北京市海淀區(qū)-下學期高一數(shù)學教研：《立體幾何初步》教材分析和教學建議

立體幾何初步

教材分析與教學建議北京一零一中熊永昌一、教材分析二、教學建議三、案例分享立體幾何研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系。幫助學生以長方體為載體，認識和理解空間點、直線、平面的位置關(guān)系；用數(shù)學語言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，并對某些結(jié)論進行論證；了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法；運用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等認識和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念。

內(nèi)容包括：基本立體圖形、基本圖形位置關(guān)系、*幾何學的發(fā)展。課程標準【內(nèi)容標準】知識結(jié)構(gòu)

課標版立體幾何內(nèi)容的整體設計（1）必修課程:數(shù)學2：立體幾何初步；（2）選修課程：系列2：空間向量與立體幾何。（3）系列3,4：數(shù)學史選講部分專題。

教材內(nèi)容安排第一章空間幾何體

1.1

空間幾何體的結(jié)構(gòu)

1.2

空間幾何體的三視圖和直觀圖

1.3

空間幾何體的表面積與體積

第二章點、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1

空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.2

直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.3

直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)必修2

大綱版教材課標版教材

設計理念：

立體幾何的教學和學習是螺旋上升，分層遞進，逐步到位，與之向適應的內(nèi)容呈現(xiàn)也是分階段，分層次，多角度，先從對空間幾何體的整體感受入手，再研究組成空間幾何體的點、線、面。

從整體到局部、具體到抽象的安排原則不僅體現(xiàn)在章節(jié)內(nèi)容的安排上，體現(xiàn)在具體內(nèi)容的學習要求上。如：借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系的基礎上，抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義。這種安排是從關(guān)注學生的角度出發(fā)的.因為我們生活在一個三維的世界中，對于一個物體，首先感受到的是它的輪廓，之后才會對它的側(cè)面、邊角感興趣.應該承認，這種先由整體上認識空間幾何體的安排，更符合人的認識規(guī)律.更有助于發(fā)展學生的空間觀念、培養(yǎng)學生的空間想象能力、幾何直觀能力，符合學生的認知規(guī)律，提高學生學習立體幾何的興趣?？瓷绞巧娇瓷讲皇巧娇瓷竭€是山第一層次：對幾何體的認識，依賴于學生的直觀感受，不做任何推理的要求.

第二層次：以長方體為載體（包括其它的實物模型、身邊的實際例子）對圖形（模型）進行觀察、實驗和說理.引入合情推理.

第三層次：嚴格的推理證明.如線面平行、垂直的性質(zhì)定理的證明

第四層次：空間向量與立體幾何，用代數(shù)的方法研究幾何問題

新修訂課標提出的數(shù)學核心素養(yǎng)的內(nèi)涵通過高中數(shù)學課程的學習，學生能提高學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，發(fā)展自主學習的能力；樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神；不斷提高實踐能力，提升創(chuàng)新意識；認識數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值。

（四基+四能核心素養(yǎng)）“四基”：基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。“四能”：發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題。目標定位與素養(yǎng)提升高中數(shù)學課程標準定義數(shù)學核心素養(yǎng)為：是具有數(shù)學基本特征思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)。數(shù)學核心素養(yǎng)與數(shù)學教育的終極目標有關(guān)，是對培養(yǎng)人的描述：

會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界

會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界

會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界數(shù)學眼光：數(shù)學抽象（符號意識、數(shù)感），直觀想象（幾何直觀、空間想象力），保證數(shù)學的一般性數(shù)學思維：邏輯推理（推理能力），數(shù)學運算（運算能力），保證數(shù)學的嚴謹性

數(shù)學語言：數(shù)學模型（模型思想），數(shù)據(jù)分析（數(shù)據(jù)分析觀念），

保證數(shù)學應用的廣泛性數(shù)學抽象邏輯推理數(shù)學建模直觀想象數(shù)據(jù)分析數(shù)學運算用數(shù)學的眼光觀察世界用數(shù)學的思維分析世界用數(shù)學的語言表達世界彼此獨立、相互滲透、有機聯(lián)系立體幾何定位于培養(yǎng)和發(fā)展學生把握圖形的能力，空間想象與幾何直觀能力、邏輯推理能力。強調(diào)幾何直觀與邏輯推理，適當滲透公理化思想?！吨笇б庖娊庾x》王尚志教授考查要求（北京考試說明）考試內(nèi)容要求層次ABC立體幾何初步空間幾何體柱、錐、臺、球及其簡單組合體

