高中數學知識點（蘇教版）

第一講集合

一、知識精點講解

1.集合：某些指定的對象集在一起成為集合。

（1）集合中的對象稱元素，若。是集合4的元素，記作ae/;若

b不是集合/的元素，記作bwN；

（2）集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性；

確定性：設力是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則

或者是/的元素，或者不是/的元素，兩種情況必有一種且只有

一種成立；

互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相

同的個體（對象），因此，同一集合中不應重復出現(xiàn)同一元素；

無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于

元素的排列順序無關；

（3）表示一個集合可用列舉法、描述法或圖示法；

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內；

描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括

號｛｝內。

具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取

值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所

具有的共同特征。

注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點，應該根據具體問題確定采用哪

種表示法，要注意，一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采

用列舉法。

(4)常用數集及其記法：

非負整數集(或自然數集)，記作N；正整數集，

記作N*或N.；

整數集，記作Z；有理數集，記作Q；實數集，

記作Ro

2.集合的包含關系：

(1)集合/的任何一個元素都是集合8的元素，則稱4是3的

子集(或8包含/),記作4工8(或4u8)；

集合相等：構成兩個集合的元素完全一樣三若且則

稱/等于8,記作4=&若/±8且則稱/是8的真子集，

記作/B；

(2)簡單性質：1)A^A；2)①q/；3)若AqB,BqC,貝U

A^C；4)若集合/是n個元素的集合，則集合/有2n個子集(其中

2n-l個真子集)；

3.全集與補集：

(1)包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全

集，記作U；

(2)若S是一個集合，A^S,貝"，Cs={x|xeS且稱S中子

集4的補集；

4.交集與并集：

(1)一般地，由屬于集合/且屬于集合8的元素所組成的集合,

叫做集合/與8的交集。交集Zc8=｛x|xe4且xeB｝。

(2)一般地，由所有屬于集合/或屬于集合8的元素所組成的

集合，稱為集合/與8的并集。并第4u8=｛x|xe4或xe團。

注意：求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是

集合，區(qū)分交集與并集的關鍵是“且”與“或”，在處理有關交集與

并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設條件，結合

Venn圖或數軸進而用集合語言表達，增強數形結合的思想方法。

第二講函數概念與表示

一、知識精點講解

1.函數的概念：

設/、8是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系力使對于

集合力中的任意一個數%,在集合8中都有唯一確定的數/(%)和它對

應，那么就稱/：A^B為從集合力到集合B的一"1、函數。記作:

x^Ao其中，x叫做自變量，x的取值范圍4叫做函數的定義域；與

x的值相對應的>值叫做函數值，函數值的集合｛/(x)|x￡/｝叫做函數

的值域。

注意：(1)“廣4%)”是函數符號，可以用任意的字母表示，如

“g(x)”；

(2)函數符號“產/㈤”中的小)表示與％對應的函數值，一個數,

而不是/乘X。

2.構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域

（1）解決一切函數問題必須認真確定該函數的定義域，函數的定

義域包含三種形式：

①自然型：指函數的解析式有意義的自變量X的取值范圍（如：

分式函數的分母不為零，偶次根式函數的被開方數為非負數，對數函

數的真數為正數，等等）；

②限制型：指命題的條件或人為對自變量X的限制，這是函數學

習中重點，往往也是難點，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤;

