北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三 專題3.1 變量之間的關(guān)系章末重難點(diǎn)突破（舉一反三）（原卷版+解析）

專題3.1變量之間的關(guān)系章末重難點(diǎn)突破【北師大版】【考點(diǎn)1常量與變量的識(shí)別】【例1】(2023春?都安縣月考）對(duì)于圓的周長(zhǎng)公式C＝2πr，下列說(shuō)法正確的是（）A．C是變量，2，r是常量 B．r是變量，C是常量 C．C是變量，r是常量 D．C，r是變量，2π是常量【變式1-1】(2023春?橋西區(qū)期末）劉師傅到加油站加油，如圖是所用的加油機(jī)上的某一時(shí)刻數(shù)據(jù)顯示牌，則其中的變量是（）A．金額 B．單價(jià) C．?dāng)?shù)量 D．金額和數(shù)量【變式1-2】(2023春?甘孜州期末）某電影放映廳周六放映一部電影，當(dāng)天的場(chǎng)次、售票量、售票收入的變化情況如表所示．在該變化過(guò)程中，常量是（）場(chǎng)次售票量（張）售票收入（元）15020002100400031506000415060005150600061506000A．場(chǎng)次 B．售票量 C．票價(jià) D．售票收入【變式1-3】(2023秋?青田縣期末）如圖，把兩根木條的一端用螺栓固定在一起，木條可自由轉(zhuǎn)動(dòng)．在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，下面的量是常量的為（）A．∠BAC的度數(shù) B．AB的長(zhǎng)度 C．BC的長(zhǎng)度 D．△ABC的面積【考點(diǎn)2自變量與因變量的識(shí)別】【例2】(2023秋?宣城期末）寒冷的冬天里我們?cè)诶每照{(diào)制熱調(diào)控室內(nèi)溫度的過(guò)程中，空調(diào)的每小時(shí)用電量隨開(kāi)機(jī)設(shè)置溫度的高低而變化，這個(gè)問(wèn)題中自變量是（）A．每小時(shí)用電量 B．室內(nèi)溫度 C．設(shè)置溫度 D．用電時(shí)間【變式2-1】(2023春?貴陽(yáng)期末）太陽(yáng)能作為一種新型能源，被廣泛應(yīng)用到實(shí)際生活中，在利用太陽(yáng)能熱水器來(lái)加熱的過(guò)程中，熱水器里水的溫度隨著太陽(yáng)光照射時(shí)間的變化而變化，這一變化過(guò)程中因變量是（）A．水的溫度 B．太陽(yáng)光的強(qiáng)弱 C．太陽(yáng)光照射的時(shí)間 D．熱水器的容積【變式2-2】(2023春?武侯區(qū)校級(jí)月考）嬰兒在6個(gè)月、1周歲、2周歲時(shí)體重分別大約是出生時(shí)的2倍、3倍、4倍，6周歲、10周歲時(shí)體重分別約是1周歲的2倍、3倍，上述過(guò)程中，自變量是（）A．年齡 B．嬰兒 C．體重 D．倍數(shù)【變式2-3】(2023春?鐵西區(qū)期中）一個(gè)容器中裝有一定質(zhì)量的糖．向容器中加入水，隨著水量的增加，糖水的濃度將降低，這個(gè)問(wèn)題中自變量和因變量分別是（）A．糖，糖水的濃度 B．水，糖水 C．糖，糖水 D．水，糖水的濃度【考點(diǎn)3用表格表示變量間關(guān)系】【例3】(2023春?正定縣期中）在一次實(shí)驗(yàn)中，馬達(dá)同學(xué)把一根彈簧的上端固定，在其下端懸掛物體質(zhì)量x的一組對(duì)應(yīng)值．所掛物體質(zhì)量x/kg012345彈簧長(zhǎng)度y/cm182022242628（1）上表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系，并指出誰(shuí)是自變量，誰(shuí)是因變量．（2）當(dāng)懸掛物體的重量為4千克時(shí)，彈簧長(zhǎng)；不掛重物時(shí)彈簧長(zhǎng)．（3）彈簧長(zhǎng)度y所掛物體質(zhì)量x之間的關(guān)系可以用式子表示為：．（4）求掛12kg物體時(shí)彈簧長(zhǎng)度及彈簧長(zhǎng)40cm時(shí)所掛物體的重量．【變式3-1】(2023春?壽陽(yáng)縣期末）研究表明，當(dāng)每公頃鉀肥和磷肥的施用量一定時(shí)，土豆的產(chǎn)量與氮肥的施用量有如下關(guān)系：氮肥施用量/kg03467101135202259336404471土豆產(chǎn)量/t15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75（1）上表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？（2）當(dāng)?shù)实氖┯昧渴?01kg/hm2（hm2是單位“公頃”的符號(hào)）時(shí)，土豆的產(chǎn)量是多少？如果不施氮肥呢？（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為氮肥的施用量是多少時(shí)比較適宜？說(shuō)說(shuō)你的理由．（4）粗略說(shuō)一說(shuō)氮肥的施用量對(duì)土豆產(chǎn)量的影響．【變式3-2】(2023春?崇州市期末）某公交車每月的支出費(fèi)用為4000元每月的乘車人數(shù)x（人）與每月利潤(rùn)y（元）的變化關(guān)系如下表所示：（利潤(rùn)＝收入費(fèi)用﹣支出費(fèi)用，每位乘客的公交票價(jià)是固定不變的）x（人）50010001500200025003000y（元）﹣3000﹣2000﹣1000010002000（1）在這個(gè)變化過(guò)程中，是自變量，是因變量；（填中文）（2）觀察表中數(shù)據(jù)可知，每月乘客量達(dá)到人以上時(shí)，該公交車才不會(huì)虧損；（3）請(qǐng)你估計(jì)當(dāng)每月乘車人數(shù)為3500人時(shí)，每月利潤(rùn)為元；（4）若5月份想獲得利潤(rùn)5000元，則請(qǐng)你估計(jì)5月份的乘客量需達(dá)人．