河北省九校聯(lián)盟2023-2024學年高一下學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省九校聯(lián)盟2023-2024學年高一下學期期中考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則的虛部為（）A.2 B.4 C.-2 D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，則z的虛部為2.故選：A.2.若向量，則的取值集合為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，解得或0，即x取值集合為.故選：C.3.如圖，這是一個正方體的平面展開圖，若將其還原成正方體，下列直線中，與直線是異面直線的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由平面展開圖得到該正方體的直觀圖如圖所示，與直線是異面直線的是，其中，所以與共面、與共面、與共面．故選：C.4.如圖，的斜二測直觀圖為等腰直角三角形，其中，則的面積為（）A. B. C.6 D.〖答案〗D〖解析〗將直觀圖還原為原圖，如圖，由，，所以，所以，則，即原平面圖形的面積是．故選：D.5.向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則向量（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，設(shè)，則．故選：D.6.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則的形狀一定是（）A.等腰三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.鈍角三角形〖答案〗A〖解析〗在中，由及正弦定理，得，于是，而，則，所以是等腰三角形.故選：A.7.已知正方形邊長為，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗方法一：如圖所示，建立以為原點的平面直角坐標系，得，則，故．方法二：，故．故選：A.8.財富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)，是湛江經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)的標志性建筑，同時也是已建成的粵西第一高樓.為測量財富匯大廈的高度，小張選取了大廈的一個最高點，點在大廈底部的射影為點，兩個測量基點B，C與在同一水平面上，他測得米，，在點處測得點的仰角為，在點處測得點的仰角為，則財富匯大廈的高度（）A.200米 B.202米 C.204米 D.206米〖答案〗C〖解析〗設(shè)米，因為在點處測得點的仰角為，所以，則米，因為在點處測得點的仰角為，所以米，由余弦定理得，即，解得．故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的行6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題正確的是（）A.若直線與平面平行，則平面內(nèi)有無數(shù)條直線與直線平行B.若直線與平面相交，則平面內(nèi)沒有直線與直線平行C.已知兩條相交直線，若平面，則平面D.已知直線，平面，若，則〖答案〗AB〖解析〗A：若平面，則直線與平面的無數(shù)條直線平行，故A正確；B：直線與平面相交，則直線與平面的任意直線不平行，故B正確；C：若兩條相交直線，平面，則與平面的位置關(guān)系不確定，故C錯誤；D：若直線，平面，，則與平行或異面，故D錯誤．故選：AB.10.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗由題意得，，所以，解得.故選：AD.11.已知圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為2的扇形，是兩條母線，是的中點，則（）A.圓錐的體積為B.面積的最大值為C.當為軸截面時，圓錐表面上點到點的最短距離為D.圓錐的內(nèi)切球的表面積為〖答案〗ACD〖解析〗A：因為圓錐SO的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為2的扇形，所以扇形的弧長為，即圓錐的底面周長為，設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，則，解得，又，所以圓錐的高，所以圓錐的體積，故A正確；B：當軸截面時，在中，，因為，所以此時為鈍角，又，當時，的面積最大，且最大值為2，故B錯誤；C：當為軸截面時，將圓錐側(cè)面展開可知，點A到點P的最小距離為，如圖，在中，，由余弦定理得，故C正確；D：當為軸截面時，的內(nèi)切圓半徑即圓錐SO的內(nèi)切球半徑，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，所以，所以內(nèi)切球的表面積為，故D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把〖答案〗填在答題卡中的橫線上.12.若，則______.〖答案〗2〖解析〗由題意得，，則，解得．故〖答案〗為：2.13.如圖，這是一件古代的青銅器，其盛酒部分可近似地視為一個圓臺，該圓臺的上底面、下底面的半徑分別為，高為，則該青銅器的容積約為______．〖答案〗〖解析〗該青銅器的容積約為．故〖答案〗為：.14.若均為單位向量，且的取值范圍是，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗依題意，不妨設(shè)，則，，因為的取值范圍是，得，所以的取值范圍是，又因為，當時，；當時，，綜上，的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答顆：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，其中．（1）若為純虛數(shù)，求共軛復數(shù)；（2）若在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，求的取值范圍．解：（1）由題意可得，解得，則，所以的共軛復數(shù)為．（2）由題意可得，即，解得，即的取值范圍是．16.已知向量滿足．（1）若向量的夾角為，求的值；（2）若，求的值；（3）若，求向量的夾角.解：（1）．（2）由，得，所以，故．（3）由題意得，即，得，所以，因為，所以，即向量的夾角為．17.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）若，求外接圓的半徑，（2）若的面積為，求的大小及的周長．解：（1）因為，所以，即，又，所以．又，所以．（2）的面積，則，因為，所以或，當時，，得的周長為，當時，，得的周長為，綜上，的周長為或.18.如圖，在長方體中，E，F(xiàn)分別為的中點．（1）證明：平面．（2）證明：平面．（3）已知，以為直徑的球的表面積為，設(shè)三點確定平面，在答題卡的圖中作出平面截四棱柱所得的截面（寫出作法），并求截面的周長．解：（1）在長方體中，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面．（2）取BC的中點，連接，，因為E，F(xiàn)分別為的中點，所以，又平面平面，所以平面，由（1）知平面，得平面，又，平面EFG，所以平面平面，又平面，所以平面．（3）取的中點，連接，則要求作的截面為四邊形，在矩形中，，所以，解得，所以截面的周長為.