歷年全國(guó)賽數(shù)學(xué)建模題目1

目錄

1996年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目.......................................................2

A題最優(yōu)捕魚策略...................................................................2

B題節(jié)水洗衣機(jī)....................................................................2

1997年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目.......................................................3

A題零件的參數(shù)設(shè)計(jì)................................................................3

B題截?cái)嗲懈?.....................................................................4

1998年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目.......................................................5

A題投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)...............................................................5

B題災(zāi)情巡視路線...................................................................6

1999創(chuàng)維杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目..................................................7

A題自動(dòng)化車床管理.................................................................7

B題鉆井布局.......................................................................8

C題煤砰石堆積.....................................................................9

D題鉆井布局（同B題）............................................................9

2000網(wǎng)易杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目.................................................10

A題DNA分子排序..................................................................10

B題鋼管訂購和運(yùn)輸...............................................................12

C題飛越北極......................................................................15

D題空洞探測(cè)......................................................................15

2001年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目......................................................17

A題血管的三維重建...............................................................17

B題公交車調(diào)度...................................................................18

C題基金使用計(jì)劃.................................................................20

D題公交車調(diào)度...................................................................20

2002高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目...............................................21

A題車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì).........................................................21

B題彩票中的數(shù)學(xué).................................................................21

C題車燈線光源的計(jì)算.............................................................23

D題賽程安排.....................................................................23

2003高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目...............................................24

A題SARS的傳播...................................................................24

B題露天礦生產(chǎn)的車輛安排..........................................................28

C題SARS的傳播...................................................................29

D題搶渡長(zhǎng)江......................................................................30

2004高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目...............................................31

A題奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì).......................................................31

B題電力市場(chǎng)的輸電阻塞管理........................................................35

C題飲酒駕車......................................................................39

D題公務(wù)員招聘....................................................................39

2005高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目...............................................42

A題：長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè).........................................................42

B題：DVD在線租賃................................................................43

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C題雨量預(yù)報(bào)方法的評(píng)價(jià)...........................................................44

D題：DVD在線租賃.................................................................45

2006高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目...............................................46

A題:出版社的資源配置..............................................................46

B題：艾滋病療法的評(píng)價(jià)及療效的預(yù)測(cè)................................................46

C題：易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)..................................................47

D題：煤礦瓦斯和煤塵的監(jiān)測(cè)與控制..................................................48

2007高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目...............................................53

A題：中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè).............................................................53

2008高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目...............................................56

A題數(shù)碼相機(jī)定位.................................................................56

B題高等教育學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)探討.........................................................57

C題地面搜索.....................................................................57

2009高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目...............................................59

A題制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)的控制方法分析..................................................59

B題眼科病床的合理安排...........................................................60

C題衛(wèi)星和飛船的跟蹤測(cè)控.........................................................61

D題會(huì)議籌備.....................................................................61

2010全國(guó)高教社杯數(shù)學(xué)建模題目..........................................................65

A題儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定.................................................65

B題2010年上海世博會(huì)影響力的定量評(píng)估............................................66

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1996年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目

A題最優(yōu)捕魚策略

為了保護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源（如漁業(yè)、林業(yè)資源）的開

發(fā)必須適度.一種合理、簡(jiǎn)化的策略是,在實(shí)現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下,追求最大產(chǎn)

量或最佳效益.

考慮對(duì)某種魚（鰥魚）的最優(yōu)捕撈策略：

假設(shè)這種魚分四個(gè)年齡組,稱1齡魚,…,4齡魚,各年齡組每條魚的平均重

量分別為5.07,11.55,17.86,22.99（g）,各年齡組魚的自然死亡率為0.8（1/年）,

這種魚為季節(jié)性集

產(chǎn)卵繁殖,平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為1.109義（個(gè)），3齡魚的產(chǎn)卵量為這個(gè)

數(shù)的一半,2

齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵,產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個(gè)月，卵孵化并成活為1齡

魚,成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n之比）為L(zhǎng)22X/（1.22X+n）.

漁業(yè)管理部門規(guī)定,每年只允許在產(chǎn)卵孵化期前的8個(gè)月內(nèi)進(jìn)行捕撈作業(yè).如

果每年投入的捕撈能力（如漁船數(shù)、下網(wǎng)次數(shù)等）固定不變,這時(shí)單位時(shí)間捕撈量

與各年齡組魚群條數(shù)成正比，比例系數(shù)不妨稱捕撈強(qiáng)度系數(shù).通常使用13mm網(wǎng)眼

的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕3齡魚和4齡魚,其兩個(gè)捕撈強(qiáng)度系數(shù)之比為0.42:1.漁業(yè)上

稱這種方式為固定努力量捕撈.

1）建立數(shù)學(xué)模型分析如何實(shí)現(xiàn)可持續(xù)捕獲（即每年開始捕撈時(shí)魚場(chǎng)中各年齡

組魚群不變），并且在此前提下得到最高的年收獲量（捕撈總重量）.

