八年級數(shù)學上冊章節(jié)重點復(fù)習考點講義(北師大版)專題04勾股定理的應(yīng)用綜合題(原卷版+解析)

專題04勾股定理的應(yīng)用（綜合題）易錯點撥易錯點撥知識點：勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長，求；用于解決帶有的證明問題；3．與勾股定理有關(guān)的4．勾股定理在實際生活中的應(yīng)用．易錯題專訓易錯題專訓一．選擇題1．（2022?和平區(qū)校級開學）如圖，有一個水池，水面是一邊長為8尺的正方形，在水池中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池的一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度是（）尺．A．7.5 B．8 C． D．92．（2023秋?新吳區(qū)期末）如圖，長為16cm的橡皮筋放置在數(shù)軸上，固定兩端A和B，然后把中點C向上拉升6cm至D點，則橡皮筋被拉長了（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm3．（2023秋?汝州市期末）葛藤是一種多年生草本植物，為獲得更多的雨露和陽光，其常繞著附近的樹干沿最短路線盤旋而上．現(xiàn)有一段葛藤繞樹干盤旋2圈升高為2.4m，如果把樹干看成圓柱體，其底面周長是0.5m，如圖是葛藤盤旋1圈的示意圖，則這段葛藤的長是（）m．A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.84．（2022?陽谷縣校級開學）如圖，一個零件的形狀如圖所示，已知∠CAB＝∠CBD＝90°，AC＝3cm，AB＝4cm，BD＝12cm，則CD長為（）cm．A．5 B．13 C． D．155．（2023秋?朝陽區(qū)期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm．若這支鉛筆長為18cm，則這只鉛筆在筆筒外面部分長度不可能的是（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm6．（2022春?漢陽區(qū)校級月考）如圖，一根長25m的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時梯子的底端距墻底端7m．如果梯子的頂端下滑4m，那么梯子的底端將向右滑動（）A．15m B．9m C．7m D．8m二．填空題7．（2023秋?新鄭市期末）圖①所示的正方體木塊棱長為8cm，沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點A爬行到頂點B的最短距離為cm．8．（2023秋?武功縣期末）如圖，在長方體的頂點G處有一滴糖漿，棱AE上的P處的螞蟻想沿長方體表面爬到容器G處吃糖漿，已知容器長AB＝5cm，寬AD＝4cm，高AE＝4cm，AP＝1cm，那么螞蟻需爬行的最短距離是cm．（結(jié)果保留根號）9．（2023秋?姜堰區(qū)期末）如圖，某自動感應(yīng)門的正上方A處裝著一個感應(yīng)器，離地面的高度AB為2.5米，一名學生站在C處時，感應(yīng)門自動打開了，此時這名學生離感應(yīng)門的距離BC為1.2米，頭頂離感應(yīng)器的距離AD為1.5米，則這名學生身高CD為米．10．（2023秋?禪城區(qū)期末）如圖，校園內(nèi)有一塊長方形草地，為了滿足人們的多樣化需求，在草地內(nèi)拐角位置開出了一條“路”，走此“路”可以省m的路．11．（2023春?望城區(qū)期末）如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點B距離C點5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，則螞蟻爬行的最短距離是cm．12．（2023秋?肥城市期中）如圖所示，ABCD是長方形地面，長AB＝20m，寬AD＝10m．中間豎有一堵磚墻高MN＝2m．一只螞蚱從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走m的路程．三．解答題13．（2022春?海安市期中）如圖，一架2.5m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4m．（1）如果梯子的頂端A沿墻下滑0.4m，那么梯子的底端B也外移0.4m嗎？請通過計算說明．（2）點P為AB的中點，小明用一根繩子的一端固定在點P處，拉直后將另一端固定在點O處．你覺得這樣能防止梯子下滑嗎？簡要說明理由．14．（2022春?彭州市校級期中）森林火災(zāi)是一種常見的自然災(zāi)害，危害很大，隨著中國科技、經(jīng)濟的不斷發(fā)展，開始應(yīng)用飛機灑水的方式撲滅火源．如圖，有一臺救火飛機沿東西方向AB，由點A飛向點B，已知點C為其中一個著火點，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為600m和800m，又AB＝1000m，飛機中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響．（1）著火點C受灑水影響嗎？為什么？