2022-2023上海八年級數(shù)學上冊期末專題復(fù)習02二次根式的運算（考點講解）（教師版）

專題02二次根式的運算【考點剖析】1.二次根式的運算【典例分析】【考點1】二次根式的混合運算1．計算：【考點】二次根式乘方【專題】二次根式混合運算【分析】根據(jù)二次根式的加、減、乘、除、乘方進行運算【解答】原式＝＝.【點評】本題主要考查二次根式的加減乘除法則是解決本題的關(guān)鍵．2．計算：.【考點】二次根式乘方【專題】二次根式混合運算【分析】根據(jù)二次根式的加、減、乘、除、乘方進行運算【解答】原式＝.【點評】本題主要考查二次根式的加減乘除法則是解決本題的關(guān)鍵．3．已知等腰的兩邊長分別為和，則等腰的周長是______．【考點】等腰三角形【專題】二次根式混合運算【分析】分兩種情況：當?shù)妊难L為，底邊長為時，當?shù)妊难L為，底邊長為時，然后分別進行計算即可解答．【解答】解：分兩種情況：當?shù)妊难L為，底邊長為時，，∴不能組成三角形；當?shù)妊难L為，底邊長為時，∴等腰的周長；綜上所述：等腰的周長是，故答案為：．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，分兩種情況進行計算是解題的關(guān)鍵．【考點2】分母有理化1．的一個有理化因式是（

A

）A． B． C． D．【考點】分母有理化【專題】有理化因式【分析】根據(jù)有理化的定義以及二次根式的乘除法則解決此題．【解答】解：A．∵，∴就是的一個有理化因式，故A符合題意；B．∵，∴不是的一個有理化因式，故B不符合題意；C．∵，∴不是的一個有理化因式，故C不符合題意；D．∵，∴不是的一個有理化因式，故D不符合題意；故選：A．【點評】本題主要考查分母有理化，熟練掌握有理化的定義以及二次根式的乘除法則是解決本題的關(guān)鍵．2．的有理化因式可以是___________．（只需填一個）【考點】分母有理化【專題】有理化因式【分析】根據(jù)有理化的定義解決此題．【解答】的有理化因式可以是，答案不唯一.故答案為：【點評】本題主要考查分母有理化，熟練掌握有理化的定義是解決本題的關(guān)鍵．3．若兩個代數(shù)式與滿足，則稱這兩個代數(shù)式為“互為友好因式”，則的“互為友好因式”是．【考點】分母有理化【專題】有理化因式【分析】根據(jù)“互為友好因式”的概念解答即可．【解答】解：由題意可得：的“互為友好因式”為：，故答案為：．【點評】本題考查了定義新運算，二次根式的分母有理化，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的分母有理化的方法．4．不用計算器，比較與的大小，并說明理由．【考點】分母有理化【專題】有理化因式【分析】將分母有理化，即可作答．【解答】，理由如下：，即：∴，即：．【點評】本題主要是考查二次根式的大小比較以及二次根式的運算等知識，掌握二次根式的運算是解答本題的關(guān)鍵．5．當時，代數(shù)式的值是__5____．【考點】分母有理化【專題】有理化因式【分析】將分母有理化，即可作答．【解答】，即：代入得：原式=，故答案為：5．【點評】本題主要是考查二次根式的大小比較以及二次根式的運算等知識，掌握二次根式的運算是解答本題的關(guān)鍵．6．已知，求的值；【考點】分母有理化【專題】有理化因式【分析】將分母有理化，即可作答．【解答】，代入得：原式=，故答案為：5．【點評】本題主要是考查二次根式的大小比較以及二次根式的運算等知識，掌握二次根式的運算是解答本題的關(guān)鍵．7．（★★）已知，則＝____5_____【考點】分母有理化【專題】有理化因式【解答】由已知，而原式＝，所以原式＝.故答案為：5．【點評】本題主要是考查二次根式的大小比較以及二次根式的運算等知識，掌握二次根式的運算是解答本題的關(guān)鍵．