信號(hào)與系統(tǒng)（第2版）課件 第3章 LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析

基礎(chǔ)篇信號(hào)系統(tǒng)時(shí)域篇連續(xù)離散頻域篇連續(xù)離散復(fù)頻域篇連續(xù)離散狀態(tài)變量篇連續(xù)離散21線性常系數(shù)方程的經(jīng)典解LTI系統(tǒng)的卷積分析基礎(chǔ)3連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析4離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析5LTI系統(tǒng)的性質(zhì)線性常系數(shù)微分方程的經(jīng)典解線性常系數(shù)差分方程的經(jīng)典解沖激響應(yīng)零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)2初始狀態(tài)在工程實(shí)際中有相當(dāng)普遍的一類系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型可以用線性常系數(shù)微分方程或差分方程來描述分析這類LTI系統(tǒng)就要求解線性常系數(shù)微分方程或差分方程輸入信號(hào)方程輸出信號(hào)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.1微分方程的經(jīng)典解3對(duì)于連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，其線性常系數(shù)微分方程形式為約束關(guān)系附加條件+

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.1微分方程的經(jīng)典解若t≤t0時(shí)x(t)=0則t≤t0時(shí)y(t)=0以y(t0)=y′(t0)=……=0求解t>t0時(shí)的輸出初始松弛4由方程的經(jīng)典解法可知，上式的完全解由齊次解與特解組成此外，還需借助附加條件（系統(tǒng)的初始條件）求出待定系數(shù)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.1微分方程的經(jīng)典解5求齊次解yh(t)

上式x(t)及其各階導(dǎo)數(shù)均為零時(shí)，此方程的解即齊次解，滿足齊次解是形如yh(t)=Aest的線性組合將y(t)=Aest帶入齊次方程，得齊次方程

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.1微分方程的經(jīng)典解6求齊次解yh(t)對(duì)應(yīng)的N個(gè)根s1，s2，s3，…，sN稱為微分方程的特征根

在特征根各不相同的情況下，微分方程的齊次解為特征方程若特征方程有重根，例如s1是j

階重根，即則相應(yīng)于的重根部分將有j

項(xiàng)，微分方程的齊次解為

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.1微分方程的經(jīng)典解系統(tǒng)“固有頻率”7求齊次解yh(t)【解】特征方程為即特征根為微分方程的齊次解為【例】確定方程

的齊次解形式

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.1微分方程的經(jīng)典解8求特解yp(t)特解yp(t)與輸入信號(hào)的函數(shù)形式有關(guān)輸入信號(hào)自由項(xiàng)特解函數(shù)形式特解【例】求方程

的特解

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.1微分方程的經(jīng)典解9借助附加條件求待定系數(shù)齊次解yh(t)與特解yp(t)相加即為方程的完全解需要根據(jù)附加條件確定

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.1微分方程的經(jīng)典解10【例】已知，系統(tǒng)初始松弛，求微分方程完全解【解】齊次解

特解由得特解為代入方程后有方程的齊次解為特征方程特征根

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.1微分方程的經(jīng)典解【解】齊次解特解完全解借助初始條件，可得出11【例】已知，系統(tǒng)初始松弛，求微分方程完全解

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.1微分方程的經(jīng)典解12求解繁瑣物理概念明確簡化計(jì)算計(jì)算機(jī)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.1微分方程的經(jīng)典解線性常系數(shù)差分方程的經(jīng)典解SignalsandSystems下一知識(shí)點(diǎn)本知識(shí)點(diǎn)21線性常系數(shù)方程的經(jīng)典解LTI系統(tǒng)的卷積分析基礎(chǔ)3連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析4離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析5LTI系統(tǒng)的性質(zhì)線性常系數(shù)微分方程的經(jīng)典解14差分方程可以完全按照微分方程的類似解法進(jìn)行求解約束關(guān)系附加條件+

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.2差分方程的經(jīng)典解若n≤n0時(shí)x[n]=0則n≤n0時(shí)y[n]=0以y[n0]=y[n0-1]=……=0求解n>n0時(shí)的輸出初始松弛15由方程的經(jīng)典解法可知，上式的完全解由齊次解與特解組成此外，還需借助初始條件（系統(tǒng)的附加條件）求出待定系數(shù)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.2差分方程的經(jīng)典解16【例】已知輸入，系統(tǒng)初始松弛，求下列差分方程