√三視圖√斜二側(cè)法畫簡單空間圖形的直觀圖√球、棱柱、棱錐的表面積和體積

√

點、直線、平面間的位置關(guān)系空間線、面的位置關(guān)系√公理l、公理2、公理3、公理4、定理*√線、面平行或垂直的判定√線、面平行或垂直的性質(zhì)

√考查熱點（1）從形式上看，試卷多為”兩小一大”或者”一小一大”．在分數(shù)上每年都在20分左右，解答題往往會設計成幾個小問題，以多面體為依托，考查線線、線面、面面的位置關(guān)系；空間角、面積、體積等度量關(guān)系，強調(diào)作圖、證明和計算相結(jié)合。（2）從內(nèi)容上看，一是關(guān)系問題（平行與垂直），重點考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，這類題既可考查多面體的概念和性質(zhì)，又能考查空間的線面關(guān)系，將論證與計算有機地結(jié)合在一起，比較全面的考查學生的能力。二是度量問題，角與距離以及簡單幾何體的側(cè)面積、表面積和體積問題?？疾闊狳c（3）從方法上看，著重考查公理化方法，如解答題注重理論推導和計算相結(jié)合；考查轉(zhuǎn)化的思想方法，如常把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來解決；考查模型化方法和整體把握思想，如有時把幾何形體納入更大的幾何背景之中；考查等體積變換法，以及運動變化的思想方法等。（4）從能力上看，著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，考查邏輯思維能力、運算能力和探索創(chuàng)新能力。要求學生“四會”：1）會畫圖——根據(jù)題設條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線（面）；2）會識圖——根據(jù)題目所給的圖形，想象出立體的形狀和有關(guān)的線面關(guān)系；3）會析圖——對圖形進行必要的分解、組合。選擇填空題：一般在5到7題位置，三視圖為主；13年在14題，10年兩題中的一題在第8題。試題呈現(xiàn)解答題：題目位置：第16題→第17題；幾何載體：以棱錐、棱柱為主，而且都有垂直特征（或?qū)ΨQ特征）.可以從教材習題（生活中）找到實例，立體幾何與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，17年考綱增加了數(shù)學文化。見下表：試題呈現(xiàn)學習難點一是從平面到立體建立空間觀念。從二維到三維，是學生思維的躍遷，學生需要認知把握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)，掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能。二是從立體到平面解決空間問題。學生應通過具體的長方體的點、線、面關(guān)系等載體，在直觀感知的基礎上，認識空間中一般的點、線、面之間的位置關(guān)系；將空間問題有效的轉(zhuǎn)化成平面問題加以解決。。學習難點三是推理論證。邏輯推理是需要學生通過立體幾何的學習提升的最重要的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，要求學生把握推理的嚴密與規(guī)范。四是符號表達。幾何教學應注意引導學生通過對實際模型的認識，學會將自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言。通過對圖形的觀察、實驗和說理，使學生進一步了解平行、垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判定方法，學會準確地使用數(shù)學語言表述幾何對象的位置關(guān)系。一、教材分析二、教學建議三、案例分享【教學提示】立體幾何初步的教學重點是幫助學生逐步形成空間觀念，應遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，提供豐富的實物模型或利用計算機軟件呈現(xiàn)空間幾何體，幫助學生認識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能。通過對圖形的觀察和操作，引導學生發(fā)現(xiàn)和提出描述基本圖形平行、垂直關(guān)系的命題，逐步學會用準確的數(shù)學語言表達這些命題，直觀解釋命題的含義和表述證明的思路，并證明其中一些命題，對相應的判定定理只要求直觀感知、操作確認，在選擇性必修課程中將用向量方法對這些定理加以論證?！緦W業(yè)要求】能夠通過直觀圖理解空間圖形，掌握基本空間圖形及其簡單組合體的概念和基本特征，解決簡單的實際問題。能夠運用圖形的概念描述圖形的基本關(guān)系和基本結(jié)果。能夠證明簡單的幾何命題（平行、垂直的性質(zhì)定理），并會進行簡單應用。重點提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算和教學抽象素養(yǎng)。（一）回到課標看教學（二）回到學生的認知基礎展開教學學生在小學就已經(jīng)接觸過一些立體幾何知識．例如，直觀認識了長方體、正方體、圓柱，并且還學習了它們的體積與表面積的求法；了解了圓錐，知道了求圓錐體積的公式；通過球形的物體直觀認識了球；知道觀察立體圖形時，角度不同，看到的形狀可能不同．