2）某漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務(wù)5年，合同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不

能受到太大破壞.已知承包時(shí)各年齡組魚群的數(shù)量分別

為：122,29.7,10.1,3.29（X條），如果任用固定努力量的捕撈方式，該公司應(yīng)采

取怎樣的策略才能使總收獲量最高.

（北京師范大學(xué)劉來福

提供）

B題節(jié)水洗衣機(jī)

我國(guó)淡水資源有限,節(jié)約用水人人乂責(zé),洗衣在家庭用水中占有相當(dāng)大的

份額，目前洗衣機(jī)已相當(dāng)普及,節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要.假設(shè)在放入衣服和洗滌

劑后洗衣機(jī)的運(yùn)行過程為：加水-漂水-脫水-加水-漂洗-脫水-…-加水-漂洗-脫

水（稱''加水-漂洗-脫水”為運(yùn)行一輪）.請(qǐng)為洗衣機(jī)設(shè)計(jì)一種程序（包括運(yùn)行多少

輪、每輪加水量等），使得在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少.選用合

理的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算,對(duì)照目前常用的洗衣機(jī)的運(yùn)行情況,對(duì)你的模型和結(jié)果做出

評(píng)價(jià).

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1997年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目

A題零件的參數(shù)設(shè)計(jì)

一件產(chǎn)品由若干零件組裝而成，標(biāo)志產(chǎn)品性能的某個(gè)參數(shù)取決于這些零件的

參數(shù)。零件參數(shù)包括標(biāo)定值和容差兩部分。進(jìn)行成批生產(chǎn)時(shí)，標(biāo)定值表示一批零

件該參數(shù)的平均值，容差則給出了參數(shù)偏離其標(biāo)定值的容許范圍。若將零件參數(shù)

視為隨機(jī)變量，則標(biāo)定值代表期望值，在生產(chǎn)部門無特殊要求時(shí)，容差通常規(guī)定

為均方差的3倍。

進(jìn)行零件參數(shù)設(shè)計(jì)，就是要確定其標(biāo)定值和容差。這時(shí)要考慮兩方面因素：

一、當(dāng)各零件組裝成產(chǎn)品時(shí)，如果產(chǎn)品參數(shù)偏離預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)值，就會(huì)造

成質(zhì)量損失，偏離越大，損失越大；

二、零件容差的大小決定了其制造成本，容差設(shè)計(jì)得越小，成本越高。

試通過如下的具體問題給出一般的零件參數(shù)設(shè)計(jì)方法。

粒子分離器某參數(shù)作y）由7個(gè)零件休像（記作孫孫…用版，縫公式為:

0.85

產(chǎn)174.4鼎哥'

y的目（記作y。）為15。。當(dāng)y儂翼士0.1時(shí)，產(chǎn)品iflooGt）；

當(dāng)y偏離yo±03時(shí)，產(chǎn)品為廢品，損失為9jooo阮）.?

零件參蝴標(biāo)定值有一定的容許變化范圍；會(huì)分為A、B、C三暗瓦用與標(biāo)定值

A等為±1%,B等為±5%,C等為±10%。7個(gè)定

許范M及不雕差第K零件的成本玩）如■像（符號(hào)/表示無此物零件）：

C等B等A等

X1[0.075,0.125]/25/

X2[0,225,0.375]2050/

[0J075,0.125]2050200

X4[OJD75,0.125]50100500

Xg[1,125,1S75]50ZZ

修[12,20]1025100

X][U05G625,,0U5U3355]]|/|25|1U0U0______

現(xiàn)進(jìn)行姍性產(chǎn)，每批產(chǎn)量1Q00個(gè)。在原謾計(jì)中，7個(gè)零件參gj的標(biāo)定值為：g=0.1,

X2=03,X3=0.1,X4=0.1,X?=1.5,X<=16,刈=0.75；

慮y隔京件穌（包

槌），并與原設(shè)計(jì)比按，總費(fèi)用降低了多少。

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B題截?cái)嗲懈?/p>

某些工業(yè)部門（如貴重石材加工等）采用截?cái)嗲懈畹募庸し绞?。這里“截?cái)?/p>

切割”是指將物體沿某個(gè)切割平面分成兩部分。從一個(gè)長(zhǎng)方體中加工出一個(gè)已知

尺寸、位置預(yù)定的長(zhǎng)方體（這兩個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)應(yīng)表面是平行的），通常要經(jīng)過6

