高斯小學(xué)奧數(shù)六年級上冊含答案第13講概率初步

第十三講概率初步

日常生活中，我們經(jīng)常會遇到一些無法事先預(yù)測結(jié)果的事情，比如拋擲一枚硬幣出

現(xiàn)正面還是反面，明天會不會下雨，歐洲杯誰會奪冠等，這些事情我們稱作隨機(jī)事件，它們的結(jié)果都有

不確定性，是無法預(yù)知的.

盡管無法預(yù)知結(jié)果，但有時我們可以根據(jù)一些跡象或者經(jīng)驗(yàn)了解結(jié)果發(fā)生的可能性的大小，例如：

今天烏云密布，那么明天很有可能下雨；

中國足球隊參加世界杯奪冠的可能性非常小；

一次投擲10枚硬幣，出現(xiàn)10個正面的可能性非常小.

為了能夠更準(zhǔn)確的描述這種“可能性的大小”，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和帕斯卡在17世紀(jì)創(chuàng)立了概率

論，把對隨機(jī)事件的研究上升到一門科學(xué).（當(dāng)時他們通過信件討論了社會

上的兩個熱點(diǎn)問題一一擲骰子問題和比賽獎金分配問題）

概率基本概念

概率反應(yīng)了一個隨機(jī)事件結(jié)果發(fā)生的可能性，例如：投擲一枚硬幣，正面和反面出

1

現(xiàn)的可能性相同，所以概率均為±;投擲一個骰子，每種點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性相同，所

12以概率均為-?

6

I概率是0~1之間用來表示事件可能性大小的一個數(shù)值.冷

1

關(guān)于概率，大家要有一個正確的認(rèn)識，投擲1枚硬幣，正面出現(xiàn)的概率為-，并

12不是說投擲2次一定會有1次正

面，而是說每次扔都有可能性出現(xiàn)正面.

2

雖然投擲2次硬幣，不見得正面會出現(xiàn)一半，但是，投擲次數(shù)越多，正面出現(xiàn)的比

例越接近一半（例如無論誰投擲10000次硬幣，正面出現(xiàn)的比例都會很接近0.5）.（這

個特點(diǎn)在概率論中被稱為大數(shù)定律）

換言之，概率可以展示出大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的規(guī)律性.基于此，在17世紀(jì)概率剛

創(chuàng)始的年代，人們提出了古典概率模型.

古典概率模型

古典概率模型是最簡單的概率計算模型，它的想法非常簡單，用“條件要求的情況

總量”除以“全部情況數(shù)量”即可.

某一隨機(jī)事件發(fā)生的概率它所部等可等可況的況數(shù)量

1

2反”但概率都不是-，因?yàn)檫@3種結(jié)果出現(xiàn)的可能性不同，給硬幣編上A和B,那

3

么出現(xiàn)1正1反有兩種情況“A正B反、A反B正”而2正和2反都只有1種情況（投擲2枚硬幣共4

種情況）.

而例6和例2是相同的題目（把紅球換成男生，白球換成女生即可）

從這3個例子可以看出，在計算概率時，不能簡單的看有幾種最終結(jié)果，因?yàn)榻Y(jié)果

必須是“等可能”才行（例4的結(jié)果只有紅球和白球兩種，但概率顯然不相等）-為了

計算“等可能”的結(jié)果，一個簡單方法是給每個物體編號，例如例4,假設(shè)紅球是1號

到10號，白球是11號，那么顯然共有11種不同取法，其中有10種取到紅球，所以概率是.

等可能

10

4.從10個紅球、1個白球中，隨意的取出1個球，取到紅球的概率是

11-

11

5.投擲兩枚硬幣，出現(xiàn)2個正面的概率是-，出現(xiàn)1正1反的概率是一，出現(xiàn)2

1d2

反的概率是-.

43

6.從3個紅球、2個白球中,隨意取出2個球，取到2個紅球的概率是

10

碗4卜卜魴簡單，在碗6中，■硫田的結(jié)里君，口有A神情汨一-TF、17F1?、

11

例題1.4個男生、2個女生隨機(jī)站成一排照相，請問：（1）女生恰好站在一起的概率是多少?

