11 微專題：坐標(biāo)法在平面向量的應(yīng)用 講義-2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)滬教版（2020）必修第二冊

【學(xué)生版】微專題：坐標(biāo)法在平面向量的應(yīng)用坐標(biāo)法是數(shù)學(xué)解決數(shù)形結(jié)合問題的的一個重要方法。它將數(shù)學(xué)中的幾何和代數(shù)巧妙地聯(lián)系起來，使一部分問題的解決變得容易簡單，很多試題，當(dāng)你無法找到突破口時，使用坐標(biāo)法會給你一種新的啟迪和解題靈感。利用坐標(biāo)法時，要合理建系，根據(jù)坐標(biāo)運算和性質(zhì)，建立等式或代數(shù)關(guān)系解決問題。坐標(biāo)法在平面向量的應(yīng)用；主要是：選擇正交基，再正交基表示向量，其實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運算和數(shù)乘運算；坐標(biāo)運算能把學(xué)生從復(fù)雜的化簡中解放出來，快速簡捷地達(dá)成解題的目標(biāo)．對于條件中包含向量夾角與長度的問題，都可以考慮建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，應(yīng)用坐標(biāo)法來統(tǒng)一表示向量，達(dá)到轉(zhuǎn)化問題，簡單求解的目的；【典例】例1、已知向量eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，則λμ＝________.【提示】；【答案】；【解析】；【說明】；例2、在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，I是△ABC的內(nèi)心，若eq\o(BI,\s\up6(→))＝meq\o(BA,\s\up6(→))＋neq\o(BC,\s\up6(→))(m，n∈R)，則eq\f(m,n)＝()A．eq\f(4,3)B．eq\f(6,5)C．2D．eq\f(1,2)【提示】；【答案】；【解析】；【說明】；例3、在直角梯形中，，，，，分別為，的中點，以為圓心，為半徑的半圓分別交及其延長線于點，，點在上運動（如圖）；若，其中，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【歸納】坐標(biāo)是向量代數(shù)化的媒介，而坐標(biāo)的獲得又要借助于直角坐標(biāo)系，對于某些平面向量問題，若能建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，往往能很快實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化；常見的建系方法如下：1、利用圖形中現(xiàn)成的垂直關(guān)系：若圖形中有明顯互相垂直且相交于一點的兩條直線（如矩形、直角梯形等），可以利用這兩條直線建立坐標(biāo)系；2、利用圖形中的對稱關(guān)系：圖形中雖沒有明顯互相垂直交于一點的兩條直線，但有一定對稱關(guān)系(如：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身對稱性建系．建立平面直角坐標(biāo)系的基本原則是盡可能地使頂點在坐標(biāo)軸上，或在同一象限；3、三角形中有唯一一個特殊角(30°，45°，60°等)時，有以下兩種建系方法4、圓（或半圓、扇形)與其他圖形的綜合圖形通常以圓心為坐標(biāo)原點建系．5、所給向量中任意兩向量之間的夾角為特殊角，將所給向量平移為共起點，以該起點為坐標(biāo)原點建系；【即時練習(xí)】1、在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則=()A．2 B．4 C．5 D．102、在平行四邊形中，，，點為邊的中點，若，則（）A． B． C． D．3、在中，，點P是的中點，則4、已知,是單位向量，，且向量滿足=1，則||的取值范圍是5、已知，，，若點是所在平面內(nèi)一點，且，求：的最大值；6、如圖，在邊長為的正方形中，，分別是邊，上的兩個動點，且，為的中點，，求：的最大值；【教師版】微專題：坐標(biāo)法在平面向量的應(yīng)用坐標(biāo)法是數(shù)學(xué)解決數(shù)形結(jié)合問題的的一個重要方法。它將數(shù)學(xué)中的幾何和代數(shù)巧妙地聯(lián)系起來，使一部分問題的解決變得容易簡單，很多試題，當(dāng)你無法找到突破口時，使用坐標(biāo)法會給你一種新的啟迪和解題靈感。利用坐標(biāo)法時，要合理建系，根據(jù)坐標(biāo)運算和性質(zhì)，建立等式或代數(shù)關(guān)系解決問題。坐標(biāo)法在平面向量的應(yīng)用；主要是：選擇正交基，再正交基表示向量，其實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運算和數(shù)乘運算；坐標(biāo)運算能把學(xué)生從復(fù)雜的化簡中解放出來，快速簡捷地達(dá)成解題的目標(biāo)．對于條件中包含向量夾角與長度的問題，都可以考慮建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，應(yīng)用坐標(biāo)法來統(tǒng)一表示向量，達(dá)到轉(zhuǎn)化問題，簡單求解的目的；【典例】例1、已知向量eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，則λμ＝________.【提示】注意：借助“網(wǎng)格”中的“垂直”要素建系；【答案】－3；【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xAy，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1,0)．由題意可知，(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ＋μ，,－2＝2λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝3，))所以λμ＝－3；【說明】本題主要考查了借助網(wǎng)格建系，依據(jù)向量相等的充要條件，解答參數(shù)；例2、在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，I是△ABC的內(nèi)心，若eq\o(BI,\s\up6(→))＝meq\o(BA,\s\up6(→))＋neq\o(BC,\s\up6(→))(m，n∈R)，則eq\f(m,n)＝()A．