【變式3-3】(2023春?織金縣期末）科學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)聲音在空氣中傳播的速度y（米/秒）與氣溫x（℃）有關(guān)：當(dāng)氣溫是0℃時(shí)，音速是330米/秒；當(dāng)氣溫是5℃時(shí)，音速是333米秒；當(dāng)氣溫是10℃時(shí)，音速是336米/秒；當(dāng)氣溫是15℃時(shí)，音速是339米/秒；當(dāng)氣溫是20℃時(shí)，音速是342米/秒；當(dāng)氣溫是25℃時(shí)，音速是345米/秒；當(dāng)氣溫是30℃時(shí)，音速是348米/秒．（1）請(qǐng)用表格表示氣溫與音速之間的關(guān)系；（2）表格反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？（3）當(dāng)氣溫是35℃時(shí)，估計(jì)音速y可能是多少？（4）用一個(gè)式子來(lái)表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系．【考點(diǎn)4用關(guān)系式表示變量間關(guān)系】【例4】(2023秋?濱海縣期末）某商場(chǎng)為了增加銷售額，推出“元月銷售大酬賓”活動(dòng)，其活動(dòng)內(nèi)容為：“凡元月份在該商場(chǎng)一次性購(gòu)物超過(guò)100元以上者，超過(guò)100元的部分按9折優(yōu)惠．”在大酬賓活動(dòng)中，小王到該商場(chǎng)為單位購(gòu)買單價(jià)為60元的辦公用品x件（x＞2），則應(yīng)付貨款y（元）與商品件數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式是．【變式4-1】(2023秋?市南區(qū)期中）某襯衣每件定價(jià)為100元時(shí)，每月可賣出2000件，受成本影響，該襯衣需漲價(jià)，已知每件定價(jià)每上漲10元，銷售量便減少50件．則每月售出襯衣的總件數(shù)y（件）與襯衣每件定價(jià)x（元）之間的關(guān)系式為．【變式4-2】(2023春?新城區(qū)校級(jí)期末）為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí)，某市制定了如下用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：①每戶每月的用水不超過(guò)10立方米時(shí)，水價(jià)為每立方米2.2元；②超過(guò)10立方米時(shí)，超出部分按每立方米3.8元收費(fèi)，該市每戶居民6月份用水x立方米（x＞10），應(yīng)交水費(fèi)y元，則y與x的關(guān)系式為．【變式4-3】(2023春?碑林區(qū)校級(jí)期末）將長(zhǎng)為23cm、寬為10cm的長(zhǎng)方形白紙，按如圖所示的方法粘合起來(lái)，粘合部分的寬為2cm，設(shè)x張白紙粘合后的總長(zhǎng)度為ycm，y與x的函數(shù)關(guān)系式為．【考點(diǎn)5利用變量間關(guān)系判斷圖象】【例5】(2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）放寒假了，樂(lè)樂(lè)騎車從家去外婆家玩，先前進(jìn)了a千米，在路上遇到同學(xué)培培，停下來(lái)閑聊了一會(huì)，樂(lè)樂(lè)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)卷子忘在了學(xué)校，于是借了培培的卷子返回路過(guò)的打印店去復(fù)印，原路原速返回了b千米（b＜a），再掉頭沿原方向加速行駛，則樂(lè)樂(lè)離家的距離s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）A． B． C． D．【變式5-1】(2023春?重慶月考）一列快車從甲地駛往乙地，一列特快車從乙地駛往甲地．快車的速度為60千米/小時(shí)，特快車的速度為90千米/小時(shí)，甲、乙兩地之間的距離為300千米，兩車同時(shí)出發(fā)，則圖中折線大致表示兩車之間的距離y（千米）與快車行駛時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象的是（）A． B． C． D．【變式5-2】(2023春?紅河州期末）“龜兔賽跑”新編：兔子和烏龜在上一次比賽中，兔子由于驕傲輸給了烏龜．新的一輪比賽開(kāi)始，兔子汲取教訓(xùn)極力奔跑，一路遙遙領(lǐng)先的兔子在比賽途中撿到一個(gè)錢包，為了便于失主盡快找到，兔子焦急地在原地等待，直到錢包被認(rèn)領(lǐng)．這時(shí)，兔子發(fā)現(xiàn)烏龜已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)地跑在了自己的前面，于是它奮起直追，結(jié)果拾金不昧的兔子與烏龜同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，用S1，S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時(shí)間，則下列圖象中與故事情節(jié)相吻合的是（）A． B． C． D．【變式5-3】(2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）2021年4月18日，重慶市第一中學(xué)校舉行建校90周年慶祝大會(huì)，新老校友齊聚一堂，共話母校數(shù)十載發(fā)展變化，表達(dá)對(duì)母校的感激之情．