次截?cái)嗲懈睢?/p>

設(shè)水平切割單位面積的費(fèi)用是垂直切割單位面積費(fèi)用的r倍，且當(dāng)先

后兩次垂直切割的平面（不管它們之間是否穿插水平切割）不平行時(shí)，因調(diào)整刀具

需額外費(fèi)用e。

試為這些部門設(shè)計(jì)一種安排各面加工次序（稱“切割方式”）的方法，

使加工費(fèi)用最少。（由工藝要求，與水平工作臺(tái)接觸的長(zhǎng)方體底面是事先指定的）

詳細(xì)要求如下：

1）需考慮的不同切割方式的總數(shù)。

2）給出上述問題的數(shù)學(xué)模型和求解方法。

3）試對(duì)某部門用的如下準(zhǔn)則作出評(píng)價(jià)：每次選擇一個(gè)加工費(fèi)用最少的待切

割面進(jìn)行切割。

4）對(duì)于e=0的情形有無簡(jiǎn)明的優(yōu)化準(zhǔn)則。

5）用以下實(shí)例驗(yàn)證你的方法：待加工長(zhǎng)方體和成品長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分

別為10、14.5、19和3、2、4,二者左側(cè)面、正面、底面之間的距離分別為6、

7、9（單位均為厘米）。垂直切割費(fèi)用為每平方厘米1元，r和e的數(shù)據(jù)有以下

4組：

a.r=1,e=0;b.r=1.5,e=0;

c.r=8,e=0;d.r=1.5;2<=e<=15.

對(duì)最后一組數(shù)據(jù)應(yīng)給出所有最優(yōu)解，并進(jìn)行討論。

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1998年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目

A題投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)

市場(chǎng)上有n種資產(chǎn)（如股票、債券、…）Si（i=l,…n）供投資者選擇，某

公司有數(shù)額為M的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)期的投資。公司財(cái)務(wù)分析人員

對(duì)這n種資產(chǎn)進(jìn)行了評(píng)估，估算出在這一時(shí)期內(nèi)購買S,的平均收益率為G,并預(yù)

測(cè)出購買&的風(fēng)險(xiǎn)損失率為名?？紤]到投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定,

當(dāng)用這筆資金購買若干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的Si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來

度量。

購買號(hào)要付交易費(fèi)，費(fèi)率為已，并且當(dāng)購買額不超過給定值%時(shí)，交易費(fèi)

按購買%計(jì)算（不買當(dāng)然無須付費(fèi)）。另外，假定同期銀行存款利率是為，且既

無交易費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn)。（為=5%）

1）已知n=4時(shí)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:

Si

G(%)%(%)pi(%)%（元）

S,282.51103

S2211.52198

S3235.54.552

S4252.66.540

1.試給該公司設(shè)計(jì)一?種投資組合方案，即用給定的資金M，有選擇地

購買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。

2.試就一般情況對(duì)以上問題進(jìn)行討論，并利用以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。

SiG(%)%(%)Pi(%)%（元）

Si9.6422.1181

S218.5543.2407

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S349.4606.0428

S,23.9421.5549

S58.11.27.6270

14393.4397

s6

S740.7685.6178

S831.233.43.1220

S933.653.32.7475

Sio36.8402.9248

Su11.8315.1195

S1295.55.7320

S1335462.7267

S149.45.34.5328

S1515237.6131

B題災(zāi)情巡視路線

下圖為某縣的鄉(xiāng)（鎮(zhèn)）、村公路網(wǎng)示意圖，公路邊的數(shù)字為該路段的公里數(shù)。

今年夏天該縣遭受水災(zāi)。為考察災(zāi)情、組織自救，縣領(lǐng)導(dǎo)決定，帶領(lǐng)有關(guān)部

門負(fù)責(zé)人到全縣各鄉(xiāng)（鎮(zhèn)）、村巡視。巡視路線指從縣政府所在地出發(fā)，走遍各

鄉(xiāng)（鎮(zhèn)）、村，又回到縣政府所在地的路線。

1.若分三組（路）巡視，試設(shè)計(jì)總路程最短且各組盡可能均衡的巡視

路線。

2.假定巡視人員在各鄉(xiāng)（鎮(zhèn)）停留時(shí)間T=2小時(shí)，在各村停留時(shí)間t=l

小時(shí)，汽車行駛速度V=35公里/小時(shí)。要在24小時(shí)內(nèi)完成巡視，至少應(yīng)

分兒組；給出這種分組下你認(rèn)為最佳的巡視路線。

3.在上述關(guān)于T,t和V的假定下，如果巡視人員足夠多，完成巡視

的最短時(shí)間是多少；給出在這種最短時(shí)間完成巡視的要求下，你認(rèn)為最佳

的巡視路線。

4.若巡視組數(shù)已定（如三組），要求盡快完成巡視，討論T,t和V改變

對(duì)最佳巡視路線的影響。

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1999創(chuàng)維杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目

A題自動(dòng)化車床管理

一道工序用自動(dòng)化車床連續(xù)加工某種零件，由于刀具損壞等原因該工序會(huì)出

現(xiàn)故障，其中刀具損壞故障占95%其它故障僅占5隊(duì)工序出現(xiàn)故障是完全隨機(jī)

