廣東省梅州市2024屆高三下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)檢（二模）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省梅州市2024屆高三下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)檢（二模）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.常言道：“不經(jīng)歷風(fēng)雨，怎么見彩虹”．就此話而言，“經(jīng)歷風(fēng)雨”是“見彩虹”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由題意，經(jīng)歷風(fēng)雨不一定會(huì)見彩虹，但見彩虹一定是經(jīng)歷風(fēng)雨，所以“經(jīng)歷風(fēng)雨”是“見彩虹”的必要不充分條件．故選：B．2.已知集合，，則（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，二次函?shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以.故選：D.3.三個(gè)函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，則之間的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)，，的零點(diǎn)，即函數(shù),,,的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出，,,的圖象，由圖象可知，．故選：B．4.如圖，兩根繩子把物體M吊在水平桿子AB上.已知物體M的重力大小為20牛，且，在下列角度中，當(dāng)角取哪個(gè)值時(shí)，繩承受的拉力最小.（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗作出示意圖，設(shè)與物體平衡的力對(duì)應(yīng)的向量為，則，以為對(duì)角線作平行四邊形，則，是繩承受的拉力大小，由，得，所以，中，由正弦定理得，即，可得，結(jié)合，可知當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值10綜上所述，當(dāng)角時(shí)，繩承受的拉力最小.故選：C5.若把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的是一個(gè)偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到，，則，即，即，該方程對(duì)任意恒成立，則，解得．故選：C．6.據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，，，，求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且平均數(shù)．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)這組樣本數(shù)據(jù)中有兩個(gè)樣本點(diǎn)和誤差較大，去除后，重新求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8〖答案〗C〖解析〗因?yàn)樵瓉淼慕?jīng)驗(yàn)回歸方程為，且平均數(shù)，所以，因?yàn)槿コ膬蓚€(gè)樣本點(diǎn)和，并且，，所以去除兩個(gè)樣本點(diǎn)后，樣本點(diǎn)的中心仍為，代入重新求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，可得，解得．故選：C．7.某學(xué)校為參加辯論比賽，選出8名學(xué)生，其中3名男生和5名女生，為了更好備賽和作進(jìn)一步選拔，現(xiàn)將這8名學(xué)生隨機(jī)地平均分成兩隊(duì)進(jìn)行試賽，那么兩隊(duì)中均有男生的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意，從8人中選出人，有種選法，分種情況討論：①選出的人中有名男生和名女生，有種選法，②選出的人中有名男生和名女生，有種選法，則兩隊(duì)中均有男生的概率．故選：D．8.已知點(diǎn)F為雙曲線C：的右焦點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上（非雙曲線頂點(diǎn)），若對(duì)于在雙曲線C上（除頂點(diǎn)外）任一點(diǎn)P，恒是銳角，則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得，所以，設(shè),，，則，,，由恒是銳角，得，又，，不等式可化為：，整理得：，只需，解得．故選：C．二、選擇題9.設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C. D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，，則，解得，即，故A正確；對(duì)于B，，，滿足，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，故C正確；對(duì)于D，，則，即，即，故D正確．故選：ACD．10.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，在中依次選取若干項(xiàng)（至少3項(xiàng)），，，，，，使成為一個(gè)等比數(shù)列，則下列說法正確的是（）A.若取，，則B.滿足題意的也必是一個(gè)等比數(shù)列C.在的前100項(xiàng)中，的可能項(xiàng)數(shù)最多是6D.如果把中滿足等比的項(xiàng)一直取下去，總是無窮數(shù)列〖答案〗AB〖解析〗因?yàn)閿?shù)列的通項(xiàng)公式為，對(duì)于A，取，，則，，由于為等比數(shù)列，則，則有，即，故A正確；對(duì)于B，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，若為等比數(shù)列，即，，，，，是等比數(shù)列，則，，，，，，是等比數(shù)列，故滿足題意的也必是一個(gè)等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，在的前項(xiàng)中，可以取，，，，，，，可以使成為一個(gè)等比數(shù)列，此時(shí)為項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，，則，則，不是數(shù)列項(xiàng)，所以把中滿足等比的項(xiàng)一直取下去，不總是無窮數(shù)列，故D錯(cuò)誤．故選：AB．11.如圖，平面，，M為線段AB的中點(diǎn)，直線MN與平面的所成角大小為30°，點(diǎn)P為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.以為球心，半徑為2的球面在平面上的截痕長(zhǎng)為B.若P到點(diǎn)M和點(diǎn)N距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是一條直線C.