考研數(shù)學(xué)一(多元函數(shù)微分學(xué))模擬試卷3(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)一（多元函數(shù)微分學(xué)）模擬試卷3(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．設(shè)函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)附近有定義，且f’x(0，0)=3，f’y(0，0)=1，則()A．dz｜(0,0)=3dx+dy．B．曲面z=f(x，y)在點(diǎn)(0，0，f(0，0))處的法向量為{3，1，1}．C．曲線，在點(diǎn)(0，0，f(0，0))處的切向量為{1，0，3}．D．曲線，在點(diǎn)(0，0，f(0，0))處的切向量為{3，0，1}．正確答案：C解析：化曲線則該曲線在點(diǎn)(0，0，f(0，0))處的切向量為{1，0，f’x(0，0)}={1，0，3}，故選C．知識(shí)模塊：多元函數(shù)微分學(xué)2．已知fx(x0，y0)存在，則=()A．fx(x0，y0)．B．0．C．2fx(x0，y0)．D．fx(x0，y0)．正確答案：C解析：故選C．知識(shí)模塊：多元函數(shù)微分學(xué)3．設(shè)f(x，y)=則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處()A．兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都不存在．B．兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微．C．偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)．D．可微但偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)．正確答案：B解析：由偏導(dǎo)數(shù)定義，有故f(x，y)在(0，0)點(diǎn)不可微．應(yīng)選B．知識(shí)模塊：多元函數(shù)微分學(xué)4．已知為某二元函數(shù)u(x，y)的全微分，則a等于()A．0．B．2．C．1．D．一1．正確答案：B解析：知識(shí)模塊：多元函數(shù)微分學(xué)5．函數(shù)f(x，y)在(0，0)點(diǎn)可微的充分條件是()A．B．C．D．正確答案：D解析：可知，f(x，y)的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)fx(x，y)和fy(x，y)在(0，0)點(diǎn)可微，故選D．知識(shí)模塊：多元函數(shù)微分學(xué)6．設(shè)z=則該函數(shù)在點(diǎn)(0，0)處()A．不連續(xù)．B．連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在．C．連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微．D．可微．正確答案：C解析：存在，即x(x，y)在點(diǎn)(0，0)不可微，故選C．知識(shí)模塊：多元函數(shù)微分學(xué)填空題7．設(shè)f(x，y，z)=ex+y2z，其中z=Z(x，y)是由方程x+y+z+xyz=0所確定的隱函數(shù)，則f’x(0，1，一1)=_________．正確答案：1解析：已知f(x，y，z)=ex+y2z，那么有f’x(x，y，z)=ex+y2z’x．在等式x+y+z+xyz=0兩端對(duì)x求偏導(dǎo)可得1+z’x+yz+xyz’x=0．由z=0，y=1，z=一1，可得z’x=0．故f’x(0，1，一1)=e0=1．知識(shí)模塊：多元函數(shù)微分學(xué)8．設(shè)f(x，y)=在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)，則a=_________．正確答案：0解析：因?yàn)橹R(shí)模塊：多元函數(shù)微分學(xué)9．設(shè)z==_________．正確答案：解析：知識(shí)模塊：多元函數(shù)微分學(xué)10．設(shè)f(x，y)=，則f’x(1，0)=_________．正確答案：2解析：由題干可知f(x，0)=x2，那么f’x(x，0)=2x．故f’x(1，0)=2x｜x=1=2．知識(shí)模塊：多元函數(shù)微分學(xué)11．設(shè)z=z(x，y)由方程z+e2=xy2所確定，則dz=_________．正確答案：(y2dx+2xydy)解析：知識(shí)模塊：多元函數(shù)微分學(xué)12．設(shè)函數(shù)f(u)可微，則f’(2)=2，則z=f(x2+y2)在點(diǎn)(1，1)處的全微分dz｜(1,1)=_________．正確答案：4(dx+dy)解析：由題干可知，dz=f’(x2+y2)(2xdx+2ydy)，則dz｜(1,1)=f’(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)．知識(shí)模塊：多元函數(shù)微分學(xué)13．設(shè)f(u，v)為二元可微函數(shù)，z=f(xy，yx)，則=_________．正確答案：f’1.yxy—1+f’2.yxlny解析：利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)的公式，有=f’1.yxy—1+f’2.yxlny。知識(shí)模塊：多元函數(shù)微分學(xué)14．設(shè)z==_________．正確答案：yf”(xy)+φ’(x+y)+yφ”(x+y)解析：由題干可得知識(shí)模塊：多元函數(shù)微分學(xué)15．設(shè)z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g(shù)φ、具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=_________。正確答案：g’(x+y)+xg”(x+y)+2yφ’(xy)+xy2φ”(xy)解析：由題干可知，知識(shí)模塊：多元函數(shù)微分學(xué)16．設(shè)函數(shù)F(x，y)==_________正確答案：4解析：由題干可知，知識(shí)模塊：多元函數(shù)微分學(xué)解答題解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．設(shè)u=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0，y=sinx,其中f，φ都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且．正確答案：在等式u=f(x，y，z)的兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得到如下等式涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)18．設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而z=f(exsiny)滿足方程=e2xz，求f(u)．正確答案：導(dǎo)到f”(u)一f(u)=0，解得f(u)=C2eu+C2e—u(其中C1，C2為任意常數(shù))．涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)19．設(shè)y=y(x)，z=z(x)是由方程Z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所確定的函數(shù)，其中f和F分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求．