高考試題數(shù)學(xué)理(天津卷)(解析版)(二)

2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(天津卷)

數(shù)學(xué)(理工類(lèi))

本試卷分為第I卷(選擇題)和第H卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘,

第I卷1至3頁(yè)，第n卷4至11頁(yè)?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

祝各位考生考試順利!

第I卷

注意事項(xiàng):

1.答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考

試用條形碼。

2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，答在試卷上的無(wú)效。

3.本卷共10小題，每小題5分，共50分。

參考公式:

?如果事件A、B互斥，那么?如果事件A、B相互獨(dú)立，那么

P(AUB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B)

棱錐的體積公式V=1M,

?棱柱的體積公式V=Sh,

3

其中S標(biāo)示棱柱的底面積。其中S標(biāo)示棱錐的底面積。

h表示棱柱的高。h示棱錐的高。

選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

(1)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)-1上+」3/=

1+2;

(A)l+i(B)5+5i(0-5-5i(D)-l-i

【答案】A

【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的基本運(yùn)算，屬于容易題。

進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算需要份子、分母同時(shí)乘以分母的共葩復(fù)數(shù)，同時(shí)將「改為T(mén).

-l+3i_(-l+3i)(l-2i)_5+5i_]?上

l+2z-(l+2z)(l-2i)-5-+Z

【溫馨提示】近幾年天津卷每年都有一道關(guān)于復(fù)數(shù)基本運(yùn)算的小題，運(yùn)算時(shí)要細(xì)心,

不要失分哦。

(2)函數(shù)f(x)=2*+3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是

(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)

【答案】B

【解析】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的概念與零點(diǎn)定理的應(yīng)用，屬于容易題。

由/(—1)=；-3<0"(0)=1>0及零點(diǎn)定理知f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(-1,0)上。

【溫馨提示】函數(shù)零點(diǎn)附近函數(shù)值的符號(hào)相反，這類(lèi)選擇題通常采用代入排除的方法求解。

(3)命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(-x)是奇函數(shù)”的否命題是

(A)若f(x)是偶函數(shù)，則f(-x)是偶函數(shù)

(B)若f(x)不是奇函數(shù)，則f(-x)不是奇函數(shù)

(C)若f(-x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)

(D)若f(-x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)

【答案】B

【解析】本題主要考查否命題的概念，屬于容易題.

否命題是同時(shí)否定命題的條件結(jié)論，故否命題的定義可知B項(xiàng)是正確的。

【溫馨提示】解題時(shí)要注意否命題與命題否定的區(qū)別。

(4)閱讀右邊的程序框圖，若輸出s的值為-7,則判斷框內(nèi)可填寫(xiě)

(A)i<3?(B)i<4?

(C)i<5?(D)i<6?

【答案】D

【解析】本題主要考查條件語(yǔ)句與循環(huán)語(yǔ)句的基本應(yīng)用，屬于容易題。

第一次執(zhí)行循環(huán)體時(shí)$=1,i=3;第二次執(zhí)行循環(huán)時(shí)s=-2,i=5；第三次執(zhí)行循環(huán)體時(shí)

s=-7.i=7,所以判斷框內(nèi)可填寫(xiě)，選D.

【溫馨提示】設(shè)計(jì)循環(huán)語(yǔ)句的問(wèn)題通?？梢圆捎靡淮螆?zhí)行循環(huán)體的方式解決。

(5)已知雙曲線［-馬=13>0)>0)的一條漸近線方程是y=6x,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋

ab~

物線y2=24x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為

【答案】B

【解析】本題主要考查雙曲線與拋物線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于容易題。

〃22

依題意知<c=6=>。2=9/=27,所以雙曲線的方程為-一二=1

,…927

c-=a-+b-

【溫馨提示】選擇、填空中的圓錐曲線問(wèn)題通?？疾閳A錐曲線的定義與基本性質(zhì)，這部

分內(nèi)容也是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，在每年的天津卷中三種軟件曲線都會(huì)在題目中出現(xiàn)。

(6)已知｛%｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是｛4｝的前n項(xiàng)和，且953=，則數(shù)列-

的前5項(xiàng)和為

(A)一或5(B)一或5(C)—<D)—

816168

【答案】C

【解析】本題主要考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中等題。

顯然qwl,所以如二9_2=上仁nl+/nq=2,所以｛」-｝是首項(xiàng)為1,公比為L(zhǎng)的

1-q\-qan2

1-(331

等比數(shù)列，前5項(xiàng)和［=—a噎.