學生在初中學習了更多立體幾何的知識．比如了解了立體圖形與平面圖形的區(qū)別，直觀認識了棱柱、棱錐，了解了點、線、面、體以及它們之間的關(guān)系，在求扇形面積時還學會了求圓錐側(cè)面積及全面積的方法，學習了立體圖形的三視圖等．（三）理解走向核心素養(yǎng)的教與學的策略確定的不確定的情境現(xiàn)在未來

意義問題化情境化結(jié)構(gòu)化主題化活動化

知識學習教學的情景化：真實的生活情景在以核心素養(yǎng)為本的教學中具有重要價值。知識是素養(yǎng)的媒介和手段，知識轉(zhuǎn)化為素養(yǎng)的重要途徑是情景，如果脫離情景，知識就只剩下符號，知識的應用和知識蘊含的文化精神就無從談起。教學的問題化：回歸對問題的探求，并在這個過程中找回自己應有的智慧，應該就是學習的本意。真實的問題形成問題鏈，形成問題矩陣，讓學生在學習中，在對問題的追尋中慢慢形成一個知識結(jié)構(gòu)，從低結(jié)構(gòu)到高結(jié)構(gòu)，從本學科的結(jié)構(gòu)到跨學科的結(jié)構(gòu)，從孤立的知識到真實的世界。數(shù)學生態(tài)智慧課堂模型把握四個維度問題與情景

交流與反思

知識與技能思維與表達四維度相互作用，共同形成相互聯(lián)系的四個場域，生成基于核心素養(yǎng)的生態(tài)智慧課堂模型.北京一零一中“生態(tài)智慧課堂”實踐研究

§11.1空間幾何體（4課時）（四）具體教學策略建議1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

例如：通過結(jié)構(gòu)特征認識幾何體通過結(jié)構(gòu)特征認識幾何體

在柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征的歸納過程中，強調(diào)的仍然是學生的幾何直觀能力:你看到什么了?如何描述你所看到的？

教師在歸納的方法上可以給與適當?shù)闹笇?如：在引出棱柱的結(jié)構(gòu)特征時，注意在學生感性認識的基礎上進行歸納(給學生大量的具有棱柱形象的圖片和實物模型)，在歸納過程中，注意引導學生從圍成幾何體的面的特征上去觀察，從而得出能反映棱柱主要特征的定義.通過結(jié)構(gòu)特征認識幾何體通過結(jié)構(gòu)特征認識幾何體類比類比（合情推理）通過結(jié)構(gòu)特征認識幾何體通過結(jié)構(gòu)特征認識幾何體

思考1：有兩個面互相平行其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎？思考2：“有一個面是多邊形，其余各面都是三角形”的幾何體是棱錐嗎？通過結(jié)構(gòu)特征認識幾何體

棱錐的本質(zhì)特征主要是：①有一個面的形狀是多邊形；②其他各面是有一個公共頂點的三角形.二者缺一不可.因此棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是三角形.通過結(jié)構(gòu)特征認識幾何體如圖：此幾何體有一個面是四邊形，其余各面都是三角形，但它不是棱錐.通過結(jié)構(gòu)特征認識幾何體以上部分內(nèi)容從空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征這一角度展開，以幫助學生認識空間幾何體，初步培養(yǎng)學生的空間想象能力。

課堂應體現(xiàn)兩個核心概念：

幾何直觀、合情推理.§2空間幾何體的表面積與體積（3課時）

從學生熟悉的正方體和長方體的展開圖入手，分析展開圖與其表面積的關(guān)系.把握好以下幾個方面的目標。一是提出表面積的概念：表面積就是各個面的面積的和；二是介紹了一種求幾何體表面積的方法：把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.三是從展開圖的角度，重新認識棱柱、棱錐、棱臺，而不是僅僅套套公式。