的，假定在生產(chǎn)任一零件時(shí)出現(xiàn)故障的機(jī)會(huì)均相同。工作人員通過檢查零件來確

定工序是否出現(xiàn)故障?，F(xiàn)積累有100次刀具故障記錄，故障出現(xiàn)時(shí)該刀具完成的

零件數(shù)如附表?，F(xiàn)計(jì)劃在刀具加工一定件數(shù)后定期更換新刀具。

已知生產(chǎn)工序的費(fèi)用參數(shù)如下：

故障時(shí)產(chǎn)出的零件損失費(fèi)f=200元/件；進(jìn)行檢查的費(fèi)用t=10元/次；發(fā)現(xiàn)

故障進(jìn)行調(diào)節(jié)使恢復(fù)正常的平均費(fèi)用d=3000元/次（包括刀具費(fèi)）；未發(fā)現(xiàn)故障

時(shí)更換一把新刀具的費(fèi)用k=1000元/次。

1）假定工序故障時(shí)產(chǎn)出的零件均為不合格品，正常時(shí)產(chǎn)出的零件均為合格

品，試對(duì)該工序設(shè)計(jì)效益最好的檢查間隔（生產(chǎn)多少零件檢查一次）和刀具更換

策略。

2）如果該工序正常時(shí)產(chǎn)出的零件不全是合格品，有2%為不合格品；而工序

故障時(shí)產(chǎn)出的零件有40%為合格品，60%為不合格品。工序正常而誤認(rèn)有故障仃

機(jī)產(chǎn)生的損失費(fèi)用為1500元/次。對(duì)該工序設(shè)計(jì)效益最好的檢查間隔和刀具更換

策略。

3）在2）的情況，可否改進(jìn)檢查方式獲得更高的效益。

附:100次刀具故障記錄（完成的零件數(shù)）

459362624542509584433748815505

612452434982640742565706593680

9266531644877346084281153593844

527552513781474388824538862659

775859755649697515628954771609

402960885610292837473677358638

699634555570844166061062484120

447654564339280246687539790581

621724531512577496468499544645

764558378765666763217715310851

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B題鉆井布局

勘探部門在某地區(qū)找礦。初步勘探時(shí)期已零散地在若干位置上鉆井，取得了

地質(zhì)資料。進(jìn)入系統(tǒng)勘探時(shí)期后，要在一個(gè)區(qū)域內(nèi)按縱橫等距的網(wǎng)格點(diǎn)來布置井

位，進(jìn)行“撒網(wǎng)式”全面鉆探。由于鉆一口井的費(fèi)用很高，如果新設(shè)計(jì)的井位與

原有井位重合（或相當(dāng)接近），便可利用舊井的地質(zhì)資料，不必打這口新井。因

此，應(yīng)該盡量利用舊井，少打新井，以節(jié)約鉆探費(fèi)用。比如鉆一口新井的費(fèi)用為

500萬元，利用舊井資料的費(fèi)用為10萬元，則利用一口舊井就節(jié)約費(fèi)用490萬

HO

設(shè)平面上有n個(gè)點(diǎn)Pi,其坐標(biāo)為（ai,bi）,i=l,2,…,n,表示已有的n個(gè)井

位。新布置的井位是一個(gè)正方形網(wǎng)格N的所有結(jié)點(diǎn)（所謂“正方形網(wǎng)格”是指每

個(gè)格子都是正方形的網(wǎng)格；結(jié)點(diǎn)是指縱線和橫線的交叉點(diǎn)）。假定每個(gè)格子的邊

長(zhǎng)（井位的縱橫間距）都是1單位（比如100米）。整個(gè)網(wǎng)格是可以在平面上任

意移動(dòng)的。若一個(gè)已知點(diǎn)Pi與某個(gè)網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)Xi的距離不超過給定誤差e（=0.05

單位），則認(rèn)為Pi處的舊井資料可以利用，不必在結(jié)點(diǎn)Xi處打新井。

為進(jìn)行輔助決策，勘探部門要求我們研究如下問題：

1）假定網(wǎng)格的橫向和縱向是固定的（比如東西向和南北向），并規(guī)定兩點(diǎn)間

的距離為其橫向距離（橫坐標(biāo)之差絕對(duì)值）及縱向距離（縱坐標(biāo)之差絕對(duì)值）的

最大值。在平面上平行移動(dòng)網(wǎng)格N,使可利用的舊井?dāng)?shù)盡可能大。試提供數(shù)值計(jì)

