高中數(shù)學湘教版2019選擇性必修第一冊課件第1章1-1第2課時數(shù)列的遞推公式

第2課時數(shù)列的遞推公式第1章內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實?必備知識全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學以致用?隨堂檢測全達標課標要求1.理解遞推公式的含義,能根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項;2.掌握數(shù)列單調(diào)性的含義及判斷方法.基礎(chǔ)落實?必備知識全過關(guān)知識點1

數(shù)列的遞推公式

如果數(shù)列{an}的任一項

與它的前一項an之間的關(guān)系可用一個公式來表示,即an+1=f(an),n≥1,那么這個公式就叫作數(shù)列{an}的遞推公式;a1稱為數(shù)列{an}的初始條件.這個條件是基礎(chǔ),不能缺少an+1名師點睛1.數(shù)列的遞推公式和初始條件也是表示數(shù)列的一種重要方法,遞推公式和通項公式一樣都是關(guān)于項數(shù)n的恒等式,用符合要求的正整數(shù)依次去替換n,就可以求出數(shù)列的各項.2.根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的項或通項公式必須具備兩個條件:(1)已知數(shù)列的第1項(或前幾項);(2)從第二項(或某一項)開始的任一項an+1與它的前一項an(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)所有數(shù)列都有遞推公式.(

)(2)由數(shù)列{an}的遞推公式an=an-1+2(n≥2,n∈N+)就能確定這個數(shù)列.(

)××2.數(shù)列的遞推公式一定只含an+1與an兩項嗎?提示

數(shù)列的遞推公式不一定只含數(shù)列的相鄰兩項,也可以含數(shù)列的多項之間的關(guān)系.知識點2

數(shù)列的單調(diào)性

類別含義遞增數(shù)列從第2項起,每一項都大于它的前一項的數(shù)列

an+1>an遞減數(shù)列從第2項起,每一項都小于它的前一項的數(shù)列

an+1<an擺動數(shù)列從第2項起,有些項

它的前一項,有些項小于它的前一項的數(shù)列

常數(shù)列

各項都是相等的常數(shù)各項都相等的數(shù)列大于名師點睛單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),數(shù)列也是函數(shù),根據(jù)數(shù)列的通項公式判斷數(shù)列的單調(diào)性,可類比通項公式對應(yīng)的解析表達式在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若一個數(shù)列的通項公式為an=(-1)nn,則數(shù)列是擺動數(shù)列.(

)(2)數(shù)列

是一個遞減數(shù)列.(

)(3)若一個數(shù)列{an}滿足an+1>an(n∈N,n≥2),則數(shù)列一定是遞增數(shù)列.(

)√√×2.若一個數(shù)列{an}滿足a1>a2>a3,則數(shù)列{an}一定是遞減數(shù)列嗎?提示

不一定,如數(shù)列的前若干項是4,3,2,5,6,7.重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點一由遞推公式求數(shù)列的項【例1】

(1)已知數(shù)列{an}滿足要求a1=1,an+1=2an+1,則a5等于(

)A.15 B.16 C.31 D.32答案

(1)C

(2)C

規(guī)律方法

由遞推公式求數(shù)列的項的方法(1)根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項,首先要弄清楚公式中各部分的關(guān)系,依次代入計算即可;(2)若知道的是末項,通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式;(3)若知道的是首項,通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式;(4)若一個數(shù)列的項具有周期性,可以借助周期的特征求解.變式訓(xùn)練1答案

(1)B

(2)B

(2)因為x1=5且xn+1=f(xn)(n∈N+),所以x2=f(x1)=f(5)=2,x3=f(x2)=f(2)=1,x4=f(x3)=f(1)=5,所以數(shù)列{xn}是一個以3為周期的數(shù)列,所以x2

