高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算配套文檔理蘇教版

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用⑤

第1講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

01;抓住5個(gè)考點(diǎn)必考必記夯基固本

對(duì)應(yīng)學(xué)生

用書P36

考點(diǎn)梳理

1.函數(shù)尸f(x)在X=Xo處的導(dǎo)數(shù)

(1)定義：設(shè)函數(shù)尸/1(X)在區(qū)間(a,6)上有定義，AbS(a,0,當(dāng)Ax無限趨近于。時(shí),

比值￥=1加+'；一，劉無限趨近于一個(gè)常數(shù)4則稱〃才)在x=加處可導(dǎo)，并

稱常數(shù)人為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x。處的導(dǎo)數(shù)，記作f(照).可表示為“當(dāng)ALO時(shí)，

fAb+AX-fAb?

---------；----------f力.

Ax

(2)幾何意義：函數(shù)/tr)在點(diǎn)加處的導(dǎo)數(shù)f(%)的幾何意義是過曲線片/U)上點(diǎn)(%,

f(xo))的切線的斜率.

2.函數(shù)/Xx)的導(dǎo)函數(shù)

若/'(x)對(duì)于區(qū)間(a,3內(nèi)任一點(diǎn)都可導(dǎo)，則/'(x)在各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也隨著自變量x的變化而

變化，因而也是自變量x的函數(shù).該函數(shù)稱為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作/(x).

3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

f(x)=Cf(x)=0

f(x)=x?。為常數(shù))f(x)=ax…

f{x)=sinxf,(力=COSX

f{x}=cosXf1(x)=-sin_x

f(x)=a*(a>0,aWl)f(x)=a】na

F(x)=e*f(x)=e，

f5)=一一

f(x)=log/(d>0,語1)

xlna

F(x)=lnxr(*)=-

X

4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

⑴"(X)±g(x)]'=1(x)±*'(x)；

(2)[f(x)?g(*)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；

⑶%]，JXg：T'feX（g（x）W。）.

Lgx」Lg/」

5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

若尸f（u）,u=ax+b,則y/—y,,,'ux',即以'—y,,',a.

【助學(xué)?微博】

一個(gè)命題規(guī)律

本講知識(shí)是高考中的?？純?nèi)容，尤其是導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，更是高考考查

的重點(diǎn).以填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也出現(xiàn)在解答題的第?問中.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)合函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)一般不單獨(dú)考查，在考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的同時(shí)考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.

曲線尸/Xx）“在點(diǎn)以司，珀處的切線”與“過點(diǎn)尸（施，㈤的切線”的區(qū)別與聯(lián)系

⑴曲線尸/Q）在點(diǎn)以用，㈤處的切線是指夕為切點(diǎn)，切線斜率為A=F（加的切線，

是唯一的?條切線.

（2）曲線尸『（.）過點(diǎn)P（選，必）的切線，是指切線經(jīng)過P點(diǎn).點(diǎn)戶可以是切點(diǎn)，也可以不

是切點(diǎn)，而且這樣的直線可能有多條.

考點(diǎn)自測(cè)

1.（2012?濟(jì)南模擬）曲線/'（入）=15—2）+1在點(diǎn)（1,f（l））處的切線方程為.

解析f（l）=0,f（X）=3V—4*,f（1）=-1,所以切線方程為尸一（*—1）,即x

+y—1=0.

答案x+y-l=0

2.（2012?泰州市高三期末考試）設(shè)A為奇函數(shù)f{x）=x'+x+a（a為常數(shù)）圖象上一點(diǎn)，

曲線/'（x）在/處的切線平行于直線尸4x,則A點(diǎn)的坐標(biāo)為.

解析設(shè)4（施，㈤，則由f（0）=0,得a=0,所以/'（x）=系+才，f（x）=3/+1,于是

由4=/（劉）=3/+1,得■=1,所以加=±1,所以4（—1,-2）或1（1,2）.

答案（一1,—2）或（1,2）

15

3.（2012?江蘇泰州二模）若存在過點(diǎn)（1,0）的直線與曲線了=￡和了=@/+j*—9都相切，

貝!Ja=.