若P到直線MN的距離為1，則的最大值為D.滿足的點(diǎn)P的軌跡是橢圓〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，由于MN與平面的所成角大小為30°，所以點(diǎn)到平面的距離，故半徑為的球面在平面上截面圓的半徑為,故截痕長(zhǎng)為，A錯(cuò)誤，對(duì)于B,由于平面，所以以為，在平面內(nèi)過作,平面內(nèi)作，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，故P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是一條直線，B正確，,所以P到直線MN的距離為，化簡(jiǎn)可得，所以點(diǎn)的軌跡是平面內(nèi)的橢圓上一點(diǎn)，如圖，當(dāng)在短軸的端點(diǎn)時(shí)，此時(shí)最大，由于,故，因此,C正確，對(duì)于D,，,若，則，化簡(jiǎn)得且，故滿足的點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一部分，D錯(cuò)誤，故選：BC.三、填空題12.某中學(xué)1500名同學(xué)參加一分鐘跳繩測(cè)試,經(jīng)統(tǒng)計(jì),成績(jī)X近似服從正態(tài)分布，已知成績(jī)大于170次的有300人，則可估計(jì)該校一分鐘跳繩成績(jī)X在130～150次之間的人數(shù)約為______.〖答案〗〖解析〗由題意可知，，又因?yàn)?，所以所以跳繩成績(jī)X在130～150次之間的人數(shù)約為.故〖答案〗為：.13.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式（），則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗由于當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，要求的最小值，只需要考慮出現(xiàn)奇數(shù)個(gè)奇數(shù)項(xiàng)時(shí)即可，又，且當(dāng)時(shí)，，因此時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)，，綜上，最小值為.故〖答案〗為：14.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義、兩點(diǎn)之間的“直角距離”為．已知兩定點(diǎn)，，則滿足的點(diǎn)M的軌跡所圍成的圖形面積為______．〖答案〗6〖解析〗設(shè)，由題意,,，可知，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，軌跡方程的圖形如圖，圖形的面積為：．故〖答案〗為：6．四、解答題15.已知橢圓C：（）的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程：（2）求橢圓C上的點(diǎn)到直線l：的距離的最大值．解：（1）由橢圓的離心率為，可得，可得，設(shè)橢圓的方程為：，，又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為：；（2）設(shè)與直線平行的直線的方程為，聯(lián)立，整理可得：，，可得，則，所以直線到直線的距離．所以橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為．16.在中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，，，（1）求A的大?。海?）點(diǎn)D在BC上，（Ⅰ）當(dāng)，且時(shí)，求AC的長(zhǎng)；（Ⅱ）當(dāng)，且時(shí)，求的面積．解：（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得，又，所以，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，，所以，可得，因?yàn)?，所以；?）（Ⅰ）此時(shí)，，所以，所以，在中，由正弦定理可得；（Ⅱ）設(shè)，由，可得，化簡(jiǎn)可得有，由于，所以，所以，則．17.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為直角梯形，為等邊三角形，，，．（1）求證：；（2）點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，求面積的最小值；（3）點(diǎn)為的中點(diǎn)，在棱上找一點(diǎn)，使得平面，求的值．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，則且，又，所以四邊形為矩形，所以，又為等邊三角形，所以，，平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：連接，由平面，又平面，所以，所以，要使的面積最小，即要使最小，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，在中，，，所以，?dāng)時(shí)，所以面積的最小值為.（3）解：連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榍?，所以，所以，因?yàn)槠矫妫制矫?，平面平面，所以，所以，在中，過點(diǎn)作，則有，所以，所以，即18.已知函數(shù)，，（）．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（1）證明：令，則，記，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減：在上單調(diào)遞增，從而在上，，所以在上單調(diào)遞增，因此在上，，即；（2）解：，，，在上，，所以，在上遞增，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)；，記，則，在上遞增，而，故存在，使，當(dāng)時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，，而，，在上無零點(diǎn)，在,上有唯一零點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，在上沒有零點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．19.已知是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，即；前項(xiàng)的最小值記為，即，令（），并將數(shù)列稱為的“生成數(shù)列”．（1）若，求其生成數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）設(shè)數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；（3）若是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，是等差數(shù)列．（1）解：因?yàn)殛P(guān)于單調(diào)遞增，所以，，于是，的前項(xiàng)和．（2）證明：由題意可知，，所以，因此，即是單調(diào)遞增