1--

2

【溫馨提示】在進(jìn)行等比數(shù)列運(yùn)算時(shí)要注意約分，降低累的次數(shù)，同時(shí)也要注意基本量

法的應(yīng)用。

(7)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若/_從=下1bc,

sinC=2^/3sinB,則A=

(A)30°(B)60°(C)120°(D)150°

【答案】A

【解析】本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應(yīng)用，屬于中等題。

由由正弦定理得上=漢電nc=2折,所以

2R2R

Z?2+c2-a2-拒bc+c1_-\/3bc^2\/3bc

cosA=--------所以A=30°

2bc2bc2bc

【溫馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理將邊化為角運(yùn)算或?qū)⒔腔癁檫?/p>

運(yùn)算。

log2x,x>0,

(8)若函數(shù)f(x)=Jbg；(_幻,x<0,若f(a)>f(-a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.2

(A)(-1,0)U(0,1)(B)S,-1)u(l,+8)

(C)(-1,0)U(l,+oo)(D)(-8,-1)u(0,1)

【答案】C

【解析】本題主要考查函數(shù)的對(duì)數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算及分類(lèi)討論思想，屬于中等題。

由分段函數(shù)的表達(dá)式知，需要對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行分類(lèi)討論。

tz>0fa<0

<

/(")>/(-')=>iog2a>log】q或<log](-。)>log2(-?)

、22

a>0\a<Q

=><i或<i=>〃>1或-1<“<0

。>——<a

.2la

【溫馨提示】分類(lèi)函數(shù)不等式一般通過(guò)分類(lèi)討論的方式求解，解對(duì)數(shù)不等式既要注意真數(shù)大

于0,同事要注意底數(shù)在(0,1)上時(shí)，不等號(hào)的方向不要寫(xiě)錯(cuò)。

(9)設(shè)集合A={x||x-a|<l,xwR},6={x||x-Z?|>2,xeR}.若AqB,則實(shí)數(shù)a,b必滿足

(A)\a+b\<3(B)\a+b\>3

(C)\a-b\<3(D)\a-b\>3

【答案】D

【解析】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法與幾何與結(jié)合之間的關(guān)系，屬于中等題。

A={x|a-kx〈a+l},B={x|x〈b-2或x>b+2}

因?yàn)锳qB,所以a+lWb-2或a-l^b+2,即a-bW-3或a-bz3,EP|a-b|>3

【溫馨提示】處理幾何之間的子集、交、并運(yùn)算時(shí)一般利用數(shù)軸求解。

(10)如圖，用四種不同顏色給圖中的人,8工刀不乃六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色,

且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法用

(A)288種(B)264種(0240種(D)168種

【答案】D

【解析】本題主要考查排列組合的基礎(chǔ)知識(shí)與分類(lèi)討論思想，屬于難題。

(1)B,D,E,F用四種顏色，則有用x1x1=24種涂色方法；

(2)B,D,E,F用三種顏色，則有/x2x2+閥x2xlx2=192種涂色方法;

(3)B,D,E,F用兩種顏色，則有2x2=48種涂色方法；

所以共有24+192+48=264種不同的涂色方法。

【溫馨提示】近兩年天津卷中的排列、組合問(wèn)題均處理壓軸題的位置，且均考查了分類(lèi)討論

思想及排列、組合的基本方法，要加強(qiáng)分類(lèi)討論思想的訓(xùn)練。

2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(天津卷)

數(shù)學(xué)(理工類(lèi))

第II卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚。

2.用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上。

3.本卷共12小題，共100分。

二.填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分，把答案天災(zāi)題中橫線上。

(11)甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個(gè)數(shù)用莖葉圖表示如下圖，中間一列的數(shù)

字表示零件個(gè)數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)，則這10天甲、乙兩人

日加工零件的平均數(shù)分別為和______「

甲||乙

98rr97?

