第一章 三角形的證明（單元小結(jié)）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)北師大版

單元復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)（北師大版）第一章三角形的證明要點(diǎn)梳理一、等腰三角形的性質(zhì)及判定

1.定理:等腰三角形的兩個(gè)底角相等.（等邊對(duì)等角

）

（一）等腰三角形的性質(zhì)CBA符號(hào)語(yǔ)言：

∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C2.推論:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重（三線合一）CBAD12要點(diǎn)梳理（二）等腰三角形的判定方法ABCCBA幾何語(yǔ)言:在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；在△ABC中，

∠B=∠C，∴AB=AC（△ABC是等腰三角形）①

定義法：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形②定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）要點(diǎn)梳理二、等邊三角形的性質(zhì)及判定性質(zhì)：1.具有等腰三角形的一切性質(zhì)；2.等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都等于60°CBA（一）等邊三角形的性質(zhì)等腰三角形等邊三角形邊兩邊相等三邊相等角兩角相等三角相等（60°）軸對(duì)稱一條(三線合一)三條(三線合一)性質(zhì)等邊對(duì)等角內(nèi)角都相等要點(diǎn)梳理判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．符號(hào)語(yǔ)言：∵在△ABC中，∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形．CAB判定定理2:有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形∵在△ABC中,BC=AC,∠C=60°(或∠A=60°)∴△ABC是等邊三角形．定義法：三邊相等的三角形是等邊三角形.（二）等邊三角形的判定方法CAB要點(diǎn)梳理1.定理：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形（二）直角三角形的判定ABC要點(diǎn)梳理2.勾股定理的逆定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形.符號(hào)語(yǔ)言：∵在△ABC中,AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.acbABC要點(diǎn)梳理3.定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（“斜邊、直角邊”或“HL”表示）幾何語(yǔ)言:∵在△ABC和△A′B′C中,

∠C=∠C′=900BC=B′C′,AB=A′B′∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.（HL）ABCA′B′C′“HL”是直角三角形所獨(dú)有的判定三角形全等的定理，直角三角形全等的判定,除了“HL”外,還可用SAS，ASA，SSS，AAS.要點(diǎn)梳理四、垂直平分線的性質(zhì)及判定（一）線段垂直平分線的性質(zhì)定理定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.ACBPMN符號(hào)語(yǔ)言：∵直線MN⊥AB,垂足是C，且AC=BC,P是MN上任意一點(diǎn).（P是線段AB垂直平分線上的一點(diǎn)）∴PA=PB.要點(diǎn)梳理ABCPabc符號(hào)語(yǔ)言：∵如圖,在△ABC中,a,b,c分別是AB,BC,AC的垂直平分線;∴a,b,c相交于一點(diǎn)P,

且PA=PB=PC稱點(diǎn)P為三角形的外心三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。要點(diǎn)梳理幾何語(yǔ)言描述：∵如圖,PA=PB∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上ABP（二）線段垂直平分線的判定定理

應(yīng)用：常用來(lái)證明點(diǎn)在直線上（或直線經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)）到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.要點(diǎn)梳理五、角平分線的性質(zhì)及判定應(yīng)用:常用來(lái)證明兩條線段相等符號(hào)語(yǔ)言：∵OC是∠AOB的平分線,（角平分線）P是OC上任意一點(diǎn)，

（角平分線上的點(diǎn)）

PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.（垂直距離）

∴PD=PE（一）角平分線的性質(zhì)定理三個(gè)條件缺一不可角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等要點(diǎn)梳理B

C

P

E

DF定理：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.符號(hào)語(yǔ)言：∵如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別作AB、BC、AC的垂線，垂足分別為D、E、F∴∠A的平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,且PD=PE=PF.A

要點(diǎn)梳理幾何語(yǔ)言：∵點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E,PD=PE,∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上（二）角平分線的判定定理