小喬與小王是重慶一中的同班校友，相約前往一中參加活動(dòng)．他們同時(shí)從家里出發(fā)前往一中正門（一中正門恰好在小喬家與小王家之間，且三個(gè)地點(diǎn)在同一直線上，小王先到達(dá)一中正門后原地等待小喬，兩人會(huì)和時(shí)小喬發(fā)現(xiàn)手機(jī)遺忘在家里，于是立即以原來(lái)的速度返回家，取完手機(jī)（尋找手機(jī)的時(shí)間忽略不計(jì)）小喬立即調(diào)頭以和同速度前往一中正門，直至與小王會(huì)和．小喬和小王之間的距離y（米）與小喬從家出發(fā)的時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系圖可能是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)6用圖象表示變量間關(guān)系】【例6】(2023秋?任城區(qū)期末）小紅星期天從家里出發(fā)騎車去舅舅家做客，當(dāng)她騎了一段路時(shí)，想起要買個(gè)禮物送給表弟，于是又折回到剛經(jīng)過(guò)的一家商店，買好禮物后又繼續(xù)騎車去舅舅家，如圖是她本次去舅舅家所用的時(shí)間與小紅離家的距離的關(guān)系式示意圖．根據(jù)圖中提供的信息回答下列問(wèn)題：（1）小紅家到舅舅家的路程是米，小紅在商店停留了分鐘；（2）在整個(gè)去舅舅家的途中哪個(gè)時(shí)間段小紅騎車速度最快？最快的速度是多少米/分？（3）本次去舅舅家的行程中，小紅一共行駛了多少米？【變式6-1】(2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）某空軍加油飛機(jī)接到命令，立即給另一架正在飛行的運(yùn)輸機(jī)進(jìn)行空中加油．在加油過(guò)程中，設(shè)運(yùn)輸飛機(jī)的油箱余油量為Q1噸，加油飛機(jī)的加油箱余油量為Q2噸，加油時(shí)間為t（分），Q1、Q2與t之間的函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合圖象回答下列問(wèn)題：（1）加油之前，加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了噸油；運(yùn)輸飛機(jī)的油箱有余油量噸油；（2）這些油全部加給運(yùn)輸飛機(jī)需分鐘；（3）運(yùn)輸飛機(jī)的飛行油耗為每分鐘噸油；（4）運(yùn)輸飛機(jī)加完油后，以原速繼續(xù)飛行，如果每分鐘油耗相同，最多能飛行小時(shí)．【變式6-2】(2023秋?富川縣期末）周末，小明坐公交車到濱海公園游玩，他從家出發(fā)0.8小時(shí)后達(dá)到中心書(shū)城，逗留一段時(shí)間后繼續(xù)坐公交車到濱海公園，小明離家一段時(shí)間后，爸爸駕車沿相同的路線前往濱海公園．如圖是他們離家路程s（km）與小明離家時(shí)間t（h）的關(guān)系圖，請(qǐng)根據(jù)圖回答下列問(wèn)題：（1）圖中自變量是，因變量是；（2）小明家到濱海公園的路程為km，小明在中心書(shū)城逗留的時(shí)間為h；（3）小明出發(fā)小時(shí)后爸爸駕車出發(fā)；（4）小明從中心書(shū)城到濱海公園的平均速度為km/h，小明爸爸駕車的平均速度為km/h；（5）爸爸駕車經(jīng)過(guò)小時(shí)追上小明，他離家路程s與小明離家時(shí)間t之間的關(guān)系式為．【變式6-3】(2023春?招遠(yuǎn)市期末）小明和小華是姐弟倆，某日早晨，小明7：40先從家出發(fā)去學(xué)校，走了一段后，在途中廣場(chǎng)看到志愿者們?cè)谙蜻^(guò)往行人講解衛(wèi)生防疫常識(shí)，小明想起自己在學(xué)校學(xué)到的衛(wèi)生防疫常識(shí)，于是停下來(lái)加入了志愿者隊(duì)伍，后來(lái)發(fā)現(xiàn)上課時(shí)間快到了，就開(kāi)始跑步上學(xué)，恰好在8：00趕到學(xué)校；小華離家后沿著與小明同一條道路前往學(xué)校，速度一直保持不變，也恰好在8：00趕到學(xué)校，他們從家到學(xué)校已走的路程s（米）和所用時(shí)間t（分鐘）的關(guān)系圖如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖中信息解答下列問(wèn)題：（1）小明家和學(xué)校的距離是米；小明在廣場(chǎng)向行人講解衛(wèi)生防疫常識(shí)所用的時(shí)間是分鐘；（2）分別求小華的速度和小明從廣場(chǎng)跑去學(xué)校的速度；（3）求小華在廣場(chǎng)看到小明時(shí)是幾點(diǎn)幾分？（4）如果小明在廣場(chǎng)進(jìn)行衛(wèi)生防疫常識(shí)講解后，繼續(xù)以之前的速度去往學(xué)校，假設(shè)講解1次衛(wèi)生防疫常識(shí)需要1分鐘，在保證不遲到（不超過(guò)8：00）的情況下，通過(guò)計(jì)算求小明最多可以講解幾次？（結(jié)果保留整數(shù)）專題3.1變量之間的關(guān)系章末重難點(diǎn)突破【北師大版】【考點(diǎn)1常量與變量的識(shí)別】【例1】(2023春?都安縣月考）對(duì)于圓的周長(zhǎng)公式C＝2πr，下列說(shuō)法正確的是（）A．C是變量，2，r是常量 B．r是變量，C是常量 C．C是變量，r是常量 D．C，r是變量，2π是常量分析：常量就是在變化過(guò)程中不變的量，變量是指在變化過(guò)程中隨時(shí)可以發(fā)生變化的量．【解答】解：C、R是變量，2π是常量．故選：D．【變式1-1】(2023春?橋西區(qū)期末）劉師傅到加油站加油，如圖是所用的加油機(jī)上的某一時(shí)刻數(shù)據(jù)顯示牌，則其中的變量是（）A．