專題07 平面直角坐標(biāo)系與一次函數(shù)、反比例函數(shù)（講義）（原卷版）

專題07平面直角坐標(biāo)系與一次函數(shù)、反比例函數(shù)核心知識點精講⒈結(jié)合實例，了解常量、變量和函數(shù)的概念，體會“變化與對應(yīng)”的思想；⒉會確定函數(shù)自變量的取值范圍，即能用三種方法表示函數(shù)，又能恰當(dāng)?shù)剡x擇圖象去描述兩個變量之間的關(guān)系；⒊理解正比例函數(shù)、反比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念，會畫他們的圖象，能結(jié)合圖象討論這些函數(shù)的基本性質(zhì)，能利用這些函數(shù)分析和解決有關(guān)的實際問題.【知識網(wǎng)絡(luò)】考點1：平面直角坐標(biāo)系1.平面直角坐標(biāo)系平面內(nèi)兩條有公共原點且互相垂直的數(shù)軸構(gòu)成了平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)平面內(nèi)一點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對叫做這點的坐標(biāo).在平面內(nèi)建立了直角坐標(biāo)系，就可以把“形”（平面內(nèi)的點）和“數(shù)”（有序?qū)崝?shù)對）緊密結(jié)合起來.2．各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特點、坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)的特點點P(x,y)在第一象限；點P(x,y)在第二象限；點P(x,y)在第三象限；點P(x,y)在第四象限；點P(x,y)在x軸上，x為任意實數(shù)；點P(x,y)在y軸上，y為任意實數(shù)；點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P坐標(biāo)為（0，0）.3.兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點的坐標(biāo)的特征點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x與y相等；點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數(shù).4.和坐標(biāo)軸平行的直線上點的坐標(biāo)的特征位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標(biāo)相同；位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標(biāo)相同.5.關(guān)于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標(biāo)的特征點P與點p′關(guān)于x軸對稱橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；點P與點p′關(guān)于y軸對稱縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；點P與點p′關(guān)于原點對稱橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù).6.點P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點的距離（1）點P(x,y)到x軸的距離等于；（2）點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于；（3）點P(x,y)到原點的距離等于.要點詮釋：（1）注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限；（2）平面內(nèi)點的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對，當(dāng)時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標(biāo).考點2：分式的運算函數(shù)的概念：設(shè)在某個變化過程中有兩個變量x、y,如果對于x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它相對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量.2.自變量的取值范圍對于實際問題，自變量取值必須使實際問題有意義.對于純數(shù)學(xué)問題，自變量取值應(yīng)保證數(shù)學(xué)式子有意義.3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶圖象法.4．畫函數(shù)圖象（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值；（2）描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點；（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來.要點詮釋：（1）在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量；（2）確定自變量取值范圍的原則：①使代數(shù)式有意義；②使實際問題有意義.式的通分．考點3：幾種基本函數(shù)式1.正比例函數(shù)及其圖象性質(zhì)（1）正比例函數(shù)：如果y=kx(k是常數(shù)，k≠0)，那么y叫做x的正比例函數(shù)．（2）正比例函數(shù)y=kx（k≠0)的圖象：過（0，0），（1，K）兩點的一條直線．（3）正比例函數(shù)y=kx（k≠0)的性質(zhì)①當(dāng)k＞0時，圖象經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；②當(dāng)k＜0時，圖象經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小.2.一次函數(shù)及其圖象性質(zhì)（1）一次函數(shù)：如果y=kx+b(k,b是常數(shù)，k≠0),那么y叫做x的一次函數(shù)．（2）一次函數(shù)y=kx+b（k≠0)的圖象（3）一次函數(shù)y=kx+b（k≠0)的圖象的性質(zhì)一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象是經(jīng)過(0，b)點和點的一條直線．①當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大；②當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減?。c詮釋：（1）當(dāng)b=0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例；（2）確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k.確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法.3.反比例函數(shù)及其圖象性質(zhì)（1）定義：一般地，形如（為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù).三種形式：(k≠0)或(k≠0)或xy=k(k≠0).（2）反比例函數(shù)解析式的特征：①等號左邊是函數(shù)，等號右邊是一個分式.分子是不為零的常數(shù)（也叫做比例系數(shù)），分母中含有自變量，且指數(shù)為1；②比例系數(shù)；③自變量的取值為一切非零實數(shù)；④函數(shù)的取值是一切非零實數(shù).（3）反比例函數(shù)的圖象①圖象的畫法：描點法列表（應(yīng)以O(shè)為中心，沿O的兩邊分別取三對或以上互為相反的數(shù)）；描點（由小到大的順序）；連線（從左到右光滑的曲線）.②反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，（為常數(shù)，）中自變量，函數(shù)值，所以雙曲線是不經(jīng)過原點，斷開的兩個分支，延伸部分逐漸靠近坐標(biāo)軸，但是永遠不與坐標(biāo)軸相交.③反比例函數(shù)的圖象是軸對稱圖形（對稱軸是和）和中心對稱圖形（對稱中心是坐標(biāo)原點）.④反比例函數(shù)（）中比例系數(shù)的幾何意義是：過雙曲線（）上任意點引軸、軸的垂線，所得矩形面積為.（4）反比例函數(shù)性質(zhì)：反比例函數(shù)k的符號k>0k<0圖像性質(zhì)①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當(dāng)k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、三象限.在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當(dāng)k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第二、四象限.在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.（5）反比例函數(shù)解析式的確定：利用待定系數(shù)法（只需一對對應(yīng)值或圖象上一個點的坐標(biāo)即可求出）（6）“反比例關(guān)系”與“反比例函數(shù)”：成反比例的關(guān)系式不一定是反比例函數(shù),但是反比例函數(shù)中的兩個變量必成反比例關(guān)系.要點詮釋：（1）用待定系數(shù)法求解析式（列方程[組]求解）；（2）利用一次（正比例）函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象求不等式的解集.【題型1：與坐標(biāo)平面有關(guān)的計算】【典例1】已知點，試分別根據(jù)下列條件，求出點P的坐標(biāo)．(1)點P的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo)大3；(2)點P在過點且與x軸平行的直線上；(3)橫、縱坐標(biāo)的乘積等于0．1．在平面直角坐標(biāo)系中，點P的橫坐標(biāo)是，且點P到x軸的距離為5，則點P的坐標(biāo)是（

