安徽省合肥市肥西縣2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省合肥市肥西縣2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼站貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑．如常改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若，則可導(dǎo)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗由已知可得，，所以，.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可知，在處的導(dǎo)數(shù).故選：A.2.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，則，解得，所以，由，則，解得，所以，所以.故選：A3.甲、乙兩人下象棋，勝者得1分，平局得0分，負(fù)者得分，共下5局．用表示甲的得分，則表示（）A.甲勝3局負(fù)2局 B.甲勝4局負(fù)1局C.甲勝3局平2局或甲勝3局負(fù)2局 D.甲勝4局負(fù)1局或甲勝3局平2局〖答案〗D〖解析〗由已知可得，當(dāng)時(shí)，應(yīng)該為3勝2平或4勝1負(fù).故選：D.4.同濟(jì)大學(xué)為弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，計(jì)劃在社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中每天開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門課程中的一門，不重復(fù)開設(shè)，連續(xù)開設(shè)六天，則課程“禮”與“樂”相鄰，但均與“射”不相鄰的不同排法共有（）A.72種 B.144種 C.240種 D.252種〖答案〗B〖解析〗依題意先將“御”“書”“數(shù)”三門課程全排列，有種排法；再將“禮”與“樂”捆綁作為一個(gè)整體，與“射”插空到“御”“書”“數(shù)”所形成的個(gè)空中的個(gè)，故有種排法，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可知一共有種排法.故選：B5.函數(shù)的圖象大致為（）A B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，所以，，所以所以，即在上恒成立，故B、D項(xiàng)錯(cuò)誤；，由可得，，.由可得，，所以在上單調(diào)遞減；由可得，，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處取得唯一極大值，也是最大值，故A、B錯(cuò)誤.故選：C.6.已知的展開式中的系數(shù)為，若空間中有個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不共線，這個(gè)點(diǎn)可以確定的直線條數(shù)為，可以確定的三角形個(gè)數(shù)為，則（）A.185 B.205 C.220 D.385〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榈恼归_式中含的項(xiàng)是由與中的一次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)與一次項(xiàng)相乘而得，其中展開式的通項(xiàng)為（），展開式的通項(xiàng)為（），所以展開式中的系數(shù)為，即，即空間中有個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不共線，這個(gè)點(diǎn)可以確定的直線條數(shù)為，可以確定的三角形個(gè)數(shù)為，所以．故選：C7.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，依題意在上恒成立，所以在上恒成立，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍是.故選：D8.等比數(shù)列中，，若函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，，所以，.因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，且，所以，，所以，，所以，.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.袋中有9個(gè)除顏色外其余完全相同的球，其中2個(gè)黑球，3個(gè)白球，4個(gè)紅球，從中任取2個(gè)球，每取到一個(gè)黑球得0分，每取到一個(gè)白球得1分，每取到一個(gè)紅球得2分，則下列各選項(xiàng)正確的是（）A.“至多取到兩個(gè)紅球”和“取到一個(gè)白球，一個(gè)黑球”是互斥事件B.總得分為1分的概率和取到一個(gè)白球，一個(gè)黑球的概率相等C.總得分為2分的概率是D.取到的兩個(gè)球均為紅球的概率是〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A：若“取到一個(gè)白球，一個(gè)黑球”，此時(shí)沒有取到紅球，則事件“至多取到兩個(gè)紅球”也發(fā)生了，故兩個(gè)事件不互斥，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B：要使總得分為分，則表示取到一個(gè)白球，一個(gè)黑球，故總得分為分的概率和取到一個(gè)白球，一個(gè)黑球的概率相等，即B正確；對(duì)于C：若總得分為分，則取到兩個(gè)白球或取到一個(gè)紅球、一個(gè)黑球，故概率，即C正確；對(duì)于D：取到的兩個(gè)球均為紅球的概率，故D錯(cuò)誤；故選：BC10.有甲、乙兩個(gè)小組參加某項(xiàng)測試，甲組的合格率為70%，乙組的合格率為90%．已知甲、乙兩組的人數(shù)分別占這兩組總?cè)藬?shù)的70%，30%．從這兩組組成的總體中任選一個(gè)人，用事件，分別表示選取的該人來自甲、乙組，事件表示選取的該人測試合格，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗由已知可得，，，，.對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得，，根據(jù)乘法公式可知，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由已知可得，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由已知可得，，根據(jù)乘法公式可知，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)椋蔇項(xiàng)正確.故選：AD.11已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)?，令可得，令可得①，所以，故A正確；令可得②，①②得，故B錯(cuò)誤；①②得，又展開式的通項(xiàng)為（且），所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)展開式系數(shù)為負(fù)數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)展開式系數(shù)為正數(shù)，即，，所以，故C正確；將兩邊對(duì)求導(dǎo)可得：，再令可得，故D正確；故選：ACD12已知函數(shù)，，則（）A.有兩個(gè)極值點(diǎn)B.有三個(gè)零點(diǎn)C.直線是曲線的切線D.當(dāng)直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，.由，可得.因?yàn)椋曰?