<a=—be，EPZJC=-3—a?'

在4ABC中，根據(jù)余弦定理得到=必+,2_。22/7^-a2=2bc-a2,

C0SA-2bc-2bc—2bc

即專包②，當(dāng)且僅當(dāng)〃=c2,即b=C時(shí)，不等式取得等號(hào)，

22bcJ

4V~-32__

將①代入②得到，解得a2零，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，取得等號(hào),

2警a3

所以S=[a2：x^=W，即當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，面積取得最小值

【解析】（1）根據(jù)亞?正=|荏||就|cos6?=bc-cos4，S=^bc-sinA,將原式化為CcosA+

sinA="再根據(jù)化一公式求解即可；

（2）根據(jù)S=；4。-BC=；a,S=^AB-AC-sinA=^-bc，得到尻=*a，再根據(jù)余弦定理和

基本不等式求解即可.

本題主要考查解三角形，屬于中檔題.

20.【答案】解：（1）設(shè)事件4表示“職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000”，

從3月2日至3月7日這6天中，3月2日、5日、7日這3天，甲乙微信記步數(shù)都不低于10000,

由古典概型的概率公式可得，PQ4）=M=3

OZ

(2)3月3日符合要求，理由如下：

根據(jù)頻率分布直方圖知：微信記步數(shù)落在[20,25],[15,20),[10,15),[5,10),[0,5)(單位：千步)區(qū)

間內(nèi)的人數(shù)依次為200x0.15=30人，200x0.25=50人，200x0.3=60人，200x0.2=40人，

200x0.1=20人,

因?yàn)榧孜⑿庞洸綌?shù)排名第68,所以當(dāng)天甲微信記步數(shù)在15000到20000萬之間，

根據(jù)折線圖知：只有3月2日，3月3日，3月7日符合題意，

因?yàn)橐椅⑿庞洸綌?shù)排名第142,所以當(dāng)天乙微信記步數(shù)在5000到10000萬之間，

根據(jù)折線圖知：只有3月3日和3月6日符合題意，

綜上所述，3月3日符合要求.

【解析】(1)根據(jù)古典概型的概率公式求解；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖可知，當(dāng)天甲微信記步數(shù)在15000到20000萬之間，當(dāng)天乙微信記步數(shù)在

5000到10000萬之間，從而判斷3月3日符合要求.

本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于中檔題.

21.【答案】解：選①，(1)銳角AABC中，sin^BAC=|^,sin乙48C=%BC=6,

則由正弦定理可得,4c_BC

sinZ.ABCsinZ.BAC'

則ac=u/=5；

25

244

vsinZ-BAC=—,sinZ-ABC=

???由三角函數(shù)的同角公式可得，cosZ-BAC=cosZ-ABC=|,

3

cosC=—cos(Z-BAC+Z-ABC}=-cosZ.BACcosZ-ABC+sinZ.BACsinZ-ABC=

vBE1AC,AC=5,

ACE=BCcosC=6x|=裝，AE=AC—CE=

在△4C0中，AD2=AC24-DC2-2AC-DC-cosC=17,即4D=

加+"一加_

217+25-419^^L7

(2)cosz>￡MC=

2ADAC-=10/T785

vBE1AC,

7<l7

：.AFCOSADAC=AE,^AF=—

COS/LDAC19

選②,(1)銳角A4BC中,smz.BAC=g,

7

貝kos4BAC=會(huì)

由余弓玄定理可得，BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cos^BAC,

即AC?一當(dāng)a”11=0,解得a。=5(負(fù)值舍去)；

AC=AB=5,

則cosC=cosZ.ABC,

vBE1AC,AC=5,

CE=BCcosC=6x|=y,AE=AC-CE=

在△ACD中，AD2=AC2+DC2-2AC-DC-cosC=17,即/D=07,

加+4<2一<。2

(2)coszDi4C=17+25-4_19\TT7

2ADACIOVTF-85

??,BE1AC,

???AFcosZ-DAC=AE,即4F=AE_7ym

cosZ.DAC19

選③，(1)在銳角ABC中，sin^BAC=g,BC=6,AB=AC,

由余弦定理可得，BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cos^BAC,解得AC=5；

244

???sinZ-BAC=—,sinz^^C=

??.由三角函數(shù)的同角公式可得，cosZ-BAC=cosZ-ABC=

3

/.c