高斯小學奧數(shù)六年級上冊含答案第13講概率初步

第十三講概率初步

日常生活中，我們經常會遇到一些無法事先預測結果的事情，比如拋擲一枚硬幣出

現(xiàn)正面還是反面，明天會不會下雨，歐洲杯誰會奪冠等，這些事情我們稱作隨機事件，它們的結果都有

不確定性，是無法預知的.

盡管無法預知結果，但有時我們可以根據一些跡象或者經驗了解結果發(fā)生的可能性的大小，例如：

今天烏云密布，那么明天很有可能下雨；

中國足球隊參加世界杯奪冠的可能性非常?。?/p>

一次投擲10枚硬幣，出現(xiàn)10個正面的可能性非常小.

為了能夠更準確的描述這種“可能性的大小”，法國數(shù)學家費馬和帕斯卡在17世紀創(chuàng)立了概率

論，把對隨機事件的研究上升到一門科學.（當時他們通過信件討論了社會

上的兩個熱點問題一一擲骰子問題和比賽獎金分配問題）

概率基本概念

概率反應了一個隨機事件結果發(fā)生的可能性，例如：投擲一枚硬幣，正面和反面出

1

現(xiàn)的可能性相同，所以概率均為±;投擲一個骰子，每種點數(shù)出現(xiàn)的可能性相同，所

12以概率均為-?

6

I概率是0~1之間用來表示事件可能性大小的一個數(shù)值.冷

1

關于概率，大家要有一個正確的認識，投擲1枚硬幣，正面出現(xiàn)的概率為-，并

12不是說投擲2次一定會有1次正

面，而是說每次扔都有可能性出現(xiàn)正面.

2

雖然投擲2次硬幣，不見得正面會出現(xiàn)一半，但是，投擲次數(shù)越多，正面出現(xiàn)的比

例越接近一半（例如無論誰投擲10000次硬幣，正面出現(xiàn)的比例都會很接近0.5）.（這

個特點在概率論中被稱為大數(shù)定律）

換言之，概率可以展示出大量重復實驗結果的規(guī)律性.基于此，在17世紀概率剛

創(chuàng)始的年代，人們提出了古典概率模型.

古典概率模型

古典概率模型是最簡單的概率計算模型，它的想法非常簡單，用“條件要求的情況

總量”除以“全部情況數(shù)量”即可.

某一隨機事件發(fā)生的概率它所部等可等可況的況數(shù)量

1

2反”但概率都不是-，因為這3種結果出現(xiàn)的可能性不同，給硬幣編上A和B,那

3

么出現(xiàn)1正1反有兩種情況“A正B反、A反B正”而2正和2反都只有1種情況（投擲2枚硬幣共4

種情況）.

而例6和例2是相同的題目（把紅球換成男生，白球換成女生即可）

從這3個例子可以看出，在計算概率時，不能簡單的看有幾種最終結果，因為結果

必須是“等可能”才行（例4的結果只有紅球和白球兩種，但概率顯然不相等）-為了

計算“等可能”的結果，一個簡單方法是給每個物體編號，例如例4,假設紅球是1號

到10號，白球是11號，那么顯然共有11種不同取法，其中有10種取到紅球，所以概率是.

等可能

10

4.從10個紅球、1個白球中，隨意的取出1個球，取到紅球的概率是

11-

11

5.投擲兩枚硬幣，出現(xiàn)2個正面的概率是-，出現(xiàn)1正1反的概率是一，出現(xiàn)2

1d2

反的概率是-.

43

6.從3個紅球、2個白球中,隨意取出2個球，取到2個紅球的概率是

10

碗4卜卜魴簡單，在碗6中，■硫田的結里君，口有A神情汨一-TF、17F1?、

11

例題1.4個男生、2個女生隨機站成一排照相，請問：（1）女生恰好站在一起的概率是多少?

（2）女生互不相鄰的概率是多少？（3）男生互不相鄰的概率是多少？

「分析」對于排隊問題大家還記得“捆綁”和“插空”法嗎？

練習1、關羽、張飛、趙云、黃忠、馬超隨機的站成一行上臺領獎，請問：（1）關羽站

在正中間的概率是多少？（2）吳羽和張飛相鄰的概率是多少？（3）關羽和張飛中間恰

好隔著一個人的概率是多少？

例題2.一個不透明的袋子里裝著2個紅球，3個黃球和4個黑球-從口袋中任取一個球，請問：（1）這個

球是紅球的概率是多少？（2）這個球是黃球或者是黑球的概率是多

少？（3）這個球是綠球的概率是多少；不是綠球的概率是多少？

「分析」首先計算一下取球的總的情況數(shù)，再計算問題要求的取球情況數(shù).

練習2、北京數(shù)學學校從集訓隊中隨機選出3個人去參加比賽，已知集訓隊中共有4個男生、3個女

生，請問：（1）選出3個男生的概率是多少？（2）選出2男1女的

概率是多少？

例題3.一次投擲兩個骰子，請問：（1）兩個骰子點數(shù)相同的概率是多少？（2）兩個骰子點

數(shù)和為5的概率是多少？（3）兩個骰子點數(shù)差是1的概率是多少？「分析」骰子是一個正方體，

每個面上的點數(shù)從1到6，可以按題目要求枚舉一些情況，根據枚舉結果總結規(guī)律計算最后答案.