解析設(shè)過點(diǎn)（1,0）的直線與"=個(gè)相切于點(diǎn)（劉，施，則切線方程為了一點(diǎn)=3/（才一加，

315

由它過點(diǎn)（1,0）,得施=0或劉=].當(dāng)旅=0時(shí)，由直線尸0與y=a/+了才-9相切，可

得a=-11；當(dāng)劉=,時(shí)，由直線尸斗才一日與y=aV+號(hào)x—9相切，可得a=-1.

04Z444

9R

答案T或一工

64

4

4.（2012?泰州學(xué)情調(diào)查）已知點(diǎn)戶在曲線尸上，。為曲線在點(diǎn)〃處的切線的傾斜

e十1

角，則。的取值范圍是一

4e'4

解析y7+T:2—1,所以tan。2一1,即一IWtanG<0.

e'+r+2

e

又OW。Vn,所以午Wa<n.

5.（2012?南京模擬）若直線y=M-3與曲線尸21nx相切，則實(shí)數(shù)4=.

2

解析由尸21nx,得/=一.設(shè)尸左x—3與曲線y=21nx相切于點(diǎn)（照，㈤（照＞0）,

12

2-2

則有4=—,加一3=-1,次=21nAb,2---

Kb照

答案2#

02?突破3個(gè)考向研析案例考向突破

對(duì)應(yīng)學(xué)生

用書P37

考向?qū)?shù)的運(yùn)算

【例1】（2013?泉州月考）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

（l）y=e^,Inx；

⑵

xx

⑶尸x-sin5cos5；

(4)y=

/iy[x+x+sinx

⑸y=------2------.

x

解(l)y'=(er-In%)"=e'lnx+e'?：=e(ln

.1,2

(2)Vy=x+\+—,Ay'=3%——.

xx

(3)先使用三角公式進(jìn)行化筒，得

.xx1.

尸x-sin5cos]sinx,

⑷先化簡(jiǎn)，i=Y+T

1113

??y2X~2~2X~2+3

jq+f+sinx_

/、N3,i.sinx

(5)y=-------------------=x---Vx+.....-,

kl+(x)'+(二"sinx)9

=~~x~~+3x-2x3sinx+%2cosx.

［方法總結(jié)］(1)求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo),

這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)；(2)有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商

的形式，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒定變形將函數(shù)先化筒，然后進(jìn)行求導(dǎo)，有時(shí)可以避

免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量.

【訓(xùn)練1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

⑴y=(x+1)(x+2)G+3)；

3

⑵尸sin

4

(3)y=tanx；

⑷尸xlnx；

1—e"

⑸尸而

解(1)因?yàn)閥=(x+1)(x+2)(x+3)=(V+3x+2)(x+3)=才、'+6才2+11才+6,所以y,

=3系+12x+11.

*XX1.,=1(sin%)z

(2)因?yàn)槭瑂in=sin-cos5=/sinMM以y

1

=]COSX.

/c、esrsinx

(3)因?yàn)閥=-tanx—，

cosx

ll」,(sinx\cos"%+sin2x1

所以vt=一忘時(shí)—

O八'UMoAUv/O.A

(4)因?yàn)閥=xInx,

所以V=(xlnx)'=lnx+x9-=lnx+1.

x

1—e*2

(5)因?yàn)槭?/p>

1+e1+e

所以V=(備_1)=(備)2e

考向二求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【例2】求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

⑴尸肥

⑶尸L3x”

(4)y=(1+sinx)\

⑸尸Wi+/

解⑴因?yàn)槭瑇e—,所以V=(.T)

=171—2x)'xe1-2A

=(l+2x)e-

3In2+3x

2+3xxx

⑶設(shè)u—1—3x,y=u~\

.19

貝lj/=yj?=-4~?(-3)=s.

u1—Sx

2

(4)設(shè)〃=l+sinx,則y=(l+sinx)t

由y—u與u=l+sinx復(fù)合而成.

y'=yj?Ux=2u?cosx=2(l+sinx)?cosx.

,________________/1-1-9

(5)/=31+L)，—x'?yjl+x+x(-\/l+x2)*1=W+9+1]+；=']+，

[方法總結(jié)]由復(fù)合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解這類問題

的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，一般是從最外層開始，由外向內(nèi)，一層一層地分析,

把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見的基本函數(shù)，逐步確定復(fù)合過程.

【訓(xùn)練2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

⑴尸、3+1；(2)y=sin22x；

(3)y=e-*sin2x；(4)廳1國1+夕.