021=x673×3+2=x2=2.探究點二由遞推公式求數(shù)列的通項公式規(guī)律方法

由遞推公式求通項公式的常用方法

變式訓(xùn)練2(1)已知a1=1,an=2(an+1-an)(n∈N+),則數(shù)列{an}的通項公式是(

)探究點三數(shù)列的單調(diào)性及其應(yīng)用答案

C規(guī)律方法

判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法判斷數(shù)列的單調(diào)性主要是判斷數(shù)列的相鄰兩項的大小關(guān)系,常用的方法有作差法、作商法等.其中作差法主要是作差后,通過將差式變形來判斷差的符號;而作商法主要是對于各項均為正數(shù)或負數(shù)的數(shù)列,判斷商的比值與1的大小關(guān)系.對于判斷給出通項公式的數(shù)列的單調(diào)性,可以通過通項公式相對應(yīng)的解析表達式的特征,結(jié)合函數(shù)在(0,+∞)上的單調(diào)性判斷.變式訓(xùn)練3(2022河南焦作高二期中)在數(shù)列{an}中,,則{an}(

)A.是常數(shù)列

B.不是單調(diào)數(shù)列C.是遞增數(shù)列

D.是遞減數(shù)列答案

D角度2數(shù)列的單調(diào)性在求數(shù)列的最大(小)項中的應(yīng)用∴當n<9時,an+1-an>0,即an+1>an;當n=9時,an+1-an=0,即an+1=an;當n>9時,an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,∴數(shù)列中有最大項,最大項為第9,10項,規(guī)律方法

求數(shù)列的最大(小)項的兩種方法(1)由于數(shù)列是特殊的函數(shù),所以可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì),如數(shù)列的單調(diào)性、最大項、最小項等,此時要注意數(shù)列的定義域為正整數(shù)集或其有限子集{1,2,…,n}這一條件.變式訓(xùn)練4已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n(n-8)-20.(1)這個數(shù)列從第幾項開始遞增?(2)這個數(shù)列中有沒有最小項?若有,求出最小項;若沒有,請說明理由.

解

(1)an+1-an=2n-7,令an+1-an>0,得n>,故數(shù)列{an}從第4項開始遞增.(2)an=n(n-8)-20=(n-4)2-36,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知當n=4時,an取得最小值-36,即數(shù)列中有最小項,最小項為a4=-36.解析

(1)∵數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,∴an>an+1.∴-2n2+λn>-2(n+1)2+λ(n+1),解得λ<4n+2.∵n∈N+,∴4n+2的最小值為6,∴λ<6.故選C.規(guī)律方法

利用數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法(1)根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)的取值范圍問題,求解時一般利用數(shù)列單調(diào)性的定義轉(zhuǎn)化為an+1-an>0(<0)恒成立問題,轉(zhuǎn)化后要注意n的取值范圍.(2)對于分段表示的數(shù)列單調(diào)性問題,不但要考慮各段的單調(diào)性,而且還要注意分段點處兩數(shù)列的項的大小關(guān)系.變式訓(xùn)練5數(shù)列{an}的通項公式為an=n+(a∈R),若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則a的取值范圍為

.

答案

(-∞,2)

本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)數(shù)列的遞推公式;(2)數(shù)列的單調(diào)性:遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動數(shù)列、常數(shù)列.2.方法歸納:根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的項用代入法,求通項公式用歸納法、累加法、累乘法等.3.常見誤區(qū):根據(jù)通項公式求數(shù)列的最大(小)項需要利用單調(diào)性判斷法,根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍要注意轉(zhuǎn)化為恒成立問題.學以致用?隨堂檢測全達標1.數(shù)列2,4,6,8,10,…的遞推關(guān)系是(

)A.an=an-1+2(n≥2)B.an=2an-1(n≥2)C.a1=2,an=an-1+2(n≥2)D.a1=2,an=2an-1(n≥2)答案

C解析

A,B中沒有給出初始條件,無法遞推,D中a1=2,a2=4,a3=8,不合題意.答案

B3.(多選題)若數(shù)列{an}的通項公式為,且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則實數(shù)k的取值可以是(

)A.-1 B.1 C.-3 D.3答案

AC

解析

由于數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,結(jié)合函數(shù)f(x)=在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)時k<0,因此選AC.4.在數(shù)列{an}中,a3=3,a4=5,且an+2=an+an+1,則a1=(

)A.0 B.1 C.2 D.3答案

B解析

由an+2=an+an+1得a4=a2+a3,可得a2=2.由a3=a1+a2可得a1=1.5.已知數(shù)列2a-1,a-3,3a-5為遞減數(shù)列,則實數(shù)a的取