）A．或 B．或C． D．2．如圖，表示弘義閣的點的坐標(biāo)為，表示本仁殿的點的坐標(biāo)為，則表示中福海商店的點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．已知點P在第四象限內(nèi)，且點P到x軸的距離是，到y(tǒng)軸的距離是，則點P的坐標(biāo)是(

)A． B． C． D．【題型2：與正比例函數(shù)有關(guān)的計算】【典例】1.已知和成正比例，當(dāng)時，．(1)求關(guān)于的函數(shù)表達式；(2)若點是該函數(shù)圖象上的一點，求的值．【典例】2．如圖，已知正比例函數(shù)y＝kx的圖像經(jīng)過點A，點A在第四象限，過點A作AH⊥x軸，垂足為H，點A的橫坐標(biāo)為4，且△AOH的面積為8(1)求正比例函數(shù)的解析式．(2)在x軸上能否找到一點P，使△AOP的面積為10？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．1．已知函數(shù)是正比例函數(shù)，那么的取值是（

）A． B． C． D．任意實數(shù)2．若函數(shù)是正比例函數(shù)，則m的值為（

）A．1 B． C． D．3．如圖，三個正比例函數(shù)的圖象對應(yīng)的解析式為①，②，③，則a、b、c的大小關(guān)系是（）

A． B． C． D．4．若點在第二象限，則正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過()A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、四象限 D．第二、三象限【題型3：與反比例函數(shù)有關(guān)的計算】【典例】1.如圖，點,在反比例函數(shù)的圖像上，軸于點，軸于點，．(1)求的值并寫出反比例函數(shù)的表達式；(2)點在反比例函數(shù)的圖像上，且在點右側(cè)，連接，，若的面積為，請求出點的坐標(biāo)．【典例】2.如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，正比例函數(shù)，過點A作軸，垂足為點B，．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)在直線上是否存在點C，使點C到直線的距離等于它到點B的距離？若存在，求點C的坐標(biāo)，請說明理由；(3)已知點P在直線上，如果是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標(biāo)．1．如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，則以下說法不正確的是（

）A．若圖中矩形的面積為2，則 B．，y隨x的增大而減小C．圖象也經(jīng)過點 D．當(dāng)時，2．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則它的圖象一定還經(jīng)過點（

）A． B． C． D．3．如圖所示（圖像在第二象限），若點在反比例函數(shù)的圖像上，軸于點，的面積為，則的值為（

）A． B． C． D．4．若反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．如圖，B、C兩點分別在函數(shù)和（）的圖象上，線段軸，點A在x軸上，則的面積為（）A．9 B．6 C．3 D．46．如圖，已知點，點在雙曲線上，點，點雙曲線上，四邊形為平行四邊形若軸，則平行四邊形的面積等于（

