江西省吉安市雙校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省吉安市雙校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（每題5分，共40分）1.已知集合，，那么等于（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意．故選：A．2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗復(fù)數(shù)z滿足，，.故選：C.3.已知曲線，曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A.將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位，得到曲線B.將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位，得到曲線C.將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位，得到曲線D.將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位，得到曲線〖答案〗D〖解析〗A.得到曲線：，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.得到曲線：，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.得到曲線：，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.得到曲線：，所以該選項(xiàng)正確.故選：D4.要為5名游客和2位導(dǎo)游拍照留念，要求排成一排，且2位導(dǎo)游相鄰，不同排法共有（）種A.1440 B.960 C.720 D.240〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閮晌粚?dǎo)游要相鄰，因此將兩位導(dǎo)游看作一個(gè)人，內(nèi)部排列有種排法，將兩位導(dǎo)游看作一個(gè)人和其他人全排列有種排法，因此根據(jù)乘法原理共有種排法，故選：A5.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為2的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，俯視圖為邊長為2的正方形．若該幾何體的體積為，并且可以用個(gè)這樣的幾何體拼成一個(gè)棱長為2的正方體，則，的值是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗由三視圖還原原幾何體的直觀圖如圖所示：由三視圖可知，幾何體為底面是正方形的四棱錐，，邊長為2的正方體的體積為，∴，故選：B．6.在三棱錐P－ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC是邊長為4的正三角形，PC＝4，M是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為（）A.2 B.2 C.4 D.4〖答案〗B〖解析〗如圖，連接CM，因?yàn)镻C⊥平面ABC，平面ABC，所以PC⊥CM，因?yàn)镻C＝4，所以，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，當(dāng)CM⊥AB時(shí)CM有最小值，此時(shí)有，所以PM的最小值為.故選：B.7.已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（）A.2-1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，所以，，，，，，累加上述式子得：，所以，，檢驗(yàn)已知時(shí)，滿足.故，，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為.故選：C.8.高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，，已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026〖答案〗B〖解析〗由得，因此數(shù)列為公比為4，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，故，進(jìn)而根據(jù)累加法得，，，又，，令，，，代入得，故選：B.二、多選題（每題5分，共20分）9.某同學(xué)連續(xù)拋擲質(zhì)地均勻的骰子10次，向上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，則這10個(gè)數(shù)的（）A.眾數(shù)為2和3 B.平均數(shù)為3C.標(biāo)準(zhǔn)差為 D.第85百分位數(shù)為4.5〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)?和3出現(xiàn)的次數(shù)最多，均為3次，所以眾數(shù)為2和3，所以A正確，對(duì)于B，平均數(shù)為，所以B正確，對(duì)于C，標(biāo)準(zhǔn)差為，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)檫@組數(shù)從小到大排列為1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，且，所以第85百分位數(shù)為第9個(gè)數(shù)5，所以D錯(cuò)誤，故選：AB10.若函數(shù)是偶函數(shù)，定義域?yàn)?，則（）A.a=3 B.b=0C.函數(shù)的定義域?yàn)?D.函數(shù)的最小值為1〖答案〗BCD〖解析〗由函數(shù)是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇a－1，2a]得，解得，故，故A錯(cuò)誤，BC正確，由于，故當(dāng)時(shí)，的最小值為1，故D正確，故選：BCD11.如圖，為圓錐底面直徑，點(diǎn)是圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓錐的側(cè)面積為B.三棱錐體積的最大值為C.的取值范圍是D.若，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為〖答案〗AB〖解析〗在中，，則圓錐的母線長，半徑，對(duì)于選項(xiàng)A：圓錐的側(cè)面積為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，的面積最大，此時(shí)，則三棱錐體積的最大值為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為最小角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，達(dá)到最大值，又因?yàn)榕cA，不重合，則，又，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由，，，得，又，則為等邊三角形，則，將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，得到△，則△為等邊三角形，，如圖：則，因?yàn)?，，則，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AB．12.在中，，，，AD是三角形的中線．E，F(xiàn)分別是AB，AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，，（x，），線段EF與AD相交于點(diǎn)G．已知的面積是的面積的2倍，則（）A. B.x＋y的取值范圍為C.若，則的取值范圍為 D.的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)A，，，又因?yàn)椋?，解得，故A正確，對(duì)B，因?yàn)?，，則，解得，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知當(dāng)或1時(shí)，，則，故B錯(cuò)誤，對(duì)C，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，則存在，使得則有，則，，故C正確；對(duì)D，，，則，因?yàn)?，則，則，故D正確.故選：ACD.三、填空題（共20分）13.