1X

解(1)/=2V7+1'2x=yp+l'

(2)y'=(2sin2x)(cos2x)X2=2sin4x.

(3)p'=(—e-v)sin2x+er(cos2x)X2

=e*(2cos2x-sin2x).

11X

(4)/=Vl+7*2^1+7?2X=G

考向三導(dǎo)數(shù)的幾何意義及綜合應(yīng)用

［例3］⑴設(shè)f(x)=xlnx+1,若/(施)=2,則/Xx)在點(diǎn)(為，㈤處的切線方程為

(2)(2012?淮安市第四次調(diào)研)已知曲線y=(a—3)f+lnx存在垂直于y軸切線，函數(shù)

f(x)=/-a?-3%+l在［1,2］上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.

解析(I)；/(x)=lnx+1,又F(加)=2,；.In加+1=2.

解得xo=e,%=e+l.故f(x)在點(diǎn)(e,e+1)處的切線方程為y—(e+1)=2(x—e),即

2x~y■—e+l=0.

(2)由題意,可得y'=3(a-3)Z+-(x>0),

x

即3(a—3)1=0有正實(shí)根，所以a—3<0,a<3.

由/'(x)=￡-ax2-3x+l在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，得/(x)=3f-2ax-320在［1,2］

上恒成立，即aw/j-0在［1,2］上恒成立.因?yàn)槭狄籎在［1,2］上遞增，所以

=0,所以aWO.綜上，得a的取值范圍是(-8,0］.

答案(l)2x-y-e+l=0(2)(-8,0］

［方法總結(jié)］(1)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，?定要熟練掌握以下條件：

①函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值也就是切線的斜率.即已知切點(diǎn)坐標(biāo)可求切線斜率，已知斜率可

求切點(diǎn)的坐標(biāo).

②切點(diǎn)既在曲線上，又在切線上.切線有可能和曲線還有其它的公共點(diǎn).

(2)與導(dǎo)數(shù)兒何意義有關(guān)的綜合性問題，涉及到三角函數(shù)求值、方程和不等式的解，關(guān)鍵

是要善于進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.

【訓(xùn)練3】(1)(2012?南通市第一學(xué)期調(diào)研)曲線c：y=xlnx在點(diǎn)M(e,e)處的切線方

程為.

(2)(2012?鎮(zhèn)江調(diào)研)設(shè)P是函數(shù)尸,(x+l)圖象上異于原點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且該圖象在點(diǎn)P

處的切線的傾斜角為0,則，的取值范圍是.

解析(1)=ln%+1,A=lne+l=2,

所以曲線在點(diǎn)步處的切線方程為y—e=2(x—e)，

即2x—y—e=0.

11

+

(2)由尸/(x+1),得/2-才2-

一?一兀兀

所以tan02小r,所以

O乙

FnnA

答案⑴2x—y—e=0⑵卬

03」揭秘①年高考權(quán)威解港真題展示

對(duì)應(yīng)學(xué)生

用書P38

規(guī)范解答3求在點(diǎn)夕處的切線與過點(diǎn)。處的切線

求曲線切線時(shí)，要分清在點(diǎn)尸處的切線與過一點(diǎn)的切線的區(qū)別，前者只有一條，而后者包

括了前者.

14

［示例】(2012?揚(yáng)州階段檢測(cè))已知曲線y=-A-3+-.

J?J

(1)求曲線在點(diǎn)月(2,4)處的切線方程；

(2)求曲線過點(diǎn)尸(2,4)的切線方程；

(3)求斜率為1的曲線的切線方程.

［審題路線圖］求曲線的切線方程方法是通過切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線的斜率，再通過點(diǎn)斜

式得切線方程.

［解答示范］(1廣./(2,4)在曲線尸：f+9上，且＞=9,...在點(diǎn)H2,4)處的切線的

斜率為A=4.

二曲線在點(diǎn)尸(2,4)處的切線方程為y—4=4(*—2),

即\x-y—4=0.(4分)

14

(2)設(shè)曲線尸與過點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)

OO

(劉，品+§，則切線的斜率為k=E

工切線方程為y~(%—^o),

24

即產(chǎn)=舄?(6分)

°2o4

，?,點(diǎn)P(2,4)在切線上，.??4=2癡一彳總+g,

即Ab—3AO+4=O,+—4/+4=0,

/.Ab（Ab+l）—4（加+1）（施―1）=0,

工（照+1）（照一2>=0,解得照=-1或園=2,

故所求的切線方程為4%—y—4=0或X—夕+2=0.（8分）

⑶設(shè)切點(diǎn)為（刖，%）,則切線的斜率為：Ab=l,劉=±1.