③實際型：解決函數的綜合問題與應用問題時，應認真考察自變

量X的實際意義。

（2）求函數的值域是比較困難的數學問題，中學數學要求能用初

等方法求一些簡單函數的值域問題。

①配方法（將函數轉化為二次函數）；②判別式法（將函數轉化為

二次方程）；③不等式法（運用不等式的各種性質）；④函數法（運用

基本函數性質，或抓住函數的單調性、函數圖象等）。

3.兩個函數的相等：

函數的定義含有三個要素，即定義域/、值域C和對應法則力

當且僅當兩個函數的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數才

是同一個函數。

4.區(qū)間：區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；

5.映射的概念

一般地，設4、8是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應

法則力使對于集合/中的任意一個元素工,在集合8中都有唯一確

定的元素y與之對應，那么就稱對應/：AfB為從集合A到集合B

的一個映射。記作V：

函數是建立在兩個非空數集間的一種對應，若將其中的條件“非

空數集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更

為普通的元素之間的對應關系，這種的對應就叫映射。

注意：(1)這兩個集合有先后順序，4到3的射與8到4的映射

是截然不同的.其中/表示具體的對應法則，可以用漢字敘述。

(2)“都有唯一”什么意思？

包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只

有一個的意思。

6.常用的函數表示法：(1)解析法：(2)列表法：(3)圖象

法：

7.分段函數

若一個函數的定義域分成了若干個子區(qū)間，而每個子區(qū)間的解析

式不同，這種函數又稱分段函數；

8.復合函數

若歹=/(u)，u=g(x?G(a,b),ue(m,n),那么片九g(x)］稱為復合函

數，u稱為中間變量，它的取值范圍是gCr)的值域。

第三講函數的基本性質

一、要點精講

1.奇偶性

(1)定義：如果對于函數/(X)定義域內的任意X都有/(—X尸一

Ax),則稱/(x)為奇函數；如果對于函數作)定義域內的任意X都有/(一

x)=fix),則稱/(X)為偶函數。

如果函數/(X)不具有上述性質，則大X)不具有奇偶性.如果函數同時

具有上述兩條性質，則/(X)既是奇函數，又是偶函數。

注意：

①函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是

函數的整體性質；

Q由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件

是，對于定義域內的任意一個X,則一無也一定是定義域內的一個自

變量(即定義域關于原點對稱)。

(2)利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：

①首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱;

0確定八一X)與/(X)的關系；

③作出相應結論：

若/(—或/(—x)—/(X)=0，則外)是偶函數；

若/(—%)=—/(%)或/(—x)+/(x)=0,則小)是奇函數。

(3)簡單性質：

①圖象的對稱性質：一個函數是奇函數的充要條件是它的圖象關

于原點對稱；一個函數是偶函數的充要條件是它的圖象關于歹軸對

稱；

②設/(x),g(x)的定義域分別是0,3,那么在它們的公共定義域

上:

奇+奇=奇，奇*奇=偶，偶+偶=偶，偶、偶=偶，奇、偶=奇

2.單調性

(1)定義：一般地，設函數y=/a)的定義域為I,如果對于定

義域I內的某個區(qū)間。內的任意兩個自變量X1，K2，當修<12時，都

有大修)勺(x2)(<兩)>/2))，那么就說/㈤在區(qū)間。上是增函數(減函

數)；

注意：①函數的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數

的局部性質；

0必須是對于區(qū)間D內的任意兩個自變量X\,X2；當Xi<X2

時一，總有4q)</(X2)

(2)如果函數y士)在某個區(qū)間上是增函數或是減函數，那么就

說函數y=/(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，區(qū)間。叫做產女幻

的單調區(qū)間。

(3)設復合函數尸7Ig(x)],其中〃=g(x),A是歹=/[g(x)]定義域的

某個區(qū)間，B是映射g:〃=g(x)的象集：

①若片g(x)在/上是增(或減)函數，嚴加)在8上也是增(或

減)函數，則函數產/[g(x)]在/上是增函數；

②若片g(x)在/上是增(或減)函數，而尸/(〃)在8上是減(或

增)函數，則函數尸/[g(x)]在A上是減函數。

(4)判斷函數單調性的方法步驟：

①任取修，X2^D,且兩<l2；

②作差小D-/2)；

③變形(通常是因式分解和配方)；

④定號(即判斷差加］)—危2)的正負)；

⑤下結論(即指出函數負》)在給定的區(qū)間。上的單調性)。

(5)簡單性質

①奇函數在其對稱區(qū)間上的單調性相同；

②偶函數在其對稱區(qū)間上的單調性相反；

③在公共定義域內：

增函數/(x)+增函數g(x)是增函數；

減函數/(x)+減函數g(x)是減函數；

增函數“X)-減函數g(x)是增函數；

減函數“X)-增函數g(x)是減函數。

3.最值

(1)定義：

最大值：一般地，設函數廣或%)的定義域為/，如果存在實數M

滿足：①對于任意的工￡/,都有/(x)WM；②存在必￡/,使得/(xo)=

Mo那么，稱M是函數y=/(x)的最大值。

最小值：一般地，設函數力(%)的定義域為/,如果存在實數M

滿足：①對于任意的工￡/,都有/(x)NM；②存在必金/,使得加o)=

Mo那么，稱M是函數y=/(x)的最大值。

注意：

①函數最大(小)首先應該是某一個函數值，即存在必￡/,使

得y(xo)=M；

Q函數最大（?。撌撬泻瘮抵抵凶畲螅ㄐ。┑模磳τ?/p>

任意的X61,都有y（x）WM

（2）利用函數單調性的判斷函數的最大（?。┲档姆椒ǎ?/p>

①利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（?。┲?；

Q利用圖象求函數的最大（?。┲担?/p>

③利用函數單調性的判斷函數的最大（?。┲担?/p>

如果函數產危）在區(qū)間口，切上單調遞增，在區(qū)間［6,可上單調遞

減貝IJ函數度仆）在x=b處有最大值/S）；

如果函數月㈤在區(qū)間口，句上單調遞減，在區(qū)間白，可上單調遞

增則函數差/㈤在尸方處有最小值/S）;