如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積。棱柱、棱錐、棱臺也是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？從計算的角度去認識空間幾何體

通過柱、錐、臺體積公式的聯(lián)系，進一步認識這三種幾何體的關(guān)系

棱錐與等底同高的棱柱的體積關(guān)系是什么？你能發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系嗎？從計算的角度去認識空間幾何體

§3點、線、面之間的位置關(guān)系（10課時）

刻畫平面的三個公理是立體幾何公理體系的基石，是研究空間圖形問題時進行邏輯推理的基礎：公理1是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)；公理2提供了確定平面的最基本的依據(jù)；公理3是判定兩個平面是否重合或不重合時確定交線位置的依據(jù).

對空間圖形問題的研究經(jīng)常都是借助或轉(zhuǎn)化為平面的問題來解決的.“確定平面”是將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決的重要條件，而這種轉(zhuǎn)化又是空間圖形中解決相當一部分問題的一種重要的思想方法.這種轉(zhuǎn)化的最基本的依據(jù)就是三個公理.定理敘述：若一條直線垂直于一個平面內(nèi)兩條相交直線，則該直線與此平面垂直。

證明：已知：直線

，

，求證：a⊥平面π。

證明：設p是平面π內(nèi)任意一條直線，則只需證a⊥p，

設直線a，b，c，p的方向向量分別是

，

只需證

，

∴b與c不共線

直線b，c，p在同一平面π內(nèi)，

根據(jù)平面向量基本定理存在實數(shù)λ，μ使得

，

則

，

，

∴

，

∴

，即

，

所以直線a垂直于平面π。

關(guān)于定理的歸納與證明

本章的課程目標：以長方體為載體，使學生在直觀感知的基礎上，認識空間中點、線、面之間的位置關(guān)系；通過對大量圖形的觀察、實驗、操作和說理，使學生進一步了解平行、垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判定方法，學會準確地使用空間幾何的數(shù)學語言表述幾何對象的位置關(guān)系，體驗公理化思想，培養(yǎng)邏輯思維能力，并用來解決一些簡單的推理論證及應用問題?！墩n程標準》明確知識的終極目標，同時也明確了到達終極目標的途徑。如“通過直觀感知、操作確認，歸納出以下判定定理”，“通過直觀感知、操作確認，歸納出以下性質(zhì)定理”，“通過對圖形的觀察、實驗和說理，使學生進一步了解平行、垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判定方法”。為了體現(xiàn)“直觀感知—操作確認—思辨論證—度量計算”四個層次的認識過程，教科書設置了“觀察”、“思考”、“探究”等欄目，使學生經(jīng)歷從實際背景中抽象出數(shù)學模型，從現(xiàn)實的生活空間中抽象出幾何圖形和幾何問題的過程。指向數(shù)學核心素養(yǎng)的培育。

側(cè)重于從學生的實際生活和生產(chǎn)實際中提出與數(shù)學有關(guān)的問題，放手讓學生去想去議，調(diào)動學生思維的積極性和學習交流。當學生經(jīng)過思考、討論后，真正實現(xiàn)由感性認識向理性認識的過渡，達到鞏固所學知識的目的，激發(fā)學生的理性思維，引導學生由直觀感知、操作確認到思辨論證的過渡。

著眼于促使學生獨立思考和自主探索，給學生自主探索的機會，讓學生在討論的基礎上發(fā)現(xiàn)問題和解決問題；

安排適量的、具有一定探索意義和開放性的問題，給學生比較充分的思考的空間和時間，在借助圖形直觀進行合情推理的過程中，增強學生探究的好奇心，加深對數(shù)學的理解，激發(fā)出潛在的創(chuàng)造力，讓學生在不斷探索與創(chuàng)造的氛圍中發(fā)展解決問題的能力，體會數(shù)學的價值.（1）幾何是空間的科學。項武義在《基礎幾何學》中提出：幾何學乃是人類理性文明，對于我們和大自然中的萬物萬象共存于其中的空間的「認識論」．幾何學是我們研討大自然、理解大自然的自然起點和基石所在；它也是整個自然科學的啟蒙者和奠基者，是理所當然的第一科學。（2）幾何是多樣統(tǒng)一的科學。幾何包涵了歐式幾何，非歐幾何，黎曼幾何，坐標幾何，向量幾何等，在研究幾何方法上多樣統(tǒng)一，實驗幾何，推理幾何，坐標幾何，向量幾何，變換幾何，最終通過群理論用變換群下的不變量揭示了各種幾何的本質(zhì)特性。1.幾何學的特點（五）開篇：特征與文化主題

