12.2.1-認識一次函數(shù)

第12章

一次函數(shù)第2節(jié)一次函數(shù)第1課時正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)課堂講解課時流程12一次函數(shù)與正比例函數(shù)的定義正比例函數(shù)的圖象正比例函數(shù)的性質(zhì)逐點導講練課堂小結(jié)課后作業(yè)在上節(jié)，遇到過這樣一些函數(shù)：

h=30t+1800;Q=-25t+300;y=2x;y=-2x;s=80t.這些函數(shù)有什么共同特點？1知識點一次函數(shù)與正比例函數(shù)的定義知1－講1.定義：一般地，形如y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，且k≠0)

的函數(shù)，叫做一次函數(shù)．當b＝0時，y＝kx(k

為常數(shù)，且k≠0)，所以說正比例函數(shù)是一種

特殊的一次函數(shù)．知1－講2.要點精析：一次函數(shù)y＝

kx＋b(k≠0)的結(jié)構(gòu)特征：①k≠0；②自變量x的次數(shù)是1；③常數(shù)項b可以是任意實數(shù)．知1－講例1下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)，哪些又是正比例函數(shù)？(1)y＝－2x2；(2)y＝；(3)y＝3x2－x(3x－2)；(4)x2＋y＝1；(5)y＝－.導引：先看函數(shù)式是否為整式，再經(jīng)過恒等變形，根據(jù)一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義進行判斷．解：(1)因為x的指數(shù)是2，所以y＝－2x2不是一次函數(shù)．(2)因為

所以是一次函數(shù)．(3)因為y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0，

所以它是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)．知1－講（來自《點撥》）知1－講(4)x2＋y＝1，即y＝1－x2.因為x的指數(shù)是2，

所以x2＋y＝1不是一次函數(shù)．(5)因為y＝－

不是整式，不符合y＝kx＋b的形式，

所以它不是一次函數(shù)．總

結(jié)判斷函數(shù)式是否為一次函數(shù)的方法：先看函數(shù)式是否是整式的形式，再將函數(shù)式進行恒等變形，看它是否符合一次函數(shù)表達式y(tǒng)＝kx＋b的結(jié)構(gòu)特征：(1)k≠0；(2)自變量x的次數(shù)為1；(3)常數(shù)項b可以為任意實數(shù)．（來自《點撥》）知1－講知1－講例2

〈原創(chuàng)易錯題〉已知函數(shù)y＝(n2－4)x2＋(2n－4)xm－2－(m＋n－8)；(1)當m、n為何值時，函數(shù)是一次函數(shù)？(2)如果函數(shù)是一次函數(shù)，計算當x＝1時的函數(shù)值．知1－講導引：(1)由一次函數(shù)的定義，結(jié)合原函數(shù)式的特征知：①二次項的系數(shù)必為0，即n2－4＝0；②(2n－4)xm－2必為一次項，即m－2＝1，2n－4≠0；(2)寫出表達式，運用代入法求函數(shù)值．知1－講解：(1)由題意，得

解得m＝3，n＝－2.所以當m＝3，n＝－2時函數(shù)是一次函數(shù)．(2)由(1)得此一次函數(shù)的表達式為y＝－8x＋7.當x＝1時，y＝－8×1＋7＝－1.（來自《點撥》）知1－講總

結(jié)根據(jù)一次函數(shù)的定義求待定字母的值時，要注意：(1)函數(shù)的表達式是自變量的一次式，若含有一次以上的項，則其系數(shù)必為0；(2)隱含條件：自變量(一次項)的系數(shù)不為0.（來自《點撥》）1.定義：一般地，形如y＝kx(k為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)；其中k叫做比例系數(shù)．要點精析：(1)判斷一個函數(shù)是否為正比例函數(shù)的方法：看這個函數(shù)是否滿足以下兩個條件：①所給等式是形如y＝kx的等式；②比例系數(shù)k是常數(shù)，且k不等于0.同時滿足這兩個條件，它就是正比例函數(shù)．知1－講(2)正比例函數(shù)反映的是兩個變量之間的關(guān)系，是正比例函數(shù)關(guān)系．2．易錯警示：