當(dāng)時(shí)，有，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，有，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，有，，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處取得極大值，在處取得極小值，所以，有兩個(gè)極值點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)椋?，，，根?jù)A的結(jié)論以及零點(diǎn)存在定理可知，在，，上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以有三個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，假設(shè)直線是曲線的切線，由可得，因?yàn)椋曰?又，，所以切點(diǎn)為或，顯然這兩個(gè)點(diǎn)都不在直線上，故假設(shè)錯(cuò)誤，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，令，由A、B〖解析〗可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極大值，在處取得極小值0，且，.設(shè)，，則，.作出以及的圖象如圖因?yàn)?，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象恒有3個(gè)交點(diǎn)，即直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某話劇排練時(shí)，要從6名演員中選3名分別扮演三種不同的角色，則不同的編排方法有______種．（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗要從6名演員中選3名分別扮演三種不同的角色，則不同的編排方法有種.故〖答案〗為：14.在的展開式中，的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋渲姓归_式的通項(xiàng)為（且），所以的展開式中含的項(xiàng)為，所以的系數(shù)為.故〖答案〗為：15.已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表，若隨機(jī)變量滿足，則______．012〖答案〗〖解析〗依題意，解得，所以，則，又，所以.故〖答案〗為：16.已知函數(shù)有正零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗由已知可得，，定義域?yàn)?因?yàn)榈葍r(jià)于.令，則在R上恒成立，所以，在R上單調(diào)遞增.由可知，，根據(jù)的單調(diào)性可知，，所以有.因?yàn)?，所?令，，則.由可得，.由可得，，所以在上單調(diào)遞增；由可得，，所以在上單調(diào)遞減.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以，，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.立德小學(xué)的課外活動(dòng)室里有一些“塑料珠子”和“紙盒”．王寧同學(xué)正在玩珠子投紙盒的游戲，將5個(gè)不同的塑料珠子投入編號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)紙盒中，試問：（1）一共有多少種不同的投法？（2）恰有1個(gè)空盒的投法共有多少種？解：（1）由已知可得，每個(gè)塑料珠子都有5種投法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，5個(gè)不同的塑料珠子的投法有種.（2）恰有1個(gè)空盒，表示5個(gè)塑料珠子投入了4個(gè)盒子，這4個(gè)盒子里面有1個(gè)盒子里面有2個(gè)珠子，剩余3個(gè)盒子里面只有1個(gè)珠子.第一步：從5個(gè)小球中選出2個(gè)，選法種數(shù)為；第二步：將選出的2個(gè)小球與剩余的3個(gè)小球看為4組，分別投入5個(gè)空盒中4個(gè)中，不同的投放方法為.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，恰有1個(gè)空盒的投法種數(shù)為.18.已知在（，為常數(shù)且，，，）中，有．（1）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）若它的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是其各項(xiàng)系數(shù)中最大的項(xiàng)，求的最大值．解：（1）由已知可得，展開式的通項(xiàng)為，.由已知可得，即.因?yàn)?，所以，所以，所以，的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.（2）由（1）知，該式二項(xiàng)展開式通項(xiàng)為，.由已知可得，整理可得.因?yàn)椋?，所以?令，則，且.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，顯然滿足.所以，，所以，所以，的最大值為.19.某學(xué)習(xí)平臺(tái)開設(shè)了一個(gè)“四人賽”的答題模塊，規(guī)則如下：用戶進(jìn)入“四人賽”答題模塊后，共需答題兩輪，每輪開局時(shí)，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)匹配3人與用戶一起答題，每輪答題結(jié)束時(shí)，根據(jù)答題情況四人分獲第一、二、三、四名．首輪中的第一名積5分，第二、三名均積3分，第四名積1分；第二輪中的第一名積3分，其余名次均積1分．兩輪的得分之和為用戶在“四人賽”中的總得分．假設(shè)小李在首輪獲得第一、二、三、四名的可能性相同；若其首輪獲得第一名，則第二輪獲得第一名的概率為，若其首輪沒獲得第一名，則第二輪獲得第一名的概率為．（1）設(shè)小李首輪的得分為，求的分布列；（2）求小李在“四人賽”中的總得分的期望．解：（1）依題意的所有可能取值為，，，則，，，所以的分布列為（2）設(shè)小李在“四人賽”中的總得分為，則的取值為，，，，則，，，，所以的分布列為所以.20.已知函數(shù)，．（1）求的極小值；（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由已知可得，.由可得，或.當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處取得極小值.（2）要使，不等式恒成立，只需滿足即可.由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，在上取得唯一極小值，也是最小值.因?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)，所以有，即，無解；②當(dāng)時(shí)，由可得，.當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞減.所以，在取得唯一極大值，也是最大值；（ⅰ）當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在上單調(diào)遞減，所以，，所以有，解得；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在上單調(diào)遞增，所以，，所以有，即，無解；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，所以有，即，無解.綜上所述，.21.已知甲書架上有本英文讀物和本中文讀物，乙書架上有本英文讀物和本中文讀物．（1）從甲書架上無放回地取本書，每次任取本，求第一次取到英文讀物的條件下第二次仍取到英文讀物的概率；（2）先從乙書架上隨機(jī)取本書放在甲書架上，再從甲書架上隨機(jī)取本書，求從甲書架上取出的是本英文讀物的概率．解：（1）依題意第一次取到英文讀物，則甲書架上還有本英文讀物和本中文讀物，所以第二次仍取到英文讀物的概率.（2）從乙書架上隨機(jī)取本書放在甲書架上，記從乙書架上取出兩本英文讀物為事件，從乙書架上取出一本英文讀物、一本中文讀物為事件，從乙書架上取出兩本中文讀物為事件，從甲書架上取出的是本英文讀物為事件，依題意，，，，，，所以.2