練習3、一次投擲3枚硬幣，請問：（1）出現(xiàn)3個正面的概率是多少？（2）出現(xiàn)1正2反的

概率是多少？

例題4.兩個盒子中分別裝有形狀大小相同的黑球、白球和黃球各1個，現(xiàn)在從兩個盒子中各取一個球，那

么它們同色的概率是多少？不同色的概率是多少？

「分析」任取兩球它們顏色的可能情況有多少種？其中有多少同色情況？

練習4、一個不透明的袋子里裝著2個紅球、3個黃球和4個黑球.從中任取兩個球，請問：取出2

個黑球的概率是多少？取出1紅1黃的概率是多少？取出1黃1黑的概率是多少？

概率的獨立性

如果兩個或多個隨機事件的結果互不影響，則稱它們相互獨立，例如：

A買彩票是否中獎和B買彩票是否中獎是獨立的；甲考試能否及格和乙考試能

否及格是獨立的；如果兩個隨機事件相互獨立，那么它們同時發(fā)生的概率是它

們單獨發(fā)生概率的乘積.

例J題5.神射手和神槍手兩人打靶，已知他們的命中率分別為0.8和0.9，他們每人開一槍，那么他們都命

中的概率是多少？都沒命中的概率是多少？

「分析」理解概率獨立性，根據獨立性解題即可.

需要分步計算的概率問題

有些隨機事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

這時只要把每步的概率算出來，然后相乘即可，例如：

一個盒子中裝有形狀大小相同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，

1

然后從剩下的球中再取出一個，那么第一次抽到黑球的概率是石，第二次抽到黑球

的概率是'，所以兩次都抽到黑球的概率是1±±.

3236

在分步拿球的問題中，大家還要注意“無放回拿球”和“有放回拿球”的區(qū)別，

它關系到每步的概率計算結果.例如：一個盒子中裝有形狀大小相?

同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，然后把它放回去，再從盒子中111

取出一個，那么兩次都抽到黑球的概率是224.

例題6.3個人進行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，

那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可.

需要分步計算的概率問題

有些隨機事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

這時只要把每步的概率算出來，然后相乘即可，例如：

一個盒子中裝有形狀大小相同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，

1

然后從剩下的球中再取出一個，那么第一次抽到黑球的概率是1'第二次抽

11112

到黑球的概率是1'所以兩次都抽到黑球的概率是111■

3236

例題6.3個人進行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，

那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可?

需要分步計算的概率問題

有些隨機事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

在分步拿球的問題中，大家還要注意“無放回拿球”和“有放回拿球”

的區(qū)別，它關系到每步的概率計算結果?例如：一個盒子中裝有形狀大小相

同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，然后把它放回去，再從盒子中

取出一個，那么兩次都抽到黑球的概率是-

例題6.3個人進行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，

那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可?

需要分步計算的概率問題

有些隨機事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

這時只要把每步的概率算出來，然后相乘即可，例如：

一個盒子中裝有形狀大小相同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，

然后從剩下的球啜中斯…飛…雇羸狐山.

例題6.3個人進行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，

那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可?

需要分步計算的概率問題

有些隨機事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

在分步拿球的問題中，大家還要注意“無放,回.拿球.”和“有放,回.拿球”

的區(qū)別，它關系到每步的概率計算結果.例如：一個盒子中裝有形狀大小相

同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，然后把它放回去，再從盒子中

11

取出一個，那么兩次都抽到黑球的概率是

例題6.3個人進行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，

那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可?

需要分步計算的概率問題

有些隨機事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

這時只要把每步的概率算出來，然后相乘即可，例如：

一個盒子中裝有形狀大小相同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，

1

然后從剩下的球中再取出一個，那么第一次抽到黑球的概率是1，第二次抽

例題6.3個人進行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，

那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可?

需要分步計算的概率問題

有些隨機事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

11112

到黑球的概率是1＞所以兩次都抽到黑球的概率是111?

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在分步拿球的問題中，大家還要注意“無放回拿球”和“有放回拿球?”

的區(qū)別，它關系到每步的概率計算結果?例如：一個盒子中裝有形狀大小相

同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，然后把它放回去，再從盒子中

取出一個，那么兩次都抽到黑球的概率是三■

例題6.3個人進行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，

那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可?

需要分步計算的概率問題

有些隨機事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

這時只要把每步的概率算出來，然后相乘即可，例如：

一個盒子中裝有形狀大小相同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，

然后從剩下的球中再取出一個，那么第一次抽到黑球的概率是,「，第二次抽

11112

例題6.3個人進行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，

那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可?

需要分步計算的概率問題

有些隨機事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

到黑球的概率是'，所以兩次都抽到黑球的概率是111?

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在分步拿球的問題中，大家還要注意“無.放.回.拿.球”和“有放?回.拿?球

的區(qū)別，它關系到每步的概率計算結果?例如：一個盒子中裝有形狀大小相

同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，然后把它放回去，再從盒子中

11

取出一個，那么兩次都抽到黑球的概率是

例題6.3個人進行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，

那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可?

需要分步計算的概率問題

有些隨機事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

這時只要把每步的概率算出來，然后相乘即可，例如：

一個盒子中裝有形狀大小相同的黑球和白球各2個，從中先取出1個球，

然后從剩下的球中再取出一個，那么第一次抽到黑球的概率是,「，第二次抽

11112

例題6.3個人進行抽簽，已知3個簽中只有一個寫有“中獎”，3個人先后抽取，

那么第一個抽和第二個抽的中獎概率哪個大？

「分析」分步計算概率即可?

需要分步計算的概率問題

有些隨機事件，在發(fā)生時有先后順序，這時在計算概率時需要分步計算，

到黑球的概率是'，所以兩次都抽到黑球的概率是111?

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在分步拿球的問題中，大家還要注意“無.放.回.拿.球”和“有放?回.拿?球

的區(qū)別，它關系到每步的概率計算結果?例如：一個盒子中裝有形狀大小相

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