切點(diǎn)為（一1,1）或（1，

5

；?切線方程為y—l=x+l或y—~=x—\,

即x—y+2=0或3x—3y+2=0.（12分）

［點(diǎn)評(píng)］曲線的切線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，這和研究直線與二次曲線相切

時(shí)有差別.

高考經(jīng)典題組訓(xùn)練

1.（2012?廣東卷）曲線尸f—x+3在點(diǎn)（1,3）處的切線方程為

解析y'=3f—1,k—f（1）—2,

所以曲線在點(diǎn)（1,3）處的切線方程為y-3=21）,即2x-y+l=0.

答案2*—y+l=0

2.（2010?江西卷改編）等比數(shù)列｛a｝中，團(tuán)=2,&=4,函數(shù)f（x）=x（x—團(tuán)）（x—加…（x

一麴），則F（0）=.

解析函數(shù)f（x）展開式中含X項(xiàng)的系數(shù)為a?a?....aH=（"?as）'=8'=2",所以（0）

=&?/......M=2..

答案212

Inx,x>0,

3.（2012?陜西）設(shè)函數(shù)f（x）=°-八〃是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線

—2A—1,后0,

在點(diǎn)（1,0）處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則z=x-2y在〃上的最大值為.

解析由f（x）=lnx,得/（x）=：，k=f（1）=1,所以f（x）=lnx（x>0）在點(diǎn)（1,0）

處的切線方程為P=x—1,畫出可行域如圖所示，則當(dāng)直線*一2尸z經(jīng)過點(diǎn)前0,-1）

時(shí)，Zwx=0-2X（-1）=2.

答案2

4.（2012?安徽卷）設(shè)函數(shù)/U）=ae'+<+6（a>0）.

ae

(1)求fU)在［o,+°°)內(nèi)的最小值;

3

(2)設(shè)曲線尸F(xiàn)(x)在點(diǎn)(2,*2))處的切線方程為尸,筋求a,力的值.

解(1)f(jr)=ae—L,當(dāng)f'(x)>0,即x>—Ina時(shí)，F(xiàn)(x)在(一Ina,+8)上遞增，

ae

當(dāng)F(x)<0,即；K—Ina時(shí)，F(xiàn)(x)在(一8,—Ina)上遞減.

①若0<水1,則一Ina〉0,F(x)在(0,-Ina)上遞減，在(一Ina,+8)上遞增，從而

■力在［0,+8)上的最小值為f(—lna)=2+b；

②若H21,則一InaWO,F(x)在［0,+8)上遞增，從而F(x)在［0,+8)上的最小值為

/(0)=a+--\-b.

a

1R

(2)依題意，得F(2)=/2—

ae2

解得ae?=2或匏2=-3不合題意，舍去)?

911

所以a=F,代入原函數(shù)，得2+［+5=3,即8=5.

e幺，

故a=4,6='.

ez

N二限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練階梯訓(xùn)練能力提升

對(duì)應(yīng)學(xué)生

用書P267

分層訓(xùn)練A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練

(時(shí)間：30分鐘滿分：60分)

一、填空題(每小題5分，共30分)

1.已知F(x)=f+2xf(1),則/(0)等于.

解析f(x)=2x+2F(1),所以/⑴=2+2/(1),EPf(1)=-2,f(x)=2x

-4,故F(0)=-4.

答案一4

2.(2012?揚(yáng)州檢測(cè))已知直線ax-by-2=0與曲線尸d在點(diǎn)尸(1,1)處的切線互相垂直，

則怖為.

解析y'—(/)'=3"。k—3,由題意，3Xy——1,所以m=—

bb3

答案T

3.(2012?遼寧卷)已知只0為拋物線f=2y上兩點(diǎn)，點(diǎn)R0的橫坐標(biāo)分別為4,-2,過

P,。分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)4則點(diǎn)/的縱坐標(biāo)為—

2

解析由7=5,得V=x,k\=f(4)=4,(-2)=-2,所以P(4,8),0(—2,2).