展現(xiàn)幾何的魅力，引領學生走進“幾何”的歷史宮殿，激發(fā)“幾何”興趣。（3）幾何是既直觀又抽象的科學。幾何作為對我們所生活的空間的理解、描述和與之相互影響的一種工具，也許是數(shù)學中最為直觀、具體并與實際關(guān)系最密切的部分。幾何可以作為其他數(shù)學和科學領域中概念和過程直觀表示的一種方法。具體與抽象這兩方面塑造了幾何的特殊性，立體幾何更是直觀性和抽象性相結(jié)合的產(chǎn)物。（4）幾何是邏輯演繹最嚴謹?shù)目茖W。弗賴登塔爾曾經(jīng)說過:“培養(yǎng)邏輯思維與形成演繹體系似乎是幾何的特權(quán)”。幾何源起：測地術(shù)公元前兩千年前，古埃及的尼羅河每年洪水泛濫，總是把兩岸的土地淹沒，水退后，使土地的界線不分明.古埃及的人們?yōu)榱酥匦聹y出被洪水淹沒的土地的地界，每年總要進行土地測量，積累了許多測量土地方面的知識.而希臘人由于跟埃及人通商，從埃及學到了測量與繪畫等的幾何初步知識.1.引領學生走進“幾何”的歷史宮殿，感悟“幾何”魅力，幾何學的發(fā)展演變。幾何理論：漫長探索

公元前四世紀，古希臘偉大的哲學家，柏拉圖的哲學思想奠定了立體幾何的研究對象：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐和正多面體等.希波克拉底《幾何綱要》是幾何學的第一本教科書，據(jù)說包括了歐幾里得《幾何原本》的前四章內(nèi)容，他曾致力于“化圓為方”和“立方倍積”問題的研究.

歐多克斯（公元前約400年）創(chuàng)立了古典幾何中的“比例論”（黃金分割比），他還利用“窮竭法”求復雜圖形的面積和體積，后來被納入歐幾里得的幾何學.歐氏幾何歐幾里得（公元前364年－公元前283年），古希臘人，數(shù)學家。是柏拉圖學園的學員，被稱為“幾何之父”，他最著名的公理化結(jié)構(gòu)的最早典范著作《幾何原本》，是歐洲數(shù)學的基礎.阿基米德（公元前287年—公元前212年），偉大的古希臘哲學家、數(shù)學家、物理學家、力學家.阿基米德給出許多求幾何圖形重心，包括由一拋物線和其網(wǎng)平行弦線所圍成圖形的重心的方法.他還采用不斷分割法求橢球體、旋轉(zhuǎn)拋物體等的體積，這種方法已具有積分計算的雛形.歐氏幾何阿波羅尼奧斯（約公元前262～190年），古希臘數(shù)學家.他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.喜帕恰斯（約公元前190年-公元前125年），是希臘最偉大的天文學家，是三角學奠基人，創(chuàng)立三角學和球面三角學，就像阿基米德是希臘最偉大一樣.解析幾何:笛卡爾（公元1596年—1650年）法國著名哲學家、物理學家、數(shù)學家、神學家，因?qū)缀巫鴺梭w系公式化而被認為是解析幾何之父.是二元論的代表，黑格爾稱他為“近代哲學之父”.射影幾何:笛沙格（公元1591年—1661年）法國著名的數(shù)學家和工程師，射影幾何的創(chuàng)始人之一，他奠定了射影幾何的基礎.以他命名的事物有笛沙格定理、笛沙格圖、笛沙格平面.他建立了統(tǒng)一的二次曲線理論.