4.周期性

（1）定義：如果存在一個非零常數T,使得對于函數定義域內

的任意x,都有"+7）=/），則稱負》）為周期函數；

（2）性質：①/（%+「=?。┏３懽?（x+g=若兀r）的周期中，

存在一個最小的正數，則稱它為/（X）的最小正周期；②若周期函數/（x）

的周期為T,則/（cox）（3W0）是周期函數，且周期為工。

第四講基本初等函數

一、要點精講

1.指數與對數運算

(1)根式的概念：

①定義：若一個數的〃次方等于且〃eN*),則這個數稱。的

〃次方根。即若x"=a,貝Ijx稱。的〃次方根〃>1且〃eN*),

1)當〃為奇數時，。的〃次方根記作心；

2)當〃為偶數時，負數。沒有“次方根，而正數。有兩個〃次方根

且互為相反數，記作土板(a>0)。

②性質：1)而)"=a;2)當〃為奇數時，叱=a;

3)當〃為偶數時，折=|a|=f("20)

-a(a<0)

(2).累的有關概念

①規(guī)定：1)a"=a-aa{neN;2)=l(aH0);

n個

]m__

3)4心=—^(peQ,4)a"='-yja'"(a>0,m>?GN且〃〉1)。

②性質：1)優(yōu)d=尸(。>0/、seQ)；

2)(")'="">0,八seQ);

3){a-by-a'-b'(a>Q,h>0,reQ)。

(注)上述性質對r、seR均適用。

(3).對數的概念

①定義：如果。(a>0,且aH1)的6次幕等于N,就是a"=N,那么

數6稱以。為底N的對數，記作log“N=6,其中a稱對數的底，N稱真

數。

1)以10為底的對數稱常用對數，bgi.N記作IgN;

2)以無理數e(e=2.71828…)為底的對數稱自然對數，logeN,記

作InN；

②基本性質：

1)真數N為正數(負數和零無對數)；2)logJ=O；

3)log"=l；4)對數恒等式：a'*"=N。

③運算性質：如果4>0,”0,河>0,心0,則

1)log“(MV)=logaM+\ogaN；

2)log〃2=log“A/Tog〃N；

3)logoM"-nloguM(neR)o

④換底公式：log.N="(a>0,aW0,m>0,m*1,N>0),

log,”a

1)log“b?log；,a=1;2)logb"=—logaZ)o

m

2.指數函數與對數函數

(1)指數函數：①定義：函數y=a'(a>0,且"工1)稱指數函數,

1)函數的定義域為R;2)函數的值域為(0,+8);

3)當0<。<1時函數為減函數，當“>1時函數為增函數。

②函數圖像:

a>l0<a<l

0<a<l

質(3)過定點(0,1),即x=0

時，y=l

(4)x>0時，y>l;x<0(4)x>0時,0<y<l;x<0時,

時，0<y<ly>l.

(5)在R上是增函數(5)在R上是減函數

(2)對數函數：①定義：函數7=啕》伍〉0,且。工1)稱對數函數,

yz

o

x―1-

（1）定義域：（0,+8）

(2)值域:R

（3）過點（1,0）,即當x=l時，y=0

(4)%w(0,1)時xG(0,1)時y>0

》<0xG(l,+oo)時y<0

XG(1,+00)

時y>0

（5）在（0,+8）上在（0,+8）上是減函數

是增函數

第五講函數圖象及數字特征

一、知識精點講解

1.函數圖象

(1)作圖方法：以解析式表示的函數作圖象的方法有兩種，即列表

描點法和圖象變換法。

作函數圖象的步驟:①確定函數的定義域;②化簡函數的解析式;

③討論函數的性質即單調性、奇偶性、周期性、最值(甚至變化趨勢);

