專題52平行線及其判定七年級數(shù)學下冊完整版講義（教師版）（人教版）

專題5.2平行線及其判定目標導航目標導航平行線定義；平行公理：同一平面內(nèi)，經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。平行線的判定1．兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．2．兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．3．兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行．考點精講考點精講考點1：平面內(nèi)兩直線位置關(guān)系典例：（2022秋·浙江紹興·七年級校聯(lián)考期中）下列說法正確的有（填序號）：_____．①同位角相等；②在同一平面內(nèi)，兩條不相交的線段是平行線；③在同一平面內(nèi)，如果a//b，b//c，則a//c；④在同一平面內(nèi)，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．【答案】③④##④③【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、平行公理逐個判斷即可．【詳解】解：①兩直線平行，同位角相等，故①錯誤；

②在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線是平行線，故②錯誤；

④在同一平面內(nèi)，如果a//b，b//c，則a//c，符合平行公理，故③正確；

⑤在同一平面內(nèi)，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故④正確．故答案為③④．方法或規(guī)律點撥本題主要考查了平行線的性質(zhì)及平行公理，理解平行的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．鞏固練習1．（2022春·八年級單元測試）在下列4個判斷中：①在同一平面內(nèi)，不相交也不重合的兩條線段一定平行；②在同一平面內(nèi)，不相交也不重合的兩條直線一定平行；③在同一平面內(nèi)，不平行也不重合的兩條線段一定相交；④在同一平面內(nèi)，不平行也不重合的兩條直線一定相交．正確判斷的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)平面內(nèi)兩條直線的三種位置關(guān)系：平行或相交或重合進行判斷．【詳解】解：在同一平面內(nèi)，不相交也不重合的兩條直線一定平行，故①錯誤，②正確；在同一平面內(nèi)，不平行也不重合的兩條直線一定相交，故③錯誤，④正確．故正確判斷的個數(shù)是2．故選：C．【點睛】本題考查了平面內(nèi)兩條直線的三種位置關(guān)系，平行、相交或重合，熟練掌握這三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期中）下列說法正確的是（

）A．在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線一定相交B．經(jīng)過直線a外一點P，可以畫出無數(shù)條直線與直線a平行C．在同一平面內(nèi)，若直線，，則D．在同一平面內(nèi)，已知直線a，可以畫出無數(shù)條直線與直線a垂直【答案】D【分析】根據(jù)平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系，平行線公理，垂線的定義與性質(zhì)對各項進行分析即可．【詳解】解：在同一平面內(nèi)，兩直線的位置關(guān)系有：相交，平行，則說法錯誤，不符合題意；過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線垂直，故B說法錯誤，不符合題意；在同一平面內(nèi)，若直線，，則，故C說法錯誤，不符合題意；在同一平面內(nèi)，已知直線，可以畫出無數(shù)條直線與直線垂直，故D說法正確，符合題意，故選：．【點睛】本題主要考查平面內(nèi)與兩條直線位置有關(guān)的基礎(chǔ)知識，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的知識的掌握與運用．3．（2022秋·北京·七年級校考期中）下列語句正確的有（

）①量出直線外一點到直線的距離；②在同一平面內(nèi)，兩條不同直線有且只有一個公共點③從直線外一點到這條直線的垂線段叫作直線的距離④兩條直線有相交、垂直、平行三種位置關(guān)系A(chǔ)．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】根據(jù)點到直線的距離、平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系求解即可．【詳解】量出直線外一點到直線的垂線段的長度即為點到直線的距離，故正確；在同一平面內(nèi)，兩條不同直線有一個公共點或沒有公共點，故錯誤；從直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫作點到直線的距離，故錯誤；同一平面內(nèi)兩條直線有相交、平行兩種位置關(guān)系，故錯誤；故選：．【點睛】此題考查了平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系、點到直線的距離，熟練掌握平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系、點到直線的距離是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·江蘇·七年級專題練習）下列說法中，錯誤的有（

）①若，，則；②若與相交，與相交，則與相交；③相等的角是對頂角；④過一點有且只有一條直線與已知直線平行．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】根據(jù)平行公理及推論可判斷①；若與相交，與相交，則與可能相交或平行，可判斷②；對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角，可判斷③；根據(jù)平行公理及推論可判斷④．【詳解】解：根據(jù)平行線公理及推論可知，①正確；若與相交，與相交，則與可能相交或平行，②錯誤；對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角，③錯誤；過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，④錯誤．故錯誤的有個，故選：A．【點睛】本題考查平行公理及推論、平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022春·七年級課時練習）下列說法正確的是（

）A．在同一平面內(nèi)，，，是直線，且，則B．在同一平面內(nèi)，，，是直線，且，，則C．在同一平面內(nèi)，，，是直線，且，則D．在同一平面內(nèi)，，，是直線，且，則【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)分析判斷即可．【詳解】A．在同一平面內(nèi)，，，是直線，且，則，故選項正確，符合題意．B．在同一平面內(nèi)，，，是直線，且，，則，故選項錯誤，不符合題意．C．在同一平面內(nèi)，，，是直線，且，則，故選項錯誤，不符合題意．D．在同一平面內(nèi)，，，是直線，且，則，故選項錯誤，不符合題意．故選：A．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，準確分析判斷是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·安徽合肥·七年級校考階段練習）下列說法中，正確的個數(shù)有（

）（1）過一點有無數(shù)條直線與已知直線平行（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c（3）在同一平面內(nèi)，兩條不重合的線段，如果它們不相交，那么就平行（4）在同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線，如果它們不相交，那么就平行A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】根據(jù)平行線的定義、平行公理及推論求解判斷即可．【詳解】解：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故(1)錯誤，不符合題意；若a//b，a//c，那么b//c，故(2)說法正確，符合題意；在同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線，如果它們不相交，那么就平行，故(3)說法錯誤，不符合題意；在同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線，如果它們不相交，那么就平行，故(4)說法正確，符合題意；綜上，(2)、(4)說法正確，故選：B．【點睛】此題考查了平行線的定義，熟記平行線的定義和公理是解題的關(guān)鍵．7．（2022·河北石家莊·石家莊市第四十一中學?？寄M預(yù)測）如圖，在同一平面內(nèi)．經(jīng)過直線l外一點O有四條直線①②③④，借助直尺和三角板判斷，與直線l平行的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】由過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，即可得到答案．【詳解】解：經(jīng)過刻度尺平移測量，③符合題意，故選：C．【點睛】本題考查了平行線，利用了平行線的性質(zhì)：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．8．（2022秋·黑龍江佳木斯·七年級樺南縣第四中學校聯(lián)考階段練習）下列說法中，錯誤的是（）①a與c相交，b與c相交，則a與b相交；②若ab，bc，則ac；③過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；④在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系平行、相交、垂直三種．A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】B【分析】根據(jù)兩條直線位置關(guān)系的性質(zhì)對各個選項逐個分析，即可得到答案．【詳解】當a與b平行時，a與c相交，b與c相交，但a與b不相交，故①錯誤；在同一平面內(nèi)，兩條直線有兩種的位置關(guān)系：平行、相交，故④錯誤；②③分別是平行公理及推論，正確；故選：B．【點睛】本題考查了兩條直線位置關(guān)系的知識，解題的關(guān)鍵是平行公理及推論、平行線、相交線的性質(zhì)．9．（2022·浙江·九年級專題練習）在同一平面內(nèi)，不重合的三條直線的交點有（