（2）若飛機的速度為10m/s，要想撲滅著火點C估計需要13秒，請你通過計算判斷著火點C能否被撲滅？15．（2022春?寧津縣期末）2021年是第七屆全國文明城市創(chuàng)建周期的第一年，某小區(qū)在創(chuàng)城工作過程中，在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技術(shù)人員在只有卷尺的情況下，通過測量某兩點之間距離，便快速確定了∠ABC＝90°．（1）請寫出技術(shù)人員測量的是哪兩點之間的距離以及確定∠ABC＝90°的依據(jù)；（2）若平均每平方米空地的綠化費用為150元，試計算綠化這片空地共需花費多少元？16．（2023秋?原陽縣期末）如圖，一個正方體木箱子右邊連接一個正方形木板，甲螞蟻從點A出發(fā)，沿a，b，d三個面走最短路徑到點B；同時，乙螞蟻以相同的速度從點B出發(fā)，沿d，c兩個面走最短路徑到點A．請你通過計算判斷哪只螞蟻先到達目的地？17．（2023秋?中牟縣期末）如圖，一架長26m的云梯AB斜靠在豎直的墻上，云梯的底端B到墻底C的距離為10m．（1）求這架云梯的頂端距離地面有多高？（2）如圖所示，如果云梯的底端B向墻外滑動了3m，求此時云梯的頂端A下滑的距離．18．（2022春?延津縣期中）如圖，有一架秋千，當他靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝0.6m，將他往前推送2.4m（水平距離BC＝2.4m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝1.2m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度．19．（2023秋?藍田縣校級期末）如圖，學習了勾股定理后，數(shù)學興趣小組的小紅和小明對離教室不遠的一個直角三角形空地下邊上的高進行了探究：兩人在直角邊AB上距離直角頂點B為9米遠的點D處同時開始測量，點C為終點，小明沿D→B→C的路徑測得所經(jīng)過的路程為18米，小紅沿著D→A→C的路徑測量得所經(jīng)過的路程為18米，這時小明說我能求出這個直角三角形的空地斜邊上的高了，小紅說我也知道怎么求出這個直角三角形的空地斜邊上的高了．你能求出這個直角三角形的空地斜邊上的高嗎？若能，請你求出來；若不能，請說明理由．20．（2022春?龍湖區(qū)期末）在杭州西湖風景游船處，如圖，在離水面高度為5m的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13m，此人以0.5m/s的速度收繩10s后船移動到點D的位置，問船向岸邊移動了多少m？（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號）專題04勾股定理的應(yīng)用（綜合題）易錯點撥易錯點撥知識點：勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3．與勾股定理有關(guān)的面積計算；4．勾股定理在實際生活中的應(yīng)用．易錯題專訓易錯題專訓一．選擇題1．（2022?和平區(qū)校級開學）如圖，有一個水池，水面是一邊長為8尺的正方形，在水池中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池的一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度是（）尺．A．7.5 B．8 C． D．9解：設(shè)蘆葦?shù)拈L度為x尺，則AB的長為（x﹣1）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2，即：，解得：x＝，即蘆葦?shù)拈L度為：尺，故選：C．2．（2023秋?新吳區(qū)期末）如圖，長為16cm的橡皮筋放置在數(shù)軸上，固定兩端A和B，然后把中點C向上拉升6cm至D點，則橡皮筋被拉長了（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm解：Rt△ACD中，AC＝AB＝8cm，CD＝6cm；根據(jù)勾股定理，得：AD＝＝10（cm）；∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝20﹣16＝4（cm）；故橡皮筋被拉長了4cm．故選：A．3．（2023秋?汝州市期末）葛藤是一種多年生草本植物，為獲得更多的雨露和陽光，其常繞著附近的樹干沿最短路線盤旋而上．現(xiàn)有一段葛藤繞樹干盤旋2圈升高為2.4m，如果把樹干看成圓柱體，其底面周長是0.5m，如圖是葛藤盤旋1圈的示意圖，則這段葛藤的長是（）m．A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.8解：∵葛藤繞樹干盤旋2圈升高為2.4m，∴葛藤繞樹干盤旋1圈升高為1.2m，如圖所示：AC＝＝＝1.3（m）．∴這段葛藤的長＝2×1.3＝2.6（m）．故選：C．4．（2022?陽谷縣校級開學）如圖，一個零件的形狀如圖所示，已知∠CAB＝∠CBD＝90°，AC＝3cm，AB＝4cm，BD＝12cm，則CD長為（）cm．A．5 B．13 C． D．