④描點連線，畫出函數的圖象。

用圖象變換法作函數圖象要確定以哪一種函數的圖象為基礎進行

變換，以及確定怎樣的變換。

(2)三種圖象變換：平移變換、對稱變換和伸縮變換等等；

①平移變換：

I、水平平移：函數夕=/(X+。)的圖像可以把函數N=/(X)的圖像

沿X軸方向向左(。＞0)或向右("0)平移|。|個單位即可得到；

、左移〃、右移力

I)Hx)fy=/(x+h);2)y=j[x}

II、豎直平移：函數y=/(x)+a的圖像可以把函數y=/(x)的圖像

沿x軸方向向上(。＞0)或向下(。＜0)平移個單位即可得到；

、上移方下移方

l)〉=/(x)-＞y=/(x)+h;2)y=J{x}h,°

②對稱變換：

I、函數N=/(-x)的圖像可以將函數N=/(x)的圖像關于N軸對稱

即可得到;

何⑴[9-X)

II、函數y=-/(X)的圖像可以將函數N="X)的圖像關于X軸對稱

即可得到

IIL函數V=-/(-X)的圖像可以將函數丁=/(X)的圖像關于原點對

稱即可得到

原點

產/(X)一尸/—X)

IV、函數x=/3)的圖像可以將函數y=/(x)的圖像關于直線y=x

對稱得到

直物=x

V、函數y=/(2a-x)的圖像可以將函數y=/(x)的圖像關于直線

直線x=a

x=a對稱即可得y=f^c)-＞產/(2。-尤)。

③翻折變換：

I、函數y="(x)|的圖像可以將函數N=/(x)的圖像的x軸下方部

分沿x軸翻折到x軸上方，去掉原x軸下方部分，并保留y=/(x)的x軸

上方部分即可得到；

II、函數歹=/(|x|)的圖像可以將函數y=/(x)的圖像右邊沿y軸翻

折到y(tǒng)軸左邊替代原y軸左邊部分并保留＞=/(x)在y軸右邊部分即可

得到

Ju

卜d_1rx

④伸縮變換：

I、函數歹=/(x)(“>0)的圖像可以將函數歹=/(x)的圖像中的每

一點橫坐標不變縱坐標伸長s〉i)或壓縮(0<?<1)為原來的“倍得

到;

yxa

II、函數歹=/(")(“>0)的圖像可以將函數丁=/(X)的圖像中的每

一點縱坐標不變橫坐標伸長(。>1)或壓縮(0<?<1)為原來的,倍得

a

到。

f(x).尸/'(x)T?尸f(ax)

(3)識圖：分布范圍、變化趨勢、對稱性、周期性等等方面。

2.幕函數

在考查學生對累函數性的掌握和運用函數的性質解決問題時，所

涉及的暴函數丁=/中a限于在集合卜2,-1,-1,1,；，1，2,3）

中取值。

幕函數有如下性質：

⑴它的圖象都過（1,1）點，都不過第四象限，且除原點外與坐

標軸都不相交；

⑵定義域為R或的幕函數都具有奇偶性，定義域為

R+或［0,+oo］的幕函數都不具有奇偶性；

⑶暴函數歹=/9/0）都是無界函數；在第一象限中，當a<0時為

減函數，當a>0時為增函數;

⑷任意兩個鼎函數的圖象至少有一個公共點（1,1）,至多有三個

公共點;

第六講函數與方程

一、知識精點講解

1.方程的根與函數的零點

（1）函數零點概念：對于函數'=/（*-6。），把使/（》）=0成立

的實數X叫做函數V=/（X）（X€0的零點。

函數零點的意義：函數y=/（x）的零點就是方程/（x）=0實數根，亦

即函數y=/(x)的圖象與X軸交點的橫坐標。即：方程/(x)=0有實數

根。函數y=/(X)的圖象與X軸有交點O函數夕=/(X)有零點。

二次函數y=ax?+bx+c{aR0)的零點：

1)△>0,方程ax?+/zx+c=0有兩不等實根，二次函數的圖象

與x軸有兩個交點，二次函數有兩個零點；

2)△=0,方程ax?+6x+c=0有兩相等實根(二重根)，二次

函數的圖象與x軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零

八占、、-，

3)△<0,方程妝2+云+°=0無實根，二次函數的圖象與x軸

無交點，二次函數無零點。

零點存在性定理：如果函數y=/(x)在區(qū)間口向上的圖象是連續(xù)

不斷的一條曲線，并且有/(a)/(b)<0,那么函數尸/(x)在區(qū)間33內

有零點。既存在ce(a,6),使得/(c)=0,這個c也就是方程的根。

2.二分法

二分法及步驟：

對于在區(qū)間口，切上連續(xù)不斷，且滿足?/3)<0的函數

y=/(x),通過不斷地把函數/(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)

間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分

法.