）個．A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．0或1或2或3【答案】D【分析】根據(jù)平面內(nèi)相交線和平行線的特點分類討論即可得出答案．【詳解】因為三條直線位置不明確，所以分情況討論：①三條直線互相平行，有0個交點；②一條直線與兩平行線相交，有2個交點；

③三條直線都不平行，有1個或3個交點；所以交點的個數(shù)可能為0個或1個或2個或3個．故選：D．【點睛】本題考查平面內(nèi)直線的位置關(guān)系．掌握相交線和平行線的特點是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·八年級單元測試）下列說法正確的有（

）①兩點之間的所有連線中，線段最短；②相等的角叫對頂角；③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；④過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；⑤兩點之間的距離是兩點間的線段；⑥在同一平面內(nèi)的兩直線位置關(guān)系只有兩種：平行或相交．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)所學的相關(guān)知識,逐一判斷即可．【詳解】解：①兩點之間的所有連線中，線段最短，故①說法正確．②相等的角不一定是對頂角，故②說法錯誤．③經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故③說法錯誤．④同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故④說法錯誤．⑤兩點之間的距離是兩點間的線段的長度，故⑤說法錯誤．⑥在同一平面內(nèi)，兩不重合的直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和平行，故⑥說法正確．綜上所述，正確的結(jié)論有2個．故選：．【點睛】本題主要考查對平行線的定義，兩點間的距離，相交線等知識點的理解和掌握，能熟練地運用性質(zhì)進行說理是解此題的關(guān)鍵．11．（2022秋·甘肅金昌·七年級?？计谥校┰谕黄矫鎯?nèi)，兩條直線可能的位置關(guān)系是(

)A．平行

B．相交

C．相交或平行

D．垂直【答案】C【詳解】解：在同一個平面內(nèi)，兩條直線只有兩種位置關(guān)系，即平行或相交，故選C．12．（2022春·山東淄博·八年級統(tǒng)考期中）語言是思維的工具，要學好幾何證明，必須學會語言的表達和運用．幾何語言可分為文字語言、符號語言與圖形語言．例知：“直線a與b互相平行”是文字語言，“”是符號語言，那么“直線a與b互相平行”的圖形語言是______．【答案】見解析【分析】直接畫出兩條平行直線即可得出答案．【詳解】解：如圖，，．【點睛】此題主要考查了幾何語言，正確把握相關(guān)圖形畫法是解題的關(guān)鍵．考點2：平行公理及應(yīng)用典例：（2022秋·湖北宜昌·七年級統(tǒng)考期末）按要求完成下列問題，其中畫圖不寫作法．(1)畫出從點P到水渠邊的最短距離，并說明道理．(2)過點P畫出的平行線，這樣的平行線有幾條，為什么？（1）道理：．（2）理由：．【答案】(1)圖形見解析，道理：點到直線，垂線段最短(2)圖形見解析，理由：過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行【分析】（1）根據(jù)點到直線，垂線段最短，過點P作PD⊥AB于點D，則PD即為所求；（2）根據(jù)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，即可求解．（1）解：如圖，過點P作PD⊥AB于點D，則PD即為所求；理由：點到直線，垂線段最短；（2）解：過點P作PE∥AB，則PE即為所求．這樣的平行線有1條，理由：過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行．方法或規(guī)律點撥本題主要考查了點到直線的距離，平行線的公理，熟練掌握點到直線，垂線段最短；過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行是解題的關(guān)鍵．鞏固練習1．（2022秋·遼寧沈陽·七年級?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．直線外一點到已知直線的垂線段叫做這點到直線的距離．B．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．C．三角形的三條高線交于一點．D．平面內(nèi)，有且只有一條直線與已知直線垂直．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的高、點到直線的距離定義、平行公理、平行線定義進行分析即可．【詳解】解：A．直線外一點到已知直線的垂線段的長度叫做這點到直線的距離，故原題說法錯誤，該選項不符合題意；B．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，正確，該選項符合題意；C．三角形的三條高線所在直線交于一點，故原題說法錯誤，該選項不符合題意；D．平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故原題說法錯誤，該選項不符合題意；故選：B．【點睛】此題主要考查了三角形的高、平行線，關(guān)鍵是注意點到直線的距離的定義．2．（2022·全國·七年級專題練習）下列說法中是真命題正確的個數(shù)有（

）個（1）若ab，bd，則ad；（2）過一點有且只有一條直線與已知直線平行；（3）兩條直線不相交就平行；（4）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)平行線的定義與判定、垂線的性質(zhì)、平行公理對各小題分析判斷后即可得解．【詳解】（1）若ab，bd，則ad，故原說法正確；（2）過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故原說法錯誤；（3）在同一平面內(nèi)，兩條直線不相交就平行，故原說法錯誤；（4）同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故原說法錯誤．故選：A．【點睛】此題主要考查了平行公理，平行線的性質(zhì)定義，垂線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握課本內(nèi)容．3．（2022秋·遼寧葫蘆島·七年級統(tǒng)考階段練習）下列說法中，正確的有(