點(diǎn)〃處切線方程為p-8=4(x—4),

即y=4x—8.①

點(diǎn)。處切線方程為y-2=-2(x+2),

即y=-2x—2.②

①②聯(lián)立，解得履1,-4).

答案一4

4.(2013?范澤模擬)若函數(shù)f(x)=e'cos必則此函數(shù)圖象在點(diǎn)(1,f(D)處的切線的傾斜

角為(填銳角、直角或鈍角).

解析f(x)=e'cose'sinx,因?yàn)楹瘮?shù)圖象在點(diǎn)(1,f(D)處的切線斜率4=/(1)

=e(cos1—sin1)<0,所以切線的傾斜角是鈍角.

答案鈍角

5.(2012?南通、泰州、揚(yáng)州三市調(diào)研(二))已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛aj；滿足aa=

4,%=8,函數(shù)/'(x)=aix+azf+a3X：'H---Faio*">的導(dǎo)數(shù)為￡(A),則-

aiat—^q—4,1qf]\

解析設(shè)｛a｝公比為0,則由$°得g=2,所以a?=2"7,/5=

ek=a\q=8,4w

4+2檢+…+10ai°X目=：+2X：+3X；+…+10X；=(l+2+3+…+

、155

1°)X4=T

人.55

答案T

6.(2013?青島模擬)若點(diǎn)。是曲線尸V-lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線y=x—2的距離

的最小值是.

解析設(shè)P(f,t2—Int),由y'=2x—得在=2t—9=11>°)，解得力=1.所以過點(diǎn)

Al,1)的切線方程為尸人它與尸刀—2的距離仁君小即為所求.

答案*

二、解答題(每小題15分，共30分)

7.(2010?陜西卷)已知函數(shù)F(x)=5，g(x)=alnx,aGR,若曲線尸f(x)與曲線片g(x)

相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求a的值及該切線的方程.

解f(x)=一(京＞0),

x

y[x=alnx,

1a解得x=e.

)?二7

因?yàn)閮汕€交點(diǎn)坐標(biāo)為(5,e),切線的斜率為(e')=；,所以切線方程為y-e=

2e

,即x-2ey+e'=0.

2e

1nv

8.已知函數(shù)尸f(x)=一^.

(1)求函數(shù)y=f(x)的圖象在x=，處的切線方程；

e

(2)求函數(shù)尸f(x)的最大值.

1—1nY

解(1)因?yàn)閒(x)=2,

所以4=/*(3=24.又/g)=-e,

所以產(chǎn)=/(才)在x=工處的切線方程為

e

y+e=2e{x-3，即2e2%—y—3e=0.

⑵令/(x)=0,得x=e.

因?yàn)楫?dāng)x￡(0,e)時(shí)，￡W>0,

當(dāng)(e,+8)時(shí),f(x)<0,

所以F(力在(0,e)上為增函數(shù)，在(e,+8)上為減函數(shù)，

所以f(x)max=/'(e)=:.

分層訓(xùn)練B級(jí)創(chuàng)新能力提升

x~\~1

1.(2012?蘇北四市調(diào)研(三))若曲線尸一^在x=l處的切線與直線x+8y+l=0垂直，

則實(shí)數(shù)6的值為.

V-I—13

解析因?yàn)閥=---所以y'=--------F~~i,k=f(1)=-3.又切線與%+/?/+1=0

X—2X—2

垂直，所以一；=<，解得6=-3.

b3

答案-3

2.(2012?鎮(zhèn)江市第一學(xué)期期末考試)已知函數(shù)尸/U)在點(diǎn)(2,/1⑵)處的切線方程為y=2x

-1,則函數(shù)g(*)=f+F(*)在點(diǎn)(2,g(2))處的切線方程為.

解析由尸f(x)在點(diǎn)(2,/X2))處的切線方程為尸2*—1,得，(2)=2,/1(2)=3,

于是由g(x)=V+f(X),得g'(x)=2x+f(x),

從而g(2)=22+F(2)=7,g'(2)=2X2+F(2)=6,

所以尸g(x)在點(diǎn)(2,g(2))處的切線方程為y-7=6(x—2),即6x—y-5=0.