給定精度￡，用二分法求函數/(x)的零點近似值的步驟如下:

(1)確定區(qū)間[a,b],驗證/(a)?f(b)<0,給定精度￡；

(2)求區(qū)間(a,6)的中點修;

(3)計算/a)：

①若/(再)=0,則為就是函數的零點；

②若/⑷,/.)<0,則令6=再(此時零點與e(a,xj);

③若/(再)?2)<(),則令。=再(此時零點X。/不⑼);

注：用二分法求函數的變號零點：二分法的條件/(a)?/(6)<0表

明用二分法求函數的近似零點都是指變號零點。

3.二次函數的基本性質

(1)二次函數的三種表示法：y=ax2+bx+c；產a(x一修)(工一必)；

2

y=a(x—x())~+no

(2)當a>0,./)在區(qū)間［p,q'］上的最大值〃，最小值加，令

%o=g⑦+夕)。

若一白<。，則加尸小，.聞)=必

2a

若pW—M<Xo,則<一?)=加，氏q)=M；

2a2a

若xoW—?<夕，則危尸M，八一?)=加;

2a2a

若一(2夕，則加尸M，八q)=m。

2a

(3)二次方程/(X)=GX2+》X+C=0的實根分布及條件。

①方程危尸0的兩根中一根比卜大，另一根比/小,/(r)<0；

△=/-4ac>0,

②二次方程/)=0的兩根都大于-->r,

2a

。?/⑺>0

A=Z?2-4ac>0,

b

③二次方程—)=0在區(qū)間(p,9)內有兩根。"一五<%

。?/⑷>0,

a-f(p)>0;

④二次方程/a尸o在區(qū)間g,外內只有一根o/但）?火/<0,或

危尸0（檢驗）或/⑷=0（檢驗）檢驗另一根若在g,g）內成立。

第七講空間幾何體

一、知識精點講解

1.柱、錐、臺、球的結構特征

（1）柱

棱柱：一般的，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且

每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的兒何體叫

做棱柱；棱柱中兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱為底；其余

各面叫做棱柱的側面；相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱；側面與底

面的公共頂點叫做棱柱的頂點。

底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四

棱柱、五棱柱...

圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余邊旋轉形成的曲

面所圍成的兒何體叫做圓柱；旋轉軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋

轉而成的曲面叫做圓柱的側面；無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的

邊都叫做圓柱側面的母線。

棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體;

(2)錐

棱錐：一般的有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點

的三角形，由這些面所圍成的兒何體叫做棱錐；這個多邊形面叫做棱

錐的底面或底；有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面；各側面

的公共頂點叫做棱錐的頂點；相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱。

底面是三角錐、四邊錐、五邊錐……的棱柱分別叫做三棱錐、四

棱錐、五棱錐……

圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸，其余兩

邊旋轉形成的曲面所圍成的兒何體叫做圓錐；旋轉軸為圓錐的軸；垂

直于軸的邊旋轉形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉形成的曲面叫做

圓錐的側面。

棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體。

(3)臺

棱臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部

分叫做棱臺；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；

棱臺也有側面、側棱、頂點。

圓臺：用一個平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部

分叫做圓臺；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面；

圓臺也有側面、母線、軸。

圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體。

(4)球

以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的兒何

體叫做球體，簡稱為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做

球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。

(5)組合體

由柱、錐、臺、球等兒何體組成的復雜的兒何體叫組合體。

2.空間兒何體的三視圖

三視圖是觀測者從不同位置觀察同一個兒何體，畫出的空間兒何

體的圖形。

他具體包括：

(1)正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖；

它能反映物體的高度和長度；

(2)側視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖；

它能反映物體的高度和寬度；

(3)俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖；

它能反映物體的長度和寬度；

第八講空間幾何體的表面積和體積

一、知識精點講解

1.多面體的面積和體積公式

名稱側面積(SM)全面積(S全)體積(V)

直截面周長

棱棱柱S底，h=S直截而,h

XIS側+2S底

柱

直棱柱chS底?h

各側面積之

棱棱錐

:S底?h

和S側+S底

3

錐

正棱錐-ch,

2

各側面面積

棱臺

；h(S上底+S下底

棱之和S惻+S底+S下

]_

臺+Js卜底,SF底)

2底

正棱臺

(c+c')h'

表中S表示面積，c'、c分別表示上、下底面周長，h表斜高,

h'表示斜高，1表示側棱長。

2.旋轉體的面積和體積公式

名

圓柱圓錐圓臺球

稱

S側2nd五rln(ri+r2)l

71

(ri+r2)l+n

2

S全2nr(l+r)nr(l+r)4nR

22

(ri+r2)