)若，，則；②若與相交，與相交，則與相交；③相等的角是對頂角；④過一點有且只有一條直線與已知直線平行．A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】C【分析】根據(jù)平行公理的推論可判斷①；根據(jù)直線的位置關(guān)系可判斷②；根據(jù)對頂角的定義可判斷③；根據(jù)平行公理可判斷④．【詳解】解：根據(jù)平行線公理及推論可知，①正確；若a與c相交，b與c相交，則a與b可能相交或平行，②錯誤；對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角，③錯誤；過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，④錯誤．故正確的有1個，故選：C．【點睛】本題考查平行公理及其推論、兩直線的位置關(guān)系質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，熟練掌握圖形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022秋·廣東廣州·七年級?？计谥校┫铝姓f法中正確的個數(shù)有(

)①同位角相等；②相等的角是對頂角；③直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這個點到這條直線的距離；④過一點有且只有一條直線與已知直線平行；⑤不相交的兩條直線叫做平行線；⑥若直線a∥b，b∥c，則a∥cA．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】根據(jù)同位角的定義，對頂角的定義，點到這條直線的距離的定義，平行公理，平行線的定義，平行線的判定分別進行分析即可．【詳解】①兩直線平行，同位角相等，故①錯誤；②相等的角不一定為對頂角，故②錯誤；③直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這個點到這條直線的距離，故③錯誤；④經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，故④錯誤；⑤不在同一平面內(nèi)，不相交的直線可能不平行，故⑤錯誤；⑥若直線，，則，故⑥正確．說法中正確的個數(shù)有個，故選：B．【點睛】此題主要考查了同位角的定義，對頂角的定義，點到這條直線的距離的定義，平行公理，平行線的定義，平行線的判定等知識，正確掌握相關(guān)定義、定理和公理是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·七年級課時練習）下列說法正確的是（

）①若直線與沒有交點，則；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③不相等的角一定不是對頂角；④過一點有且只有一條直線與已知直線平行；⑤過直線外一點作直線的垂線段，叫做點到直線的距離．A．①③④ B．③⑤ C．②③ D．②④【答案】C【分析】根據(jù)平行的概念、平行公理及其推論、對頂角的性質(zhì)、點到直線的距離的概念判斷即可．【詳解】同一平面內(nèi)，若直線與沒有交點，則，故①說法錯誤；由平行公理的推論知：平行于同一條直線的兩條直線平行，故②說法正確；由對頂角的性質(zhì)知：對頂角相等，則不相等的角一定不是對頂角，故③說法正確；過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故④說法錯誤；過直線外一點作直線的垂線段，垂線段的長度叫做點到直線的距離，故⑤說法錯誤；所以正確的說法有②③．故選：C．【點睛】本題考查了平行線的概念、平行公理及其推論、對頂角的性質(zhì)、點到直線的距離的概念，牢固掌握相關(guān)概念及性質(zhì)是關(guān)鍵．6．（2022秋·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習）下列說法：①兩點之間的所有連線中，線段最短；②相等的角是對頂角；③過一點有且僅有一條直線與已知直線平行；④兩點之間的距離是兩點間的線段；⑤若AB＝BC，則點B為線段AC的中點；⑥不相交的兩條直線叫做平行線．其中正確的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】根據(jù)直線、射線、線段的概念、表示和作圖；平行線的定義和性質(zhì)；兩點間的距離逐個判斷即可．【詳解】∵兩點之間的所有連線中，線段最短∴正確；∵相等的角不一定是對頂角∴錯誤；∵過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線平行∴錯誤；∵兩點之間的距離是指兩點間的線段的長度∴錯誤；∵在等腰三角形中，，但此時點不是線段的中點∴錯誤；∵在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線∴錯誤∴正確的為：故選：B．【點睛】本題考查了直線、射線、線段、平行線的知識，解題的關(guān)鍵是掌握線、射線、線段的概念、表示和作圖；平行線的定義和性質(zhì)．7．（2022秋·廣西河池·七年級統(tǒng)考期中）若直線a，b，c，d有下列關(guān)系，則推理正確的是（

）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥dC．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c【答案】C【分析】根據(jù)平行公理的推論“如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行”進行分析，得出正確答案．【詳解】解：A、a、c都和b平行，應(yīng)該推出的是a∥c，而非c∥d，故錯誤；B、c、d與不同的直線平行，無法推出兩者也平行，故錯誤；C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故正確；D、a、c與不同的直線平行，無法推出兩者也平行，故錯誤．故選：C．【點睛】本題考查的重點是平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．8．（2022秋·全國·七年級假期作業(yè)）下列說法正確的個數(shù)是（

）．（1）兩條直線不相交就平行；（2）在同一平面內(nèi)，兩條平行的直線有且只有一個交點；（3）過一點有且只有一條直線與已知直線平行；（4）平行于同一直線的兩條直線互相平行；（5）兩直線的位置關(guān)系只有相交、平行與垂直．A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】（1）（5），根據(jù)同一平面內(nèi)，兩直線的位置關(guān)系只有相交和平行進行判斷即可；（2），根據(jù)平行線的定義進行判斷即可；（3）（4），根據(jù)平行線的公理以及公理的推論進行判斷即可．【詳解】(1)應(yīng)該是在同一平面內(nèi)，兩直線不相交就平行，故錯誤；(2)在同一平面內(nèi)，兩條平行的直線沒有交點，故錯誤；(3)應(yīng)為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故錯誤；(4)平行于同一直線的兩條直線互相平行，是平行公理的推論，故正確；(5)應(yīng)為在同一平面內(nèi)，兩直線的位置關(guān)系只有相交與平行，故錯誤，所以只有（4）一項正確，故選：B．【點睛】本題是一道有關(guān)兩直線位置關(guān)系的題目，涉及同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系以及平行線的知識，掌握這些概念和定理是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·湖北恩施·七年級?？计谥校┫铝姓f法中正確的個數(shù)為（