答案6x—y—5=0

3.已知二次函數(shù)/"(x)=af+6*+c(aW0)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),且，(0)>0,對(duì)于任意實(shí)

f1

數(shù)x,有/'(x)、0,則彳一廠的最小值為_

解析f(x)=2ax+6,f(0)=b>0,

,4=/>2—4acW0,[)

又所以ac>：，所以c>0,

[a>0,4

f1a+6+c6+2y[^c2b

所以7―0

答案2

xWO,

4.(2013?南京模擬)已知直線尸儂(加￡R)與函數(shù)f(x)=的圖象恰

12.

-%+1,%>0

有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)勿的取值范圍是.

解析如圖，可求得直線尸蛆X與尸;1+1(x>0)的圖象相切時(shí)恰有兩個(gè)不同的公共

點(diǎn)，當(dāng)必〉啦時(shí)，直線尸"次與尸f(x)的圖象恰有三個(gè)不同的公共點(diǎn).

答案(鏡，+8)

5.已知函數(shù)/"(x)=1x：!+2/+3x(xeR)的圖象為曲線C,試問：是否存在一條直線與曲線C

同時(shí)切于兩點(diǎn)？若存在，求出符合條件的所有直線方程；若不存在，說明理由.

解設(shè)存在過切點(diǎn)/(為，必)的切線與曲線，同時(shí)切于兩點(diǎn)，另一切點(diǎn)為B(xz,㈤(熱區(qū)小)，

則切線方程為y—(1才：+2#+3小)=(三+4x+3)(才一汨)，

即為y=(AI+4%I+3)jr—^|xi+2^j.

同理，過點(diǎn)〃(如度)的切線方程是

尸(/+4尼+3)x—(彳川+2房).

由于兩切線是同一切線，所以有

■+4為+3=亮+4才2+3,

“22

可才；+2#=可信+2第，

0J

X\~X2Xi+用=-4汨一典

屑+汨尼+於

X\—x2=—3x\—x2由+及

田+及=-4,

又小￡生，所以

.#+xiX2+第=12,

解得汨=用=-2,這與加力題矛盾，所以不存在一條直線與曲線C同時(shí)切于兩點(diǎn).

6.(2013?鹽城檢測(cè))已知在函數(shù)Mx)的圖象上，以Ml,〃)為切點(diǎn)的切線的傾斜

(1)求R,7?的值;

⑵是否存在最小的正整數(shù)上使得不等式2013對(duì)于x￡[—1,3]恒成立？如果

存在，請(qǐng)求出最小的正整數(shù)h如果不存在，請(qǐng)說明理由.

解⑴依題意，得尸(1)=tan-^-,即3%一1=1,肝=*

因?yàn)?U)=〃，所以)=一1.

(2)令/U)=27—1=0,得戶土平.

當(dāng)一lVx<一時(shí)，f(x)=2x—1>0；

當(dāng)一堂VxV平時(shí)，f(x)=2f—lV0；

當(dāng)■^~VxV3時(shí)，f(x)=2x-l>0.

又/X—(考=*,尚=-當(dāng),/(3)=15,

、歷

因此，當(dāng)山￡[-1,3]時(shí),T-Wf(x)W15.

O

要使得不等式f(x)W*-2013對(duì)于xG[—1,3]恒成立，則AN15+2013=2028.

所以，存在最小的正整數(shù)4=2028,使得不等式『(x)WZ-2013對(duì)于xe[-l,3]恒成立.

第2講用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值

抓住2個(gè)考慮必考必記克基圉本

對(duì)應(yīng)學(xué)生

用書P39

考點(diǎn)梳理

1.函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)/Xx)在(a,⑸內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)在(a,6)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.fU)20of(x)

為增函數(shù)；f(x)WOOf(x)為減函數(shù).

2.函數(shù)的極值

⑴判斷f(x0)是極值的方法

一般地，當(dāng)函數(shù)/■(?在點(diǎn)揚(yáng)處連續(xù)時(shí)，

①如果在於附近的左側(cè)/G)>0,右側(cè)/(X)<0,那么/U。)是極大值；

②如果在灰附近的左側(cè)f(x)<0,右側(cè)果(x)>0,那么以就是極小值.

(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟

①求/(x);

②求方程，(x)=0的根；

③檢查/(才)在方程/(x)=0的根左右值的符號(hào).如果左正右負(fù)，那么F(x)在這個(gè)根

處取得極大值;如果左負(fù)右正，那么/XA)在這個(gè)根處取得極小值，如果左右兩側(cè)符號(hào)一

樣，那么這個(gè)根不是極值點(diǎn).

