專題10 特殊三角形（講義）（原卷版）

專題10特殊三角形核心知識(shí)點(diǎn)精講1.了解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的概念，會(huì)識(shí)別這三種圖形；理解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定；2.能用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定解決簡(jiǎn)單問題；3.會(huì)運(yùn)用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的知識(shí)解決有關(guān)問題．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】考點(diǎn)一、等腰三角形1.等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2.性質(zhì)：(1)具有三角形的一切性質(zhì).(2)兩底角相等(等邊對(duì)等角).(3)頂角的平分線，底邊中線，底邊上的高互相重合(三線合一)(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60°.3.判定：(1)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊)；(3)有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.要點(diǎn)詮釋：(1)腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形.考點(diǎn)二、直角三角形1.直角三角形：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.2性質(zhì)：(1)直角三角形中兩銳角互余.(2)直角三角形中，30°銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.(3)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°.(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.3．判定：(1)有兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.(2)一條邊上的中線等于該邊的一半，則這條邊所對(duì)的角是直角，這個(gè)三角形是直角三角形.(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形，第三邊為斜邊.【題型1：等腰三角形】【典例1】如圖，在等腰中，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，垂足為C，且，連接，若，則的面積為（）A．16 B．24 C．32 D．81．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（

）A．或 B． C． D．以上答案均不對(duì)2．已知等腰三角形一邊長(zhǎng)等于4，另一邊長(zhǎng)等于10，則它的周長(zhǎng)是（）A．17 B．18 C．24 D．18或243．如圖，在中，，，，點(diǎn)D在的邊上，，以為直角邊在同側(cè)作等腰直角三角形，使，連接，若則下列關(guān)系式正確的是（

）A． B．C． D．4．如圖，是等腰三角形底邊上的中線，平分，交于點(diǎn)，，，則的面積是（

）A．4 B．6 C．8 D．12【題型2：等邊三角形】【典例2】如圖，和都是等邊三角形，且點(diǎn)A、C、E三點(diǎn)共線，與、分別交于點(diǎn)F、M，與交于點(diǎn)N，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的有（

）個(gè)：①；②；③；④A．0 B．1 C．2 D．31．如圖，是等邊三角形，已知，于，與交于點(diǎn)，下列結(jié)論中不一定成立的是（

）．A． B． C． D．2．如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，且和均是等邊三角形，那么（

）

A． B． C． D．3．已知，如圖，C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，E重合），在同側(cè)分別作等邊三角形和等邊三角形，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q，連接，以下四個(gè)結(jié)論：①；②是等邊三角形；③；④平分．其中正確的結(jié)論是（

）A．①、② B．③、④ C．①、②、③ D．①、②、④4．如圖，過邊長(zhǎng)為3的等邊的邊上一點(diǎn)，作于，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，連交邊于，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C． D．無法確定【題型3：等腰直角三角形】【典例3】如圖，在中，以，為腰作等腰直角和等腰直角，其中，連接，為邊上的高，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．有下列結(jié)論：①；②；③；④為中點(diǎn)．其中正確的有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)1．如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)N，連接DM、MC．下列結(jié)論：①DF＝DN；②△ABE≌△MBN；③AD＝CD；④AE＝CN；，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)2．如圖，與都是等腰直角三角形，，，，連接BD，CE，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A，F(xiàn)的直線交CE于點(diǎn)G，若，，則的面積為．3．如圖，在中，于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上，且，則．【題型4：特殊三角形綜合運(yùn)用】【典例4】如圖，在四邊形中，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，且．(1)°；(2)求證：；(3)連接，且平分交于點(diǎn)，探究的形狀并說明理由．1.如圖，在等腰中，于，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若，則下列結(jié)論：①；②；③是等邊三角形；④，其中正確的是

2．已知四邊形，，．(1)如圖1，若，則________；(2)如圖2，，連接，平分交于，交延長(zhǎng)線于，連接．①求的度數(shù)；②若，，求的長(zhǎng)．1．已知a，b，c是等腰三角形ABC的三邊（注：c可能等于，也可能等于），且滿足．設(shè)這個(gè)等腰三角形ABC的周長(zhǎng)為，則2．如圖，在中，，，，是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP．當(dāng)是等腰三角形時(shí)，度．3．如圖，中，，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，且，若，，則的長(zhǎng)為．4．如圖，在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在邊、上，且．下列結(jié)論正確的是（填所有正確答案的序號(hào)）．①；②；③；1．如圖，等腰的底邊長(zhǎng)為3，面積是6，腰的垂直平分線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，若點(diǎn)D為底邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為（

）A． B．5 C． D．62．如圖，在中，，為邊上的高，平分，點(diǎn)F在上連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，若，，有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中一定成立的有（

）

A．1個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)3．如圖，中，，D為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接作，交線段于E，以下四個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)D為中點(diǎn)時(shí)，；③當(dāng)為等腰三角形時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．如圖，在四邊形中，平分，于點(diǎn)E，，有下列結(jié)論：①；③；③；④．其中正確的是（

）

A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④二、填空題5．如圖，已知點(diǎn)O是等邊內(nèi)一點(diǎn)，，，點(diǎn)D是外一點(diǎn)，且，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的度數(shù)是.

6．如圖，是等邊三角形，邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)D在延長(zhǎng)線上，且，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿著射線運(yùn)動(dòng)，連接，將線段繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段DF，連接AF．當(dāng)時(shí)，則線段的長(zhǎng)為．7．如圖，在中，，，點(diǎn)C在直線上，，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為度．三、解答題8．（1）如圖1，中，，，的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．圖中有個(gè)等腰三角形．猜想：與，之間有怎樣的關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若，其他條件不變，圖中有個(gè)等腰三角形；與，間的關(guān)系是；（3）如圖3，，若的角平分線與外角的角平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作交于E，交于F．圖中有個(gè)等腰三角形．與，間的數(shù)量關(guān)系是．1．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，則是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形2．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)是等邊的邊上的一點(diǎn)，若，則在以線段為邊的三角形中，最小內(nèi)角的大小為（）A． B． C． D．3．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）四邊形的邊長(zhǎng)如圖所示，對(duì)角線的長(zhǎng)度隨四邊形形狀的改變而變化．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，對(duì)角線的長(zhǎng)為（

）

A．2 B．3 C．4 D．54．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊的邊上的高，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．5．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．6．（2021·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，的半徑為，于點(diǎn)，，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．7．（2023·遼寧本溪·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，由圖中的尺規(guī)作圖痕跡得到的射線與交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接，若，則的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．48．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，且平分的周長(zhǎng)，則的長(zhǎng)是（

）

A． B． C．