0132021424

I153020

【答案】24,23

【解析】本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用，屬于容易題。

,十小小人雄心p3共u19+18+20x2+21+22+23+31x2+35_.

甲m加工零件個(gè)數(shù)的平均數(shù)為---------------------------------------二24

10

19+17+11+21+22+24x2+30x2+32

乙加工零件個(gè)數(shù)的平均數(shù)為=23

10

【溫馨提示】莖葉圖中共同的數(shù)字是數(shù)字的十位，這事解決本題的突破口。

(12)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為

【答案】—

3

【解析】本題主要考查三視圖的概念與柱體、椎體體積的計(jì)算，屬于容易題。

由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)底面邊長(zhǎng)為1,高為2的正四棱柱與一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高

14

為1的正四棱錐組成的組合體，因?yàn)檎褥`珠的體積為2,正四棱錐的體積為-x4xl=-,

33

410

所以該幾何體的體積V=2+—=—

33

【溫馨提示】利用俯視圖可以看出幾何體底面的形狀，結(jié)合正視圖與側(cè)視圖便可得到幾何體

的形狀，求錐體體枳時(shí)不要丟掉!哦.

3

（13）已知圓C的圓心是直線1x=l'。為參數(shù)）與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x+y+3=0

y=l+r

相切，則圓c的方程為

【答案】（x+l）2+V=2

本題主要考查直線的參數(shù)方程，圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于容易題。

令y=0得t=-l,所以直線4與x軸的交點(diǎn)為（-1.0）

y=l+f

因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，=友,所以圓C

V2

的方程為。+1）2+9=2

【溫馨提示】直線與圓的位置關(guān)系通常利用圓心到直線的距離或數(shù)形結(jié)合的方法求解。

陰[p]

(14)如圖，四邊形ABCD是圓0的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P,若一==一

A2的3

則」的值為。

AD

【答案】—

6

【解析】本題主要考查四點(diǎn)共圓的性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)，屬于中等題。

因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)共圓，所以ND48=NPC8,NCD4=NP8C,因?yàn)镹P為公共角，所以

/PBCs』PAB,所以=?.設(shè)OB=x,PC=y,則有二=-^-=>x=,所以

PDPAAD3y2x2

BC_xV6

【溫馨提示】四點(diǎn)共圓時(shí)四邊形對(duì)角互補(bǔ)，圓與三角形綜合問(wèn)題是高考中平面幾何選講的重

要內(nèi)容，也是考查的熱點(diǎn)。

(15)如圖，在ABC中，AD±AB,BC=y/3BD,\

,4=1,則4。49=.八："

【答案】D

【解析】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算與解三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于難題。

AC?AD=\AC\?\AD\cosADAC=|AC|?cosZDAC=\AC\sinABAC

=BCsinB=V3

【解析】近幾年天津卷中總可以看到平面向量的身影，且均屬于中等題或難題，應(yīng)加強(qiáng)平面

向量的基本運(yùn)算的訓(xùn)練，尤其是與三角形綜合的問(wèn)題。

(16)設(shè)函數(shù)/(幻=》2-1,對(duì)任意xe2,+OQ],f—|-4m2/(x)<f(x-1)+4f(m)

恒成立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是

【答案】D

【解析】本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題的基本解法，屬于難題。

依據(jù)題意得r—l一4根2(/一1)?(工一1)2-1+4(/-1)在工￡[—,+00)上恒定成立，即

加22

1323

---4m2<——---1~1在工￡[—,+€0)上恒成立。

m-xx2

332515

當(dāng)x=一時(shí)函數(shù)y=—z----F1取得最小值—，所以一z—4m~<—,即

2x2x3m23

(3m2+1)(4m2-3)20,解得〃24-逅或“2?也

22

【溫馨提示】本題是較為典型的恒成立問(wèn)題，解決恒成立問(wèn)題通?？梢岳梅蛛x變量轉(zhuǎn)化為

最值的方法求解

三、解答題：本大題共6小題，共76分。解答題寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

(17)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(%)=2^3sinxcosx+2cos2x-l(xeR)

jr

(I)求函數(shù)/(x)的最小正周期及在區(qū)間0,y上的最大值和最小值;

