人教A版高中數(shù)學(xué)必修4.3.2 對數(shù)的運算（一）

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.3.2對數(shù)的運算本節(jié)課是新版教材人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修1第四章第4.3.2節(jié)《對數(shù)的運算》。其核心是弄清楚對數(shù)的定義，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，理解它的關(guān)鍵就是通過實例使學(xué)生認識對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系，分析得出對數(shù)的概念及對數(shù)式與指數(shù)式的互化，通過實例推導(dǎo)對數(shù)的運算性質(zhì)。由于它還與后續(xù)很多內(nèi)容，比如對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì),這也是高考必考內(nèi)容之一，所以在本學(xué)科有著很重要的地位。解決重點的關(guān)鍵是抓住對數(shù)的概念、并讓學(xué)生掌握對數(shù)式與指數(shù)式的互化；通過實例推導(dǎo)對數(shù)的運算性質(zhì)，讓學(xué)生準(zhǔn)確地運用對數(shù)運算性質(zhì)進行運算，學(xué)會運用換底公式。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1、理解對數(shù)的概念，能進行指數(shù)式與對數(shù)式的互化；2、了解常用對數(shù)與自然對數(shù)的意義，理解對數(shù)恒等式并能運用于有關(guān)對數(shù)計算。3、通過轉(zhuǎn)化思想方法的運用，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想觀念及邏輯思維能力。a.數(shù)學(xué)抽象：對數(shù)的運算性質(zhì)；b.邏輯推理：對數(shù)運算性質(zhì)的推導(dǎo)；c.數(shù)學(xué)運算：對數(shù)運算性質(zhì)的運用；d.直觀想象：指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系；e.數(shù)學(xué)建模：在實際問題中運用對數(shù)運算性質(zhì)及換底公式；教學(xué)重點：準(zhǔn)確地運用對數(shù)運算性質(zhì)進行運算，求值、化簡，并掌握化簡求值教學(xué)難點：根據(jù)指對數(shù)的互化推導(dǎo)對數(shù)運算性質(zhì)及換底公式。多媒體教學(xué)過程設(shè)計意圖核心教學(xué)素養(yǎng)目標(biāo)（一）、溫故知新1．對數(shù)(1)指數(shù)式與對數(shù)式的互化及有關(guān)概念：(2)底數(shù)a的范圍是________________.（二）、探索新知問題提出：在引入對數(shù)之后，自然應(yīng)研究對數(shù)的運算性質(zhì)．你認為可以怎樣研究？我們知道了對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，能否利用指數(shù)冪運算性質(zhì)得出相應(yīng)的對數(shù)運算性質(zhì)呢？探究一：對數(shù)的運算性質(zhì)回顧指數(shù)冪的運算性質(zhì)：，，．把指對數(shù)互化的式子具體化：設(shè)，，于是有．根據(jù)對數(shù)的定義有：，，．于是有對數(shù)的運算性質(zhì)：如果，且時，M>0，N>0，那么：（1）；（積的對數(shù)等于兩對數(shù)的和）（2）；（商的對數(shù)等于兩對數(shù)的差）（3）；（）．（冪的對數(shù)等于冪指數(shù)乘以底數(shù)的對數(shù)）1．思考辨析(1)積、商的對數(shù)可以化為對數(shù)的和、差．()(2)loga(xy)＝logax·logay.()(3)log2(－3)2＝2log2(－3)．()[答案](1)√(2)×(3)×例1．求下列各式的值（1）log84＋log82；（2）log510－log52（3）log2（47×25）解：（1）log84＋log82＝log88＝1.（2）log510－log52＝log55＝1(3)log2（47×25）=log2219=19跟蹤訓(xùn)練1計算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg52＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)eq\f(lg\r(2)＋lg3－lg\r(10),lg1.8).[解](1)原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)·eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝eq\f(\f(1,2)lg2＋lg9－lg10,lg1.8)＝eq\f(lg\f(18,10),2lg1.8)＝eq\f(lg1.8,2lg1.8)＝eq\f(1,2).[規(guī)律方法]1.利用對數(shù)性質(zhì)求值的解題關(guān)鍵是化異為同，先使各項底數(shù)相同，再找真數(shù)間的聯(lián)系．