1兀

JTEh(即n

233

V-Jirh4JIR

23223

rl)h(ri+rir2+r2)

表中1、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑,

口、n分別表示圓臺上、下底面半徑，R表示半徑。

第九講空間中的平行關系

一、復習目標要求

1.平面的基本性質與推論

借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系

的基礎上，抽象出空間線、面位置關系的定義，并了解如下可以作為

推理依據的公理和定理：

?公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在

此平面內；

?公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面；

?公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只

有一條過該點的公共直線；

?公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行；

?定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角

相等或互補。

2.空間中的平行關系

以立體兒何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、

操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關

性質與判定。通過直觀感知、操作確認，歸納出以下判定定理：

?平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此

平面平行；

?一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平

面平行；

通過直觀感知、操作確認，歸納出以下性質定理，并加以證明：

?一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平

面交線與該直線平行；

?兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交

線相互平行；

?垂直于同一個平面的兩條直線平行

能運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題。

二、要點精講

1.平面概述

(1)平面的兩個特征：①無限延展②平的(沒有厚度)

(2)平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面

(3)平面的表示：用一個小寫的希臘字母a、外y等表示，如

平面a、平面外用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示，如

平面ACo

2.三公理三推論：

公理1:若一條直線上有兩個點在一個平面內，則該直線上所有

的點都在這個平面內：

=>Iua

公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點,

且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線。

公理3：經過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面。

推論一：經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面。

推論二：經過兩條相交直線,有且只有一個平面。

推論三：經過兩條平行直線,有且只有一個平面。

3.空間直線：

(1)空間兩條直線的位置關系：

相交直線——有且僅有一個公共點;

平行直線——在同一平面內，沒有公共點；

異面直線——不同在任何一個平面內，沒有公共點。相交直線和

平行直線也稱為共面直線。

異面直線的畫法常用的有下列三種：

(2)平行直線：

在平面兒何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個結

論在空間也是成立的。即公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相

平行。

(3)異面直線定理：連結平面內一點與平面外一點的直線，和這

個平面內不經過此點的直線是異面直線。推理模式：

A正a,Bea,aua,B氏anAB與a是異面直線。

4.直線和平面的位置關系

(1)直線在平面內(無數個公共點)；

(2)直線和平面相交(有且只有一個公共點)；

(3)直線和平面平行(沒有公共點)——用兩分法進行兩次分

類。

它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為auc,

a[}a=A,alla。

線面平行的判定定理：如

果不在一個平面內的一條直線

和平面內的一條直線平行，那

么這條直線和這個平面平行。

推理模式：aaa,bua,a"b=alla.

線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條

直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。推理模式：

a//a,acij3,aC\^=b=>a//b.

5.兩個平面的位置關系有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、

兩平面平行（沒有公共點）

(1)兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩

條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行。

au°

定理的模式：bu/3

a[}b-P=>a//J3

alla

blla

推論：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內

的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行。

推論模式：

aCb=P,aua,bua,dCb'=P；du0,b'u仇a',b〃b'naH。

(2)兩個平面平行的性質(1)如果兩個平面平行，那么其中一

個平面內的直線平行于另一個平面；(2)如果兩個平行平面同時和第

三個平面相交，那么它們的交線平行。

第十講空間中的垂直關系

一、知識精點講解

1.線線垂直

判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平

行線中的一條，必垂直于另一條。

三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個

平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂//

三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的

一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直。

POla,O&a

推理模式：PAC\a^A>=>Q_LAOo

aua,a±AP

注意：⑴三垂線指PA,PO,AO都垂直a內的直線&其實質是:

斜線和平面內一條直線垂直的判定和性質定理⑵要考慮a的位置，

并注意兩定理交替使用。

2.線面垂直

定義：如果一條直線/和一個平面a相交，并且和平“I

面a內的任意一條直線都垂直，我們就說直線I和平面a

互相垂直.其中直線/叫做平面的垂線，平面a叫做直線/

的垂面，直線與平面的交點叫做垂足。直線I與平面a垂直記作：/±ao

直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條

相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

直線和平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面,

那么這兩條直線平行。

3.面面垂直

兩個平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直

的平面。

兩平面垂直的判定定理：（線面垂直n面面垂直）

如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂

直。

兩平面垂直的性質定理：（面面垂直=＞線面垂直）若兩個平面互

相垂直，那么在一個平面內垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平

面。

第十一講直線、圓的方程

一、知識精點講解

1.傾斜角：一條直線L向上的方向與X軸的正方向所成的最小

正角，叫做直線的傾斜角，范圍為［0,乃）。

2.斜率：當直線的傾斜角不是90°時，則稱其正切值為該直線

的斜率，即k=tan*當直線的傾斜角等于90°時，直線的斜率不存在。

過兩點P1（X1J1），P2（X2,V2）（XI豐%2）的直線的斜率公

式:k=tana=%-乂（若修=如則直線pQ的斜率不存在，此時直線

/一再

的傾斜角為90°）。

4.直線方程的五種形式確定直線方程需要有兩個互相獨立的條

件。確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適

用范圍。

名稱方程說明適用條件

斜截k——斜率傾斜角為90°的

y^kx+b

式b——縱截距直線不能用此式

點斜（Xo,歹0）直線上傾斜角為90°的

y-yo=ka-x（））

式已知點，k——斜率直線不能用此式

兩點（修，為），（必，及）是與兩坐標軸平行的

式y(tǒng)2》2-玉直線上兩個已知點直線不能用此式

a——宜線的橫截過（0,0）及與兩

截距

u距坐標軸平行的直線

式ah

b——直線的縱截不能用此式

距

上，分別

BAB

一般

Ax+By+C=0為斜率、橫截距和

式4、8不能同時為零

縱截距

5.圓的方程

圓心為C(a,b),半徑為r的圓的標準方程為：

(x-a)2+(y—6)2=/&>0)。特殊地,當a=6=0時,圓心在原點的圓的

222

方程為：x+y=ro

圓的一般方程，+/+m+/+77=(),圓心為點(_修,_勺，半徑

二兀二次方程Nx?+8xy+C>2+m+切+/=0,表不圓的方程的充

要條件是：

①、/項步項的系數相同且不為0,即/=C*o；

②、沒有xy項，即3=0;③、D2+E2-4AF>0O

第十二講直線、圓的位置關系

一、知識精點講解

1.直線h與直線L的的平行與垂直

(1)若1”12均存在斜率且不重合：

①1〃2=ki=k：2；②lubokik：2=-1o

(2)右/]:+B^y+G=0,+。2=0

若小、42、Bl、毛都不為零。

A2B2C2

②h_L442+8182=();

③L與I2相交。9*旦；

4B2

④ii與12重合=A=A=￡L；

A2B2C2

注意：若/2或殳中含有字母，應注意討論字母=0與H0的情況。

兩條直線的交點:兩條直線的交點的個數取決于這兩條直線的方程組

成的方程組的解的個數。

2.距離

(1)兩點間距離：若A(X,,yi),B(x2,y2),則

|陰=必2-修)2+(心-必)2

特別地:AB//X軸,則|AB|=|再-/|、AB〃y軸，則|AB|=|乃-%|。

(2)平行線間距離：/,-.Ax+By+C1=0,/2:Ax+By+C2=0,

則：d=匡與。注意點：X,y對應項系數應相等。

VA2+B2

(3)點到直線的距離：P(xo,yJ,1:Ax+By+C=O,則P到1的

距離為:dJ^+Bz+q

VA2+B2

3.直線/X+By+C=O與圓(x-q)2+3-力)2=/的位置關系有三種

/八#\Aa-vBb-\-C\..

(1)右d=-/“,d>YQ相離=△<();

JT+爐

(2)d=r=相切=△=();