金額 B．單價(jià) C．?dāng)?shù)量 D．金額和數(shù)量分析：根據(jù)常量與變量的定義即可判斷．【解答】解：常量是固定不變的量，變量是變化的量，單價(jià)是不變的量，而金額是隨著數(shù)量的變化而變化，故選：D．【變式1-2】(2023春?甘孜州期末）某電影放映廳周六放映一部電影，當(dāng)天的場(chǎng)次、售票量、售票收入的變化情況如表所示．在該變化過(guò)程中，常量是（）場(chǎng)次售票量（張）售票收入（元）15020002100400031506000415060005150600061506000A．場(chǎng)次 B．售票量 C．票價(jià) D．售票收入分析：根據(jù)函數(shù)的意義可知：變量是改變的量，常量是不變的量，據(jù)此即可確定變量與常量．【解答】解：在當(dāng)天的場(chǎng)次、票價(jià)、售票量、售票收入中，不變的量是票價(jià)，∴在該變化過(guò)程中，常量是票價(jià)．故選：C．【變式1-3】(2023秋?青田縣期末）如圖，把兩根木條的一端用螺栓固定在一起，木條可自由轉(zhuǎn)動(dòng)．在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，下面的量是常量的為（）A．∠BAC的度數(shù) B．AB的長(zhǎng)度 C．BC的長(zhǎng)度 D．△ABC的面積分析：根據(jù)在一個(gè)變化的過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；數(shù)值始終不變的量稱為常量解答即可．【解答】解：把兩根木條的一端用螺栓固定在一起，木條可自由轉(zhuǎn)動(dòng)．在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，常量為AB的長(zhǎng)度，故選：B．【考點(diǎn)2自變量與因變量的識(shí)別】【例2】(2023秋?宣城期末）寒冷的冬天里我們?cè)诶每照{(diào)制熱調(diào)控室內(nèi)溫度的過(guò)程中，空調(diào)的每小時(shí)用電量隨開(kāi)機(jī)設(shè)置溫度的高低而變化，這個(gè)問(wèn)題中自變量是（）A．每小時(shí)用電量 B．室內(nèi)溫度 C．設(shè)置溫度 D．用電時(shí)間分析：根據(jù)自變量的定義即可得出答案．【解答】解：∵空調(diào)的每小時(shí)用電量隨開(kāi)機(jī)設(shè)置溫度的高低而變化，∴自變量是設(shè)置溫度，故選：C．【變式2-1】(2023春?貴陽(yáng)期末）太陽(yáng)能作為一種新型能源，被廣泛應(yīng)用到實(shí)際生活中，在利用太陽(yáng)能熱水器來(lái)加熱的過(guò)程中，熱水器里水的溫度隨著太陽(yáng)光照射時(shí)間的變化而變化，這一變化過(guò)程中因變量是（）A．水的溫度 B．太陽(yáng)光的強(qiáng)弱 C．太陽(yáng)光照射的時(shí)間 D．熱水器的容積分析：函數(shù)的定義：設(shè)在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y，如果對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么稱y是x的函數(shù)，x叫自變量．函數(shù)關(guān)系式中，某特定的數(shù)會(huì)隨另一個(gè)（或另幾個(gè)）會(huì)變動(dòng)的數(shù)的變動(dòng)而變動(dòng)，就稱為因變量．【解答】解：根據(jù)函數(shù)的定義可知，水溫是隨著所曬時(shí)間的長(zhǎng)短而變化，可知水溫是因變量，所曬時(shí)間為自變量．故選：A．【變式2-2】(2023春?武侯區(qū)校級(jí)月考）嬰兒在6個(gè)月、1周歲、2周歲時(shí)體重分別大約是出生時(shí)的2倍、3倍、4倍，6周歲、10周歲時(shí)體重分別約是1周歲的2倍、3倍，上述過(guò)程中，自變量是（）A．年齡 B．嬰兒 C．體重 D．倍數(shù)分析：在一個(gè)變化的過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；數(shù)值始終不變的量稱為常量．【解答】解：年齡在逐漸變大，體重在逐漸變重，年齡是自變量，體重是因變量；故選：A．【變式2-3】(2023春?鐵西區(qū)期中）一個(gè)容器中裝有一定質(zhì)量的糖．向容器中加入水，隨著水量的增加，糖水的濃度將降低，這個(gè)問(wèn)題中自變量和因變量分別是（）A．糖，糖水的濃度 B．水，糖水 C．糖，糖水 D．水，糖水的濃度分析：根據(jù)對(duì)濃度的認(rèn)識(shí)解答本題，糖的質(zhì)量不變，加的水越多，糖水的濃度度越小，糖水的濃度隨著加入水的變化而變化，據(jù)此解答即可．【解答】解：隨著水的加入，糖水濃度變小，自變量是加入的水量，因變量是糖水的濃度．故選：D．【考點(diǎn)3用表格表示變量間關(guān)系】【例3】(2023春?正定縣期中）在一次實(shí)驗(yàn)中，馬達(dá)同學(xué)把一根彈簧的上端固定，在其下端懸掛物體質(zhì)量x的一組對(duì)應(yīng)值．所掛物體質(zhì)量x/kg012345彈簧長(zhǎng)度y/cm182022242628（1）上表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系，并指出誰(shuí)是自變量，誰(shuí)是因變量．（2）當(dāng)懸掛物體的重量為4千克時(shí)，彈簧長(zhǎng)26cm；不掛重物時(shí)彈簧長(zhǎng)18cm．（3）彈簧長(zhǎng)度y所掛物體質(zhì)量x之間的關(guān)系可以用式子表示為：y＝18+2x．