eq\f(4,3)B．eq\f(6,5)C．2D．eq\f(1,2)【提示】注意：將“△ABC的內(nèi)心”與向量的線性運算進(jìn)行交匯；【答案】B；【解析】設(shè)BC的中點為D，以D為原點，BC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示；因為，AB＝5，BD＝eq\f(1,2)BC＝3，所以，AD＝4；又因為，△ABC是等腰三角形，所以，內(nèi)心I在線段AD上；設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則tan∠IBD＝eq\f(r,3)，所以，tan∠ABC＝eq\f(2tan∠IBD,1－tan2∠IBD)＝eq\f(\f(2r,3),1－\f(r2,9))＝eq\f(6r,9－r2)；又因為，tan∠ABC＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(4,3)，所以，eq\f(6r,9－r2)＝eq\f(4,3)，解得r＝eq\f(3,2)或r＝－6(舍)．所以，Ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))).又因為，B(－3,0)，A(0,4)，C(3,0)，所以，eq\o(BI,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(3,4)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(6,0)．又由已知eq\o(BI,\s\up6(→))＝meq\o(BA,\s\up6(→))＋neq\o(BC,\s\up6(→))，所以，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝3m＋6n，,\f(3,2)＝4m，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,8)，,n＝\f(5,16)，))所以，eq\f(m,n)＝eq\f(6,5)；故選B；【說明】本題考查了借助垂直關(guān)系建系；綜合平面幾何的性質(zhì)；利用向量的線性運算與坐標(biāo)表示解答相關(guān)參數(shù)；例3、在直角梯形中，，，，，分別為，的中點，以為圓心，為半徑的半圓分別交及其延長線于點，，點在上運動（如圖）；若，其中，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【提示】注意：圓的對稱性；【答案】C；【解析】分別以AB，AD所在直線為x軸，y軸，AB，AD方向為正方向建立直角坐標(biāo)系，知,設(shè)，由得：，則，由可得：，則，則的取值范圍是，本題選擇C選項；【說明】本題考查了借助利用已知圓及其圓的對稱性，以圓心為原點建系；然后，借助三角比的定義，等價為三角函數(shù)在給定區(qū)間上求范圍；【歸納】坐標(biāo)是向量代數(shù)化的媒介，而坐標(biāo)的獲得又要借助于直角坐標(biāo)系，對于某些平面向量問題，若能建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，往往能很快實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化；常見的建系方法如下：1、利用圖形中現(xiàn)成的垂直關(guān)系：若圖形中有明顯互相垂直且相交于一點的兩條直線（如矩形、直角梯形等），可以利用這兩條直線建立坐標(biāo)系；2、利用圖形中的對稱關(guān)系：圖形中雖沒有明顯互相垂直交于一點的兩條直線，但有一定對稱關(guān)系(如：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身對稱性建系．建立平面直角坐標(biāo)系的基本原則是盡可能地使頂點在坐標(biāo)軸上，或在同一象限；3、三角形中有唯一一個特殊角(30°，45°，60°等)時，有以下兩種建系方法4、圓（或半圓、扇形)與其他圖形的綜合圖形通常以圓心為坐標(biāo)原點建系．5、所給向量中任意兩向量之間的夾角為特殊角，將所給向量平移為共起點，以該起點為坐標(biāo)原點建系；【即時練習(xí)】1、在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則=()A．2 B．4 C．5 D．10【答案】D【解析】將直角三角形的直角頂點與原點重合，設(shè)，，那么，那么，故選D．2、在平行四邊形中，，，點為邊的中點，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，，∴，∴，故選：C3、在中，，點P是的中點，則【提示】建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)運算計算可得；【答案】；【解析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，所以；4、已知,是單位向量，，且向量滿足=1，則||的取值范圍是【提示】設(shè)，根據(jù)化簡得到，表示圓上的點到原點的距離，計算得到答案；【答案】【解析】,是單位向量，，設(shè)表示圓上的點到原點的距離，故【說明】本題考查了向量模的計算，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算更為簡潔，是解題的關(guān)鍵5、已知，，，若點是所在平面內(nèi)一點，且，求：的最大值；【提示】以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，可得，，利用平面向量坐標(biāo)運算可求得，由數(shù)量積的坐標(biāo)運算可表示出，利用基本不等式可求得結(jié)果；【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，即，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），.6、如圖，在邊長為的正方形中，，分別是邊，上的兩個動點，且，為的中點，，求：的最大值；【