67171

(II)若/(%)=《,與￡,求COS2%的值。

【解析】本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數(shù)y=Asin(5+°)的

性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力，滿分12

分。

(1)解：由/(x)=2Gsinxcosx+2cos2工一1,得

/(x)=V3(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+—)

6

所以函數(shù)/(x)的最小正周期為4

因?yàn)?(幻=25叩"?卜區(qū)間0年上為增函數(shù)，在7TTT

C間一,一上為減函數(shù)，又

_62_

/(0)=l"[?]=2,/[m)=T，所以函數(shù)/(處在區(qū)間n

0,-上的最大值為2,最小值

2

為T(mén)

(II)解：由(1)可知f(x0)

所以

cos2x0=cos

(18).(本小題滿分12分)

某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是三2，且各次射擊的結(jié)果互不影響。

3

(I)假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率

(H)假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)。另外2次未擊中目標(biāo)的概率；

(III)假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，在3次射

擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3

分，記J為射手射擊3次后的總的分?jǐn)?shù)，求J的分布列。

【解析】本小題主要考查二項(xiàng)分布及其概率計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、互斥事件

和相互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，滿分12分。

（1）解：設(shè)X為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則乂~3（5,|

.在5次射擊中，恰

有2次擊中目標(biāo)的概率

22

2

P(X=2)=C5X

（II）解：設(shè)“第，次射擊擊中目標(biāo)”為事件4（，=1,2,3,4,5）；“射手在5次射擊中,

有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”為事件A,則

p(A)=p(AA2AAA)+P(A&AAA)+P(AA24A4A)

3233

1I卜捫XI"+&I)

8

81

（III）解：由題意可知，4的所有可能取值為0,1,2,3,6

---------(1、31

PU=O)=P(A&A)=K

I。727

尸（？=1）=尸（4&4）+尸（4&43）+尸（444）

2\2

21I121]_22

=-X+—X—X—+X-=—

31313333J39

—2124

P(^2)=P(A^)=r-xr-

8

p?=3)=p(A4否+P(泵A)=(|)x1+lx

3727

2

27=6)=2444)=

所以J的分布列是

0I6

3J

Q亍777

(19)(本小題滿分12分)

如圖，在長(zhǎng)方體中，E、E分別是棱BCCG刀n

?|

上的點(diǎn)，b=AB=2C￡,AB:AO:A4,=1:2:4

(1)求異面直線EF與4。所成角的余弦值；

(2)證明平面AXED

BC

(3)求二面角4-ED-尸的正弦值。

【解析】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用

空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，滿分

12分。

方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)A3=1,依題意得。(0,2,0),

F(l,2,l),49,0,4),

(1)解：易得Eb=(0,；,l14O=(0,2,T)