算方法，并對(duì)下面的數(shù)值例子用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。

2）在歐氏距離的誤差意義下，考慮網(wǎng)格的橫向和縱向不固定（可以旋轉(zhuǎn)）的

情形，給出算法及計(jì)算結(jié)果。

3）如果有n口舊井，給出判定這些井均可利用的條件和算法（你可以任意選

定一種距離）。

數(shù)值例子n=12個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)如下表所示：

1123456789101112

見0.501.413.003.373.4。4.724.725.437.578.388.989.50

bi2.003.501.503.515.502.006.244.102.014.503.410.80

DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

cccccccccccccccccccccccccccccccccccc

c題煤砰石堆積

煤礦采煤時(shí)，會(huì)產(chǎn)出無用廢料煤砰石。在平原地區(qū)，煤礦不得不征用土地堆

放研石。通常砰石的堆積方法是：

架設(shè)一段與地面角度約為3=25°的直線形上升軌道（角度過大，運(yùn)研車

無法裝滿），用在軌道上行駛的運(yùn)砰車將肝石運(yùn)到軌道頂端后向兩側(cè)傾倒，待砰

石堆高后，再借助砰石堆延長(zhǎng)軌道，這樣逐漸堆起如下圖所示的一座砰石山來。

現(xiàn)給出下列數(shù)據(jù)：

肝石自然堆放安息角（肝石自然堆積穩(wěn)定后，其坡面與地面形成的夾角）a

<=55°；肝石容重（碎肝石單位體積的重量）約2噸/米3；

運(yùn)研車所需電費(fèi)為0.50元/度（不變）；運(yùn)肝車機(jī)械效率（只考慮堆積

坡道上的運(yùn)輸）初始值（在地平面上）約30%,坡道每延長(zhǎng)10米，效率在原有

基礎(chǔ)上約下降2%；

土地征用費(fèi)現(xiàn)值為8萬元/畝，預(yù)計(jì)地價(jià)年漲幅約10%；銀行存、貸款利率

均為5%；

煤礦設(shè)計(jì)原煤產(chǎn)量為300萬噸/年；煤礦設(shè)計(jì)壽命為20年；采礦出研率

（砰石占全部采出的百分比）一般為7%~10%o

另外，為保護(hù)耕地，煤礦堆砰土地應(yīng)比實(shí)際占地多征用10%o

現(xiàn)在煤礦設(shè)計(jì)中用于處理砰石的經(jīng)費(fèi)（只計(jì)征地費(fèi)及堆積時(shí)運(yùn)砰車用的電

費(fèi)）為100萬元/年，這筆錢是否夠用？試制訂合理的年度征地計(jì)劃，并對(duì)不同

的出肝率預(yù)測(cè)處理砰石的最低費(fèi)用。

D題鉆井布局（同B題）

DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

cccccccccccccccccccccccccccccccccccc

2000網(wǎng)易杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目

A題DNA分子排序

2000年6月，人類基因組計(jì)劃中DNA全序列草圖完成，預(yù)計(jì)2001年可以完

成精確的全序列圖，此后人類將擁有一本記錄著自身生老病死及遺傳進(jìn)化的全部

信息的“天書”。這本大自然寫成的“天書”是由4個(gè)字符A,T,C,G按一定順

序排成的長(zhǎng)約30億的序列，其中沒有“斷句”也沒有標(biāo)點(diǎn)符號(hào)，除了這4個(gè)字

符表示4種堿基以外，人們對(duì)它包含的“內(nèi)容”知之甚少，難以讀懂。破譯這部

世界上最巨量信息的“天書”是二十一世紀(jì)最重要的任務(wù)之一。在這個(gè)目標(biāo)中，

研究DNA全序列具有什么結(jié)構(gòu)，由這4個(gè)字符排成的看似隨機(jī)的序列中隱藏著什

么規(guī)律，又是解讀這部天書的基礎(chǔ)，是生物信息學(xué)（Bioinformatics）最重要的

課題之一。

雖然人類對(duì)這部“天書”知之甚少，但也發(fā)現(xiàn)了DNA序列中的一些規(guī)律性和

結(jié)構(gòu)。例如，在全序列中有一些是用于編碼蛋白質(zhì)的序列片段，即由這4個(gè)字符

組成的64種不同的3字符串，其中大多數(shù)用于編碼構(gòu)成蛋白質(zhì)的20種氨基酸。

又例如，在不用于編碼蛋白質(zhì)的序列片段中，A和T的含量特別多些，于是以某

些堿基特別豐富作為特征去研究DNA序列的結(jié)構(gòu)也取得了一些結(jié)果。此外，利用

統(tǒng)計(jì)的方法還發(fā)現(xiàn)序列的某些片段之間具有相關(guān)性，等等。這些發(fā)現(xiàn)讓人們相信，

DNA序列中存在著局部的和全局性的結(jié)構(gòu)，充分發(fā)掘序列的結(jié)構(gòu)對(duì)理解DNA全序

列是十分有意義的。目前在這項(xiàng)研究中最普通的思想是省略序列的某些細(xì)節(jié)，突

出特征，然后將其表示成適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)對(duì)象。這種被稱為粗?；湍Ｐ突姆椒ㄍ?/p>

往有助于研究規(guī)律性和結(jié)構(gòu)。

1）下面有20個(gè)已知類別的人工制造的序列（見反面），其中序列標(biāo)號(hào)1—

10為A類，11-20為B類。請(qǐng)從中提取特征，構(gòu)造分類方法，并用這些已知類

別的序列，衡量你的方法是否足夠好。然后用你認(rèn)為滿意的方法，對(duì)另外20個(gè)