正確答案：分別在z=xf(x+y)和F(x，y，z)=O的兩端對(duì)x求導(dǎo)，得涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)20．設(shè)z=，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求。正確答案：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，有涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)21．設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(1，1)可微，且f(1，1)=1，f’x(1，1)=2，f’y(1，1)=3，φ(x)=f(x),f(xx))，求．正確答案：由已知得φ(1)=f(1，f(1，1))=f(1，1)=1，涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)22．設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為xOy坐標(biāo)面，其底部所占的區(qū)域?yàn)镈={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函數(shù)為h(x，y)=75一x2一y2+xy．(1)設(shè)M(x0，y0)為區(qū)域D上一點(diǎn)，問(wèn)h(x，y)在該點(diǎn)沿平面上何方向的方向?qū)?shù)最大?若此方向的方向?qū)?shù)為g(x0，y0)，寫(xiě)出g(x0，y0)的表達(dá)式．(2)現(xiàn)欲利用此小山開(kāi)展攀巖活動(dòng)，為此需要在山腳下尋找一坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn)．也就是說(shuō)，要在D的邊界線x2+y2一xy=75上找出使(1)中g(shù)(x，y)達(dá)到最大值的點(diǎn)．試確定攀登起點(diǎn)的位置．正確答案：(1)由梯度向量的性質(zhì)：函數(shù)h(x，y)在點(diǎn)M處沿該點(diǎn)的梯度方向(2)求g(x，y)在條件x2+y2一xy一75=0下的最大值點(diǎn)，即g2(x，y)=(y一2x)2+(x一2y)2=5x2+5y2一8xy在條件x2+y2一xy一75=0下的最大值點(diǎn)．這是求解條件最值問(wèn)題，用拉格朗日乘數(shù)法．構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x，y，λ)=5x2+5y2一8xy+λ(x2+y2一xy一75)，則有解此方程組得x=一y或λ=一2．若y=一x，則由(3)式得3x2=75，即x=±5，y=±5．若λ=一2，由(1)或(2)均得y=x，代入(3)式得x2=75，即x=±．于是得可能的條件極值點(diǎn)M1(5，一5)，M2(一5，5)，M3．現(xiàn)比較f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2一8xy在這些點(diǎn)的函數(shù)值，有f(M1)=f(M2)=450，f(M3)=f(M4)=150．因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題存在最大值，而最大值又只可能在M1，M2，M3，M4中取到．因此g2(x，y)在M1，M2取得邊界線D上的最大值，即M1，M2可作為攀登的起點(diǎn)．涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)23．設(shè)z=z(x，y)是由x2一6xy+10y2一2yz一z2+18=0確定的函數(shù)，求z=z(x，y)的極值點(diǎn)和極值．正確答案：在方程x2一6xy+10y2一2yz一z2+18=0的兩端分別對(duì)x，y求編導(dǎo)數(shù)，于是有涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)24．設(shè)函數(shù)f(u)在(0，+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且z==0．(1)驗(yàn)證f”(u)+=0．(2)若f(1)=0，f’(1)=1，求函數(shù)f(u)的表達(dá)式．正確答案：f(u)=lnu+C2，由f(1)=0可得C2=O，故f(u)=lnu．涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)25．已知曲線C：求曲線C距離xOy面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)．正確答案：點(diǎn)(x，y，z)到xOy面的距離為｜z｜，故求C上距離xOy面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)的坐標(biāo)等價(jià)于求函數(shù)H=z2在條件x2+y2一2z2=0，x+y+3z=5下的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)．構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x，y，z，λ，μ)=z2+A(x2+y2一2z2)+μ(x+y+3z一5)，根據(jù)幾何意義，曲線C上存在距離xOy面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)，故所求點(diǎn)依次為(一5，一5，5)和(1，1，1)．涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)26．設(shè)z=f(xy，yg(x))，其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)可導(dǎo)，且在x=1處取得極值g(1)=1，求。正確答案：=f’1(xy，yg(x))y+f’2(xy，yg(x))yg’(x)，=f”11(xy，yg(x))xy+f”12(xy，yg(x))yg(x)+f’1(xy，yg(x))+f”21(xy，yg(x))xyg’(x)+f”22(xy，yg(x))yg(x)g’(x)+f’2(xy，yg(x))g’(x)．由g(x)在x=1處取得極值g(1)=1，可知g’(1)=0．故=f”11(1，g(1))+f”12(1，g(1))g(1)+f’1(1，g(1))+f”21(1，g(1))g’(1)+f”22(1，g(1))g(1)g’(1)+f’2(1，g(1))g’(1)=f”11(1，1)+f”12(1，1)+f’1(1，1)．涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)27．求f(x，y)=xe一上的極值．正確答案：先求函數(shù)f(x，y)=xe一的駐點(diǎn)，f’x(x，y)=e一x=0，f’y(x，y)=一y=0，解得函數(shù)f(x，y)的駐點(diǎn)為(e，0)．又A=f”xx(e，0)=一1，B=f”xy(e，0)=0，C=f”yy(e，0)=一1，所以B2一AC＜0，A＜0．故f(x，y)在點(diǎn)(e，0)處取得極大值f(e，0)=e2．涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)28．求函數(shù)f(x，y)=(y+)ex+y的極值．正確答案：先求駐點(diǎn)，令涉及知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)微分學(xué)29．求｜z｜在約束條件，下的最大值與最小值．正確答案：｜z｜的最值點(diǎn)與z2的最值點(diǎn)一致，用拉格朗