【考點3】不等式、方程運算1．解不等式：的解集是______．【考點】分母有理化【專題】解不等式【分析】將移項，即可作答．【解答】，移項得左右同時除以-1，得解得：故答案為：【點評】本題主要是考查二次根式的不等式的運算，掌握不等式的運算規(guī)則及分母有理化即可2．【考點】分母有理化【專題】解方程【分析】將移項，即可作答．【解答】，移項得左右同時除以，解得：故答案為：【點評】本題主要是考查二次根式的大小比較以及二次根式的運算等知識，掌握二次根式的運算是解答本題的關(guān)鍵．3．【考點】分母有理化【專題】解方程組【分析】用加減消元解方程，即可作答．【解答】，由（1）得（3）（3）-（2）得：∴代入（1）式得：故答案為：【點評】本題主要是考查二次根式的大小比較以及二次根式的運算等知識，掌握二次根式的運算是解答本題的關(guān)鍵．【考點4】二次根式的計算應(yīng)用（★★）1．根據(jù)愛因斯坦的相對論，當?shù)孛嫔系臅r間經(jīng)過1秒時，宇宙飛船內(nèi)時間只經(jīng)過秒（c是光速，為千米/秒，v是宇宙飛船的速度）．假定有一對兄弟，哥哥18歲，弟弟15歲，哥哥乘著宇宙飛船作宇宙旅行，宇宙飛船的速度是光速的0.98倍．問：弟弟20歲時，剛從宇宙旅行回來的哥哥是幾歲？【考點】二次根式應(yīng)用題【專題】二次根式運算【分析】先求出當?shù)孛嫔系臅r間經(jīng)過1秒時，宇宙飛船內(nèi)經(jīng)過的時間，可得地球上過5年，宇宙飛船內(nèi)經(jīng)過的時間為年，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意得：當?shù)孛嫔系臅r間經(jīng)過1秒時，宇宙飛船內(nèi)經(jīng)過的時間為秒，∴地球上過5年，宇宙飛船內(nèi)經(jīng)過的時間為年，∴剛從宇宙旅行回來的哥哥是歲．【點評】本題考查二次根式的應(yīng)用；理解題意，確定地面時間與宇宙飛船時間之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．【說讀材料】我們已經(jīng)學習了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當，時：∵，∴．∴，當且僅當時取等號，即當時，有最小值為．【學以致用】根據(jù)上面材料回答下列問題：(1)已知，則當時，式子取到最小值，最小值為；(2)已知，求當值為多少時，分式取到最小值，最小值是多少？(3)用籬笆圍一個面積為的長方形花園，問這個長方形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？【考點】二次根式應(yīng)用題【專題】二次根式運算【解答】（1）解：當時，，∴當時，的最小值是2；即當時，的最小值是2；故答案為：1；2；（2）令，當且僅當時，即時，取最小值為，∴當時，．（3）設(shè)這個矩形的長為米，則寬為米，所用的籬笆總長為米，根據(jù)題意得：，由上述性質(zhì)知：∵，∴，此時，，∴．答：當這個長方形的長、寬各為米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是米．【點評】本題考查了二次根式與完全平方公式，求最值問題，理解閱讀材料是解題的關(guān)鍵．【課后練習】下列各式計算錯誤的是（A）A.；B.；C.；D..【考點】二次根式混合運算【專題】二次根式運算【分析】分別根據(jù)二次根式的加法，乘法，除法法則以及利用平方差公式進行分母有理化逐一判斷即可．【解答】A、∵，因而A錯誤.B、，正確；C、正確；D、，正確.故此題選A.【點評】本題考查了二次根式的混合運算以及分母有理化，掌握相關(guān)運算法則是解答本題的關(guān)鍵．2．下列計算正確的是（

