矩陣特征值與特征向量的性質及應用

PAGEPAGE4矩陣特征值與特征向量的性質及應用1引言矩陣特征值與特征向量在天文學﹑地震學﹑遺傳學﹑經濟學﹑幾何學﹑振動力學等幾十個學科都有具體的應用．它不僅是線性代數(shù)中一個重要的基本概念，同時也是數(shù)學研究與應用的一個重要工具．本文從6個方面對它的應用進行了探討，同時也給出了一些相關命題的證明．希望為廣大學者學習這部分知識時提供參考．為了便于學習這部分知識，我們給出若干定義．定義設為數(shù)域上線性空間的一個線性變換，如果對于數(shù)域中的一個數(shù)，存在一個非零向量，使得，則稱為的特征值，而稱為的屬于特征值的一個特征向量．定義設，是數(shù)域上的兩個階矩陣，如果存在數(shù)域上的階可逆矩陣，使得，則稱相似與，記為～．定義設是一個數(shù)域，，矩陣的主對角上所有的元素之和叫矩陣的跡．記．定義設是數(shù)域上一個階矩陣，如果存在上一個階可逆矩陣，使得具有對角形式，就說矩陣可以對角化．定義階行列式的元素的余子式附以符號后，叫做元素的代數(shù)余子式．２有關特征值與特征向量的性質性質數(shù)域上的階矩陣可對角化的充要條件是有個線性無關的特征向量．性質數(shù)域上的階矩陣可對角化的充分條件是有個不同的特征值．性質若階矩陣與相似，則⑴；⑵=；⑶=；⑷與相似，與相似，與相似（如果可逆的話）；⑸若是數(shù)域上任一多項式，則∽；⑹∽；若∽，則∽；若∽，∽，則∽．性質設階方陣=（）的幾個特征值為，，…，，則．．性質設，，則．性質6設，為階方陣，試證（1）（2）（3）（4）（其中為正交矩陣）．證明設，．則．（１）．（２）．（３）．．（4）由（3）易得．性質7相似矩陣具有相同的跡．證明因為相似，則存在可逆矩陣，使，因此，．所以，有相同的特征多項式．即相似矩陣具有相同的特征值．由矩陣跡的定義知，相似矩陣具有相同的跡．３應用舉例3.1已知矩陣的特征值，反求矩陣的問題．例1設有特征值，求矩陣，問是否可以對角化？說明理由．分析由題意知這是已知矩陣中部分特征值來確定矩陣中的參數(shù)問題，這類問題一般用特征方程=0求解．解因為均為的特征值，所以有．即．(1)．(2)聯(lián)立（1）（2）解得．根據．因為即，又因為有3個不同的特征值，，所以可以對角化．3.2求相似矩陣中的參數(shù)例2已知矩陣相似，其中，求參數(shù)的值．分析已知相似，可以由的特征多項式相同．即來確定矩陣中的參數(shù)，也可以利用．等結論．此題解法不唯一，在此只給出一種解法．解因為相似，相似矩陣具有相同的特征值，所以的三個特征值分別為．再利用，即解之得3.3已知矩陣特征值，求代數(shù)余子式的和例3已知3階方陣的特征值為2，－3，4，求，其中為的代數(shù)余子式．分析因為沒有給出組成的數(shù)，給出的條件是知道的特征值，所以要從特征值的性質入手．解因為=，所以．另一方面，其中，，為的特征值．由題設的特征值為2，－3，4．所以故為可逆矩陣，且．由題設A的特征值為2，－3，4，可推出的特征值為．可推出的3個特征值為所以3.4已知特征向量，求矩陣及特征向量所對應的特征值例4已知＝是矩陣的一個特征向量．⑴試確定參數(shù)及特征向量所對應的特征值．⑵問能否相似與對角矩陣？試說明理由．解由得=，得解得由于，==．所以，的特征值為．可求得，從而對應的三重特征值-1只有一個線性無關的特征向量，故不可以對角化．3.5抽象矩陣的求解例5設為4階實矩陣，記的伴隨矩陣為，已知的特征值為．求．分析本例沒有給出構成矩陣的數(shù)，而要求矩陣的多項式的行列式，教材上給的計算行列式的技巧都用不上只有從性質（３）（４）入手找出矩陣的多項式的全部特征值．解由題設，知為可逆矩陣，從而也為可逆矩陣，且由及是實矩陣，是實數(shù)推出=3．從而．由性質（４）知的特征值為可推出的特征值．為．從而的特征值為取．故的特征值為，，3.6矩陣跡的應用例６試證明不可能有階方陣，滿足．證明由性質（５）、（６）得．而，故對任意方陣，都有．本文在研究矩陣特征值與特征向量性質的基礎上，給出了6種典型例題的解法．使看似無法入手的問題得到了解決，另外，邵麗麗在文獻[7]中就階矩陣高次冪的求解﹑矩陣反問題的求解以及矩陣的逆矩陣的伴隨矩陣等問題進行了詳細的探討；歐云華在文獻[5]中給出了一種求解矩陣的新方法．唐鵬程、鄒本強、殷慶祥分別在文獻[4]、[6]、[8]對矩陣的特征值的性質進行了探討．在此不在一一介紹有興趣的讀者可以參考詳文．參考文獻：[1]北京大學數(shù)學系代數(shù)小組與幾何小組代數(shù)小組編．高等代數(shù)（第三版）[M]．北京：北京高等教育出版社，2003[2]張禾瑞．高等代數(shù)（第四版）［M］．高等教育出版社，1997[3]徐仲，陸全，張凱院等．高等代數(shù)導教·導學·導考（第二版）[M]．西安：西北工業(yè)出版社，2004[4]唐鵬程．矩陣跡的應用[J]．孝感學院學報，2000，4[5]歐云華．求特征根﹑特征向量的新方法[J]．長沙大學學報，2003，4[6]鄒本強．特殊矩陣的性質[J]．重慶職業(yè)技術學院學報，2006，5[7]邵麗麗．矩陣特征值﹑特征向量性質的應用研究[J]．荷澤學院學報，2006，5[8]殷慶祥．實對稱矩陣特征值的性質與計算[J]．長春理工大學學報，2003，4[9]W．G