未標(biāo)明類別的人工序列（標(biāo)號(hào)21-40）進(jìn)行分類，把結(jié)果用序號(hào)（按從小到大

的順序）標(biāo)明它們的類別（無法分類的不寫入）：

請(qǐng)?jiān)敿?xì)描述你的方法，給出計(jì)算程序。如果你部分地使用了現(xiàn)成的分類方

法，也要將方法名稱準(zhǔn)確注明。

2）在同樣網(wǎng)址的數(shù)據(jù)文件Nat-model-data中給出了182個(gè)自然DNA序列，

它們都較長(zhǎng)。用你的分類方法對(duì)它們進(jìn)行分類，像1）一樣地給出分類結(jié)果。

Art-model-data

1.aggcacggaaaaacgggaataacggaggaggacttggcacggcattacacggaggacgaggtaaagg

aggcttgtctacggccggaagtgaagggggatatgaccgcttgg

2.cggaggacaaacgggatggcggtattggaggtggcggactgttcggggaattattcggtttaaacgg

gacaaggaaggcggctggaacaaccggacggtggcagcaaagga

3.gggacggatacggattctggccacggacggaaaggaggacacggcggacatacacggcggcaacgga

cggaacggaggaaggagggcggcaatcggtacggaggcggcgga

4.atggataacggaaacaaaccagacaaacttcggtagaaatacagaagcttagatgcatatgtttttt

aaataaaatttgtattattatggtatcataaaaaaaggttgcga

5.cggctggcggacaacggactggcggattccaaaaacggaggaggcggacggaggctacaccaccgtt

tcggcggaaaggcggagggctggcaggaggctcattacggggag

6.atggaaaattttcggaaaggcggcaggcaggaggcaaaggcggaaaggaaggaaacggcggatattt

cggaagtggatattaggagggcggaataaaggaacggcggcaca

DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

cccccccccccccccccccccccccccccccccccc

7.atgggattattgaatggcggaggaagatccggaataaaatatggcggaaagaacttgttttcggaaa

tggaaaaaggactaggaatcggcggcaggaaggatatggaggcg

8.atggccgatcggcttaggctggaaggaacaaataggcggaattaaggaaggcgttctcgcttttcga

caaggaggcggaccataggaggcggattaggaacggttatgagg

9.atggcggaaaaaggaaatgtttggcatcggcgggctccggcaactggaggttcggccatggaggcga

aaatcgtgggcggcggcagcgctggccggagtttgaggagcgcg

10.tggccgcggaggggcccgtcgggcgcggatttctacaagggcttcctgttaaggaggtggcatcca

ggcgtcgcacgctcggcgcggcaggaggcacgcgggaaaaaacg

11.gttagatttaacgttttttatggaatttatggaattataaatttaaaaatttatattttttaggta

agtaatccaacgtttttattactttttaaaattaaatatttatt

12.gtttaattactttatcatttaatttaggttttaattttaaatttaatttaggtaagatgaatttgg

ttttttttaaggtagttatttaattatcgttaaggaaagttaaa

13.gtattacaggcagaccttatttaggttattattattatttggattttttttttttttttttttaag

ttaaccgaattattttctttaaagacgttacttaatgtcaatgc

14.gttagtcttttttagattaaattattagattatgcagtttttttacataagaaaatttttttttcg

gagttcatattctaatctgtctttattaaatcttagagatatta

15.gtattatatttttttatttttattattttagaatataatttgaggtatgtgtttaaaaaaaatttt

tttttttttttttttttttttttttttaaaatttataaatttaa

16.gttatttttaaatttaattttaattttaaaatacaaaatttttactttctaaaattggtctctgga

tcgataatgtaaacttattgaatctatagaattacattattgat

17.gtatgtctatttcacggaagaatgcaccactatatgatttgaaattatctatggctaaaaaccctc

agtaaaatcaatccctaaacccttaaaaaacggcggcctatccc

18.gttaattatttattccttacgggcaattaattatttattacggttttatttacaattttttttttt

tgtcctatagagaaattacttacaaaacgttattttacatactt

19.gttacattatttattattatccgttatcgataattttttacctcttttttcgctgagtttttattc

ttactttttttcttctttatataggatctcatttaatatcttaa

20.gtatttaactctctttactttttttttcactctctacattttcatcttctaaaactgtttgattta

aacttttgtttctttaaggattttttttacttatcctctgttat

21.tttagctcagtccagctagctagtttacaatttcgacaccagtttcgcaccatcttaaatttcgat

ccgtaccgtaatttagcttagatttggatttaaaggatttagattga

22.tttagtacagtagctcagtccaagaacgatgtttaccgtaacgtacgtaccgtacgctaccgttac