十日/.八\EFA.D3

于是cos(EF，AD)=|---rp1—f=

\/閘445

所以異面直線所與A。所成角的余弦值為3

15

(2)證明：已知Af=(l,2,l),E4,=(一1，一|，4),EO=(—L；,0

于是Af?%=0,因此，ARJ.E4,,AF又EAcED=E

所以AF_L平面AEO

1八

—y+z=0

uEF=02

(3)解：設(shè)平面ER9的法向量“=(x,y,z),貝卜，叫

1c

uED=0-x+—y=0

2

不妨令X=l,可得M=(1,2—1)。由(2)可知，AF為平面AFD的一個(gè)法向量。

與紳=*從而sin_V5

一3

IwllAFI

所以二面角A1-ED-F的正弦值為更

3

方法二：（1）解：設(shè)AB=1,可得AD=2,AAI=4,CF=1.CE=L

2

CECF1

鏈接BCBG,設(shè)B,C與BG交于點(diǎn)M,易知AJ)〃B￡,由一=——=一，可知EF〃BG.故

CBCC,4

/BMC是異面直線EF與A山所成的角，易知

BM=CM=—B,C=V5,所以

2

._BM-+CM—BC~3.a-J-.,

cZBM6=------s-----------------=-,所c以異面直線uFE

2BMCM5

3

與A山所成角的余弦值為二

5

(2)證明：連接AC,設(shè)AC與DE交點(diǎn)N因?yàn)樯?生=,，

BCAB2

所以RtADCERtACBA,從而NCDE=NBCA,又由于NCDE+NCED=90°,所以

ZBCA+ZCED=90。，故AC_LDE,又因?yàn)镃C」DE且CGcAC=C，所以DEL平面ACF,

從而AF1DE.

連接BF,同理可證平面ABF,從而AFiBiC,所以AF±AtD因?yàn)镈Er>\D=D,

所以AF_L平面AiED

(3)解：連接AN.FN,由(2)可知DE_L平面ACF,又NFu平面ACF,ANu平面ACF,所以DE

INF,DE1A.N,故N%NF為二面角A-ED-F的平面角

易知/?△CNE^Rt，所以—又AC=45所以CN=皂,在

BCA<5

RtANCF中,NF=\ICF2+CN2=y在及AAN中N4=^A^+AN2=

連接AC,AF在川恒C尸中，4尸=JaCj+g尸2=足

在MAAN尸中,cosZANF==2。所以sin/人Nb=@

2%N-FN33

所以二面角A1-DE-F正弦值為更

(20)(本小題滿分12分)

已知橢圓三+￥=13〉。＞0)的離心率e=E，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積

a2h22

為4。

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)直線/與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,8,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-凡0),點(diǎn)

Q(0,%)在線段A3的垂直平分線上，且QAQB=4,求％的值

【解析】本小題主要考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，

考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算和推理能力，滿分12分

(1)解：由e=￡=無(wú)，得3a2=4C?,再由。2="—從，得

a2

由題意可知，-x2ax2b=4^\iah=2

2

、a=2h

解方程組《得za=2,b=l

ab=2

2,

所以橢圓的方程為一x+y2=1

4

(2)解：由(1)可知A(-2,0)。設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(xi.,y。，直線1的斜率為k,則直線1

的方程為y=k(x+2),

y=k(x+2)

于是A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組,f

由方程組消去Y并整理，得(1+)f+16攵2%+(16公-4)=0

16公-4

由-2x，得

tl+4k2

2-8k24k

%=，從而X=

l+4k21+4/

8&22k

設(shè)線段AB是中點(diǎn)為M,則M的坐標(biāo)為(------,-------)

1+4女721+4A:2

以下分兩種情況：

(1)當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)。線段AB的垂直平分線為y軸，于是

->―>―>.

QA=(-2,-y°),Q3=(2,-%)由QAQB=4,得％=±2虛

2k1Rjt2

(2)當(dāng)KHO時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為y------?=-(x+^—T)

1+4/k1+4女2,

…e6k

令A(yù)x=0,解得％=1+4記

—>

由QA=(-2,-y0),QB=(x,,j,-j0)

--/、_一2(2-8/)6k/4A6k、

QAQB=-2nx.—_y(_y.—%)--------；---1-------(------------7)

1001°1+4公1+4公'1+4/1+4公，

4(16rt+15/-1)

(1+4/)2

整理得7A2=2,故％=±當(dāng)工所以%=±駕亙

綜上X)=±2或y(>=+--^―

(21)(本小題滿分14分)

已知函數(shù)/(x)=xc-*(xeR)

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(II)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，證明當(dāng)

x>l時(shí)，f(x)>g(x)