（4）求掛12kg物體時(shí)彈簧長(zhǎng)度及彈簧長(zhǎng)40cm時(shí)所掛物體的重量．分析：（1）反映了彈簧長(zhǎng)度y與所掛物體質(zhì)量x之間的函數(shù)關(guān)系，所掛物體質(zhì)量x是自變量，彈簧長(zhǎng)度y是因變量；（2）從表格中可以得到：當(dāng)懸掛物體的質(zhì)量為4千克時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度為26cm；不掛重物時(shí)，也就是x＝0時(shí)，彈簧長(zhǎng)為18cm；（3）觀察表格發(fā)現(xiàn)，所掛物體的質(zhì)量增加1千克，彈簧就伸長(zhǎng)2厘米，根據(jù)彈簧長(zhǎng)度＝原始長(zhǎng)度+伸長(zhǎng)長(zhǎng)度即可求解；（4）當(dāng)x＝12時(shí)求y；當(dāng)y＝40時(shí)求x即可．【解答】解：（1）反映了彈簧長(zhǎng)度y與所掛物體質(zhì)量x之間的函數(shù)關(guān)系，所掛物體質(zhì)量x是自變量，彈簧長(zhǎng)度y是因變量；（2）從表格中可以得到：當(dāng)懸掛物體的質(zhì)量為4千克時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度為26cm；不掛重物時(shí)，也就是x＝0時(shí)，彈簧長(zhǎng)為18cm；故答案為：26cm，18cm；（3）觀察表格發(fā)現(xiàn)，所掛物體的質(zhì)量增加1千克，彈簧就伸長(zhǎng)2厘米，∴y＝18+2x；故答案為：y＝18+2x；（4）當(dāng)x＝12時(shí)，y＝18+2×12＝42（cm），當(dāng)y＝40時(shí)，40＝18+2x，解得x＝11．答：掛12千克物體時(shí)彈簧長(zhǎng)度為42cm，彈簧長(zhǎng)40cm時(shí)所掛物體的質(zhì)量是11kg．【變式3-1】(2023春?壽陽(yáng)縣期末）研究表明，當(dāng)每公頃鉀肥和磷肥的施用量一定時(shí)，土豆的產(chǎn)量與氮肥的施用量有如下關(guān)系：氮肥施用量/kg03467101135202259336404471土豆產(chǎn)量/t15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75（1）上表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？（2）當(dāng)?shù)实氖┯昧渴?01kg/hm2（hm2是單位“公頃”的符號(hào)）時(shí)，土豆的產(chǎn)量是多少？如果不施氮肥呢？（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為氮肥的施用量是多少時(shí)比較適宜？說(shuō)說(shuō)你的理由．（4）粗略說(shuō)一說(shuō)氮肥的施用量對(duì)土豆產(chǎn)量的影響．分析：（1）表格反映的是土豆的產(chǎn)量與氮肥的施用量的關(guān)系；氮肥的施用量是自變量，土豆產(chǎn)量因變量；（2）直接從表格中找出施用氮肥和不用氮肥時(shí)對(duì)應(yīng)的土豆產(chǎn)量；（3）從表格中找出土豆的最高產(chǎn)量，此時(shí)施用氮肥量是最合適的；（4）根據(jù)表格中土豆產(chǎn)量的增長(zhǎng)和減少數(shù)量來(lái)說(shuō)明氮肥的施用量對(duì)土豆產(chǎn)量的影響．【解答】解：（1）上表反映了土豆的產(chǎn)量與氮肥的施用量的關(guān)系；其中氮肥的施用量是自變量，土豆產(chǎn)量因變量；（2）當(dāng)?shù)实氖┯昧渴?01千克/公頃時(shí)，土豆的產(chǎn)量是：32.29噸/公頃，如果不施氮肥，土豆的產(chǎn)量是：15.18噸/公頃；（3）當(dāng)?shù)实氖┯昧渴?36千克/公頃時(shí)，氮肥的施用量是比較適宜的，因?yàn)榇藭r(shí)土豆產(chǎn)量最高，施肥太多或太少都會(huì)使土豆產(chǎn)量減產(chǎn)；（4）當(dāng)?shù)实氖┯昧康陀?36千克/公頃時(shí)，土豆產(chǎn)量隨氮肥的施用量的增加而增產(chǎn)，當(dāng)?shù)实氖┯昧扛哂?36千克/公頃時(shí)，土豆產(chǎn)量隨氮肥的施用量的增加而減產(chǎn)．【變式3-2】(2023春?崇州市期末）某公交車每月的支出費(fèi)用為4000元每月的乘車人數(shù)x（人）與每月利潤(rùn)y（元）的變化關(guān)系如下表所示：（利潤(rùn)＝收入費(fèi)用﹣支出費(fèi)用，每位乘客的公交票價(jià)是固定不變的）x（人）50010001500200025003000y（元）﹣3000﹣2000﹣1000010002000（1）在這個(gè)變化過(guò)程中，公交車每月的乘車人數(shù)是自變量，公交車每月利潤(rùn)是因變量；（填中文）（2）觀察表中數(shù)據(jù)可知，每月乘客量達(dá)到2000人以上時(shí)，該公交車才不會(huì)虧損；（3）請(qǐng)你估計(jì)當(dāng)每月乘車人數(shù)為3500人時(shí)，每月利潤(rùn)為3000元；（4）若5月份想獲得利潤(rùn)5000元，則請(qǐng)你估計(jì)5月份的乘客量需達(dá)4500人．分析：根據(jù)表格得出相關(guān)信息：①公交車每月的利潤(rùn)隨著每月的乘車人數(shù)的變化而變化；②當(dāng)每月乘車人數(shù)在2000人以下時(shí)，每月利潤(rùn)為負(fù)數(shù)，當(dāng)每月乘車人數(shù)為2000人時(shí)，每月利潤(rùn)為0，當(dāng)乘車人數(shù)大于2000人時(shí)，每月利潤(rùn)為正數(shù)；③每月乘車人數(shù)每增加500人，其利潤(rùn)就增加1000元；利用這些信息解決相關(guān)問(wèn)題即可．