15解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2+AC2＝42+32＝25，在Rt△BCD中，CD2＝BC2+BD2＝25+122＝169，∴CD＝13（cm）．故選：B．5．（2023秋?朝陽區(qū)期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm．若這支鉛筆長為18cm，則這只鉛筆在筆筒外面部分長度不可能的是（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm解：根據(jù)題意可得圖形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．則這只鉛筆在筆筒外面部分長度在3cm～6cm之間．觀察選項，只有選項D符合題意．故選：D．6．（2022春?漢陽區(qū)校級月考）如圖，一根長25m的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時梯子的底端距墻底端7m．如果梯子的頂端下滑4m，那么梯子的底端將向右滑動（）A．15m B．9m C．7m D．8m解；梯子頂端距離墻角地距離為＝24（m），頂端下滑后梯子底端距離墻角的距離為＝15（m），15﹣7＝8（m）．故選：D．二．填空題7．（2023秋?新鄭市期末）圖①所示的正方體木塊棱長為8cm，沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點A爬行到頂點B的最短距離為（4+4）cm．解：如圖所示：△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等邊三角形，在Rt△BCD中，CD＝＝8cm，則BE＝CD＝4cm，在Rt△ACE中，AE＝＝4cm，答：從頂點A爬行到頂點B的最短距離為（4+4）cm．故答案為：（4+4）．8．（2023秋?武功縣期末）如圖，在長方體的頂點G處有一滴糖漿，棱AE上的P處的螞蟻想沿長方體表面爬到容器G處吃糖漿，已知容器長AB＝5cm，寬AD＝4cm，高AE＝4cm，AP＝1cm，那么螞蟻需爬行的最短距離是cm．（結(jié)果保留根號）解：∵AE＝4cm，AP＝1cm，∴PE＝3cm，如圖1，∴PH＝3+4＝7（cm），∴PG＝＝＝（cm）；如圖2，∴PG＝＝＝（cm）；如圖3，∴PG＝＝3（cm），故螞蟻需爬行的最短距離是cm．故答案為：．9．（2023秋?姜堰區(qū)期末）如圖，某自動感應(yīng)門的正上方A處裝著一個感應(yīng)器，離地面的高度AB為2.5米，一名學生站在C處時，感應(yīng)門自動打開了，此時這名學生離感應(yīng)門的距離BC為1.2米，頭頂離感應(yīng)器的距離AD為1.5米，則這名學生身高CD為1.6米．解：過點D作DE⊥AB于E，如圖所示：則CD＝BE，DE＝BC＝1.2米＝米，在Rt△ADE中，AD＝1.5米＝米，由勾股定理得：AE＝＝＝0.9（米），∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），∴CD＝BE＝1.6米，故答案為：1.6．10．（2023秋?禪城區(qū)期末）如圖，校園內(nèi)有一塊長方形草地，為了滿足人們的多樣化需求，在草地內(nèi)拐角位置開出了一條“路”，走此“路”可以省2m的路．解：由勾股定理得：草地內(nèi)拐角位置開出了一條“路”的長為：＝5（m），∵3+4﹣5＝2（m），∴走此“路”可以省2m的路，故答案為：2．11．（2023春?望城區(qū)期末）如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點B距離C點5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，則螞蟻爬行的最短距離是25cm．解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第1個圖：∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝；只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第2個圖：∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝；只要把長方體的上表面剪開與后面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第3個圖：∵長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：∴AB＝；∵25＜5，∴螞蟻爬行的最短距離是25．故答案為：2512．（2023秋?肥城市期中）如圖所示，ABCD是長方形地面，長AB＝20m，寬AD＝10m．中間豎有一堵磚墻高MN＝2m．一只螞蚱從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走26m的路程．解：如圖所示，將圖展開，圖形長度增加2MN，原圖長度增加4米，則AB＝20+4＝24m，連接AC，∵四邊形ABCD是長方形，AB＝24m，寬AD＝10m，∴AC＝＝＝＝26m，∴螞蚱從A點爬到C點，它至少要走26m的路程．故答案為：26m．三．解答題13．（2022春?海安市期中）如圖，一架2.5m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4m．