應(yīng)用：常用來(lái)證明點(diǎn)在直線上（或直線經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)）定理：在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.考點(diǎn)專練考點(diǎn)一等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定例1如圖所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求證：∠BAC=2∠DBC.ABCD))12E【分析】根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可作頂角∠BAC的平分線，來(lái)獲取角的數(shù)量關(guān)系.考點(diǎn)專練ABCD))12E證明：作∠BAC的平分線AE,交BC于點(diǎn)E,如圖所示，則∵AB=AC,∴AE⊥BC.∴∠2+∠ACB=90°.∵BD⊥AC,∴∠DBC+∠ACB=90°.∴∠2=∠DBC.∴∠BAC=2∠DBC.考點(diǎn)專練考點(diǎn)二直角三角形例2

在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的長(zhǎng)．解：∵∠B＝90°，∴b是斜邊，則在Rt△ABC中，由勾股定理，得又∵S△ABC＝b?BD＝ac，考點(diǎn)專練例3已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判斷△ABC是否為直角三角形．解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，

c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，

從而a2＋b2＝c2，

故可以判定△ABC是直角三角形．考點(diǎn)專練考點(diǎn)三線段的垂直平分線解：∵AD

是BC的垂直平分線，∴AB=AC，BD=CD.∵點(diǎn)C在AE

的垂直平分線上，∴AC=CE,∴AB=AC=CE,∴AB+BD=DE.例4

如圖，AD是BC的垂直平分線，點(diǎn)C

在AE

的垂直平分線上，AB，AC，CE

的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？AB+BD與DE

有什么關(guān)系？ABCDE考點(diǎn)專練例5如圖，在△ABC中，AD是角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF【分析】先利用角平分線的性質(zhì)定理得到DE=DF，再利用“HL”證明Rt△BDE

≌Rt△CDF.考點(diǎn)四角平分線的性質(zhì)與判定二、等邊三角形的性質(zhì)及判定1.性質(zhì)⑴定義;⑵等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60°;⑶是軸對(duì)稱圖形；⑷有3個(gè)“三線合一”.(5)在直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.類比等腰三角形2.判定⑴定義.⑵三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.⑶有一個(gè)角是60°的___________是等邊三角形.等腰三角形性質(zhì)定理

直角三角形的兩個(gè)銳角______.互余判定定理

有兩個(gè)角______的三角形是直角三角形.互余三、直角三角形D

勾股定理表達(dá)式的常見變形：a2＝c2－b2,b2＝c2－a2，.

四、勾股定理及逆定理勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的

.即：對(duì)于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c

，那么一定有

.平方

注意：只有在直角三角形里才可以用勾股定理，運(yùn)用時(shí)注意區(qū)分直角邊和斜邊．a(chǎn)2＋b2＝c2勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足：a2＋b2＝

，那么這個(gè)三角形是直角三角形．到目前為止判定直角三角形的方法有：(1)三角形中有一個(gè)角是

；(2)三角形中有兩邊互相

；(3)用勾股定理的逆定理．直角直角垂直c2方程思想1．互逆命題在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的

，和

，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．2．逆命題每一個(gè)命題都有逆命題，只要將原命題的條件改成

，并將結(jié)論改成

，便可以得到原命題的逆命題．結(jié)論條件結(jié)論條件五、逆命題和互逆命題3．逆定理如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么，它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)叫做另一個(gè)的

定理．[注意]每個(gè)命題都有逆命題，但一個(gè)定理不一定有逆定理．如“對(duì)頂角相等”就沒(méi)有逆定理．逆A1.性質(zhì)定理：線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.2.判定定理：到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.3.六、線段的垂直平分線基本尺規(guī)作圖(1)過(guò)已知點(diǎn)作已知直線的

；(2)作已知線段的垂直

線．垂線平分4.三角形的三邊的垂直平分線的性質(zhì)：三角形的三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，且到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.A1.性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.2.判定定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.3.三角形的三條內(nèi)角平分線的性質(zhì)：三角形的三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等.七、角平分線的性質(zhì)與判定拓展延申數(shù)學(xué)思想方法1.分類討論思想5或6【例2】

如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，將