所描述的LTI系統(tǒng)的解【解】齊次解

特解由得自由項(xiàng)為特解形式為代入方程后有方程的齊次解為特征方程為特解為特征根

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.2差分方程的經(jīng)典解17

【解】齊次解特解完全解為借助初始條件，可得出完全解為

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.2差分方程的經(jīng)典解【例】已知輸入，系統(tǒng)初始松弛，求下列差分方程

所描述的LTI系統(tǒng)的解18

時(shí)，，顯式表示，非遞歸方程時(shí)，遞歸方程，需要附加條件線性常系數(shù)差分方程還可以通過迭代法求解

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.2差分方程的經(jīng)典解19【解】方程可寫為借助初始條件概念清楚比較簡便利于計(jì)算機(jī)求解難以給出解析式

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.2差分方程的經(jīng)典解【例】已知輸入，系統(tǒng)初始松弛，求下列差分方程

所描述的LTI系統(tǒng)的解20求解繁瑣物理概念明確簡化計(jì)算計(jì)算機(jī)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.2差分方程的經(jīng)典解21

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.2差分方程的經(jīng)典解線性常系數(shù)微分方程線性常系數(shù)差分方程小結(jié)方程特征根取決于輸入信號(hào)取決于輸入信號(hào)與初始狀態(tài)線性常系數(shù)差分方程的經(jīng)典解SignalsandSystems下一知識(shí)點(diǎn)本知識(shí)點(diǎn)21線性常系數(shù)方程的經(jīng)典解LTI系統(tǒng)的卷積分析基礎(chǔ)3連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析4離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析5LTI系統(tǒng)的性質(zhì)線性常系數(shù)微分方程的經(jīng)典解沖激響應(yīng)零輸入響應(yīng)與階躍響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)23完全解齊次解特解自由響應(yīng)受迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)初始狀態(tài)輸入信號(hào)信號(hào)分解

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.3零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)24yzi(t)必須滿足齊次方程系數(shù)僅僅由初始條件決定它是齊次解的一部分，可以寫作而yzs(t)應(yīng)滿足方程符合初始條件為零的約束表達(dá)式為特解

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.3_1零輸入響應(yīng)25歸納上述分析結(jié)果，完全解可寫為

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.3_1零輸入響應(yīng)26自由響應(yīng)與零輸入響應(yīng)都滿足齊次方程，系數(shù)不同零輸入響應(yīng)的系數(shù)僅僅由初始狀態(tài)決定自由響應(yīng)的系數(shù)要同時(shí)取決于初始狀態(tài)與輸入信號(hào)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，零輸入響應(yīng)為零系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，自由響應(yīng)可以不為零離散時(shí)間系統(tǒng)的情況類似，不再贅述

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.3_1零輸入響應(yīng)27【例】已知初始狀態(tài)，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

【解】由方程求出特征根s=-3

零輸入響應(yīng)滿足齊次方程，故零輸入響應(yīng)為

根據(jù)初始條件解得

于是零輸入響應(yīng)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.3_1零輸入響應(yīng)28【例】已知初始狀態(tài)，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

【解】由方程求出特征根z=0.9

零輸入響應(yīng)滿足齊次方程，故零輸入響應(yīng)為

根據(jù)初始條件解得

于是零輸入響應(yīng)采用方程經(jīng)典解法求解零輸入響應(yīng)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.3_1零輸入響應(yīng)SignalsandSystems下一知識(shí)點(diǎn)本知識(shí)點(diǎn)21線性常系數(shù)方程的經(jīng)典解LTI系統(tǒng)的卷積分析基礎(chǔ)3連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析4離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析5LTI系統(tǒng)的性質(zhì)沖激響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)與階躍響應(yīng)零輸入響應(yīng)與30完全解

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.3_2零狀態(tài)響應(yīng)31【例】已知輸入信號(hào)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