）①在平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和垂直；②在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；③在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線平行；④如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；⑤從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這個點到這條直線的距離．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，點到直線的距離，平行線，平行公理及推論，進行逐一判斷即可．【詳解】解：①在平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和垂直，故①錯誤；②在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故②正確；③經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，故③錯誤；④如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，故④正確；⑤從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這個點到這條直線的距離，故⑤錯誤．故正確的是②④，共2個．故選：A．【點睛】此題考查平行線的判定與性質(zhì)，點到直線的距離，平行線，平行公理及推論，正確利用定義是關(guān)鍵．10．（2022秋·山東泰安·六年級?？茧A段練習）已知直線a，b，c是同一平面內(nèi)的三條不同直線，下面四個結(jié)論：①若則；②若則；③若則；④若且與相交，則與相交，其中，結(jié)論正確的是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④【答案】A【分析】根據(jù)平行公理及其推論：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行進行分析即可求解．【詳解】①根據(jù)“同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”判定：若則；故說法正確；②若則，故說法正確；③根據(jù)“在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行”判定：若則；說法錯誤；④若且與相交，則與不一定相交，故說法錯誤故正確的有：①②故選：A【點睛】本題主要考查平行公理及其推論，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系．11．（2022·河北·一模）經(jīng)過直線l外一點O的四條直線中，與直線l相交的直線至少有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據(jù)經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行得出即可．【詳解】解：根據(jù)經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行，得出如果有和直線l平行的，只能是一條，即與直線l相交的直線至少有3條，故選：C．【點睛】本題考查了平行公理及推論，注意：經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行．12．（2022秋·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期中）下列說法正確的個數(shù)有（）①同位角相等；②過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；④若a∥b，b∥c，則a∥c．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)和平行公理對各個說法分析判斷后即可求解．【詳解】解：①如圖，直線AB、CD被直線GH所截，∠AGH與∠CHF是同位角，但它們不相等，故說法錯誤；②同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，說法錯誤；③應(yīng)為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故說法錯誤；④平行于同一直線的兩條直線平行，是平行公理的推論，故說法正確．綜上所述，正確的說法是④共1個．故選A．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)和平行公理，是基礎(chǔ)知識，熟練掌握各定理或推論成立的條件是解決此題的關(guān)鍵．13．（2022秋·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）下列說法中：①過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；②已知直線a，b，c，若，則，③相等的角是對頂角；④直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短．其中正確的有_________．（填序號）【答案】①②④【分析】根據(jù)平行公理及推論，垂線段最短以及平行線的判定與性質(zhì)解答．【詳解】解：①過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故正確；②已知直線a，b，c，若a∥b，b∥c，則a∥c，故正確；③相等的角不一定是對頂角，故錯誤；④直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，故正確；故答案為：①②④．【點睛】本題考查了平行公理及推論，垂線段最短以及平行線的判定與性質(zhì)，熟記公理、推論是解題關(guān)鍵．14．（2022春·八年級課時練習）如圖，一組直線a，b，c，d是否都互相平行？【答案】直線a，b，c，d都互相平行，理由見解析【分析】根據(jù)平行公理證明即可．【詳解】解：直線a，b，c，d都互相平行，理由如下：∵，∴．【點睛】本題主要考查了平行公理，熟知平行于同一直線的兩條直線平行是解題的關(guān)鍵．考點3：平行線的判定典例：（2022·全國·七年級專題練習）如圖，已知點O在直線AB上，射線OE平分∠AOC，過點O作OD⊥OE，G是射線OB上一點，連接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．(1)求證：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，試判斷CD與OE的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)CDOE，理由見解析【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可證明∠AOE=∠ODG；（2）證明∠EOC=∠C，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行，即可證明CDOE．【詳解】（1）證明：∵OD⊥OE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，∵∠ODG+∠DOG=90°，∴∠AOE=∠ODG；（2）解：CDOE．理由如下：由（1）得∠AOE=∠ODG，∵射線OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠EOC，∵∠ODG=∠C，∴∠EOC=∠C，∴CDOE．方法或規(guī)律點撥本題考查了角平分線定義，垂直的定義，平行線的判定，等角的余角相等，正確識圖是解題的關(guān)鍵．鞏固練習1．（2022秋·遼寧沈陽·七年級沈陽市南昌初級中學（沈陽市第二十三中學）階段練習）如圖，點在的延長線上，則下列條件中．不能判定的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平行線的判定方法判斷即可得到結(jié)果．【詳解】解：，，選項A符合題意；，即，，選項B不合題意；，，選項C不合題意；，即，，選項D不合題意，故選：A．【點睛】此題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．2．（2022春·全國·八年級專題練習）如圖，在下列四組條件中，能判斷的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定方法一一判斷即可．【詳解】解：∵，∴，故A選項不符合題意；∵，∴，故B選項符合題意；∵，∴，故C選項不符合題意；∵，∴．故D選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．3．（2022春·八年級單元測試）在同一平面內(nèi)，將兩個完全相同的三角板按如圖擺放（直角邊重合），可以畫出兩條互相平行的直線，這樣操作的依據(jù)是（

）A．兩直線平行，同位角相等 B．同位角相等，兩直線平行C．兩直線平行，內(nèi)錯角相等 D．內(nèi)錯角相等，兩直線平行【答案】D【分析】根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行直接得到答案．【詳解】解：如圖，由題意得，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得．故選：D．【點睛】本題考查平行線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)錯角的定義及平行線的判定定理．4．（2022春·全國·八年級專題練習）如圖所示，直線、被、所截，下列條件中能說明的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可．【詳解】，∴（同位角相等，兩直線平行），故選：．【點睛】本題主要考查平行線的判定，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定定理并靈活運用．5．（2022秋·上海閔行·七年級?？茧A段練習）如圖，下列條件中，能夠判定的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定方法，逐一進行判定即可．【詳解】解：A、∵，∴，不能判定，不符合題意；B、∵，∴，不能判定，不符合題意；C、∵，∴，符合題意；D、∵，∴，不能判定，不符合題意；故選C．【點睛】本題考查平行線的判定．熟練掌握平行線的判定方法，是解題的關(guān)鍵．注意區(qū)分截線．6．（2022秋·廣東東莞·七年級校考期中）如圖，下列條件中不能判定的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A.，內(nèi)錯角相等兩直線平行，能判定；

B.，同位角相等兩直線平行，能判定；

C.，，可知，內(nèi)錯角相等兩直線平行，能判定；D.是同旁內(nèi)角相等，但不一定互補，所以不能判定．故選：D．【點睛】本題考查了平行線的判定定理，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·陜西渭南·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，與交于點O，下列條件中①；②；③；④，能判斷的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行進行分析即可．【詳解】∵，∴，故①符合題意；∵，∴，故②不符合題意；∵，，∴，∴，故③符合題意；∵，∴，∴，故④符合題意；綜上：可以判斷的有①③④；故選：C．【點睛】本題考查了平行線的判定，正確掌握平行線的判定方法，找出被截直線是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·廣東東莞·七年級東莞市中堂中學校考期中）如圖，點在的延長線上，下列條件不能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定定理對各選項進行逐一分析即可．【詳解】解：A．根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可判定，故此選項不合題意；B．根據(jù)同位角相等，兩直線平行可判定，故此選項不合題意；C．根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可判定，無法判定，故此選項符合題意；D．根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可判定，故此選項不合題意；故選：C．【點睛】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．9．（2022秋·福建福州·七年級?？计谥校┤鐖D，過直線外一點作已知直線的平行線，其依據(jù)是（