（2）女生互不相鄰的概率是多少？（3）男生互不相鄰的概率是多少？

「分析」對于排隊問題大家還記得“捆綁”和“插空”法嗎？

練習(xí)1、關(guān)羽、張飛、趙云、黃忠、馬超隨機(jī)的站成一行上臺領(lǐng)獎，請問：（1）關(guān)羽站

在正中間的概率是多少？（2）吳羽和張飛相鄰的概率是多少？（3）關(guān)羽和張飛中間恰

好隔著一個人的概率是多少？

例題2.一個不透明的袋子里裝著2個紅球，3個黃球和4個黑球-從口袋中任取一個球，請問：（1）這個

球是紅球的概率是多少？（2）這個球是黃球或者是黑球的概率是多

少？（3）這個球是綠球的概率是多少；不是綠球的概率是多少？

「分析」首先計算一下取球的總的情況數(shù)，再計算問題要求的取球情況數(shù).

練習(xí)2、北京數(shù)學(xué)學(xué)校從集訓(xùn)隊中隨機(jī)選出3個人去參加比賽，已知集訓(xùn)隊中共有4個男生、3個女

生，請問：（1）選出3個男生的概率是多少？（2）選出2男1女的

概率是多少？

例題3.一次投擲兩個骰子，請問：（1）兩個骰子點(diǎn)數(shù)相同的概率是多少？（2）兩個骰子點(diǎn)

數(shù)和為5的概率是多少？（3）兩個骰子點(diǎn)數(shù)差是1的概率是多少？「分析」骰子是一個正方體，

每個面上的點(diǎn)數(shù)從1到6，可以按題目要求枚舉一些情況，根據(jù)枚舉結(jié)果總結(jié)規(guī)律計算最后答案.

練習(xí)3、一次投擲3枚硬幣，請問：（1）出現(xiàn)3個正面的概率是多少？（2）出現(xiàn)1正2反的

概率是多少？

例題4.兩個盒子中分別裝有形狀大小相同的黑球、白球和黃球各1個，現(xiàn)在從兩個盒子中各取一個球，那

么它們同色的概率是多少？不同色的概率是多少？

「分析」任取兩球它們顏色的可能情況有多少種？其中有多少同色情況？

練習(xí)4、一個不透明的袋子里裝著2個紅球、3個黃球和4個黑球.從中任取兩個球，請問：取出2

個黑球的概率是多少？取出1紅1黃的概率是多少？取出1黃1黑的概率是多少？

概率的獨(dú)立性

如果兩個或多個隨機(jī)事件的結(jié)果互不影響，則稱它們相互獨(dú)立，例如：

A買彩票是否中獎和B買彩票是否中獎是獨(dú)立的；甲考試能否及格和乙考試能

否及格是獨(dú)立的；如果兩個隨機(jī)事件相互獨(dú)立，那么它們同時發(fā)生的概率是它

們單獨(dú)發(fā)生概率的乘積.

例J題5.神射手和神槍手兩人打靶，已知他們的命中率分別為0.8和0.9，他們每人開一槍，那么他們都命

中的概率是多少？都沒命中的概率是多少？

「分析」理解概率獨(dú)立性，根據(jù)獨(dú)立性解題即可.

需要分步計算的概率問題

有些隨機(jī)事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

這時只要把每步的概率算出來，然后相乘即可，例如：

一個盒子中裝有形狀大小相同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，

1

然后從剩下的球中再取出一個，那么第一次抽到黑球的概率是石，第二次抽到黑球

的概率是'，所以兩次都抽到黑球的概率是1±±.

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在分步拿球的問題中，大家還要注意“無放回拿球”和“有放回拿球”的區(qū)別，

它關(guān)系到每步的概率計算結(jié)果.例如：一個盒子中裝有形狀大小相?

同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，然后把它放回去，再從盒子中111

取出一個，那么兩次都抽到黑球的概率是224.

例題6.3個人進(jìn)行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，

那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可.