XX

(HI)如果X|R%2，且f(\)-f(2)<證明X,+X2>2

【解析】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查

運(yùn)算能力及用函數(shù)思想分析解決問(wèn)題的能力，滿分14分

(I)解：f'(x)=(l-x)e-x

令f'(x)=0,解得x=l

當(dāng)x變化時(shí)，f'(x),f(x)的變化情況如下表

X(F,l)1

f,(x)+0-

f(x)極大值

所以f(x)在(-0,1)內(nèi)是增函數(shù)，在(1,+8)內(nèi)是減函數(shù)。

函數(shù)f(X)在x=l處取得極大值f(1)且f(l)=l

(H)證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)e*-2

令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=xe~x+(x-2)ex~2

于是尸'(x)=(x-l)(e2x-2-l)e-x

當(dāng)x>l時(shí)，2x-2>0,從而e2x-2—l>0,又e-*>0,所以F'(x)>0,從而函數(shù)F(x)在［1,+

8)是增函數(shù)。

XF(l)=ed-e-1=0,所以x>l時(shí)，有F(x)>F(l)=0,即f(x)>g(x).

Ill)證明：(1)

若(X[-1)(*2-1)=0,由(1)及f(X])=f&2),則X]=工2=1-與王片工2矛盾。

(2)若(土一1)(電一1)>。,由⑴及f(Xj=f區(qū)),得石=々.與工產(chǎn)％2矛盾。

根據(jù)(1)(2)得(％-1)(電-1)<0,不妨設(shè)％<1，W>L

由(1【)可知，f(X?)>g(x2),則g(X2)=f(2飛)，所以f(X2)>f(2-X2),從而

f(xJ>f(2-X2).因?yàn)轳R〉1，所以2-々<1，又由(I)可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-8,1)

內(nèi)事增函數(shù)，所以X]>2-W，即X]+工2>2.

(22)(本小題滿分14分)

在數(shù)列｛4｝中，4=0,且對(duì)任意成等差數(shù)列，其公差為4。

(I)若4=2%,證明如，，%*+2成等比數(shù)列(4eN*)

(II)若對(duì)任意kwN*,a2k,a2k+i,a1M成等比數(shù)列，其公比為外。

【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)

列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力及分類(lèi)討論

的思想方法。滿分14分。

(I)證明：由題設(shè)，可得.-a.,i=4k,keN*。

2K+12K-1

所以々2女+]_'=(。2左+]一“2左&_3)+…+(4_4)

=4Z+4(Z—1)+…+4x1

=2k(k+l)

22

由％=0,得g心=24(4+1),從而=?0,,?-2k=2k,a0,=2(^+1).

十1乙K乙K十14K十乙

于是9±1=”1,々+2="1,所以3+2=3±1。

。2kka2k+\k3+1a2k

所以4=2耐，對(duì)任意左￡N*,仆7，分/1,外,G成等比數(shù)列。

K2%24+12A+2

(II)證法一：⑴證明：由之_］外,々+1成等差數(shù)列，及“2攵'3+1'"22+2成

a2k-i,a2k+i_1上〃

2a=a+a12c

等比數(shù)列，^2k2k-l2k+V十一十lk

a2ka2kqk-\

當(dāng)0HI時(shí)，可知以#1,k￡N*

從而」一=-----3-----=―!—+1,即」--------!一=1(左之2)

qk-］21-一］"一1_1qk-l”一1一1

所以一i—I是等差數(shù)列，公差為1。

也-“

41

(II)證明：q=0,%=2,可得%=4，從而［=一=2,二一=1.由(I)有

2%T

—L—=1+上—1=左,得%

qk-\k

所以3±2=J=1±1,從而3±2=卬,什N*

a2k+\。2kk。2kk

因此,

現(xiàn)21.a.一卜伏-1)=2=2公.a。,.=?...-^-=2k(k+llkeN

a2(Z：-l)2(%—2『I22左+12kk

a2k-23-42

以下分兩種情況進(jìn)行討論:

(1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m(mcN")

?k2

若m=l,則2〃—￡一=2.

k=2ak

若m》2,則

士甘((2人)2((2%+1)2/4公

乙一=乙+乙-----=乙中+

k=24t&=1。2k*=1〃2左+1k=l乙K

(U%2+4A+I汩442+較1c汨c1(1

〉-----------=2m+〉--------1--------=2m,+)/2H——

￡2A(%+i)￡

2k(k+r)2k(k+r)A-=IL21女氏+1,

1131

=2m+2(m-1)+—(1---)=2〃------

2m2n.

