2022-2023學(xué)年高二物理競(jìng)賽課件：平衡態(tài)物理學(xué)簡(jiǎn)介

平衡態(tài)物理學(xué)簡(jiǎn)介

導(dǎo)引

玻耳茲曼方程

玻耳茲曼積分微分方程

Ｈ定理

導(dǎo)引非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的任務(wù)是從微觀運(yùn)動(dòng)規(guī)律出發(fā)，分析非平衡態(tài)系統(tǒng)在演變過(guò)程中的行為和性質(zhì)。其中心課題是定量的討論耗散性以及與之相聯(lián)系的宏觀突變現(xiàn)象，其中包括趨向平衡的微觀基礎(chǔ)、系統(tǒng)漲落的特性、正確耗散系統(tǒng)的獲得以及具有一定耗散性質(zhì)的系統(tǒng)的宏觀行為等等。本章首先導(dǎo)出非平衡態(tài)分布函數(shù)滿足的線性方程－－玻耳茲曼方程，并應(yīng)用其討論氣體的粘滯現(xiàn)象和金屬的電導(dǎo)率；再具體討論碰撞對(duì)分布函數(shù)的影響，進(jìn)一步得出非平衡態(tài)分布函數(shù)滿足的非線性方程－－玻耳茲曼積分微分方程，并用它討論系統(tǒng)趨向平衡的問(wèn)題，得到玻耳茲曼Ｈ定理。玻耳茲曼方程玻耳茲曼方程是稀薄氣體處在非平衡態(tài)時(shí)的分布函數(shù)滿足的方程。假定單個(gè)粒子的自由運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用其速度v及坐標(biāo)r來(lái)標(biāo)記，Ｎ個(gè)粒子按狀態(tài)的分布，可用分布函數(shù)f來(lái)描述。則在時(shí)刻ｔ、位于體積元和速度間隔內(nèi)的分子數(shù)為經(jīng)過(guò)dt時(shí)間后，在ｔ+dt時(shí)刻、位于同一體積元和同一速度間隔內(nèi)的分子數(shù)變?yōu)?/p>

當(dāng)dt很小時(shí)，用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并只取頭兩項(xiàng)可得兩式相減，即得dt時(shí)間內(nèi)內(nèi)增加的分子數(shù)其中為分布函數(shù)隨時(shí)間的變化率。分布函數(shù)隨時(shí)間變化有兩個(gè)原因：一是分子的速度使其位置發(fā)生變化，當(dāng)存在外場(chǎng)時(shí)，分子的加速度使其速度發(fā)生變化，這兩者都會(huì)引起f的變化，用表示，稱為漂移變化。二是分子間的碰撞引起f的變化，用表示，稱為碰撞變化。

即在時(shí)間dt內(nèi)，通過(guò)6對(duì)平面進(jìn)入內(nèi)的凈分子數(shù)為同理，在dt時(shí)間內(nèi)，在界面x+dx處逸出的粒子數(shù)以x、y、z、vx、vy、vz為直角坐標(biāo)，構(gòu)成一個(gè)6維空間。在dt時(shí)間內(nèi)，在界面x處進(jìn)入的粒子數(shù)等于以為高、以為底的柱體內(nèi)的粒子數(shù)首先分析由于漂移而引起的內(nèi)粒子數(shù)的變化。若作用在一個(gè)粒子上的外力F

滿足即有于是再分析由碰撞引起的粒子數(shù)的變化。這里只對(duì)分布函數(shù)的碰撞變化率作唯象的討論。當(dāng)分布函數(shù)f偏離了局域平衡的分布函數(shù)f

(0)時(shí)，粒子間的相互碰撞將使系統(tǒng)趨向局域平衡。假定正比于(f–f(0))，即于是就得到非平衡態(tài)分布函數(shù)f

隨時(shí)間的演化方程此式稱為玻耳茲曼方程。

基本假定1.假定粒子是彈性剛球，在碰撞時(shí)兩球的相互作用力在兩球心的連線上。2.假定氣體中稀薄的，三個(gè)或三個(gè)以上的粒子同時(shí)相碰的概率很小，可以只考慮兩兩分子相碰。3.稀薄氣體中，任何兩個(gè)粒子的速度分布是相互獨(dú)立的。

粒子碰撞前后速度的改變假定兩個(gè)粒子碰撞前后的速度分別為v1，v2，v1′，v2′。碰撞前后動(dòng)量能量均守恒，可得

粒子的碰撞次數(shù)設(shè)第二個(gè)粒子對(duì)第一個(gè)粒子的相對(duì)速度為v2-v1，與碰撞方向n之間的夾角為θ，則在dt時(shí)間內(nèi)，第二個(gè)粒子要在以n為軸線的立體角內(nèi)碰到第一個(gè)粒子，它必須位于以v2-v1為軸線，以為高，以為底的柱體內(nèi)。其體積為

在反碰過(guò)程中，同理可得到在時(shí)間dt、體積元內(nèi)、速度間隔在內(nèi)的粒子與速度間隔在內(nèi)的粒子，在以n′=-

n為軸線的立體角內(nèi)的碰撞次數(shù)為根據(jù)假定3,以表示時(shí)刻ｔ、速度v1、位于體積元和速度間隔內(nèi)的粒子數(shù)，則在時(shí)間dt、體積元內(nèi)，速度間隔在內(nèi)的粒子與速度間隔在內(nèi)的粒子在以n為軸線的立體角內(nèi)的碰撞次數(shù)為

分布函數(shù)的碰撞變化率由于，對(duì)上式中的和積分，再相減，便可得到在時(shí)間dt、體積元內(nèi)，速度間隔在中因碰撞而增加的粒子數(shù)為而在時(shí)間dt、體積元內(nèi)