【解】由方程求出特征根s=-3由輸入信號(hào)求出特解

零狀態(tài)響應(yīng)為

根據(jù)初始條件解得

于是零狀態(tài)響應(yīng)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.3_2零狀態(tài)響應(yīng)32【例】已知輸入信號(hào)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

【解】由方程求出特征根z=0.9由輸入信號(hào)求出特解

零狀態(tài)響應(yīng)為

根據(jù)初始條件解得

于是零狀態(tài)響應(yīng)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.3_2零狀態(tài)響應(yīng)33【例】已知輸入，初始狀態(tài)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)

【解】由方程求出特征根s=-3，齊次解由輸入信號(hào)求出特解完全解為

根據(jù)初始條件解得

于是全響應(yīng)為

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.3_2零狀態(tài)響應(yīng)34【例】已知輸入，初始狀態(tài)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)

【解】全響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)自由響應(yīng)受迫響應(yīng)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.3_2零狀態(tài)響應(yīng)35【例】已知輸入，初始狀態(tài)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)

【解】由方程求出特征根z=0.9，齊次解由輸入信號(hào)求出特解完全解為

根據(jù)初始條件解得

于是全響應(yīng)為

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.3_2零狀態(tài)響應(yīng)36【例】已知輸入，初始狀態(tài)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)

【解】完全解零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)自由響應(yīng)受迫響應(yīng)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.3_2零狀態(tài)響應(yīng)37對(duì)于LTI系統(tǒng)響應(yīng)的分解，還可以分為瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)當(dāng)t或n趨于無窮大時(shí)，趨于零的響應(yīng)分量稱為瞬態(tài)響應(yīng)，保留下來的分量稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)基于觀察問題的不同角度，形成不同的系統(tǒng)響應(yīng)分解方式其中，自由響應(yīng)與受迫響應(yīng)的構(gòu)成是沿襲方程經(jīng)典解法的傳統(tǒng)概念，將系統(tǒng)響應(yīng)劃分為分別與系統(tǒng)特征和輸入信號(hào)相關(guān)的兩部分瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的劃分為短時(shí)間過渡與長時(shí)間穩(wěn)定

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.3_2零狀態(tài)響應(yīng)38零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的劃分則依據(jù)引起系統(tǒng)響應(yīng)原因，分別由系統(tǒng)內(nèi)部儲(chǔ)能與外加輸入信號(hào)引起當(dāng)代LTI系統(tǒng)研究領(lǐng)域中，零狀態(tài)響應(yīng)概念具有突出的意義在實(shí)際中，大量的電子與通信系統(tǒng)主要關(guān)注零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)可以不必采用比較繁瑣的經(jīng)典解法

利用之后介紹的卷積方法，可以在簡化問題的同時(shí)與后續(xù)的

變換域分析法緊密結(jié)合

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.3_2零狀態(tài)響應(yīng)39

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.1.3_2零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)小結(jié)沒有外加輸入情況下，僅僅由初始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應(yīng)在初始狀態(tài)為零時(shí)，僅僅由外加輸入所產(chǎn)生的響應(yīng)取決于初始狀態(tài)微分(差分)方程特征根取決于輸入信號(hào)SignalsandSystems下一知識(shí)點(diǎn)本知識(shí)點(diǎn)21線性常系數(shù)方程的經(jīng)典解LTI系統(tǒng)的卷積分析基礎(chǔ)3連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析4離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析5LTI系統(tǒng)的性質(zhì)零狀態(tài)響應(yīng)沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)零輸入響應(yīng)與41以單位沖激信號(hào)作為輸入，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，或簡稱沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)完全由系統(tǒng)本身決定，與外界因素?zé)o關(guān)許多信號(hào)如果能夠分解為沖激信號(hào)的線性組合

借助LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

利用LTI系統(tǒng)的線性與時(shí)不變性質(zhì)

求得任意信號(hào)通過LTI系統(tǒng)所獲得的響應(yīng)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.2.1沖激響應(yīng)42這就是將要介紹的卷積基本思想同時(shí)說明LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)能夠表征LTI系統(tǒng)的特性時(shí)不變線性初始狀態(tài)為零