【助學(xué)?微博】

一個(gè)考情解讀

本講內(nèi)容是高考的必考內(nèi)容，主要以解答題的形式考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函

數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值.也有可能以解答題的形式考查導(dǎo)數(shù)與解析幾何、不等式、

三角函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合的問題.綜合題一般作為壓軸題出現(xiàn)，難度較大.

考點(diǎn)自測(cè)

1.(2012?蘇州調(diào)研)函數(shù)尸：+21nx的單調(diào)減區(qū)間為—_

ii92^—11

解析由尸一+21n%,得y'=一—+-=——^0(%>0),解得OK》所以函數(shù)的單

xxxx2

減區(qū)間為(0,1.

答案(0,1

2.函數(shù)尸3f—61nA■的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.

66V—6

解析/=6X一一=-----.?定義域?yàn)?0,+8),

XX

由V>0,得X>1,.?.增區(qū)間為(1,+8);

由V<0,得0<x<l,.?.減區(qū)間為(0,1).

答案(1,+8)(0,1)

3.若函數(shù)/?(x)=ax：'+3x2-x恰有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

⑻+4X3a>0,

解析由題意/(x)=3af+6x—1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故,

a>—3且a#0.

答案(一3,0)U(0,+8)

4.已知a>0,函數(shù)/V)=￡—ax在［1,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍是

解析f(x)=3f-a,由/'(x)在［1,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù)，得/(x)20在區(qū)間［1,

+8)上恒成立，即3/2—a》o,xW［l,+8)恒成立，故實(shí)數(shù)aW3f在［1,+8)上的最

小值，即a<3.

答案(一8,3］

5.(2012?啟東中學(xué)一模)若函數(shù)Ax)=/+?-a^-4在區(qū)間(-1,1)內(nèi)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析由/1(*)=**/—a*—4,得/(x)=3f+2x—a.由題意，f(x)=0,即3f+2x

-a=0在(-1,1)內(nèi)恰有一個(gè)實(shí)根，所以f(一1)￡⑴=(3-2-a)(3+2-a)<0或

f-1=3—2—。=0,

解得l<a<5或a=l.

f1=3+2—臥0,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是［1,5).

答案口,5)

02?突破3個(gè)考向研析案例考向突破

對(duì)應(yīng)學(xué)生

用書P39

考向「利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題

【例1】(2012?蘇中三市調(diào)研)已知函數(shù)/'(x)=lnx—ax+~~~--1(5GR).

x

(1)當(dāng)a=—1時(shí)，求曲線尸/'(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程；

⑵當(dāng)時(shí)，討論『5)的單調(diào)性.

9/+V—9

解(1)當(dāng)a=—1時(shí)，f(x)=lnx+x+—1,(0,+°°).所以，(x)=-----2---，

xx

(0,+°°),因此/(2)=1,

即曲線y=F(x)在點(diǎn)(2,*2))處的切線斜率為1.

又/，(2)=ln2+2,所以曲線y=F(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y-(In2+2)=X一

2,即X一y+ln2=0.

Ia

(2)因?yàn)閒{x)=lnx—ax+----—1,

x

ll,??、1,a—1ax—x+1—a/.、

所以/(必=—a+——.....:------，(0,+8).

xxx

令g(x)=aV—x+1—a,(0,+0°),

①當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=—x+L(0,+°°),

所以，當(dāng)x￡(0,l)時(shí)，g(x)>0,此時(shí)FUXO,函數(shù)F(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x￡(l,+8)

時(shí)，g(x)<0,此時(shí)/U)>0,函數(shù)Ax)單調(diào)遞增；

②當(dāng)wWO時(shí)，由/(x)=0,

即HV—x+1—a=0,解得E=LA2=-1.

a

(i)當(dāng)時(shí)，*1=如g(x)N0恒成立，此時(shí)￡(x)W0,函數(shù)/'(x)在(0,+8)上單

調(diào)遞減；

5)當(dāng)0<@<<時(shí)，--1>1>0,

za

x￡(0,1)時(shí),g(x)>0,此時(shí)/(x)<0,函數(shù)/'(x)單調(diào)遞減；

1)時(shí)，g(x)<0,此時(shí)F(才)>0，函數(shù)/'(M單調(diào)遞增；

+8)時(shí)，4*)>(),此時(shí)FUXO,函數(shù)/'(分單調(diào)遞減；

(iii)當(dāng)a<0時(shí)，由于2一1<0,

a

xG(0,1)時(shí)，g(x)>0,此時(shí)/(x)〈0,函數(shù)/'(x)單調(diào)遞減；

xe(l,+8)時(shí)，雙王)〈0,此時(shí)/?'(x)>0,函數(shù)/'(見單調(diào)遞增.