(1)正比例函數(shù)y＝kx中，k≠0，x的指數(shù)為1；(2)自變量的取值范圍：一般情況下，正比例函數(shù)

中自變量的取值范圍是全體實數(shù)，但在實際問

題中，注意自變量的取值要有實際意義.知1－講例3

寫出下列問題的函數(shù)表達式，并判斷哪些是正比例函數(shù)．(1)已知圓的周長C是半徑r的函數(shù)；(2)油箱中有油30L，若油均勻流出，150min流盡，則油箱中余油量Q(L)是流出時間t(min)的函數(shù)；(3)小明以4km/h的速度勻速前進，則他所走的路程s(km)是時間t(h)的函數(shù)；知1－講(4)某種商品每件進價100元，售出時每件獲得20%的

利潤，銷售額y(元)是售出商品數(shù)量x(件)的函數(shù)．解：(1)C＝2πr，是正比例函數(shù)．(2)Q＝30－t，不是正比例函數(shù)．(3)s＝4t，是正比例函數(shù)．(4)y＝(100＋100×20%)x＝120x，是正比例函數(shù)．（來自《點撥》）總

結(jié)（來自《點撥》）(1)根據(jù)題意可先得到數(shù)量間的關(guān)系式，然后寫成函數(shù)表達式的形式．(2)判斷是否為正比例函數(shù)的依據(jù)：即看兩個變量的比是不是常數(shù)，即是不是形如y＝kx(k為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)．知1－講例4

已知函數(shù)y＝(k－2)x|k|－1(k為常數(shù))是正比例函數(shù)，則k＝________．導引：根據(jù)正比例函數(shù)的定義，此函數(shù)表達式應(yīng)滿足：(1)變量x的指數(shù)為1，即|k|－1＝1，所以k＝±2；(2)比例系數(shù)k－2≠0，即k≠2.綜上，k＝－2.－2（來自《點撥》）知1－講總

結(jié)由正比例函數(shù)的定義知正比例函數(shù)的自變量的指數(shù)為1；應(yīng)用定義求值時，不要忽視比例系數(shù)不為0這一條件.（來自《點撥》）知1－講1下列函數(shù)中，y是x的一次函數(shù)的是(

)A．y＝x2＋2xB．y＝－C．y＝xD．y＝＋1（來自《典中點》）知1－練C下列函數(shù)：①y＝2x－1，②y＝πx，③y＝，④y＝x2中，一次函數(shù)的個數(shù)是(

)A．1B．2C．3D．4（來自《典中點》）知1－練B已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是y關(guān)于x的一次函數(shù)，

則m的值是(

)A．－3B．3C．±3D．±2（來自《典中點》）知1－練A4下列問題中，變量之間的關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系

的是(

)A．長方形的面積固定，長和寬之間的關(guān)系B．正方形的面積和邊長之間的關(guān)系C．三角形的面積一定，底邊和底邊上的高之間

的關(guān)系

D．勻速運動中，路程和時間之間的關(guān)系（來自《典中點》）知1－練D(中考·涼山州)已知函數(shù)y＝2x2a＋b＋a＋2b是正比例函數(shù)，則a＝________，b＝________.5（來自《典中點》）知1－練2知識點正比例函數(shù)的圖象知2－講例1在同一平面直角坐標系中，畫下列函數(shù)的

圖象：

y=x,

y=x,y=3x.解：列表(為便于比較，三個函數(shù)值計算表排在一起)

x…01…

y=x…0

…

y=x…01…

y=3x…03…知2－講如圖，過兩點（0,0），（1，）畫直線，得y=x的圖象；過兩點（0,0），（1,1）畫直線，得y=x的圖象；過兩點（0,0），（1,3）畫直線，得y=3x的圖象.（來自教材）知2－講例2

在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)y＝5x，y＝x的圖象解：列表：x…01…y＝5x…05…y＝x…01…描點、連線，如圖所示（來自《點撥》）知2－講總

結(jié)正比例函數(shù)y＝kx(k是常數(shù)，且k≠0)的圖象是一條經(jīng)過原點及(1，k)的直線，通常作正比例函數(shù)的圖象是過(0，0)和(1，k)兩點畫直線，但也可以變通，選點應(yīng)以便于計算和描點為原則．（來自《點撥》）知2－講(中考·北海)正比例函數(shù)y＝kx的圖象如圖所示，則k的取值范圍是(