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.2.1沖激響應(yīng)43已知LTI系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系時(shí)，按照定義直接給出單位沖激響應(yīng)已知LTI系統(tǒng)方程的情況下，將單位沖激信號(hào)作為輸入，求出的零狀態(tài)響應(yīng)即為單位沖激響應(yīng)LTISLTISLTISLTIS

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.2.1沖激響應(yīng)44【例】求所表征系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

【解】由特征根s1=-1，s2=-6，于是有

將

代入方程，得

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.2.1沖激響應(yīng)45【例】求所表征系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

【解】

則求得于是該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.2.1沖激響應(yīng)46上例所對(duì)應(yīng)的微分方程屬于N>M的情況

若N=M，沖激響應(yīng)包含

項(xiàng)；若N<M，還包含

的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)這個(gè)例子讓我們又一次體會(huì)到時(shí)域法的繁瑣

這里僅僅著重說明沖激響應(yīng)的基本概念

使用變換域法可以快捷地求得LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求法是類似的由于差分方程的特性，還可以使用迭代法

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.2.1沖激響應(yīng)SignalsandSystems下一知識(shí)點(diǎn)本知識(shí)點(diǎn)21線性常系數(shù)方程的經(jīng)典解LTI系統(tǒng)的卷積分析基礎(chǔ)3連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析4離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析5LTI系統(tǒng)的性質(zhì)零狀態(tài)響應(yīng)階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)與零輸入響應(yīng)與48以單位沖激信號(hào)作為輸入，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，或簡稱沖激響應(yīng)以單位階躍信號(hào)作為輸入，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，或簡稱階躍響應(yīng)類似于沖激響應(yīng)，階躍響應(yīng)完全由系統(tǒng)本身決定，與外界因素?zé)o關(guān)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.2.2階躍響應(yīng)49這也是將要介紹的卷積基本思想同時(shí)說明LTI系統(tǒng)的階躍響應(yīng)也能夠表征LTI系統(tǒng)的特性時(shí)不變線性初始狀態(tài)為零

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.2.2階躍響應(yīng)50對(duì)于連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)對(duì)于離散時(shí)間LTI系統(tǒng)，有、因此，這兩種響應(yīng)知道其中之一，另一響應(yīng)即可確定LTIS

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.2.2階躍響應(yīng)51【例】已知輸入信號(hào)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

【解】零狀態(tài)響應(yīng)

由于輸入信號(hào)

此時(shí)零狀態(tài)響應(yīng)即階躍響應(yīng)

因此，沖激響應(yīng)為

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.2.2階躍響應(yīng)52【解】零狀態(tài)響應(yīng)

由于輸入信號(hào)

此時(shí)零狀態(tài)響應(yīng)即階躍響應(yīng)

因此，沖激響應(yīng)為【例】已知輸入信號(hào)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.2.2階躍響應(yīng)53

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.2.2階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)階躍響應(yīng)小結(jié)以單位沖激信號(hào)作為輸入，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)以單位階躍信號(hào)作為輸入，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)表征LTI系統(tǒng)表征LTI系統(tǒng)零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)SignalsandSystems下一知識(shí)點(diǎn)本知識(shí)點(diǎn)31線性常系數(shù)方程的經(jīng)典解連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析2LTI系統(tǒng)的卷積分析基礎(chǔ)4離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析5LTI系統(tǒng)的性質(zhì)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的卷積積分表示沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)卷積積分的求解與計(jì)算卷積積分的性質(zhì)卷積積分的求解與計(jì)算基礎(chǔ)篇信號(hào)系統(tǒng)時(shí)域篇連續(xù)離散頻域篇連續(xù)離散復(fù)頻域篇連續(xù)離散狀態(tài)變量篇連續(xù)離散13連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析線性常系數(shù)方程的經(jīng)典解2LTI系統(tǒng)的卷積分析基礎(chǔ)4離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析5LTI系統(tǒng)的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的卷積積分表示卷積的基本思想將信號(hào)分解為單位沖激信號(hào)或單位階躍信號(hào)的線性組合借助系統(tǒng)沖激響應(yīng)或階躍響應(yīng)利用LTI系統(tǒng)線性時(shí)不變性質(zhì)求LTI系統(tǒng)對(duì)任意信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)56√√？◎

