專題05 三角形面積最值問題（原卷版）

專題05三角形面積最值問題一、知識導(dǎo)航求三角形的面積是幾何題中常見問題之一，可用的方法也比較多，比如面積公式、割補、等積變形、三角函數(shù)甚至海倫公式，本文介紹的方法是在二次函數(shù)問題中常用的一種求面積的方法——鉛垂法．【問題描述】在平面直角坐標(biāo)系中，已知、、，求△ABC的面積．【分析】顯然對于這樣一個位置的三角形，面積公式并不太好用，割補倒是可以一試，比如這樣：構(gòu)造矩形ADEF，用矩形面積減去三個三角形面積即可得△ABC面積．這是在“補”，同樣可以采用“割”：此處AE+AF即為A、B兩點之間的水平距離．由題意得：AE+BF=6．下求CD：根據(jù)A、B兩點坐標(biāo)求得直線AB解析式為：由點C坐標(biāo)（4,7）可得D點橫坐標(biāo)為4，將4代入直線AB解析式得D點縱坐標(biāo)為2，故D點坐標(biāo)為（4,2），CD=5,．【方法總結(jié)】作以下定義：A、B兩點之間的水平距離稱為“水平寬”；過點C作x軸的垂線與AB交點為D，線段CD即為AB邊的“鉛垂高”．如圖可得：【解題步驟】（1）求A、B兩點水平距離，即水平寬；（2）過點C作x軸垂線與AB交于點D，可得點D橫坐標(biāo)同點C；（3）求直線AB解析式并代入點D橫坐標(biāo)，得點D縱坐標(biāo)；（4）根據(jù)C、D坐標(biāo)求得鉛垂高；（5）利用公式求得三角形面積．【思考】如果第3個點的位置不像上圖一般在兩定點之間，如何求面積？鉛垂法其實就是在割補，重點不在三個點位置，而是取兩個點作水平寬之后，能求出其對應(yīng)的鉛垂高！因此，動點若不在兩定點之間，方法類似：【鉛垂法大全】（1）取AB作水平寬，過點C作鉛垂高CD．（2）取AC作水平寬，過點B作BD⊥x軸交直線AC于點D，BD即對應(yīng)的鉛垂高，（3）取BC作水平寬，過點A作鉛垂高AD．甚至，還可以橫豎互換，在豎直方向作水平寬，在水平方向作鉛垂高．（4）取BC作水平寬，過點A作鉛垂高AD．（5）取AC作水平寬，過點B作鉛垂高BD．（6）取AB作水平寬，過點C作鉛垂高CD．二、典例精析例一、如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點，與軸的另一個交點為．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點為該拋物線上一動點（與點、不重合），設(shè)點的橫坐標(biāo)為m．當(dāng)點在直線的下方運動時，求的面積的最大值．【分析】（1），（2）取BC兩點之間的水平距離為水平寬，過點P作PQ⊥x軸交直線BC于點Q，則PQ即為鉛垂高．根據(jù)B、C兩點坐標(biāo)得B、C水平距離為4，根據(jù)B、C兩點坐標(biāo)得直線BC解析式：y=x+1，設(shè)P點坐標(biāo)為（m，m2+6m+5），則點Q（m，m+1），得PQ=-m2-5m-4，考慮到水平寬是定值，故鉛垂高最大面積就最大．當(dāng)時，△BCP面積最大，最大值為．【小結(jié)】選兩個定點作水平寬，設(shè)另外一個動點坐標(biāo)來表示鉛垂高．例二、在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖像向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交于點、（點在點的左側(cè)），，經(jīng)過點的一次函數(shù)的圖像與軸正半軸交于點，且與拋物線的另一個交點為，的面積為5．（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；（2）拋物線上的動點在一次函數(shù)的圖像下方，求面積的最大值，并求出此時點的坐標(biāo)．【分析】（1）拋物線解析式：；一次函數(shù)解析式：．（2）顯然，當(dāng)△ACE面積最大時，點E并不在AC之間．已知A（-1,0）、，設(shè)點E坐標(biāo)為，過點E作EF⊥x軸交直線AD于F點，F(xiàn)點橫坐標(biāo)為m，代入一次函數(shù)解析式得可得考慮到水平寬是定值，故鉛垂高最大面積最大．既然都是固定的算法，那就可以總結(jié)一點小小的結(jié)論了，對坐標(biāo)系中已知三點、、，按鉛垂法思路，可得：如果能記住也不要直接用，可以當(dāng)做是檢驗的方法咯．【總結(jié)】鉛垂法是求三角形面積的一種常用方法，尤其適用于二次函數(shù)大題中的三角形面積最值問題，弄明白方法原理，熟練方法步驟，加以練習(xí)，面積最值問題輕輕松松．三、中考真題演練1．（2023·遼寧阜新·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點，與y軸交于點C．

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)如圖1，二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線交于點D，若點M是直線上方拋物線上的一個動點，求面積的最大值．2．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．

(1)求b，c的值．(2)點是拋物線上的動點①當(dāng)取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值；3．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點P的坐標(biāo)；(2)求的面積．注：拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標(biāo)是．4．（2023·山東青島·中考真題）如圖，在菱形中，對角線相交于點O，，．動點P從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時，動點Q從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為．以為鄰邊的平行四邊形的邊與交于點E．設(shè)運動時間為，解答下列問題：

(1)當(dāng)點M在上時，求t的值；(2)連接．設(shè)的面積為，求S與t的函數(shù)關(guān)系式和S的最大值；5．（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(3)如圖2，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時，求點P的坐標(biāo)，并求出此時S的最大值．6．（2023·山東聊城·中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C，連接AC，BC.點P是x軸上任意一點．(1)求拋物線的表達(dá)式；(3)如圖②，當(dāng)點從點A出發(fā)沿x軸向點B運動時（點P與點A，B不重合），自點P分別作，交AC于點E，作，垂足為點D．當(dāng)m為何值時，面積最大，并求出最大值．7．（2023·湖北荊州·中考真題）已知：關(guān)于的函數(shù)．

(1)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個公共點，且，則的值是___________；(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個公共點，，并與動直線交于點，連接，，，，其中交軸于點，交于點．設(shè)的面積為，的面積為．①當(dāng)點為拋物線頂點時，求的面積；②探究直線在運動過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．8．（2023·湖南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點和點，且與直線交于兩點（點在點的右側(cè)），點為直線上的一動點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式．(2)