帕斯卡（公元1623年—1662年）法國數(shù)學家、物理學家、哲學家、散文家.16歲時發(fā)現(xiàn)著名的帕斯卡六邊形定理，17歲時寫成《圓錐曲線論》，是研究德札爾格射影幾何工作心得的論文.67微分幾何:歐拉（公元1707年—1783年）瑞士數(shù)學家、自然科學家.首先引進平面曲線的內(nèi)在坐標概念，開始了曲線的內(nèi)在幾何研究.1760年，歐拉在《關(guān)于曲面上曲線的研究》中建立了曲面的理論,是微分幾何發(fā)展史上的里程碑.高斯（公元1777年—1855年），猶太人，德國著名數(shù)學家、物理學家、天文學家、大地測量學家，高斯在數(shù)論、代數(shù)學、非歐幾何、復變函數(shù)和微分幾何等方面都做出了開創(chuàng)性的貢獻.高斯被認為是歷史上最重要的數(shù)學家之一，享有“數(shù)學王子”之稱.黎曼幾何:黎曼（公元1826—1866年），是德國著名的數(shù)學家，他在數(shù)學分析和微分幾何方面作出過重要貢獻，他開創(chuàng)了黎曼幾何，黎曼幾何的模型是一個經(jīng)過適當“改進”的球面.并且給后來愛因斯坦的廣義相對論提供了數(shù)學基礎.非歐幾何:羅巴切夫斯基（公元1792—1856年），俄羅斯數(shù)學家，非歐幾何的早期發(fā)現(xiàn)人之一.關(guān)于非歐幾何的論文《幾何學原理及平行線定理嚴格證明的摘要》.

19世紀，德國數(shù)學家高斯、俄國數(shù)學家羅巴切夫斯基、匈牙利數(shù)學家波爾約等人各自獨立地用歐氏幾何中的其他公理來證明其平行公理證明是不可能的.幾何統(tǒng)一性與幾何基礎

1899年希爾伯特（1862-1943）的《幾何基礎》把幾何學引進了一個更抽象的公理化系統(tǒng)，把幾何重新定義，不但把傳統(tǒng)的歐幾里得的《幾何原本》改良，更把幾何學從一種具體的特定模型上升為抽象的普遍理論.公理化體系：一個數(shù)學理論由一個公理系統(tǒng)和所有它導出的定理組成.公理系統(tǒng)的數(shù)學模型是一個定義嚴謹?shù)募?，它給系統(tǒng)中出現(xiàn)的未定義術(shù)語賦予意義，并且是用一種和系統(tǒng)中所定義的關(guān)系一致的方式.第一個公理系統(tǒng)是歐氏幾何。70(六）識圖畫圖：學習立體幾何的關(guān)鍵一步

識圖與畫圖（三視圖與直觀圖）是學生建立空間觀念，學好立體幾何的關(guān)鍵步驟，多數(shù)同學雖然在初中對幾何圖形有了初步的感知與了解，但是對空間圖形的映像基本屬于“宏觀”與“大概”范疇，空間觀念比較模糊，需要重新建構(gòu)。

學生需要通過幾何體的三視圖，想象出空間幾何體的形狀，從而求其表面積及體積，同時也需要正確運用斜二測畫法的作圖規(guī)則（平行改斜垂依舊，橫等縱半豎不變，眼見為實遮為虛，空間觀感好體現(xiàn)）入手培養(yǎng)空間想象力，直觀圖判定直線與平面間的相互位置關(guān)系。建議過關(guān)練習：三個平面位置關(guān)系（六）轉(zhuǎn)化：解決立體幾何問題的不二法門