）A．兩直線平行，同位角相等 B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．同位角相等，兩直線平行 D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等【答案】C【分析】根據(jù)三角板在移動過程中，角度不變，故依據(jù)是同位角相等，兩直線平行，即可求解．【詳解】解：如圖，三角板在移動過程中，角度不變，其依據(jù)是同位角相等，兩直線平行．故選：．【點睛】本題主要考查了平行線的判定，熟練掌握同位角相等，兩直線平行是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·廣東東莞·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，下列結(jié)論正確的是（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．A．①② B．②④ C．②③④ D．②【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定定理，即可一一判定．【詳解】解：由，不能判定，故①不符合題意；，，，，故②符合題意；由，，不能判定，故③不符合題意；，，，，故④符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了平行線的判定定理，熟練掌握和運用平行線的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．11．（2022秋·四川雅安·七年級統(tǒng)考期中）如圖所示，下列條件中，能判斷的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線的判定方法逐項判斷即可；【詳解】解：A、由可判定（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；選項正確，符合題意；B、由不能判定；選項錯誤，不符合題意；C、由能判定，不能判定；選項錯誤，不符合題意；D、由能判定，不能判定；選項錯誤，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了平行線的判定；熟練掌握平行線的判定方法和兩個角的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．（2022春·全國·八年級專題練習）如圖，在下列給出的條件中，不能判定的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；逐項判斷即可．【詳解】解：A、因為，所以（同位角相等，兩直線平行），故A選項不符合題意．B、因為，所以（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），故B選項不符合題意．C、因為，所以（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故C選項不符合題意．D、因為，所以（同位角相等，兩直線平行），不能得出，故D選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了平行線的判定，正確識別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵．13．（2022秋·山東濟南·七年級統(tǒng)考期中）如圖，下列能判定的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定依次進行判斷即可得．【詳解】解：A、，不能判定，選項說法錯誤，不符合題意；B、，能判定，選項說法正確，符合題意；C、，不能判定，選項說法錯誤，不符合題意；D、，不能判定，選項說法錯誤，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定．14．（2022春·上海奉賢·八年級校考期中）如圖，下列推論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】利用平行線的判定方法判斷即可得到結(jié)果．【詳解】解：A、，∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），不符合題意；B、，∴（同位角相等，兩直線平行），不符合題意；C、由無法得到，不符合題意；D、，∴（同位角相等，兩直線平行），符合題意．故選：D．【點睛】此題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．15．（2022秋·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，點在的延長線上，下列條件中能判定的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接利用平行線的判定方法分別判斷得出答案．【詳解】解：A、當時，可得：，不合題意；B、當時，可得：，不合題意；C、當時，可得：，不合題意；D、當時，可得：，符合題意．故選：D【點睛】此題主要考查了平行線的判定，正確掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．16．（2022秋·重慶秀山·七年級?？计谀┤鐖D，點E在BC的延長線上，下列條件中能判斷的是（）A．∠l＝∠2 B．∠3＝∠4C．∠ADC＝∠DCE D．∠A+∠ABC＝180°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定定理對四個選項進行逐一分析即可．【詳解】解：A、由∠1＝∠2可以判定，不能判斷，故本選項錯誤；B、由∠3＝∠4可以判定，依據(jù)是“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”，故本選項正確；C、由∠ADC＝∠DCE可以判定，不能判斷，故本選項錯誤；D、由∠A+∠ABC＝180°可以判定，不能判斷，故本選項錯誤；故選：B．【點睛】此題考查的是平行線的判定定理，解答此題的關(guān)鍵是正確區(qū)分兩條直線被第三條直線所截形成的內(nèi)錯角及同旁內(nèi)角．17．（2022·全國·七年級專題練習）如圖，將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：①；②；③如果，則有；④．其中正確的序號是（

）A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④【答案】B【分析】根據(jù)，，即可得；根據(jù)角之間關(guān)系即可得；根據(jù)角之間關(guān)系可得，無法判斷BC與AD平行；由題意得，，得；綜上，即可得．【詳解】解：∵，，∴，故①正確；∵故②正確；∵，∴，，∴BC與AD不平行，故③錯誤；∵，即，又∵，∴,故④正確；綜上，①②④正確，故選：B．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，余角和同角的余角，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識點并認真計算．18．（2022秋·北京·七年級校考期中）數(shù)學課上，同學提出如下問題：如何證明“兩直線平行，同位角相等”？老師說這個證明可以用反證法完成，思路及過程如下：如圖1，我們想要證明“如果直線，被直線所截，，那么”小貼士反證法不是直接從命題的已知得出結(jié)論，而是假設(shè)命題的結(jié)論不成立，由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立．在某些情形下，反證法是很有效的證明方法。如圖2，假設(shè)，過點作直線，使，依據(jù)基本事實（1）___________，可得．這樣過點就有兩條直線，都平行于直線，這與基本事實（2）___________矛盾說明的假設(shè)是不對的，于是有．【答案】