）A． B． C．5 D．10【題型4：與一次函數(shù)有關(guān)的計算】【典例】1.如圖，點A（1，0），點B在y軸正半軸上，直線AB與直線l：y=相交于點C，直線l與x軸交于點D，AB=.（1）求點D坐標(biāo)；（2）求直線AB的函數(shù)解析式；（3）求△ADC的面積.【典例】2.如圖，直線y=kx-6經(jīng)過點A(4,0),直線y=－3x+3與x軸交于點B,且兩直線交于點C.(1)求k的值.(2)求△ABC的面積.（3）在直線y=kx-6上是否存在異于點C的另一點P，使得△ABP與△ABC的面積相等，請直接寫出點P的坐標(biāo)．1．一次函數(shù)和正比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的函數(shù)圖象可能是（

）A． B．C． D．2．在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖像大致是（

）.A． B． C． D．3．已知直線經(jīng)過點A（-1,2）且與X軸交于點B，點B的坐標(biāo)是（

）A．（-3,0） B．（0,3） C．（3,0） D．（0，-3）4．若一次函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的減小而增大，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．1．若點，在正比例函數(shù)圖象上，且時，則m的值可以是（

）A．2 B．0 C． D．2．已知一次函數(shù)滿足，且y隨x的增大而減小，則一次函數(shù)的大致圖象是大致是（

）A．

B．

C．

D．

3．如圖，下列結(jié)論中錯誤的是（

）

A．方程的解為，B．當(dāng)時，有C．，，D．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是4．點在第四象限，且點P到x軸和y軸的距離相等，則m的值是．5．在平面直角坐標(biāo)系中，若長方形的三個頂點坐標(biāo)分別是，，，則第四個頂點的坐標(biāo)是．6．在平面直角坐標(biāo)系中，將點向右平移2個單位長度得到點，則點關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為．1．一次函數(shù)和是常數(shù)且都不為與一次函數(shù)和是常數(shù)且都不為的圖象如圖所示，下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．2．如圖，直線交x軸于點A，交y軸于點B，與直線的交點C的縱坐標(biāo)是，則的面積為（）A． B． C． D．3．如圖，已知點位于第三象限，點位于第二象限，且點Q是由點P向上平移4個單位長度得到的，

（1）若點P的縱坐標(biāo)為，則a的值為（2）在（1）的條件下，點Q的坐標(biāo)為．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將線段平移使得一個端點與點重合，已知點，，，則線段平移后另一個端點的坐標(biāo)為．

三、解答題5．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點M的坐標(biāo)為．(1)若點M在y軸上，求a的值；(2)若軸，并且點N的坐標(biāo)為．①求點M的坐標(biāo)及線段的長；②P為y軸上一點，當(dāng)?shù)拿娣e為20時，直接寫出點P的坐標(biāo)．6．小紅幫弟弟蕩秋千（如圖①），秋千離地面的高度與擺動時間之間的關(guān)系如圖②所示．

(1)根據(jù)函數(shù)的定義，變量h（填“是”或者“不是”）關(guān)于t的函數(shù)，變量h的取值范圍是．(2)結(jié)合圖象回答：①當(dāng)時，h的值是，它的實際意義是；②秋千擺動第一個來回需多少時間？答：．7．已知函數(shù)是正比例函數(shù)．(1)若函數(shù)關(guān)系式中y隨x的增大而減小，求m的值；(2)若函數(shù)的圖象過第一、三象限，求m的值．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點、、坐標(biāo)分別是、、，頂點在函數(shù)（）的圖像上．

(1)求的值；(2)將沿y軸向上平移，當(dāng)頂點落在（）的圖像上時，邊與該函數(shù)圖象相交于點，連接，求此時的面積．一、單選題1．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖是中國象棋棋盤的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知“車”所在位置的坐標(biāo)為，則“炮”所在位置的坐標(biāo)為（

）．

A． B． C． D．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，坐標(biāo)平面上直線L的方程式為，直線M的方程式為，P點的坐標(biāo)為（a，b）．根據(jù)圖中P點位置判斷，下列關(guān)系何者正確（

）

A． B． C． D．3．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）將函數(shù)的圖像向下平移2個單位長度，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)表達式是（

）A． B． C． D．4．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）下列函數(shù)中，函數(shù)值y隨x的增大而減