【解答】解：（1）由題意可知公交車每月的利潤(rùn)隨著每月的乘車人數(shù)的變化而變化，∴公交車每月的乘車人數(shù)是自變量，公交車每月利潤(rùn)是因變量，故答案為：公交車每月的乘車人數(shù)，公交車每月利潤(rùn)；（2）根據(jù)表格當(dāng)每月乘車人數(shù)在2000人以下時(shí)，每月利潤(rùn)為負(fù)數(shù)，當(dāng)每月乘車人數(shù)為2000人時(shí)，每月利潤(rùn)為0，當(dāng)乘車人數(shù)大于2000人時(shí)，每月利潤(rùn)為正數(shù)，∴每月乘客量達(dá)到2000人以上時(shí)，該公交車才不會(huì)虧損；故答案為：2000；（3）根據(jù)表格可以看出，每月乘車人數(shù)每增加500人，其利潤(rùn)就增加1000元，∴當(dāng)每月人數(shù)為3500人時(shí)，每月利潤(rùn)為3000元；故答案為：3000；（4）根據(jù)表格可知當(dāng)每月乘車人數(shù)為2000人時(shí)，每月利潤(rùn)為0，隨后每月乘車人數(shù)每增加500人，其利潤(rùn)就增加1000元，∴（5000﹣0）÷1000＝5，即若5月份獲得利潤(rùn)5000元時(shí)，需要增加5個(gè)500人，∴5月份乘客量需達(dá)2000+5×500＝4500（人），故答案為：4500．【變式3-3】(2023春?織金縣期末）科學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)聲音在空氣中傳播的速度y（米/秒）與氣溫x（℃）有關(guān)：當(dāng)氣溫是0℃時(shí)，音速是330米/秒；當(dāng)氣溫是5℃時(shí)，音速是333米秒；當(dāng)氣溫是10℃時(shí)，音速是336米/秒；當(dāng)氣溫是15℃時(shí)，音速是339米/秒；當(dāng)氣溫是20℃時(shí)，音速是342米/秒；當(dāng)氣溫是25℃時(shí)，音速是345米/秒；當(dāng)氣溫是30℃時(shí)，音速是348米/秒．（1）請(qǐng)用表格表示氣溫與音速之間的關(guān)系；（2）表格反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？（3）當(dāng)氣溫是35℃時(shí)，估計(jì)音速y可能是多少？（4）用一個(gè)式子來(lái)表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系．分析：（1）根據(jù)題目中兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)值用表格表示即可；（2）根據(jù)兩個(gè)變量的變化關(guān)系，得出自變量、因變量；（3）根據(jù)表格中兩個(gè)變量的變化規(guī)律得出結(jié)果；（4）根據(jù)表格中兩個(gè)變量的變化規(guī)律得出函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：（1）用表格表示氣溫與音速之間的關(guān)系如下：（2）表格中反應(yīng)的是音速y（米/秒）和氣溫x（℃）兩個(gè)變量，其中氣溫x（℃）是自變量，音速y（米/秒）是因變量；（3）根據(jù)表格中音速y（米/秒）隨著氣溫x（℃）的變化規(guī)律可知，當(dāng)氣溫再增加5℃，音速就相應(yīng)增加3米/秒，即為348+3＝351（米/秒），答：當(dāng)氣溫是35℃時(shí)，音速y可能是351米/秒；（4）根據(jù)表格中兩個(gè)變量的變化規(guī)律可得，y＝330+3×x5=也就是y＝0.6x+330，答：兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以表示為y＝0.6x+330．【考點(diǎn)4用關(guān)系式表示變量間關(guān)系】【例4】(2023秋?濱?？h期末）某商場(chǎng)為了增加銷售額，推出“元月銷售大酬賓”活動(dòng)，其活動(dòng)內(nèi)容為：“凡元月份在該商場(chǎng)一次性購(gòu)物超過(guò)100元以上者，超過(guò)100元的部分按9折優(yōu)惠．”在大酬賓活動(dòng)中，小王到該商場(chǎng)為單位購(gòu)買單價(jià)為60元的辦公用品x件（x＞2），則應(yīng)付貨款y（元）與商品件數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式是y＝54x+10．分析：根據(jù)題意可得y＞100，所以應(yīng)付貨款y＝100+超過(guò)100的按9折優(yōu)惠后的部分，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵x＞2，∴y＞100，∴y＝100+0.9（60x﹣100）＝54x+10，∴應(yīng)付貨款y（元）與商品件數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式是：y＝54x+10，故答案為：y＝54x+10．【變式4-1】(2023秋?市南區(qū)期中）某襯衣每件定價(jià)為100元時(shí)，每月可賣出2000件，受成本影響，該襯衣需漲價(jià)，已知每件定價(jià)每上漲10元，銷售量便減少50件．則每月售出襯衣的總件數(shù)y（件）與襯衣每件定價(jià)x（元）之間的關(guān)系式為y＝﹣5x+2500．分析：根據(jù)銷售量與定價(jià)之間的變化關(guān)系列代數(shù)式，即可得出函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：由銷售量與定價(jià)之間的變化關(guān)系可得，y＝2000﹣（x?10010＝﹣5x+2500，故答案為：y＝﹣5x+2500．