同位角相等，兩直線平行

過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行【分析】根據(jù)平行線的判定定理和平行公理解答即可．【詳解】解：假設(shè)，過點作直線，使，依據(jù)基本事實同位角相等，兩直線平行，可得．這樣過點就有兩條直線，都平行于直線，這與基本事實過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行矛盾，說明的假設(shè)是不對的，于是有．故答案為：同位角相等，兩直線平行；過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行【點睛】本題考查的是反證法，熟記平行線的判定定理和平行公理是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋·廣東肇慶·七年級?？计谥校┤鐖D，已知，，求證．【答案】見解析【分析】根據(jù)對頂角相等及，推出，即可得到，再根據(jù)平行于同一直線的兩直線平行得到結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴，∴，∵，∴．【點睛】此題考查了平行線的判定定理：同位角相等兩直線平行，以及平行線的推論：平行于同一直線的兩直線平行，熟記定理是解題的關(guān)鍵．20．（2022春·八年級課時練習）已知：如圖，于點C，于點D，．求證：．【答案】見詳解【分析】根據(jù)垂直的定義得到，等量代換可得，再根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了平行線的判定，余角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．21．（2022·全國·七年級專題練習）如圖，直線、交于點O，，分別平分和，已知，且．(1)求的度數(shù)；(2)試說明的理由．【答案】(1)的度數(shù)為(2)見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義推出，再根據(jù)對頂角性質(zhì)求解即可；（2）結(jié)合等量代換得出，根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”即可得解．【詳解】（1）解：∵，分別平分和，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，余角的性質(zhì)，熟記平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點4：與平行線有關(guān)的作圖問題典例：（2022秋·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線CD與直線AB相交與點O，直線外有一點P．(1)過點P畫，交AB于點M，過點P畫，垂足為N；(2)若、求∠COM的度數(shù)．【答案】(1)詳見解析(2)135°【分析】（1）直接畫平行線和垂線即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得同旁內(nèi)角互補，由已知可得結(jié)論．（1）解：如圖，（2）解：∵PMCD，∴∠PMO+∠COM=180°，∵∠PMO：∠COM=1：3，∴∠COM+∠COM=180°，∴∠COM=135°．方法或規(guī)律點撥本題考查了基本作圖以及平行線的性質(zhì)，培養(yǎng)了學生過直線外一點作已知直線的平行線和垂線的畫圖能力．鞏固練習1．（2020春·吉林長春·七年級?？计谀┰谌鐖D所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格中縱向和橫向線段的交點叫做格點在格點上．按下述要求畫圖：(1)畫射線AC；(2)過點B畫AC的平行線BD，點D在格點上；(3)在射線AC上取一點E，畫線段BE，使其長度表示點B到AC的距離．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【解答】解：（1）如圖，射線AC即為所求；（2）如圖，直線BD即為所求；（3）如圖，線段BE即為所求．2．（2022·全國·七年級專題練習）如圖，己知點P、Q分別在的邊上，按下列要求畫圖：(1)畫射線；(2)過點P畫垂直于射線的線段，垂足為點C；(3)過點Q畫直線平行于射線．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】根據(jù)題意過用直尺作圖，分別P畫垂直于射線OB的射線PC，垂足為點C；過點Q畫直線平行于射線．【詳解】（1）如圖，射線PQ為所求；（2）如圖，線段PC為所求；（3）如圖，直線QM為所求【點睛】此題主要考查了基本作圖，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·北京·七年級校考期中）畫圖并解答：如圖，是內(nèi)一點．按要求完成下列問題：(1)過作的垂線，垂足為點；(2)過點作的平行線，交于點：再過作的垂線段，垂足為點；(3)判斷與的位置關(guān)系是：______．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)垂直【分析】（1）根據(jù)垂線的定義作出圖形即可；（2）根據(jù)平行線的定義作出圖形即可；（3）根據(jù)垂線段的定義畫出圖形即可．（1）解：如圖，直線即為所求；（2）如圖，直線，線段即為所求；（3），，，故答案為：垂直．【點睛】本題考查作圖復雜作圖，垂線，平行線等知識，解題的關(guān)鍵是掌握垂線，平行線的定義．4．（2022春·江蘇揚州·七年級期末）如圖，方格紙中有一條直線AB和一格點P．(1)過點P畫直線PM∥AB；(2)在直線AB上找一點N，使得PN最?。敬鸢浮?1)作圖見解析(2)作圖見解析【分析】（1）由平行線性質(zhì)，用直尺與三角板畫平行線（2）由基本事實：直線外一點到直線的距離垂線段最短，作于點N（1）圖中的PM即為所求（2）圖中交AB于點N，此時PN最小【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及垂線段最短的基本事實，掌握性質(zhì)與基本事實是解題關(guān)鍵．5．（2022秋·福建龍巖·七年級校考階段練習）按以下各步畫圖（不寫畫法）(1)畫出一個角∠MON，且使∠MON=150°；(2)在角∠MON內(nèi)任取一點P，過點P作,交射線OM于點A；(3)過點A作垂線AB，使AB⊥ON,垂足為點B；(4)畫射線PO(或反向延長射線PO)交垂線AB于點C【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)見詳解(4)見詳解【分析】（1）作等邊三角形OJK，延長JO到M，作∠JOK的角平分線ON，∠NOM即為所求；（2）根據(jù)平行線的定義畫出圖形即可；（3）根據(jù)垂線的定義畫出圖形即可；（4）根據(jù)射線的定義以及題目要求畫出圖形即可．（1）如圖，∠MON即為所求；（2）如圖，直線AP即為所求；（3）如圖，垂線AB即為所求；（4）如圖，射線PO，點C即為所求．【點睛】本題考查作圖﹣復雜作圖，垂線，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握直線，射線，垂線，平行線的定義，屬于中考?？碱}型．6．（2022秋·江西吉安·七年級統(tǒng)考期末）作圖題：在如圖所示的方格紙中不用量角器與三角尺，僅用直尺．(1)經(jīng)過點，畫線段平行于所在直線．(2)過點，畫線段垂直于所在直線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】(1)根據(jù)平行線的定義，畫出圖形即可；(2)根據(jù)垂線的定義，畫出圖形即可．（1）解：如圖，線段即為所求（答案不唯一）；（2）如圖，線段即為所求．【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，平行線，垂線等知識，解題關(guān)鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．7．（2022秋·海南省直轄縣級單位·七年級統(tǒng)考期中）如圖，請使用三角板與直尺畫圖：(1)過點Р作直線，交ON于點A；(2)過點Р向OM作垂線，垂足為點C，交ON于點D；【答案】(1)作圖見詳解；(2)作圖將詳解；【分析】（1）先將三角尺的一直角邊緊靠直線OM，邊緣與OM重合，再將三角尺的另一條直角邊緊貼直尺的一邊，最后向上移動三角尺，畫一條平行線．（2）先將直尺與OM重合，再反向延長OM，再將三角板一直角邊與直尺重合，再移動三角板使另一直角邊過點P，最后過三角板的直角邊畫CM的垂線．