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3卷積積分及其性質(zhì)57用沖激表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)在

時(shí)

的極限即為連續(xù)時(shí)間信號(hào)可以用一串脈沖或者階梯信號(hào)來近似

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.1用沖激表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)58用沖激表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.1用沖激表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)59用沖激表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)被表示為一個(gè)加權(quán)的時(shí)移沖激函數(shù)的和（積分）該式還可以理解為單位沖激函數(shù)的篩選性質(zhì)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.1用沖激表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)60用沖激表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)

當(dāng)

時(shí)

再次揭示了連續(xù)時(shí)間單位沖激函數(shù)與單位階躍函數(shù)間的關(guān)系

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.1用沖激表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)61用卷積積分求解零狀態(tài)響應(yīng)卷積積分時(shí)不變性線性一個(gè)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)完全由它的沖激響應(yīng)來表征

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積積分表示62用卷積積分求解零狀態(tài)響應(yīng)一個(gè)恒等系統(tǒng)，單位沖激響應(yīng)為一個(gè)時(shí)移系統(tǒng)，單位沖激響應(yīng)為一個(gè)積分器，單位沖激響應(yīng)為

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積積分表示63

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積積分表示用階躍表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)可以用一串脈沖或者階梯信號(hào)來近似64

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積積分表示用階躍響應(yīng)求解零狀態(tài)響應(yīng)線性時(shí)不變性

杜阿密爾積分階躍響應(yīng)s(t)SignalsandSystems下一知識(shí)點(diǎn)本知識(shí)點(diǎn)31線性常系數(shù)方程的經(jīng)典解連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析2LTI系統(tǒng)的卷積分析基礎(chǔ)4離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析5LTI系統(tǒng)的性質(zhì)卷積積分的求解與計(jì)算連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的卷積積分表示卷積積分的代數(shù)性質(zhì)卷積積分的微積分與其他性質(zhì)66任一時(shí)刻的輸出信號(hào)值是輸入信號(hào)的加權(quán)和其中

是積分變量，

是參變量。不同時(shí)刻輸出信號(hào)值，必須對(duì)不同

進(jìn)行上述加權(quán)積分求得圖解法三個(gè)步驟：自變量變換相乘積分

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.3卷積積分求解與計(jì)算67t<0時(shí)t>0時(shí)【例】某LTI系統(tǒng)輸入為

，其中

，

單位沖激響應(yīng)，初始狀態(tài)為零，求該系統(tǒng)的輸出

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.3卷積積分求解與計(jì)算68

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.3卷積積分求解與計(jì)算因果信號(hào)【例】求與的卷積69t<00<t<TT<t<2T2T<t<3Tt>3T

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.3卷積積分求解與計(jì)算70

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.3卷積積分求解與計(jì)算71

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.3卷積積分求解與計(jì)算72解析法對(duì)簡單信號(hào)的卷積，用圖解法可分區(qū)間計(jì)算，既直觀又方便較復(fù)雜信號(hào)的卷積，用圖解法求解較繁瑣，難以得到閉合解解析法就是以一個(gè)閉合的解析表達(dá)式來求解卷積積分在解析計(jì)算過程中涉及到兩個(gè)問題：積分限的確定積分有效范圍的確定

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.3卷積積分求解與計(jì)算73【例】某LTI系統(tǒng)輸入為

，其中

，

單位沖激響應(yīng)，初始狀態(tài)為零，求該系統(tǒng)的輸出

t<0時(shí)t>0時(shí)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.3卷積積分求解與計(jì)算【例】求與的卷積74