所以2〃一^^—=—I—，從而一＜2〃一^^—＜2,〃=4,6,8…

*=2，2/?2*=2ak

(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m+l(MGN*)

S左22H(2/n+l)2,31(2m+1)2

*=24—%。2，"+122m2/n(m+l)

“11c31

=4〃zH-----------------=2〃--------------

22(，”+1)2n+\

"k2313"k2

所以2“一＞二=—+——，從而3＜2〃—＞二＜2,〃=3,5,7???

￡%2n+12￡%

3?k2

綜合(1)(2)可知，對(duì)任意”22,ncN*,有己＜2〃一^^42

2y4

證法二：(i)證明：由題設(shè)，可得4=生《+1-a21t=%。2斤一4*=%??(囁一1)，

4+1=a2k+2~a2k+\~Qka2k-Qka2k="2/4(%一])，所以4+1=/4

C一。2&+3_&2K+2+4+1_]+4+1_1,4

%+1-------------------------1+——-1+--------1+-------

a2k+2a2k+2Qka2kQka2kQk

由dKl可知/wL&eN*?？傻靡?.......-=-^......-=1,

/+i一]/T%T/T

所以I」一｝是等差數(shù)列，公差為1。

q-i.

(ii)證明：因?yàn)閝=0,〃2-2,所以4=%-4=2。

所以%=4+4=4,從而1=幺=2,--—=1o于是，由（i）可知所以＜—!—＞是

a20-1

1力+1

公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得——=1+（左一1）=左，故/=——。

%-1k

從而》=縱=與t

4k

所以」=—....」=----.----……-=k,由4=2,可得

44-14-24k-lk-21

4=2%。

于是，由⑴可知知+]=2%(4+1),%,=2左2,左eN*

以下同證法一。

2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(天津卷)

數(shù)學(xué)(理工類(lèi))參考解答

一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題5分，滿分50分。

(1)A(2)B(3)B(4)D(5)B

(6)C(7)A(8)C(9)D(10)B

二填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分24分。

10,,

(11)24:23(12)—(13)(x+l)2+y=2

(14)(15)\/3(16)-QO,-，+00

三、解答題

(17)本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數(shù)y=Asin(s:+e)的性

質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力，滿分12分。

(1)解：由/(x)=2道sinxcosx+2cos2關(guān)-1,得

/(x)=V3(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=V3sin2x+cos2x=2sin(2x+—)

6

所以函數(shù)/(x)的最小正周期為乃

TT7T

因?yàn)?(x)=2sin2x+?在區(qū)間05上為增函數(shù)，在區(qū)間一~上為減函數(shù)，又

62

/(0)=1"[￡|=2,//=一1，所以函數(shù)/(x)在區(qū)間

上的最大值為2,最小值

為T(mén)

(0)解：由(1)可知/(%)

所以

\

71

+—

6/

18.本小題主要考查二項(xiàng)分布及其概率計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、互斥事件和相

互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，滿分12分。

(1)解：設(shè)X為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則在5次射擊中，恰

有2次擊中目標(biāo)的概率

P(X=2)=C2x

5?

(H)解：設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件4(i=l,2,3,4,5)；“射手在5次射擊中,

有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”為事件A,則

p(A)=p(A&&4&)+p(AA44A)+P(AAAAA)

32323

?x?+r（t）xl+H）x0

8

(III)解：由題意可知，J的所有可能取值為0,1,2,3,6

-----------A1Y1

尸&=0）=尸（444）=鼻=—

\.3）2/

P?=I）=P（A&A）+P（AA2A3）+P（A44）

212122

+—x—x