（1）解：如圖所示：步驟：（1）將三角尺的一直角邊緊靠直線OM，邊緣與OM重合，（2）將三角尺的另一條直角邊緊貼直尺的一邊，（3）向下移動三角尺，再次畫下一條平行線．（2）解：如圖所示：步驟：（1）將直尺與OM重合，（2）反向延長OM，（3）將三角板一直角邊與直尺重合，（4）移動三角板使另一直角邊過點P，（5）過三角板的直角邊畫CM的垂線．【點睛】本題考查利用直角和三角板畫平行線，和垂線，能夠掌握畫圖原理是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·河南許昌·七年級統(tǒng)考期中）如圖，點P為內(nèi)一點，按要求完成下列問題：(1)過點P作射線BC的垂線，垂足為點D；(2)過點P作射線BA的平行線，交射線BC于點E；(3)比較線段PD和PE的大小，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，理由：垂線段最短【分析】（1）根據(jù)垂線的作法作出相應(yīng)線段即可；（2）根據(jù)平行線的作法作出平行線即可；（3）根據(jù)直線外一點到該直線的所有線段中，垂線段最短即可得出結(jié)論．（1）解：如圖所示，線段PD即為所求；（2）如圖所示，直線PE即為所求；（3），理由：直線外一點到該直線的所有線段中，垂線段最短．【點睛】題目主要考查垂線、平行線的基本作法及垂線段最短的性質(zhì)，理解垂線及平行線的作法是解題關(guān)鍵．9．（2022秋·北京·七年級北京市第五中學分校?？计谀┤鐖D，按要求畫圖并填空：(1)過點A作直線AB⊥OA，與∠O的另一邊相交于點B；(2)畫出點A到OB的垂線段，垂足為點C；(3)過點C作射線CDOA，交直線AB于點D；(4)圖中與∠O相等的角有個．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)2【分析】（1）（2）（3）根據(jù)垂線，垂線段，平行線的定義畫出圖形即可；（4）利用平行線的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)即可解決問題．（1）解：如圖所示，直線AB為所求；（2）如圖所示，垂線段AC為所求；（3）如圖所示，直線CD為所求；（4）∵AB⊥OA，∴∠OAB＝90°，∵CD∥OA，∴∠CDB＝∠OAB＝90°∵CD∥OA，∴∠DCB＝∠O，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠CAD＝∠DCB＝∠O，∴圖中與∠O相等的角有∠CAD，∠DCB．共2個．故答案為：2．【點睛】本題考查作圖﹣復雜作圖，垂線，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．10．（2022春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）已知平面上有A、C、D三點，如圖，請按要求完成下列問題．(1)畫射線AD，線段AC；(2)利用圓規(guī)在射線AD上截取DB，使（保留作圖痕跡），連接BC；(3)過點D畫出AC的平行線DF，交BC于E；(4)通過測量猜測線段DE與AC之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)【分析】（1）根據(jù)射線，線段的定義畫出圖形即可；（2）以D為圓心在射線AD上截取DB=AD，連接BC即可；（3）根據(jù)要求畫出圖形即可；（4）利用測量法解決問題即可．（1）解：如圖，射線AD，線段AC即為所求；（2）如圖，線段DB即為所求；（3）如圖，直線DE即為所求；（4）經(jīng)測量可得：【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，平行線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解直線，射線，線段的定義，屬于中考?？碱}型．11．（2022秋·河南鄭州·七年級鄭州外國語中學?？计谥校┤鐖D所示的正方形網(wǎng)格，點、、都在格點上．(1)利用網(wǎng)格作圖：①過點畫直線的平行線，并標出平行線所經(jīng)過的格點；②過點畫直線的垂線，并標出垂線所經(jīng)過的格點，垂足為點；(2)線段_________的長度是點到直線的距離；(3)比較大小：（填＞、＜或＝），理由是：__________________．【答案】(1)詳見解析(2)(3)，垂線段最短【分析】（1）根據(jù)平行線的定義及垂線定義，按要求作圖即可．（2）根據(jù)點到直線的距離的定義可得線段的長度是點到直線的距離．（3）根據(jù)垂線段最短可以作出判斷．(1)解：①的平行線如圖所示；②的垂線如圖所示；(2)解：線段的長度是點到直線的距離，故答案是：CF；(3)解：．理由是：垂線段最短．故答案是：＜，垂線段最短．【點睛】本題考查了平行線的定義，垂線定義及垂線段的定義與性質(zhì)，充分理解以上概念是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·北京·七年級北京市第十三中學分校?？计谥校┤鐖D，平面內(nèi)有兩條直線，點A在直線上，按要求畫圖并填空：(1)過點A畫直線的垂線，垂足為點B，點A到直線距離為線段______的長度；(2)過點A畫直線交直線于點于點C；(3)過點A畫直線；【答案】(1)見解析，AB(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)垂線的定義畫出圖形即可；（2）根據(jù)垂線的定義畫出圖形；（3）根據(jù)平行線的定義畫出圖形即可．（1）解：如圖，直線AB即為所求，線段AB的長是點A到直線的距離．故答案為：AB（2）如圖，直線AC即為所求（3）如圖，直線AD即為所求【點睛】本題考查作圖?復雜作圖，點到直線的距離，平行線的性質(zhì)等知識，理解題意，靈活運用所學知識是解本題的關(guān)鍵．13．（2022秋·河北承德·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與直線交于點，點為直線、外一點，根據(jù)下列語句畫圖，并作答：(1)過點畫交于點；(2)過點畫，垂足為；(3)點為直線上一點，連接，連接.【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)平行線的定義作圖即可；（2）根據(jù)垂線段的定義作圖即可；（3）連接、即可．（1）解：如圖所示，如圖所示，直線即為所求；（2）如圖所示，垂線段即為所求；（3）如圖所示，線段、即為所求．【點睛】本題主要考查作圖一復雜作圖．解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的定義、垂線段的定義．14．（2022春·七年級課時練習）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長是1，點M、N、P、Q均為格點（格點是指每個小正方形的頂點），線段MN經(jīng)過點P．(1)過點P畫MN的垂線；(2)過點Q畫MN的平行線；(3)若格點F使△PFM的面積等于4，則這樣的點F共有______個．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)6【分析】（1)利用數(shù)形結(jié)合的思想畫出圖形即可；（2)利用平行線的判定，畫出圖形即可；（3)利用等高模型，畫出符合題目的點F即可．【詳解】（1）解：如圖（2）如圖（3）滿足條件的點F有6個．【點睛】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖，平行線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．15．（2022春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知∠AOB＝30°，完成下列問題：(1)在射線OB上取一點C，使OC＝2cm；(2)過點C畫直線m，使m//OA；(3)過點O畫直線l，使l⊥OA；(4)設(shè)直線m與直線l交于點D，度量線段OD＝cm，∠OCD＝度．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析；(4)1；30【分析】（1）（2）（3）根據(jù)要求作出圖形即可；（4）直接利用測量法解決問題即可．(1)如下圖，線段OC即為所求：(2)如上圖，直線m即為所求；(3)如上圖，直線l，點D即為所求；(4)通過測量可知，OD＝1cm，∠OCD＝30°，故答案為：1，30．【點睛】本題考查作圖﹣復雜作圖，平行線的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．16．（2022秋·上海靜安·七年級統(tǒng)考期中）按下列要求畫圖并填空