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.3卷積積分求解與計(jì)算【例】求與的卷積75

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.3卷積積分求解與計(jì)算76

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.3卷積積分求解與計(jì)算連續(xù)信號(hào)的沖激表示連續(xù)LTI系統(tǒng)的卷積分析小結(jié)卷積積分求解LTISh(t)圖解法解析法SignalsandSystems下一知識(shí)點(diǎn)本知識(shí)點(diǎn)31線性常系數(shù)方程的經(jīng)典解連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析2LTI系統(tǒng)的卷積分析基礎(chǔ)4離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析5LTI系統(tǒng)的性質(zhì)卷積積分的代數(shù)性質(zhì)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的卷積積分表示卷積積分的求解與計(jì)算卷積積分的微積分與其他性質(zhì)78代數(shù)性質(zhì)時(shí)移性質(zhì)與沖激函數(shù)的卷積微分與積分性質(zhì)卷積積分的寬度指數(shù)信號(hào)通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)作為一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，卷積積分具有某些特殊性質(zhì)在信號(hào)與系統(tǒng)分析中具有重要作用

可以簡化運(yùn)算

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.4卷積積分的性質(zhì)79通常乘法運(yùn)算中的交換律、分配律與結(jié)合律也適用于卷積積分交換律表明x1(t)與x2(t)的作用可以互換從計(jì)算的角度,x1(t)與x2(t)的順序可以互換從系統(tǒng)的角度

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.4卷積積分的性質(zhì)分配律分配律可以由系統(tǒng)的并聯(lián)來解釋同時(shí)考慮交換律與分配律，有

即線性性質(zhì)中的疊加性

80

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.4卷積積分的性質(zhì)81結(jié)合律結(jié)合律可以由系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)來解釋同時(shí)交換律與結(jié)合律再根據(jù)結(jié)合律LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)后的單位沖激響應(yīng)與其級(jí)聯(lián)順序無關(guān)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.4卷積積分的性質(zhì)82結(jié)合律LTI系統(tǒng)可逆的條件:可逆系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與其逆系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的卷積為單位沖激信號(hào)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.4卷積積分的性質(zhì)SignalsandSystems下一知識(shí)點(diǎn)本知識(shí)點(diǎn)31線性常系數(shù)方程的經(jīng)典解連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析2LTI系統(tǒng)的卷積分析基礎(chǔ)4離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析5LTI系統(tǒng)的性質(zhì)卷積積分的微積分與其他性質(zhì)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的卷積積分表示卷積積分的求解與計(jì)算卷積積分的代數(shù)性質(zhì)84代數(shù)性質(zhì)時(shí)移性質(zhì)與沖激函數(shù)的卷積微分與積分性質(zhì)卷積積分的寬度指數(shù)信號(hào)通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)作為一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，卷積積分具有某些特殊性質(zhì)在信號(hào)與系統(tǒng)分析中具有重要作用

可以簡化運(yùn)算

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.4卷積積分的性質(zhì)85時(shí)移性質(zhì)假設(shè)，則兩個(gè)函數(shù)卷積后總時(shí)移量等效為兩個(gè)函數(shù)各自時(shí)移量之和

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.4卷積積分的性質(zhì)86時(shí)移性質(zhì)由卷積的時(shí)移性質(zhì)可以得出若兩個(gè)被卷積函數(shù)理解為兩個(gè)LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，則兩個(gè)LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)后總時(shí)移量等效為兩系統(tǒng)各自時(shí)移量之和

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.4卷積積分的性質(zhì)87與沖激函數(shù)卷積

可以理解為信號(hào)通過一個(gè)恒等系統(tǒng)由卷積的時(shí)移性質(zhì)可以得出可以理解為信號(hào)通過一個(gè)時(shí)移系統(tǒng)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.4卷積積分的性質(zhì)88微分與積分兩函數(shù)卷積后的導(dǎo)數(shù)等于其中一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與另一函數(shù)的卷積兩函數(shù)卷積后的積分等于其中一函數(shù)的積分與另一函數(shù)的卷積類似地，可以推出卷積的高階導(dǎo)數(shù)或多重積分的運(yùn)算規(guī)律

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.4卷積積分的性質(zhì)89微分與積分——可以簡化卷積運(yùn)算

【例】求與的卷積【解】這兩個(gè)方波信號(hào)的微分均為沖激信號(hào)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.4卷積積分的性質(zhì)90微分與積分——可以簡化卷積運(yùn)算