(3)dv〃<=>相交0A>0。

還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組

,"產+c=o求解，通過解的個數來判斷：

x2+y2+Dx+Ey+F^O

(1)當方程組有2個公共解時(直線與圓有2個交點)，直線與

圓相交；

(2)當方程組有且只有1個公共解時(直線與圓只有1個交點),

直線與圓相切；

(3)當方程組沒有公共解時(直線與圓沒有交點)，直線與圓相

離；

即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設它的判別式

為△,圓心C到直線1的距離為d,則直線與圓的位置關系滿足以下關

系：

相切od=roA=0；

相交。d<r<=>△>0；

相離od>ro△<0o

4.兩圓位置關系的判定方法

設兩圓圓心分別為Oi，02,半徑分別為h，r2,\OxO^=do

d>/+々=外離o4條公切線；

d=0+々=外切o3條公切線；

|r,-r2\<d<r]+r2<=>相交2條公切線；

"=h-々|=內切=1條公切線；

0cde卜1-々|=內含=無公切線；

內含

判斷兩個圓的位置關系也可以通過聯(lián)立方程組判斷公共解的個

數來解決。

第十三講任意角的三角函數及誘導公式

一、知識精點講解

1.任意角的概念

角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個

位置所成的圖形。一條射線由原來的位置。4,繞著它的端點。按逆

時針方向旋轉到終止位置就形成角a。旋轉開始時的射線。4叫

做角的始邊，。8叫終邊，射線的端點O叫做叫。的頂點。

為了區(qū)別起見，我們規(guī)定:按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角，

按順時針方向旋轉所形成的角叫負角。如果一條射線沒有做任何旋轉,

我們稱它形成了一個零角。

2.終邊相同的角、區(qū)間角與象限角

角的頂點與原點重合，角的始邊與X軸的非負半軸重合。那么，

角的終邊（除端點外）在第兒象限，我們就說這個角是第兒象限角。

要特別注意:如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一

個象限，稱為非象限角。

終邊相同的角是指與某個角a具有同終邊的所有角，它們彼此相

差2kr（k￡Z）,即B￡{B[B=2kn+a,keZ},根據三角函數的定

義，終邊相同的角的各種三角函數值都相等。

區(qū)間角是介于兩個角之間的所有角，如a￡{a|JWaW

6

-}=[-,—]o

6,66

3.弧度制

長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作

或1弧度，或1（單位可以省略不寫）。

角有正負零角之分，它的弧度數也應該有正負零之分，如-e，

-2n等等，一般地，正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個

負數，零角的弧度數是0,角的正負主要由角的旋轉方向來決定。

角a的弧度數的絕對值是：|a|=L其中，1是圓心角所對的弧長,

r

r是半徑。

角度制與弧度制的換算主要抓住180。o

弧度與角度互換公式：lrad=l^°仁57.30°=57°=2

乃180

^0.01745(rad)o

弧長公式：(a是圓心角的弧度數)，

扇形面積公式：S=-lr=-\a\r2

220

4.三角函數定義

在二的終邊上任取一點尸①乃)，它與原點的距離r=>0.過

P作x軸的垂線,垂足為“，則線段0M的長度為。，線段"P的長度為

MP_bOMaMPh

b.則sinacosa=----=—；tana=----=—

~OP~~rOPrOMa

利用單位圓定義任意角的三角函數，

設a是一個任意角，它的終邊與單位圓交

于點尸(x,y),那么：

(1)y叫做a的正弦，記做sina,即

sina=y;

(2)x叫做a的余弦,記做cosa,即cosa=x；

以坐標原點為圓心，以單位長度1為半徑畫一個圓，這個圓就叫

做單位圓(注意：這個單位長度不一定就是1厘米或1米)。當角a為

第一象限角時，則其終邊與單位圓必有一個交點P(x,y),過點尸作

軸交x軸于點M,根據三角函數的定義：|MP|=3=|sina|；

|OM|=|x|=|cosa|o

我們知道，指標坐標系內點的坐標與坐標軸的方向有關.當角a

的終邊不在坐標軸時，以。為始點、M為終點、,規(guī)定：

當線段?！ㄅcx軸同向時一，OM的方向為正向，且有正值x;當線

段OM與x軸反向時，0M的方向為負向，且有正值x;其中x為P點

的橫坐標.這樣,無論那種情況都有

OM=x=cosa

同理，當角a的終邊不在x軸上時，以“為始點、P為終點、,

規(guī)定：當線段〃尸與y軸同向時，近的方向為正向，且有正值力

當線段近與丁軸反向時，的方向為負向，且有正值叫其中y為P

點的橫坐標。

這樣,無論那種情況都有近=丁=5m&。像加尸、OM這種被看作帶

有方向的線段，叫做有向線段。

如上圖，過點4(1,0)作單位圓的切線，這條切線必然平行于軸，設

它與a的終邊交于點T,請根據正切函數的定義與相似三角形的知識,

借助有向線段04ZT,我們有

tana-AT=

X

我們把這三條與單位圓有關的有向線段A/尸、。河、NT,分別叫做

角a的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數線。

6.同角三角函數關系式

使用這組公式進行變形時，經常把“切”、“割”用“弦”表示，

即化弦法，這是三角變換非常重要的方法。

幾個常用關系式：sina+cosa,sina-cosa,sina?cosa；(三

式之間可以互相表示)

設云。+8?(1=吒[r臣，42],兩邊平方，得

F-1

l+2siiia?cos。=PnAn。?cosd=―--.

又t-2anCl?cosd=2-Pndn。=±-^2-12.

同理可以由sina—cosa或sina?cosa推出其余兩式。

(2)1+sina=1+siny'j.③當時，有

sinx<x<tanx。

7.誘導公式

可用十個字