綜上所述：

當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)/'(x)在(O,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)/Xx)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)0<ag時(shí)，函數(shù)『(")在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，上單調(diào)遞增，在(g-1，+8)上

單調(diào)遞減.

［方法總結(jié)］討論函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)就是討論不等式的解集的情況.大多數(shù)情況下，這類

問題可以歸結(jié)為?個(gè)含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論，在能夠通過因式分解求出

不等式對(duì)應(yīng)方程的根時(shí)依據(jù)根的大小進(jìn)行分類討論，在不能通過因式分解求出根的情況時(shí)

根據(jù)不等式對(duì)應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分類討論.

【訓(xùn)練1］已知f(x)—ex—ax—l.

(1)求Ax)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)若/'(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

解(1)f(x)=e'—ax—1,/.f(x)=e'—a

令f(x)》0,得e*2a,

當(dāng)aWO時(shí)，有，(x)>0在R上恒成立；

當(dāng)a>0時(shí)，有x2lna.

綜上，當(dāng)aWO時(shí)、f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,+8)；

當(dāng)a>0時(shí)，Ax)的單調(diào)增區(qū)間為［Ina,+~).

⑵F(x)=e'—ax—1,/.f(x)=e'—a.

在R上單調(diào)遞增，

f(*)=e“一a20恒成立，

即aWe',xWR恒成立.

r

,.?xGR時(shí)，eG(0,+8),a^o.

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=e',f(x)>0在R上恒成立.

故當(dāng)aWO時(shí)，/'(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增.

考向二利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題

X

【例2】(2012?無錫調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=^—(x>0,xWl).

Inx

(1)求函數(shù)/'(x)的極值；

X

(2)若不等式e->x對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

a

Y1nx—1

解(1)函數(shù)/■(*)=1匚的定義域?yàn)?0,1)口(1,+~),f(X)=令f(X)

In%：Inx3

=0,解得x=e,列表如下:

X(0,1)(Le)e(e,+0°)

f(X)一——0+

單調(diào)遞單調(diào)遞

f(x)極小值A(chǔ)e)單調(diào)遞增

減減

由表得函數(shù)/'(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1)及(1,e),單調(diào)增區(qū)間為(e,+8).

所以存在極小值為f(e)=e,無極大值.

⑵當(dāng)xWO時(shí)，對(duì)任意aWO,不等式恒成立.

XY

當(dāng)x>0時(shí)，在e->“兩邊取自然對(duì)數(shù)，得->ln*

a3

①當(dāng)0V啟1時(shí)，In啟0,當(dāng)a>0時(shí)，不等式恒成立；

xx

當(dāng)4aVO時(shí)<In%<0,aln才>0,不等式等價(jià)于aV"；---，由(1)得，此時(shí)----^(―°°,

InxInx

0),不等式不恒成立.

VY

②當(dāng)x>l時(shí)，Inx>0,則a>0,不等式等價(jià)于@<7—,由(1)得，此時(shí)丁匚的最小值

InxInx

為e,得0<a<e.

綜上，a的取值范圍是(0,e).

［方法總結(jié)］(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時(shí)要養(yǎng)成列表的習(xí)慣，可使問題直觀且有條

理，減少失分的可能.

(2)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)并不一定就是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后一定注意分析

這個(gè)零點(diǎn)是不是函數(shù)的極值點(diǎn).

X

【訓(xùn)練2】(2011?安徽卷)設(shè)/其中a為正實(shí)數(shù).

1十a(chǎn)x

4

⑴當(dāng)時(shí)，求Ax)的極值點(diǎn);

(2)若/1(X)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.

2

解對(duì)/"(X)求導(dǎo)，得f解=@「金%①

431

(1)當(dāng)。=可時(shí)，山，(x)=0,得4f—8x+3=0,解得小=5，茲=5.結(jié)合①，可知

13

X

卜8,922$+8)

f(X)+0一0+

f{x}/極大值極小值/

所以不=13是極小值點(diǎn)，及