在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)和__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，則有，解得，故.故〖答案〗為：14.已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，，，，，則_________．〖答案〗〖解析〗如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，，所以，，因?yàn)?，所以，又，所以，連接BD，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，又因?yàn)?，所以，則，由，解得.故〖答案〗為：.15.已知隨機(jī)事件A，B，，，，則________.〖答案〗〖解析〗依題意得，所以故，所以.故〖答案〗為：.16.如圖，已知拋物線及兩點(diǎn)和，其中.過、分別作軸的垂線，交拋物線于、兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，此時(shí)就稱、確定了.依此類推，可由、確定、.記，、、、.給出下列三個(gè)結(jié)論：①數(shù)列是遞減數(shù)列；②對(duì)任意，；③若，，則.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____．〖答案〗①②③.〖解析〗由題意知，，，直線斜率為，則直線的方程為，令，則，，即，在等式兩邊取倒數(shù)得.，，由此可得出，，，命題②正確；，則，由②知，對(duì)任意的，，，即數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，命題①正確；若，，則，，，命題③正確.故〖答案〗為：①②③.四、解答題（共70分）17.已知圓，直線．（1）求證：直線l恒過定點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，求直線l被圓C截得的弦長．解：（1）依題意直線，整理得，由解得，所以恒過定點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，直線，圓的圓心為，半徑為，到直線的距離為，所以直線l被圓C截得的弦長為.18.某學(xué)校高中三個(gè)年級(jí)共有名學(xué)生，為調(diào)查他們的課后學(xué)習(xí)時(shí)間情況，通過分層隨機(jī)抽樣獲得了20名學(xué)生某周的課后學(xué)習(xí)時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時(shí)）：高一年級(jí)高二年級(jí)高三年級(jí)（1）試估計(jì)該校高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)；（2）從高一年級(jí)和高二年級(jí)樣本學(xué)生中各隨機(jī)抽取一人，高一年級(jí)抽取的人記為甲，高二年級(jí)抽取的人記為乙，求該周甲的課后學(xué)習(xí)時(shí)間不大于乙的課后學(xué)習(xí)時(shí)間的概率；（3）再從高中三個(gè)年級(jí)中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們?cè)撝艿恼n后學(xué)習(xí)時(shí)間分別是8，10，11（單位：小時(shí)），這三個(gè)數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為，表格中的數(shù)據(jù)平均數(shù)記為，試判斷與的大小關(guān)系.（只需寫出結(jié)論）解：（1）由表格知：高一是5人，高二是7人，高三是8人，所以，在400名學(xué)生中高三的人數(shù)為（人）；（2）設(shè)從高一人數(shù)中隨機(jī)抽取一人為事件：，，；從高二人數(shù)中隨機(jī)抽取一人為事件：，，；則與是相互獨(dú)立的事件，，高一隨機(jī)抽取的人的課后學(xué)習(xí)時(shí)間大于高二隨機(jī)抽取的人的課后學(xué)習(xí)時(shí)間為事件：，則，=，高一隨機(jī)抽取的人的課后學(xué)習(xí)時(shí)間不大于高二隨機(jī)抽取的人的課后學(xué)習(xí)時(shí)間為事件，；（3）由表格知原平均時(shí)間，加入新數(shù)據(jù)后平均時(shí)間為：，即；綜上，高三的人數(shù)為160（人），甲的課后學(xué)習(xí)時(shí)間不大于乙的課后學(xué)習(xí)時(shí)間的概率為；.19.首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足．（1）證明：若為奇數(shù)，則對(duì)，都是奇數(shù)；（2）若對(duì)，都有，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，則，所以，又首項(xiàng)為正數(shù)，則利用數(shù)學(xué)歸納法證明：已知是奇數(shù)，時(shí)成立．假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，則由遞推關(guān)系得是奇數(shù)，即時(shí)也成立．由，可知對(duì)任何，都是奇數(shù)．（2）由，得，于是或．，因?yàn)樗械木笥?，因此與同號(hào)．因此，對(duì)一切都有的充要條件是或．20.在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，三角形為等邊三角形，已知，，，.（1）求證：（2）求直線與面所成的角的正弦值.解：（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接與，因?yàn)槭堑冗吶切危?，又因?yàn)?，所以平面，則，，，所以是等腰直角三角形，且（2）由（1）可知平面，即平面平面，又因?yàn)?，，所以以為原點(diǎn)，過在所在平面內(nèi)作的垂線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系則點(diǎn)，設(shè)平面的法向量，令，則則，所以因此直線與面所成的角的正弦值21.定義：若對(duì)任意正整數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和都是整數(shù)的完全平方數(shù)，則稱數(shù)列為“完全平方數(shù)列”.（1）若數(shù)列滿足，判斷為是否為“完全平方數(shù)列”；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和（是正整數(shù)），那么是否存在，使數(shù)列為“完全平方數(shù)列”？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）試求出所有為“完全平方數(shù)列”的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：（1）不是“完全平方數(shù)列”.不是整數(shù)的完全平方數(shù).（2）數(shù)列的前項(xiàng)和（是正整數(shù)），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不滿足上式，所以①當(dāng)，時(shí)，，所以數(shù)列與原數(shù)列相同，所以，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列為“完全平方數(shù)列”，②當(dāng)時(shí)，，不是完全平方數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是“完全平方數(shù)列”，綜上，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為“完全平方數(shù)列”，（3）因?yàn)闉橥耆椒綌?shù)，故，,若，則，若對(duì)任意的，均為完全平方數(shù)，則，否則假設(shè)為的素因數(shù)，且恰好能整除，為正整數(shù)，若為奇數(shù)，則不是完全平方，矛盾；若為偶數(shù)，取，則不是完全平方數(shù)，矛盾，若，則，若，取，則或，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，此時(shí)、均不是完全平方數(shù)，故為奇數(shù)，取，則，為奇數(shù)，故此時(shí)不是完全平方數(shù)，故即，故，設(shè)，故，所以即（）.22.已知橢圓為其左、右焦點(diǎn)，為上點(diǎn)..當(dāng)，面積最大.（1）求橢圓C的離心率.（2）過P與橢圓C相切的切線方程為，求橢圓C的方程.（3）在（2）的前提下，若.過P的直線交C的另一