2.4.6 函數(shù)的奇偶性-2024年初升高數(shù)學(xué)無(wú)憂銜接

第第頁(yè)第2.4章函數(shù)的概念與性質(zhì)2.4.6函數(shù)的奇偶性高中要求1掌握函數(shù)奇偶性的概念及其性質(zhì)；2掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法.1函數(shù)奇偶性的概念(1)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有?x∈I，且f(?x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).(2)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有?x∈I，且f(?x)=?f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).由奇偶函數(shù)的概念可知道其定義域I是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的.注①?gòu)亩x可知，若x是函數(shù)定義域中的一個(gè)數(shù)值，則?x也必然在該定義域中．故判斷函數(shù)的奇偶性的前提是：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．如fx②函數(shù)按奇偶性可以分為四類：奇函數(shù)，偶函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．從定義可知，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一類，即f(x)=0，x2性質(zhì)①偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱；②奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③若奇函數(shù)f(x)定義域內(nèi)含有0，則f(0)=0；證明∵f(x)為奇函數(shù)，∴f?x令x=0，則f?0=?f(0)，即f0④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個(gè)偶函數(shù)(或奇函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù)．3判斷函數(shù)奇偶性的方法①定義法先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再求f(?x),看下與f(x)的關(guān)系：若f?x=f(x)，則y=fx是偶函數(shù)；若f②數(shù)形結(jié)合若函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)是奇函數(shù)；若函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)是偶函數(shù).【題型1】判斷函數(shù)的奇偶性【典題1】判斷函數(shù)f(x)=|x|解析函數(shù)的定義域?yàn)镽．方法1∵f(?x)=|?x|(?x)2+1=方法2∵y=|x|和y=x2+1是偶函數(shù)，∴變式練習(xí)1.下列說(shuō)法正確的是()A．若一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)B．若一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱C．若一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)D．若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(0)=0，則f(x)是奇函數(shù)答案B解析奇偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)不一定具有奇偶性，如y=x+1．由此可判斷A、C項(xiàng)錯(cuò)誤，B項(xiàng)正確．奇函數(shù)若在原點(diǎn)處有定義，則f(0)=0，反之不一定成立，如y=x2，因此D2.函數(shù)f(x)=|x|+1是()A.奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)答案B3.函數(shù)f(x)=3?A．原點(diǎn)對(duì)稱B．軸對(duì)稱C．y軸對(duì)稱D．直線y=x對(duì)稱答案A解析根據(jù)題意，f(x)=3?x2則有f(?x)=?f(x)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選：A．4.設(shè)f(x)是定義在R上的一個(gè)函數(shù)，則函數(shù)F(x)=f(x)?f(?x)在R上一定是()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)答案：A5.設(shè)f(x)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是()A．f(x)f(?x)是奇函數(shù)B．f(x)|f(?x)|是奇函數(shù)C．fx?f(?x)是偶函數(shù)D．答案D解析選D.設(shè)F(x)=f(x)f(?x)，則F(?x)=F(x)為偶函數(shù)．設(shè)G(x)=f(x)|f(?x)|，則G(?x)=f(?x)|f(x)|.∴G(x)與G(?x)關(guān)系不定．設(shè)Mx=fx設(shè)N(x)=f(x)+f(?x)，則N(?x)=f(?x)+f(x)．N(x)為偶函數(shù)．【題型2】函數(shù)奇偶性的運(yùn)用【典題1】若函數(shù)f(x)=2x?a2xA．?1 B．1 C．1或?1 D．不存在解析可知函數(shù)fx為偶函數(shù)，則f令x=1得，f(?1)=f(1)，即2?1?a2將a=?1代入解析式驗(yàn)證，符合題意．故選：A．變式練習(xí)1.若函數(shù)f(x)(f(x)≠0)為奇函數(shù)，則必有()A．f(x)f(?x)>0 B．f(x)f(?x)<0C．f(x)<f(?x) D．f(x)>f(?x)答案B解析∵函數(shù)f(x)(f(x)≠0)為奇函數(shù)，∴f(?x)=?f(x)∴f(x)?f(?x)=f(x)[?f(x)]=?[f(x)]2<02.已知函數(shù)f(x)=x5?ax3A．19 B．13 C．?19 D．?13答案D解析∵gx=x∵f(?5)=17=g(?5)+2∴g(5)=?15∴f(5)=g(5)+2=?15+2=?13，故選：D．3.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x?0時(shí)，f(x)=2x?1A．1 B．?34 C．3 答案D解析根據(jù)題意，當(dāng)x?0時(shí)，f(x)=2x?1又由f(x)為奇函數(shù)，則f(?2)=?f(2)=?3；故選：D．4.若函數(shù)f(x)=x2?|x+a|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)答案0解析∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(?x)=f(x)恒成立即x2?|x+a|=x所以a=0故答案為：0．5.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)為增函數(shù)，且f(3)=0，那么不等式xf(x)<0的解集是.答案(?3,0)∪(0,3)解析∵f(x)為奇函數(shù)，且在(0,+∞)上是增函數(shù)，f(3)=0，∴f(3)=?f(?3)=0，在(?