【變式4-2】(2023春?新城區(qū)校級(jí)期末）為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí)，某市制定了如下用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：①每戶每月的用水不超過(guò)10立方米時(shí)，水價(jià)為每立方米2.2元；②超過(guò)10立方米時(shí)，超出部分按每立方米3.8元收費(fèi)，該市每戶居民6月份用水x立方米（x＞10），應(yīng)交水費(fèi)y元，則y與x的關(guān)系式為y＝3.8x﹣16．分析：根據(jù)用水不超過(guò)10立方米的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)、用水超過(guò)10立方米時(shí)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；【解答】解：每戶每月應(yīng)交水費(fèi)y（元）與用水量x（立方米）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=2.2x(0≤x≤10)因?yàn)?月份用水量為x立方米（x＞10），應(yīng)交水費(fèi)y元，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝3.8x﹣16；故答案為：y＝3.8x﹣16．【變式4-3】(2023春?碑林區(qū)校級(jí)期末）將長(zhǎng)為23cm、寬為10cm的長(zhǎng)方形白紙，按如圖所示的方法粘合起來(lái)，粘合部分的寬為2cm，設(shè)x張白紙粘合后的總長(zhǎng)度為ycm，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝21x+2．分析：等量關(guān)系為：紙條總長(zhǎng)度＝25×白紙張數(shù)﹣（白紙張數(shù)﹣1）×2，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．【解答】解：每張長(zhǎng)方形白紙的長(zhǎng)度是23cm，x張應(yīng)是23xcm，由圖中可以看出4張白紙之間有3個(gè)粘合部分，那么x張白紙之間有（x﹣1）個(gè)粘合，應(yīng)從總長(zhǎng)度中減去．∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝23x﹣（x﹣1）×2＝21x+2．故答案為：y＝21x+2．【考點(diǎn)5利用變量間關(guān)系判斷圖象】【例5】(2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）放寒假了，樂(lè)樂(lè)騎車從家去外婆家玩，先前進(jìn)了a千米，在路上遇到同學(xué)培培，停下來(lái)閑聊了一會(huì)，樂(lè)樂(lè)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)卷子忘在了學(xué)校，于是借了培培的卷子返回路過(guò)的打印店去復(fù)印，原路原速返回了b千米（b＜a），再掉頭沿原方向加速行駛，則樂(lè)樂(lè)離家的距離s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）A． B． C． D．分析：分四段看圖象，然后根據(jù)每段圖象大致位置進(jìn)行判斷．【解答】解：A、樂(lè)樂(lè)原路原速返回，圖象與原來(lái)的圖象傾斜度相同，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、休息了一段時(shí)間，表明中間有一段圖象與橫軸平行，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、休息了一段時(shí)間，又沿原路原速返回了b千米，由于b＜a，所以沒(méi)回到出發(fā)地，圖象與橫軸沒(méi)交點(diǎn)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、先前進(jìn)了a千米，對(duì)應(yīng)的圖象為正比例函數(shù)圖象；休息了一段時(shí)間，對(duì)應(yīng)的圖象為橫軸平行的線段；沿原路原速返回了b千米（b＜a），對(duì)應(yīng)的圖象為一次函數(shù)圖象，S隨t的增大而減小且與橫軸沒(méi)交點(diǎn)；掉頭沿原方向加速行駛，對(duì)應(yīng)的圖象為一次函數(shù)圖象，S隨t的增大而增大，并且圖象更陡，所以D選項(xiàng)正確．故選：D．【變式5-1】(2023春?重慶月考）一列快車從甲地駛往乙地，一列特快車從乙地駛往甲地．快車的速度為60千米/小時(shí)，特快車的速度為90千米/小時(shí)，甲、乙兩地之間的距離為300千米，兩車同時(shí)出發(fā)，則圖中折線大致表示兩車之間的距離y（千米）與快車行駛時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象的是（）A． B． C． D．分析：分三段討論，①兩車從開(kāi)始到相遇，這段時(shí)間兩車距迅速減小，②相遇后向相反方向行駛到特快到達(dá)甲地，這段時(shí)間兩車距迅速增加，③特快到達(dá)甲地至快車到達(dá)乙地，這段時(shí)間兩車距緩慢增大，結(jié)合實(shí)際選符合的圖象即可．【解答】解：①兩車從開(kāi)始到相遇，這段時(shí)間兩車距迅速減小；②相遇后向相反方向行駛到特快到達(dá)甲地這段時(shí)間兩車距迅速增加；③特快到達(dá)甲地至快車到達(dá)乙地，這段時(shí)間兩車距緩慢增大；結(jié)合圖象可得D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【變式5-2】(2023春?