cggattccggaaagccgattaaggaccgatcgaaaggg

23.cgggcggatttaggccgacggggacccgggattcgggacccgaggaaattcccggattaaggttta

gcttcccgggatttagggcccggatggctgggaccc

24.tttagctagctactttagctatttttagtagctagccagcctttaaggctagctttagctagcatt

gttctttattgggacccaagttcgacttttacgatttagttttgaccgt

25.gaccaaaggtgggctttagggacccgatgctttagtcgcagctggaccagttccccagggtattag

gcaaaagctgacgggcaattgcaatttaggcttaggcca

26.gatttactttagcatttttagctgacgttagcaagcattagctttagccaatttcgcatttgccag

tttcgcagctcagttttaacgcgggatctttagcttcaagctttttac

27.ggattcggatttacccggggattggcggaacgggacctttaggtcgggacccattaggagtaaatg

ccaaaggacgctggtttagccagtccgttaaggcttag

28.tccttagatttcagttactatatttgacttacagtctttgagatttcccttacgattttgacttaa

aatttagacgttagggcttatcagttatggattaatttagcttattttcga

29.ggccaattccggtaggaaggtgatggcccgggggttcccgggaggatttaggctgacgggccggcc

atttcggtttagggagggccgggacgcgttagggc

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30.cgctaagcagctcaagctcagtcagtcacgtttgccaagtcagtaatttgccaaagttaaccgtta

gctgacgctgaacgctaaacagtattagctgatgactcgta

31.ttaaggacttaggctttagcagttactttagtttagttccaagctacgtttacgggaccagatgct

agctagcaatttattatccgtattaggcttaccgtaggtttagcgt

32.gctaccgggcagtctttaacgtagctaccgtttagtttgggcccagccttgcggtgtttcggatta

aattcgttgtcagtcgctcttgggtttagtcattcccaaaagg

33.cagttagctgaatcgtttagccatttgacgtaaacatgattttacgtacgtaaattttagccctga

cgtttagctaggaatttatgctgacgtagcgatcgactttagcac

34.cggttagggcaaaggttggatttcgacccagggggaaagcccgggacccgaacccagggctttagc

gtaggctgacgctaggcttaggttggaacccggaaa

35.gcggaagggcgtaggtttgggatgcttagccgtaggctagctttcgacacgatcgattcgcaccac

aggataaaagttaagggaccggtaagtcgcggtagcc

36.ctagctacgaacgctttaggcgcccccgggagtagtcgttaccgttagtatagcagtcgcagtcgc

aattcgcaaaagtccccagctttagccccagagtcgacg

37.gggatgctgacgctggttagctttaggcttagcgtagctttagggccccagtctgcaggaaatgcc

caaaggaggcccaccgggtagatgccasagtgcaccgt

38.aacttttagggcatttccagttttacgggttattttcccagttaaactttgcaccattttacgtgt

tacgatttacgtataatttgaccttattttggacactttagtttgggttac

39.ttagggccaagtcccgaggcaaggaattctgatccaagtccaatcacgtacagtccaagtcaccgt

ttgcagctaccgtttaccgtacgttgcaagtcaaatccat

40.ccattagggtttatttacctgtttattttttcccgagaccttaggtttaccgtactttttaacggt

ttacctttgaaatttttggactagcttaccctggatttaacggccagttt

B題鋼管訂購和運(yùn)輸

要鋪設(shè)一條&-A2f…fAs的輸送天然氣的主管道，如圖一所示（見下

頁）。經(jīng)篩選后可以生產(chǎn)這種主管道鋼管的鋼廠有…S,。圖中粗線表示鐵

路，單細(xì)線表示公路，雙細(xì)線表示要鋪設(shè)的管道（假設(shè)沿管道或者原來有公路，

或者建有施工公路），圓圈表示火車站，每段鐵路、公路和管道旁的阿拉伯?dāng)?shù)字

表示里程（單位km）o

為方便計(jì)，1km主管道鋼管稱為1單位鋼管。

一個(gè)鋼廠如果承擔(dān)制造這種鋼管，至少需要生產(chǎn)500個(gè)單位。鋼廠S,在指定

期限內(nèi)能生產(chǎn)該鋼管的最大數(shù)量為*個(gè)單位，鋼管出廠銷價(jià)1單位鋼管為億萬

元，如下表：

i1234567

Si80080010002000200020003000

Pi160155155160155150160

1單位鋼管的鐵路運(yùn)價(jià)如下表:

里程(km)（300301?350351?400401—450451?500

運(yùn)價(jià)(萬元)2023262932

DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

cccccccccccccccccccccccccccccccccccc

里程（km）501?600601?700701-800801—900901—1000

運(yùn)價(jià)（萬元）3744505560

1000km以上每增加1至100km運(yùn)價(jià)增加5萬元。公路運(yùn)輸費(fèi)用為1單位

鋼管每公里0.1萬元（不足整公里部分按整公里計(jì)算）。鋼管可由鐵路、公路運(yùn)