按照卷積積分微積分性質(zhì)，得若函數(shù)微分后出現(xiàn)沖激函數(shù)，將簡化卷積積分計(jì)算

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.4卷積積分的性質(zhì)91卷積積分的寬度若x1(t)與x2(t)的持續(xù)時(shí)間均是有限的，分別為T1與T2，則x1(t)*x2(t)的持續(xù)時(shí)間為T1+T2

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.4卷積積分的性質(zhì)92指數(shù)信號(hào)通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)若輸入信號(hào)為則輸出信號(hào)為若收斂，則對(duì)于指數(shù)信號(hào)，LTI系統(tǒng)的輸入和輸出僅僅相差一個(gè)系數(shù)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.3.4卷積積分的性質(zhì)復(fù)頻率SignalsandSystems下一知識(shí)點(diǎn)本知識(shí)點(diǎn)41線性常系數(shù)方程的經(jīng)典解離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析2LTI系統(tǒng)的卷積分析基礎(chǔ)3連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析5LTI系統(tǒng)的性質(zhì)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的卷積積分表示卷積積分的求解與計(jì)算卷積積分的性質(zhì)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的卷積和表示卷積和的求解與計(jì)算卷積和的性質(zhì)卷積和的差分、累加與其他性質(zhì)基礎(chǔ)篇信號(hào)系統(tǒng)時(shí)域篇連續(xù)離散頻域篇連續(xù)離散復(fù)頻域篇連續(xù)離散狀態(tài)變量篇連續(xù)離散14離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析線性常系數(shù)方程的經(jīng)典解2LTI系統(tǒng)的卷積分析基礎(chǔ)3連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析5LTI系統(tǒng)的性質(zhì)卷積和的代數(shù)性質(zhì)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的卷積和表示卷積和的求解與計(jì)算95卷積的基本思想將信號(hào)分解為單位沖激信號(hào)或單位階躍信號(hào)的線性組合借助系統(tǒng)沖激響應(yīng)或階躍響應(yīng)利用LTI系統(tǒng)線性時(shí)不變性質(zhì)求LTI系統(tǒng)對(duì)任意信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)√√？◎

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.4卷積和及其性質(zhì)96用脈沖表示離散時(shí)間信號(hào)相當(dāng)于將任意離散時(shí)間信號(hào)表示成一串移位的單位脈沖序列的線性組合，其中權(quán)因子為x[k]

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.4.1用沖激表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)97用脈沖表示離散時(shí)間信號(hào)

當(dāng)x[n]=u[n]時(shí)

再次揭示了離散時(shí)間單位沖激函數(shù)與單位階躍函數(shù)間的關(guān)系

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.4.1用沖激表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)98用卷積和求解零狀態(tài)響應(yīng)卷積和時(shí)不變性線性一個(gè)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)完全由它的沖激響應(yīng)來表征

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.4.2離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積和表示99用卷積和求解零狀態(tài)響應(yīng)一個(gè)恒等系統(tǒng)，單位沖激響應(yīng)為一個(gè)時(shí)移系統(tǒng)，單位沖激響應(yīng)為一個(gè)累加器，單位沖激響應(yīng)為

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.4.2離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積和表示SignalsandSystems下一知識(shí)點(diǎn)本知識(shí)點(diǎn)41線性常系數(shù)方程的經(jīng)典解離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析2LTI系統(tǒng)的卷積分析基礎(chǔ)3連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析5LTI系統(tǒng)的性質(zhì)卷積和的求解與計(jì)算卷積和的代數(shù)性質(zhì)卷積和的差分、累加與其他性質(zhì)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的卷積和表示101任一時(shí)刻的輸出信號(hào)值是輸入信號(hào)的加權(quán)和其中

是求和變量，

是參變量。不同時(shí)刻輸出信號(hào)值，必須對(duì)不同

進(jìn)行上述加權(quán)和求得圖解法三個(gè)步驟：自變量變換相乘求和

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.4.3卷積和求解與計(jì)算102【例】某LTI系統(tǒng)輸入為

，其中

，

單位沖激響應(yīng)，初始狀態(tài)為零，求該系統(tǒng)的輸出

n<0時(shí)n≥0時(shí)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.4.3卷積和求解與計(jì)算103【例】求與的卷積n<00≤n≤