已知直線AB、CD相交于點O，點P為這兩條直線外一點

(1)過點P畫直線PE⊥AB，垂足為E(2)過點P畫直線PF⊥CD，垂足為F(3)過點P畫直線PM∥AB，交CD于點M(4)點P到直線CD的距離是線段的長(5)直線PM與AB間的距離是線段的長【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)PF(5)PE【分析】（1）根據(jù)垂線的定義作圖即可；（2）根據(jù)垂線的定義作圖即可；（3）根據(jù)平行線的定義作圖即可；（4）點P到直線CD距離是線段PF的長；（5）點PM與AB的距離是線段PE的長．（1）解：如圖所示PE即為所求；（2）解：如圖所示PF即為所求（3）解：如圖所示PM即為所求（4）解：由題意可知點P到直線CD距離是線段PF的長．（5）解：由題意可知點PM與AB的距離是線段PE的長．【點睛】本題主要考查了復雜-作圖，點到直線的距離以及平行線間的距離，掌握垂線和平行線的定義以及畫法是解題的關(guān)鍵．能力提升能力提升一、單選題（每題3分）1．（2022秋·浙江臺州·七年級校聯(lián)考階段練習）在同一個平面內(nèi)的直線a，b，c，若，，則b與c的關(guān)系是（）A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能確定【答案】A【分析】根據(jù)“同一個平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線平行”分析判斷即可．【詳解】解：根據(jù)“同一個平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線平行”可知，在同一個平面內(nèi)的直線a，b，c，若，，則．故選：A．【點睛】本題主要考查了平行公理推論，熟練掌握平行公理及其推論是解題關(guān)鍵．2．（2022春·全國·七年級專題練習）如圖，已知A、B、C三點，過點A可畫直線BC的平行線的條數(shù)是（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條【答案】B【分析】先過B，C兩點畫直線BC，再根據(jù)過直線外一點有且只有1條直線與已知直線平行可求解．【詳解】解：如圖，根據(jù)過直線外一點有且只有1條直線與已知直線平行，故選：B．【點睛】本題主要考查直線，射線，線段，平行線，掌握過直線外一點有且只有1條直線與已知直線平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021春·七年級課時練習）下列說法中，錯誤的有（

）．①若與相交，與相交，則與相交；②若，那么；③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；④在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交、垂直三種．A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】A【分析】依次判斷所給內(nèi)容的正誤，即可得．【詳解】解：①若a與c相交，b與c相交，則a與b相交；錯誤，符合題意，a與b還有可能平行，如圖所示：②若a//b，b//c那么a//c；正確，不符合題意；③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；錯誤，符合題意；應(yīng)為“經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，”④在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交、垂直三種；錯誤，符合題意，因為垂直是相交的特殊情況，綜上，①③④錯誤，故選A．【點睛】本題考查了平行線，解題的關(guān)鍵是熟記平行公理及其推論和平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系．4．（2021春·北京東城·八年級校考期末）如圖，在下列條件中，能夠證明的條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A．，內(nèi)錯角相等兩直線平行，能判定；故A不符合題意；B．，同位角相等兩直線平行，能判定；故B不符合題意；C．，同旁內(nèi)角互補兩直線平行，能判定；故C不符合題意；D．，內(nèi)錯角相等兩直線平行，能判定，故D符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了平行線的判定方法，掌握平行線的判定方法“同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·全國·八年級專題練習）如圖，下列結(jié)論不成立的是（

）A．如果∠1＝∠3，那么B．如果∠2＝∠4，那么C．如果∠1+∠2+∠C＝180°，那么D．如果∠4＝∠5，那么【答案】D【分析】根據(jù)平行線的判定定理判斷求解即可．【詳解】A．如果∠1＝∠3，那么能得到，故本選項結(jié)論成立，不符合題意．B．如果∠2＝∠4，那么能得到，故本選項結(jié)論成立，不符合題意．C．如果∠1+∠2+∠C＝180°，能得到，故本選項結(jié)論成立，不符合題意．D．如果∠4＝∠5，那么不能得到，故本選項結(jié)論不成立，符合題意．故選：D．【點睛】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·湖北襄陽·七年級?？茧A段練習）如圖直線，與直線相交，給出下列條件：①；②；③；④，其中能判斷的有幾個（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】直接利用平行線的判定方法分別分析得出答案．【詳解】解：①∵∠1=∠2，∴a∥b．理由是同位角相等，兩直線平行．故此選項正確；②∠3=∠6無法得出a∥b，故此選項錯誤；③∵∠4+∠7=180°，∴a∥b．理由是同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．故此選項正確；④∵，，∴∠2+∠5=180°，∴a∥b．理由是同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．故此選項正確；綜上所述：正確的有①③④．共3個．故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線的判定，正確把握平行線的幾種判定方法是解題關(guān)鍵．二、填空題（每題3分）7．（2021秋·全國·七年級專題練習）直線a∥b，b∥c，則直線a與c的位置關(guān)系是________．【答案】平行【分析】根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線互相平行，可得答案．【詳解】解：∵直線a∥b，b∥c，∴a∥c，則直線a與c的位置關(guān)系是平行，故答案為：平行．【點睛】此題考查平行公理及推論，解題關(guān)鍵在于掌握：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．8．（2021秋·內(nèi)蒙古通遼·七年級統(tǒng)考期末）現(xiàn)有下列說法：①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③若，，則；④若，的兩邊與的兩邊分別平行，則或；⑤若，，則．其中正確的是_______（填寫序號）．【答案】③④【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，平行公理及推論進行逐一判斷即可．【詳解】在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故①錯誤；過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故②錯誤；若b∥c，a∥c，則b∥a，故③正確；若∠1=40°，∠2的兩邊與∠1的兩邊分別平行，則∠2=40°或140°，故④正確；若在同一平面內(nèi)，b⊥c，a⊥c，則b∥a，故⑤錯誤．所以其中正確的是③④．故答案為：③④．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行公理及