往鋪設(shè)地點(diǎn)（不只是運(yùn)到點(diǎn)442,…，A'而是管道全線）。

請(qǐng)制定一個(gè)主管道鋼管的訂購和運(yùn)輸計(jì)劃，使總費(fèi)用最小（給出總費(fèi)用）。

請(qǐng)就（1）的模型分析：哪個(gè)鋼廠鋼管的銷價(jià)的變化對(duì)購運(yùn)計(jì)劃和總費(fèi)用影

響最大，哪個(gè)鋼廠鋼管的產(chǎn)量的上限的變化對(duì)購運(yùn)計(jì)劃和總費(fèi)用的影響最大，并

給出相應(yīng)的數(shù)字結(jié)果。

如果要鋪設(shè)的管道不是一條線，而是一個(gè)樹形圖，鐵路、公路和管道構(gòu)成網(wǎng)

絡(luò)，請(qǐng)就這種更一般的情形給出一種解決辦法，并對(duì)圖二按（1）的要求給出模

型和結(jié)果。

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cccccccccccccccccccccccccccccccccccc

DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

cccccccccccccccccccccccccccccccccccc

c題飛越北極

今年6月，揚(yáng)子晚報(bào)發(fā)布消息：“中美航線下月可飛越北極，北京至底特律

可節(jié)省4小時(shí)”，摘要如下：

7月1日起，加拿大和俄羅斯將允許民航班機(jī)飛越北極，此改變可大幅

度縮短北美與亞洲間的匕行時(shí)間，旅客可直接從休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直

飛北京等地。據(jù)加拿大空中交通管制局估計(jì)，如飛越北極，底特律至北京的飛行

時(shí)間可節(jié)省4個(gè)小時(shí)。由于不需中途降落加油，實(shí)際節(jié)省的時(shí)間不止此數(shù)。

假設(shè)：飛機(jī)飛行高度約為10公里,飛行速度約為每小時(shí)980公里；從北京

至底特律原來的航線飛經(jīng)以下10處：

A1（北緯31度，東經(jīng)122度）；A2（北緯36度,東經(jīng)140度）；

A3（北緯53度，西經(jīng)165度）；A4（北緯62度，西經(jīng)150度）；

A5（北緯59度,西經(jīng)140度）；A6（北緯55度，西經(jīng)135度）；

A7（北緯50度，西經(jīng)130度）；A8（北緯47度，西經(jīng)125度）；

A8（北緯47度,西經(jīng)122度）；A10（北緯42度,西經(jīng)87度）。

請(qǐng)對(duì)“北京至底特律的飛行時(shí)間可節(jié)省4小時(shí)“從數(shù)學(xué)上作出一個(gè)合理的解

釋，分兩種情況討論：

設(shè)地球是半徑為6371千米的球體；

設(shè)地球是一旋轉(zhuǎn)橢球體，赤道半徑為6378千米，子午線短半軸為6357千米。

D題空洞探測(cè)

山體、隧洞、壩體等的某些內(nèi)部結(jié)構(gòu)可用彈性波測(cè)量來確定。一個(gè)簡(jiǎn)化問題可

描述為，--塊均勻介質(zhì)構(gòu)成的矩形平板內(nèi)有一些充滿空氣的空洞，在平板的兩個(gè)

鄰邊分別等距地設(shè)置若干波源，在它們的對(duì)邊對(duì)等地安放同樣多的接收器，記錄

彈性波由每個(gè)波源到達(dá)對(duì)邊上每個(gè)接收器的時(shí)間，根據(jù)彈性波在介質(zhì)中和在空氣

中不同的傳播速度，來確定板內(nèi)空洞的位置?，F(xiàn)考察如下的具體問題：

一塊240（米）X240（米）的平板（如圖），在AB邊等距地設(shè)置7個(gè)波源

Pi（i=l,…,7）,CD邊對(duì)等地安放7個(gè)接收器Qj（j=l,…,7）,記錄由Pi發(fā)出的

彈性波到達(dá)Qj的時(shí)間tij（秒）；在AD邊等距地設(shè)置7個(gè)波源Ri（i=l,…，7）,

BC邊對(duì)等地安放7個(gè)接收器Sj（j=l,…,7）,記錄由Ri發(fā)出的彈性波到達(dá)Sj的

時(shí)間tij（秒）。已知彈性波在介質(zhì)和空氣中的傳播速度分別為2880（米/秒）

和320（米/秒），且彈性波沿板邊緣的傳播速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同。

1）確定該平板內(nèi)空洞的位置。

2）只根據(jù)由Pi發(fā)出的彈性波到達(dá)Qj的時(shí)間j=l,…，7）,能確

定空洞的位置嗎；討論在同樣能夠確定空洞位置的前提下，減少波源和接受器的

A

PiB

cccccccccccccccccccccccccccccccccccc

方法。

Q7

QiQ2Q3Q4Q6

Pl0.06110.08950.1996