（1）如果梯子的頂端A沿墻下滑0.4m，那么梯子的底端B也外移0.4m嗎？請通過計算說明．（2）點P為AB的中點，小明用一根繩子的一端固定在點P處，拉直后將另一端固定在點O處．你覺得這樣能防止梯子下滑嗎？簡要說明理由．解：（1）在Rt△AOB中，OB＝＝0.7（米），∵AO＝2.4，AC＝0.4（米），∴CO＝2米，在Rt△DOC中，DO＝＝1.5（米），∴BD＝DO﹣BO＝1.5﹣0.7＝0.8（米），故梯子的底端B外移不是0.4m而是0.8m；（2）不能防止梯子下滑．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，梯子若下滑，繩子的長度不變，并不拉伸，對梯子無拉力作用．14．（2022春?彭州市校級期中）森林火災(zāi)是一種常見的自然災(zāi)害，危害很大，隨著中國科技、經(jīng)濟的不斷發(fā)展，開始應(yīng)用飛機灑水的方式撲滅火源．如圖，有一臺救火飛機沿東西方向AB，由點A飛向點B，已知點C為其中一個著火點，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為600m和800m，又AB＝1000m，飛機中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響．（1）著火點C受灑水影響嗎？為什么？（2）若飛機的速度為10m/s，要想撲滅著火點C估計需要13秒，請你通過計算判斷著火點C能否被撲滅？解：（1）著火點C受灑水影響．理由：如圖，過點C作CD⊥AB于D，由題意知AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，∵AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝AC?BC＝CD?AB，∴600×800＝1000CD，∴CD＝480，∵飛機中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響，∴著火點C受灑水影響；（2）當EC＝FC＝500m時，飛機正好噴到著火點C，在Rt△CDE中，ED＝＝＝140（m），∴EF＝280m，∵飛機的速度為10m/s，∴280÷10＝28（秒），∵28秒＞13秒，∴著火點C能被撲滅，答：著火點C能被撲滅．15．（2022春?寧津縣期末）2021年是第七屆全國文明城市創(chuàng)建周期的第一年，某小區(qū)在創(chuàng)城工作過程中，在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技術(shù)人員在只有卷尺的情況下，通過測量某兩點之間距離，便快速確定了∠ABC＝90°．（1）請寫出技術(shù)人員測量的是哪兩點之間的距離以及確定∠ABC＝90°的依據(jù)；（2）若平均每平方米空地的綠化費用為150元，試計算綠化這片空地共需花費多少元？解：（1）連接AC，技術(shù)人員測量的是A，C兩點之間的距離，確定∠ABC＝90°的依據(jù)是勾股定理逆定理；（2）∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝15（m），∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2+AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°，∴S△DAC＝×AD?AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB?AC＝×9×12＝54，∴S四邊形ABCD＝60+54＝114（m2），∴150×114＝17100（元），答：綠化這片空地共需花費17100元．16．（2023秋?原陽縣期末）如圖，一個正方體木箱子右邊連接一個正方形木板，甲螞蟻從點A出發(fā)，沿a，b，d三個面走最短路徑到點B；同時，乙螞蟻以相同的速度從點B出發(fā)，沿d，c兩個面走最短路徑到點A．請你通過計算判斷哪只螞蟻先到達目的地？解析展開a，b，c與d在同一平面內(nèi)，如圖所示．由題意可知，甲螞蟻走的路徑為A1B，（cm）．乙螞蟻走的路徑為A2B，（cm）．因為，所以A1B＞A2B，故乙螞蟻先到達目的地．17．（2023秋?中牟縣期末）如圖，一架長26m的云梯AB斜靠在豎直的墻上，云梯的底端B到墻底C的距離為10m．（1）求這架云梯的頂端距離地面有多高？（2）如圖所示，如果云梯的底端B向墻外滑動了3m，求此時云梯的頂端A下滑的距離．解（1）根據(jù)題意可知，∠ACB＝90°，AB＝26m，BC＝10m，BB1＝3m．在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴．答：云梯的頂端距離地面有24m高．（2）由題意得，A1B1＝26m，CB1＝CB+BB1＝10+3＝13（m），在RtΔA1B1C中，由勾股定理得：．∴（m），∴AA1＝AC﹣A1C＝（24﹣13）（m），答：云梯的頂端A下滑了．18．（2022春?延津縣期中）如圖，有一架秋千，當他靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝0.6m，將他往前推送2.4m（水平距離BC＝2.4m）