)A．k>0

B．k<0C．k>1

D．k<11（來自《典中點》）知2－練A正比例函數(shù)y＝x的大致圖象是(

)2（來自《典中點》）知2－練C已知正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)，當x＝－1時，y＝－2，則它的圖象大致是(

)3（來自《典中點》）知2－練C3知識點正比例函數(shù)的性質(zhì)學過了上面例1及練習后可以看出，當k取不同的數(shù)值時，就確定正比例函數(shù)y=kx(k為常數(shù)，且k≠0)在坐標系中有不同的位置.你能從中歸納出怎樣的規(guī)律？知3－講

圖象：正比例函數(shù)y＝kx(k為常數(shù)，且k≠0)的圖象是

一條經(jīng)過原點的直線，我們稱它為直線y＝kx.

性質(zhì)：當k＞0時，直線y＝kx經(jīng)過第一、三象限，從

左向右上升，y隨著x的增大而增大，

當k＜0時，直線y＝kx經(jīng)過第二、四象限，

從左向右下降，y隨著x的增大而減?。?－講例3

〈廣東珠?！狄阎瘮?shù)y＝3x的圖象經(jīng)過點A(－1，y1)，點B(－2，y2)，則y1____y2(填“＞”“＜”或“＝”)．＞導引：方法一：把點A，點B的坐標分別代入函數(shù)y＝3x，求出y1，y2的值比較大小即可．方法二：畫出正比例函數(shù)y＝3x的圖象，在函數(shù)圖象上標出點A，點B，利用數(shù)形結(jié)合思想來比較y1，y2的大?。?－講如圖，觀察圖象，顯然可得y1＞y2.方法三：根據(jù)正比例函數(shù)的增減性來比較函數(shù)值的大?。鶕?jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)，當k＞0時，y隨x的增大而增大，即可得y1＞y2.（來自《點撥》）知3－講總

結(jié)正比例函數(shù)的圖象上兩點的縱坐標的大小與比例系數(shù)以及橫坐標的大小有關(guān)；比例系數(shù)是正數(shù)時，函數(shù)值隨自變量的增大而增大；比例系數(shù)是負數(shù)時，函數(shù)值隨自變量的增大而減?。?－講總

結(jié)本例的解法中，方法一是用求值比較法；方法二是利用數(shù)形結(jié)合思想，用“形”上的點的縱坐標位置來比較“數(shù)”的大??；方法三是利用函數(shù)的增減性來比較大?。▉碜浴饵c撥》）知3－講例4

已知正比例函數(shù)y＝k1x與y＝k2x的圖象如圖，

比較k1與k2的大?。畬б簝蓚€函數(shù)的自變量取

相同的數(shù)值，當所取

的數(shù)是正數(shù)時，比較兩

個函數(shù)值的大小即可得k1、k2的大?。?－講解：在正比例函數(shù)y＝k1x圖象位于第一象限的射線上

取一點A，設(shè)點A的坐標是(a，k1a)，

過點A引x軸的垂線交正比例函數(shù)y＝k2x的圖象于

一點B，x軸上的垂足是H，

所以點B的坐標是(a，k2a)，

由于k1a＞k2a，且a＞0，因此k1＞k2.（來自《點撥》）知3－講總

結(jié)

利用正比例函數(shù)的圖象比較比例系數(shù)的大小，可以在一條直線上取一點A，通常使得這點的橫坐標是1，過這點引x軸的垂線，交另一直線于一點B，比較兩點縱坐標的大小即可．（來自《點撥》）知3－講例5若正比例函數(shù)y＝(3k－5)x及y＝(5k－3)x的圖象如圖所示，則k的取值范圍是________．導引：由正比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)知：3k－5＜0，即k

＜；5k－3＞0，即k＞.綜合兩個不

等式的解集，得＜k＜.（來自《點撥》）總

結(jié)(1)由正比例函數(shù)的性質(zhì)y隨x的增大而增大或減小，可以

判斷比例系數(shù)的符號，當y隨x的增大而增大時，比例

系數(shù)k大于0，反