C

）A． B．C． D．【考點】二次根式混合運算【專題】二次根式運算【分析】分別根據(jù)二次根式的加法，乘法，除法法則以及利用平方差公式進行分母有理化逐一判斷即可．【解答】解：A、與不是同類二次根式，所以不能合并，故本選項不合題意；B、，故本選項不合題意；C、，故本選項符合題意；D、，故本選項不合題意．故選：C．【點評】本題考查了二次根式的混合運算以及分母有理化，掌握相關(guān)運算法則是解答本題的關(guān)鍵．3.計算：．【考點】二次根式混合運算【專題】二次根式運算【分析】分別根據(jù)二次根式化簡、進行加法，減法計算即可．【解答】原式＝.故答案為：【點評】本題考查了二次根式的混合運算掌握相關(guān)運算法則是解答本題的關(guān)鍵．4.計算：＝.【考點】二次根式混合運算【專題】二次根式運算【分析】分別根據(jù)二次根式化簡、進行加法，減法計算即可．【解答】原式＝.故答案為：【點評】本題考查了二次根式的混合運算掌握相關(guān)運算法則是解答本題的關(guān)鍵．5.計算：＝.【考點】二次根式混合運算【專題】二次根式運算【分析】分別根據(jù)二次根式化簡、進行加法，減法計算即可．【解答】原式＝.故答案為：【點評】本題考查了二次根式的混合運算掌握相關(guān)運算法則是解答本題的關(guān)鍵．6.計算：＝2.【考點】二次根式混合運算【專題】二次根式運算【分析】分別根據(jù)二次根式化簡、進行乘除計算即可．【解答】原式＝，或原式＝故答案為：2【點評】本題考查了二次根式的混合運算掌握相關(guān)運算法則是解答本題的關(guān)鍵．7.計算：＝.【考點】二次根式混合運算【專題】二次根式運算【分析】分別根據(jù)二次根式乘除、平方差公式計算即可【解答】故答案為：【點評】本題考查了二次根式的混合運算掌握相關(guān)運算法則是解答本題的關(guān)鍵．8.寫出的一個有理化因式.【考點】分母有理化【專題】有理化因式【分析】根據(jù)分母有理化的概念解決即可【解答】的有理化因式可以是，答案不唯一.故答案為：【點評】本題主要考查分母有理化，熟練掌握有理化的定義是解決本題的關(guān)鍵．9.寫出的一個有理化因式.【考點】分母有理化【專題】有理化因式【分析】根據(jù)分母有理化的概念解決即可【解答】的有理化因式可以是，答案不唯一.故答案為：【點評】本題主要考查分母有理化，熟練掌握有理化的定義是解決本題的關(guān)鍵．10.比較大小：>【考點】分母有理化【專題】有理化因式【分析】根據(jù)分母有理化的概念得出，然后比較得到【解答】∴∴∵∴>故答案為：>【點評】本題主要考查分母有理化，熟練掌握有理化的定義是解決本題的關(guān)鍵．11.不等式的解集是.【考點】分母有理化【專題】解不等式.【分析】將移項，即可作答．【解答】，∴，故原不等式的解集為：故答案為：【點評】本題主要考查分母有理化，熟練掌握有理化是解決本題的關(guān)鍵．12.若實數(shù)，則代數(shù)式的值為3.【考點】分母有理化【專題】二次根式的運算【分析】將分母有理化，配方后得出答案．【解答】因為，所以.故答案為：3【點評】本題主要考查分母有理化，熟練掌握有理化的定義是解決本題的關(guān)鍵．13.對于兩個不相等的實數(shù)a、b，定義一種新的運算如下：，如：，那么＝1.【考點】自定義運算【專題】二次根式的運算【分析】將按照新運算計算，先算，再算【解答】由已知＝故答案為：1【點評】本題主要考查二次根式的運算，熟練掌握新運算及二次根式是解決本題的關(guān)鍵．14、二次根式計算：(1).【考點】二次根式的混合運算【專題】二次根式的運算【分析】將各式子化簡后相加減【解答】解：原式＝.【點評】本題主要考查二次根式的運算，熟練掌握二次根式的混合運算是解決本題的關(guān)鍵．(2)【考點】二次根式的混合運算【專題】二次根式的運算【分析】將各式子化簡后相加減【解答】原式＝【點評】本題主要考查二次根式的運算，熟練掌握二次根式的混合運算是解決本題的關(guān)鍵．(3)【考點】二次根式的混合運算【專題】二次根式的運算【分析】將各式子化簡后相加減【解答】原式＝【點評】本題主要考查二次根式的運算，熟練掌握二次根式的混合運算是解決本題的關(guān)鍵．(4)【考點】二次根式的混合運算【專題】二次根式的運算【分析】將各式子化簡后相加減【解答】原式＝【點評】本題主要考查二次根式的運算，熟練掌握二次根式的混合運算是解決本題的關(guān)鍵．15、二次根式計算：(1)【考點】二次根式的混合運算【專題】二次根式的運算【分析】將各式子化簡后相乘除【解答】解：原式=（1×6）?！军c評】本題主要考查二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是能夠了解法則并能熟練的將除法轉(zhuǎn)化為乘法進行運算．(2)【考點】二次根式的混合運算【專題】二次根式的運算【分析】先將二次根式化為最簡二次根式，再根據(jù)二次根式的加減法的法則計算即可．【解答】解：根據(jù)題意：，，，又∵，∴，∴．【點評】本題考查二次根式的加減法，利用二次根式的性質(zhì)化簡．解題的關(guān)鍵是將二次根式化為最簡二次根式．(3)【考點】二次根式的混合運算【專題】二次根式的運算【分析】先將二次根式化為最簡二次根式，再根據(jù)二次根式的加減法的法則計算即可．【解答】因為，原式＝【點評】本題考查二次根式的加減法，利用二次根式的性質(zhì)化簡．解題的關(guān)鍵是將二次根式化為最簡二次根式．16、二次根式計算：(1).【考點】分母有理化【專題】二次根式的運算【分析】先將二次根式化為分母有理化，再根據(jù)二次根式的乘除法的法則計算即可．【解答】解：原式＝.【點評】本題考查二次根式的有理化運算，熟練掌握有理化的定義是解決本題的關(guān)鍵．(2)【考點】分母有理化【專題】二次根式的運算【分析】先將二次根式化為分母有理化，再根據(jù)二次根式的乘除法的法則計算即可．【解答】解：原式＝.【點評】本題考查二次根式的有理化運算，熟練掌握有理化的定義是解決本題的關(guān)鍵．17、解不等式：(1)【考點】分母有理化【專題】解不等式【分析】將移項，即可作答．【解答】解：∴，.【點評】本題主要是考查二次根式的不等式的運算，掌握不等式的運算規(guī)則及分母有理化即可(2)【考點】分母有理化【專題】解方程組【分析】將移項，即可作答．【解答】解：∴【點評】本題主要是考查二次根式的方程的運算，掌握方程的運算規(guī)則及分母有理化即可18.已知，求的值.【考點】分母有理化【專題】二次根式的運算【分析】將分母有理化，代入分式方程計