2．對于復(fù)雜的運算式，可先化簡再計算；化簡問題的常用方法：①“拆”：將積(商)的對數(shù)拆成兩對數(shù)之和(差)；②“收”：將同底對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)．探究二：換底公式問題1：前面我們學(xué)習(xí)了常用對數(shù)和自然對數(shù)，我們知道任意不等于1的正數(shù)都可以作為對數(shù)的底，能否將其它底的對數(shù)轉(zhuǎn)換為以10或為底的對數(shù)？把問題一般化，能否把以為底轉(zhuǎn)化為以為底？探究：設(shè)，則，對此等式兩邊取以為底的對數(shù)，得到：，根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，有：，所以．即．其中，且，，且．公式；稱為換底公式．用換底公式可以很方便地利用計算器進行對數(shù)的數(shù)值計算．在4.2.1的問題1中，求經(jīng)過多少年B地景區(qū)的游客人次是2001年的2倍，就是計算x=log由換底公式可得;x=log1.11利用計算工具，可得x=lg2lg1.11由此可得，大約經(jīng)過7年，B地景區(qū)的游客人次就達到2001年的2倍，類似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年數(shù)。例3.盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震M之間的關(guān)系為2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級地震，它所釋放出來的能量是2008年5月12日我國汶川發(fā)生里氏8.0級地震的多少倍（精確到1）？解:設(shè)里氏9.0級和里氏8.0級地震的能量分別為E1和E2設(shè)里利用計算工具可得，雖然里氏9.0級和里氏8.0級地震僅相差1級，但前者釋放出的能量卻是后者的約32倍。跟蹤訓(xùn)練2求值：(1)log23·log35·log516；(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．[解](1)原式＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg5,lg3)·eq\f(lg16,lg5)＝eq\f(lg16,lg2)＝eq\f(4lg2,lg2)＝4.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))＝eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(5lg3,6lg2)＝eq\f(5,4).溫故知新，通過對上節(jié)對數(shù)概念及指對數(shù)互化，為對數(shù)運算性質(zhì)的推導(dǎo)做準(zhǔn)備。培養(yǎng)和發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。通過對指數(shù)運算性質(zhì)的回顧，類比推導(dǎo)對數(shù)運算性質(zhì)，，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)；通過典例問題的分析，讓學(xué)生進一步熟悉對數(shù)運算性質(zhì)。深化對對數(shù)運算性質(zhì)的理解。通過換底公式的推導(dǎo)及應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)；三、當(dāng)堂達標(biāo)1．計算：log153－log62＋log155－log63＝()A．－2B．0C．1D．2【答案】B[原式＝log15(3×5)－log6(2×3)＝1－1＝0.]2．計算log92·log43＝()A．4B．2C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)【答案】D[log92·log43＝eq\f(lg2,lg9)·eq\f(lg3,lg4)＝eq\f(1,4).]3．設(shè)10a＝2，lg3＝b，則log26＝()A.eq\f(b,a)B.eq\f(a＋b,a)C．a(chǎn)bD．a(chǎn)＋b【答案】B[∵10a＝2，∴l(xiāng)g2＝a，∴l(xiāng)og26＝eq\f(lg6,lg2)＝eq\f(lg2＋lg3,lg2)＝eq\f(a＋b,a).]4．log816＝________.【答案】eq\f(4,3)[log816＝log2324＝eq\f(4,3).]5．計算：(1)log535－2log5eq\f(7,3)＋log57－log51.8；(2)log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242－1.【答案】(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5eq\f(9,5)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.(2)原式＝log2eq\f(\r(7),\r(48))＋log212－log2eq\r(42)－log22＝log2eq\f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42)×2)＝log2eq\f(1,2\r(2))＝log22eq\s