需要分步計算的概率問題

有些隨機(jī)事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

這時只要把每步的概率算出來，然后相乘即可，例如：

一個盒子中裝有形狀大小相同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，

1

然后從剩下的球中再取出一個，那么第一次抽到黑球的概率是1'第二次抽

11112

到黑球的概率是1'所以兩次都抽到黑球的概率是111■

3236

例題6.3個人進(jìn)行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，

那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可?

需要分步計算的概率問題

有些隨機(jī)事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

在分步拿球的問題中，大家還要注意“無放回拿球”和“有放回拿球”

的區(qū)別，它關(guān)系到每步的概率計算結(jié)果?例如：一個盒子中裝有形狀大小相

同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，然后把它放回去，再從盒子中

取出一個，那么兩次都抽到黑球的概率是-

例題6.3個人進(jìn)行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，

那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可?

需要分步計算的概率問題

有些隨機(jī)事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

這時只要把每步的概率算出來，然后相乘即可，例如：

一個盒子中裝有形狀大小相同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，

然后從剩下的球啜中斯…飛…雇羸狐山.

例題6.3個人進(jìn)行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，

那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可?

需要分步計算的概率問題

有些隨機(jī)事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

在分步拿球的問題中，大家還要注意“無放,回.拿球.”和“有放,回.拿球”

的區(qū)別，它關(guān)系到每步的概率計算結(jié)果.例如：一個盒子中裝有形狀大小相

同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，然后把它放回去，再從盒子中

11

取出一個，那么兩次都抽到黑球的概率是

例題6.3個人進(jìn)行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，

那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可?

需要分步計算的概率問題

有些隨機(jī)事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

這時只要把每步的概率算出來，然后相乘即可，例如：

一個盒子中裝有形狀大小相同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，

1

然后從剩下的球中再取出一個，那么第一次抽到黑球的概率是1，第二次抽

例題6.3個人進(jìn)行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，

那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可?

需要分步計算的概率問題

有些隨機(jī)事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

11112

到黑球的概率是1＞所以兩次都抽到黑球的概率是111?

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在分步拿球的問題中，大家還要注意“無放回拿球”和“有放回拿球?”

的區(qū)別，它關(guān)系到每步的概率計算結(jié)果?例如：一個盒子中裝有形狀大小相

同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，然后把它放回去，再從盒子中

取出一個，那么兩次都抽到黑球的概率是三■

例題6.3個人進(jìn)行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，

那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可?

需要分步計算的概率問題

有些隨機(jī)事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

這時只要把每步的概率算出來，然后相乘即可，例如：

一個盒子中裝有形狀大小相同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，

然后從剩下的球中再取出一個，那么第一次抽到黑球的概率是,「，第二次抽

11112

例題6.3個人進(jìn)行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，

那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可?

需要分步計算的概率問題

有些隨機(jī)事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

到黑球的概率是'，所以兩次都抽到黑球的概率是111?

3236

在分步拿球的問題中，大家還要注意“無.放.回.拿.球”和“有放?回.拿?球

的區(qū)別，它關(guān)系到每步的概率計算結(jié)果?例如：一個盒子中裝有形狀大小相

同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，然后把它放回去，再從盒子中

11

取出一個，那么兩次都抽到黑球的概率是

例題6.3個人進(jìn)行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，

那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可?

需要分步計算的概率問題

有些隨機(jī)事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

這時只要把每步的概率算出來，然后相乘即可，例如：

一個盒子中裝有形狀大小相同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，

然后從剩下的球中再取出一個，那么第一次抽到黑球的概率是,「，第二次抽

11112

例題6.3個人進(jìn)行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，

那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可?

需要分步計算的概率問題

有些隨機(jī)事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

到黑球的概率是'，所以兩次都抽到黑球的概率是111?

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在分步拿球的問題中，大家還要注意“無.放.回.拿.球”和“有放?回.拿?球

的區(qū)別，它關(guān)系到每步的概率計算結(jié)果?例如：一個盒子中裝有形狀大小相

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幅朝軍看那西頓