∞,0)內(nèi)是增函數(shù)∴xf(x)<0則x>0f(x)<0=f(3)或根據(jù)在(?∞,0)和(0,+∞)內(nèi)是都是增函數(shù)，解得x∈(?3,0)∪(0,3)．【題型3】函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合【典題1】函數(shù)f(x)=ax+b1+x2是定義在區(qū)間(?1,1)(1)確定函數(shù)f(x)的解析式；(2)用定義證明：f(x)在區(qū)間(?1,1)上是增函數(shù)；(3)解不等式：f(t?1)+f(t)<0．解析(1)由題意知&f(0)=0&f12=2故f(x)=x(2)任取?1<x1<fx2∵?1<x∴?1<x于是fx∴f(x)為區(qū)間(?1,1)上的增函數(shù)．(3)ft?1∵f(x)在區(qū)間(?1,1)上是增函數(shù)，∴－1<t?1<?t<1，解得0<t<1變式練習(xí)1.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,5]上是減函數(shù)，且最小值為6，那么f(x)在區(qū)間[?5,?1]上是()A．減函數(shù)且最大值為?6 B．增函數(shù)且最大值為6 C．減函數(shù)且最小值為?6 D．增函數(shù)且最小值為6答案A解析當(dāng)?5≤x≤?1時(shí)1≤?x≤5，∴f(?x)≥6，即?f(x)≥6．從而f(x)≤?6，又奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同，故f(x)在[?5,?1]是減函數(shù)．故選：A．2.若偶函數(shù)f(x)在(?∞,?1]上是減函數(shù)，則()A．f(?32)<f(?1)<f(2) BC．f(2)<f(?1)<f(?32) 答案B解析根據(jù)題意，f(x)為偶函數(shù)，則f(2)=f(?2)，又由函數(shù)f(x)在(?∞,?1]上是減函數(shù)，則f(?1)<f?32<f(?2)，即3.若ρ(x),g(x)都是奇函數(shù)，f(x)=aρ(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5，則f(x)在(－∞,0)上有()A．最小值－5B．最大值－5C．最小值－1 D．最大值－3答案C解析ρ(x)、g(x)都是奇函數(shù)，∴f(x)－2=aρ(x)+bg(x)為奇函數(shù)．又f(x)有最大值5，∴f(x)－2在(0,+∞)上有最大值3.∴f(x)－2在(－∞,0)上有最小值－3，∴f(x)在(－∞,0)上有最小值－1.4.已知函數(shù)f(x)=1(1)求f(x)的定義域；(2)若f(x)為奇函數(shù)，求a的值；(3)用單調(diào)性的定義證明：f(x)在區(qū)間(0,+∞)上為減函數(shù)．答案(1)(－∞,0)∪(0,+∞)(2)?12解析(1)要使函數(shù)有意義，需4x－1≠0，解此不等式得∴函數(shù)的定義域?yàn)?－∞,0)∪(0,+∞)(2)∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)=－f(1)，即114?1經(jīng)檢驗(yàn)，a=?12時(shí)，∴a=?1(3)設(shè)x1,則fxx1,x∴4∴4∴fx1?f∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù)．1.已知f(x)=ax2+bx是定義在[a?1,2a]A．?13 B．13 C．?1答案B解析依題意得：f(?x)=f(x)，∴b=0，又a?1=?2a，∴a=13，∴a+b=12.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(?1)=1，則f1A．1 B．0 C．?1 D．?2答案C解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)=0，若f(?1)=1，則f(1)=?f(?1)=?1，則f(1)+f(0)=?1；故選：C．3.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=?2x2+xA．?6 B．6 C．?10 D．10答案D解析∵f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=?2x∴f(?2)=?8?2=?10，即?f(2)=?10，則f(2)=10，故選：D．4.若函數(shù)f(x)是定義在[?6,6]上的偶函數(shù)，且在[?6,0]上單調(diào)遞減，則()A．f(3)+f(4)>0B．f?3C．f(?2)+f(?5)<5D．f答案D解析f(x)是定義在[?6,6]上的偶函數(shù)，且在[?6,0]上單調(diào)遞減，可得f(x)在[0,6]上單調(diào)遞增，依題意有?4<?1?f?45.若函數(shù)f(x)=(2x+1)(x?a)x(a∈R)A．12 B．0 C．?1 答案A解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=(2x+1)(x?a)則f(?x)=?f(x)，即(2x+1)(x?a)x變形可得(2a?1)x=0，則有a=1故選：A．6.函數(shù)y=x3答案奇函數(shù)解析f?x=?x7.已知函數(shù)f(x)=ax+x4x+1是偶函數(shù)，則常數(shù)a的值為答案?解析易知函數(shù)定義域?yàn)镽∵函數(shù)f(x)=ax+x∴f(?x)=f(x)對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)x都成立∴?ax+?x∴?2ax=x∴(1+2a)x=0對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)x都成立∴1+2a=0，即a=?18.奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,6]上的最大值為8，最小值為?1，則2f(?6)+f(?3)的值為.答案?15解析f(x)在[3,6]上為增函數(shù)，f(x)max=f(6)=8∴2f?69.設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x[0,+∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則f(－2),f(π),f(－3)答案f(π)>f(?3)>f(?2)解析利用函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，將f(?2),f(?3)轉(zhuǎn)化到區(qū)間[0,+∞)上，利用f(x)在此區(qū)間上是增函數(shù)比較大?。?yàn)閒(x)為R上的偶函數(shù)，所以f(?2)=f(2)，f(?3)=f(3)．又因?yàn)楫?dāng)x[0,+∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，且π>3>2所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(?3)>f(?2)．10.已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=2x+2x?a，則f答案?3解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則f(0)=0，則有f(0)=20?a=1?a=0則f(1)=2+2?a=4?1=3，又由f(x)為奇函數(shù)，則f(?1)=?f(1)=?3.11.若函數(shù)f(x)的定義域是R，且對(duì)任意x,y∈R，都有fx+y答案奇函數(shù)解析在fx+y令x=y=0，得f(0+0)