44<n≤66

<n≤10n>10

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.4.3卷積和求解與計(jì)算104對(duì)位相乘求和法對(duì)于有限長度的離散時(shí)間函數(shù)，還可以采用對(duì)位相乘求和法較快地求出卷積結(jié)果。將兩個(gè)序列右對(duì)齊排列，逐個(gè)樣值對(duì)應(yīng)相乘（不進(jìn)位），然后把同一列上的乘積對(duì)位求和。

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.4.3卷積和求解與計(jì)算105解析法對(duì)簡單信號(hào)的卷積，用圖解法可分區(qū)間計(jì)算，既直觀又方便較復(fù)雜信號(hào)的卷積，用圖解法求解較繁瑣，難以得到閉合解解析法就是以一個(gè)閉合的解析表達(dá)式來求解卷積和在解析計(jì)算過程中涉及到兩個(gè)問題：求和限的確定求和有效范圍的確定

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.4.3卷積和求解與計(jì)算106【例】某LTI系統(tǒng)輸入為

，其中

，

單位沖激響應(yīng)，初始狀態(tài)為零，求該系統(tǒng)的輸出

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.4.3卷積和求解與計(jì)算107【例】求與的卷積

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.4.3卷積和求解與計(jì)算108【例】求與的卷積

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.4.3卷積和求解與計(jì)算109

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.4.3卷積和求解與計(jì)算離散信號(hào)的沖激表示離散LTI系統(tǒng)的卷積分析小結(jié)卷積和的求解LTISh[n]圖解法解析法對(duì)位相乘求和法SignalsandSystems下一知識(shí)點(diǎn)本知識(shí)點(diǎn)41線性常系數(shù)方程的經(jīng)典解離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析2LTI系統(tǒng)的卷積分析基礎(chǔ)3連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析5LTI系統(tǒng)的性質(zhì)卷積和的代數(shù)性質(zhì)卷積和的求解與計(jì)算卷積和的差分、累加與其他性質(zhì)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的卷積和表示111代數(shù)性質(zhì)時(shí)移性質(zhì)與沖激函數(shù)的卷積差分與累加性質(zhì)卷積和的寬度指數(shù)信號(hào)通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)類似于卷積積分，卷積和也具有某些特殊性質(zhì)在信號(hào)與系統(tǒng)分析中具有重要作用

可以簡化運(yùn)算

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.4.4卷積和的性質(zhì)112通常乘法運(yùn)算中的交換律、分配律與結(jié)合律也適用于卷積和交換律表明x1[n]與x2[n]的作用可以互換從計(jì)算的角度,x1[n]與x2[n]的順序可以互換從系統(tǒng)的角度

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.4.4卷積和的性質(zhì)113分配律分配律可以由系統(tǒng)的并聯(lián)來解釋同時(shí)考慮交換律與分配律，有

即線性性質(zhì)中的疊加性

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.4.4卷積和的性質(zhì)114結(jié)合律分配律可以由系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)來解釋同時(shí)交換律與結(jié)合律再根據(jù)結(jié)合律LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)后的單位沖激響應(yīng)與其級(jí)聯(lián)順序無關(guān)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.4.4卷積和的性質(zhì)115結(jié)合律LTI系統(tǒng)可逆的條件:可逆系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與其逆系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的卷積為單位沖激信號(hào)

第3章LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析__3.4.4卷積和的性質(zhì)SignalsandSystems下一知識(shí)點(diǎn)本知識(shí)點(diǎn)41線性常系數(shù)方程的經(jīng)典解離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析2LTI系統(tǒng)的卷積分析基礎(chǔ)3連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的卷積分析5LTI系統(tǒng)的性質(zhì)卷積和的差分、累加與其他性質(zhì)卷積和的求解與計(jì)算卷積和的代數(shù)性質(zhì)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的卷積和表示2移位性質(zhì)假設(shè)，則兩個(gè)函數(shù)卷積后總時(shí)移量等效為兩個(gè)函數(shù)各自時(shí)移量之和由卷積和的移位性質(zhì)可以得出若兩個(gè)被卷積函數(shù)理解為兩個(gè)LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，則兩