解決立體幾何問題的核心思想是轉(zhuǎn)化，立體幾何的轉(zhuǎn)化涉及三個方面。一是維度的轉(zhuǎn)化，從三維到二維，是一種降維的思路，就是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面的問題加以解決；二是語言的轉(zhuǎn)化，學習立體幾何必須要實現(xiàn)文字語言、圖形語言和符號語言的無障礙快速轉(zhuǎn)化。三是關(guān)系的轉(zhuǎn)化，平行關(guān)系與垂直關(guān)系，線線關(guān)系、線面關(guān)系與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化在立體幾何中，解決問題的核心思想就是——轉(zhuǎn)化前面在分析平行、垂直位置關(guān)系時，主要強調(diào)了空間中的平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化、空間中的垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化以及空間中垂直與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化.在解決立體幾何問題中，還有一個重要的解決問題的策略就是：（1）空間問題平面問題對空間圖形問題的研究經(jīng)常都是借助或轉(zhuǎn)化為平面的問題來解決的.“確定平面”是將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決的重要條件，只有在同一平面內(nèi)的圖形，平面圖形中的定義、定理在空間圖形中才會仍然成立，對于非平面圖形，則須經(jīng)過證明方可應用。（2）語言的轉(zhuǎn)化文字語言圖形語言數(shù)學符號語言例題：（3）空間中有關(guān)平行、垂直位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化幾何證明的思路就是關(guān)系轉(zhuǎn)化的思路例題：例題：如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點，AN⊥PM，N為垂足．(1)求證：AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB．根據(jù)PA⊥平面ABM，證得BM⊥平面PAM，再利用線面垂直的判定定理證明AN⊥平面PBM.而證線線垂直，可先證線面垂直．[證明]

(1)∵AB為⊙O的直徑，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，又AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，∴AN⊥PB．又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.（七）規(guī)范：依綱靠本是教學的保底工程

依綱靠本、規(guī)范要求是立體幾何教學扎實有效的保證，一是嚴格按照課標要求教學，把握好教學的“度”，不盲目拔高與拓展，不偏不怪；二是深度挖掘課本題目的教學價值。高考立體幾何試題的試題多源自課本。

從學生答題情況來看，“會而不對，對而不全”的問題比較突出，應當培養(yǎng)學生規(guī)范答題的良好習慣，使學生做解作到“一看、二證、三求解”。

原題（必修2）如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面五個命題:其中所有正確命題的序號是_______，為什么？(1)有水的部分始終呈棱柱形；(2)沒有水的部分始終呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四邊形的面積為定值；(4)棱A1D1始終與水面所在平面平行；(5)當容器傾斜如圖（3）所示時，

是定值。改編如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面

上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面七個命題，真命題的有_______.(1)有水的部分始終呈棱柱形；(2)沒有水的部分始終呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四邊形的面積為定值；(4)棱A1D1始終與水面所在平面平行；(5)當容器傾斜如圖（3）所示時，

是定值；(6)當容器任意傾斜時,水面可以是六邊形；(7)當容器任意傾斜時,水面可以是五邊形?！窘馕觥浚?），（2），（4），（5），（6），（7）。（八）以靜制動，把握運動變化的本質(zhì)特征例題：例題：一、教材分析二、教學建議三、案例分享2.1.1平面

孟鑫2018.11.10案例1(片段）問題2：（1）將一條線段向兩端無限延伸得到的圖形是什么呢？（2）直線有哪些基本特征？（3）怎么表示直線？圖形語言：符號語言：直線AB,或者直線l.問題3：將課桌面、平靜的水面，向四周無限延得到的圖形是什么呢？想一想，平面有哪些特征？使學生從直觀的認識平面上升到理性認識平面直線直的

無限延伸

沒有粗細圖形語言符號語言直線AB,直線l.文字語言平面平的

無限延展

沒有厚薄幾何里的“平面”是由生活中的課桌面、黑板面、海面等等抽象出來的數(shù)學概念。特點：重視語言轉(zhuǎn)換，運用動態(tài)直觀，引導認知升級。使學生從直觀的認識平面上升到理性認識平面問題4：如何表示平面呢？平面的畫法：（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：通常把表示平面的平行四邊形的銳角畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍。平面的表示方法：ABCD平面可以用希臘字母表示，也可以用代表表示平面的平行四邊形的四個頂點或相對的兩個頂點字母表示。如：平面α，平面β，平面ABCD，平面AC，平面BD等。在畫圖時，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分畫成虛線，也可以不畫。點、線、面的位置關(guān)系？數(shù)學實驗1：如果把紙板看作一個平面，把你的筆看作一條直線：（1）你能使筆上的一個點在平面內(nèi)，而其他點不在平面內(nèi)嗎？（2）你能使筆上的兩個點在平面內(nèi)，而其他點不在平面內(nèi)嗎？公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).文字語言：圖形語言：符號語言：αlAB桌面平整嗎？直線的“直”平面的“平”公理1.如果一條直