紅河州期末）“龜兔賽跑”新編：兔子和烏龜在上一次比賽中，兔子由于驕傲輸給了烏龜．新的一輪比賽開(kāi)始，兔子汲取教訓(xùn)極力奔跑，一路遙遙領(lǐng)先的兔子在比賽途中撿到一個(gè)錢包，為了便于失主盡快找到，兔子焦急地在原地等待，直到錢包被認(rèn)領(lǐng)．這時(shí)，兔子發(fā)現(xiàn)烏龜已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)地跑在了自己的前面，于是它奮起直追，結(jié)果拾金不昧的兔子與烏龜同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，用S1，S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時(shí)間，則下列圖象中與故事情節(jié)相吻合的是（）A． B． C． D．分析：烏龜是勻速行走的，圖象為線段．兔子是：跑﹣停﹣急跑，圖象由三條折線組成；最后同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，即到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間相同．【解答】解：A．此函數(shù)圖象中，S2第2段隨時(shí)間增加其路程一直保持不變，與“為了便于失主盡快找到，兔子焦急地在原地等待，直到錢包被認(rèn)領(lǐng)，這時(shí)，兔子發(fā)現(xiàn)烏龜已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)地跑在了自己的前面，于是它奮起直追，結(jié)果拾金不昧的兔子與烏龜同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)”一致，符合題意；B．此函數(shù)圖象中，S2第2段隨時(shí)間增加其路程一直在增加，不符合題意；C．此函數(shù)圖象中，S2隨時(shí)間增加其路程一直在變化，不符合題意；D．此函數(shù)圖象中，S1先達(dá)到最大值，即烏龜先到終點(diǎn)，不符合題意．故選：A．【變式5-3】(2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）2021年4月18日，重慶市第一中學(xué)校舉行建校90周年慶祝大會(huì)，新老校友齊聚一堂，共話母校數(shù)十載發(fā)展變化，表達(dá)對(duì)母校的感激之情．小喬與小王是重慶一中的同班校友，相約前往一中參加活動(dòng)．他們同時(shí)從家里出發(fā)前往一中正門（一中正門恰好在小喬家與小王家之間，且三個(gè)地點(diǎn)在同一直線上，小王先到達(dá)一中正門后原地等待小喬，兩人會(huì)和時(shí)小喬發(fā)現(xiàn)手機(jī)遺忘在家里，于是立即以原來(lái)的速度返回家，取完手機(jī)（尋找手機(jī)的時(shí)間忽略不計(jì)）小喬立即調(diào)頭以和同速度前往一中正門，直至與小王會(huì)和．小喬和小王之間的距離y（米）與小喬從家出發(fā)的時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系圖可能是（）A． B． C． D．分析：根據(jù)小喬和小王之間的距離隨出發(fā)時(shí)間的變化而變化的情況進(jìn)行判斷即可．【解答】解：小王先到達(dá)一中正門后原地等待小喬，小喬和小王之間的距離在減小，兩人會(huì)和時(shí)小喬發(fā)現(xiàn)手機(jī)遺忘在家里，于是立即以原來(lái)的速度返回家，兩人之間的距離在增加，取完手機(jī)，小喬立即調(diào)頭以和同速度前往一中正門，直至與小王會(huì)和，兩人的距離在減小，故選：D．【考點(diǎn)6用圖象表示變量間關(guān)系】【例6】(2023秋?任城區(qū)期末）小紅星期天從家里出發(fā)騎車去舅舅家做客，當(dāng)她騎了一段路時(shí)，想起要買個(gè)禮物送給表弟，于是又折回到剛經(jīng)過(guò)的一家商店，買好禮物后又繼續(xù)騎車去舅舅家，如圖是她本次去舅舅家所用的時(shí)間與小紅離家的距離的關(guān)系式示意圖．根據(jù)圖中提供的信息回答下列問(wèn)題：（1）小紅家到舅舅家的路程是1500米，小紅在商店停留了4分鐘；（2）在整個(gè)去舅舅家的途中哪個(gè)時(shí)間段小紅騎車速度最快？最快的速度是多少米/分？（3）本次去舅舅家的行程中，小紅一共行駛了多少米？分析：（1）根據(jù)圖象，路程的最大值即為小紅家到舅舅家的路程；讀圖，對(duì)應(yīng)題意找到其在商店停留的時(shí)間段，進(jìn)而可得其在書(shū)店停留的時(shí)間；（2）分析圖象，找函數(shù)變化最快的一段，可得小明騎車速度最快的時(shí)間段，進(jìn)而可得其速度；（3）分開(kāi)始行駛的路程，折回商店行駛的路程以及從商店到舅舅家行駛的路程三段相加即可求得小紅一共行駛路程．【解答】解：（1）根據(jù)圖象舅舅家縱坐標(biāo)為1500，小紅家的縱坐標(biāo)為0，故小紅家到舅舅家的路程是1500米；據(jù)題意，小紅在商店停留的時(shí)間為從8分到12分，故小紅在商店停留了4分鐘．故答案為：1500，4；（2）根據(jù)圖象，12≤x≤14時(shí)，直線最陡，故小紅在12﹣14分鐘最快，速度為1500?60014?12（3）本次去舅舅家的行程中，小紅一共行駛了：1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）＝2700（米）．【變式6-1】(2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）某空軍加油飛機(jī)接到命令，立即給另一架正在飛行的運(yùn)輸機(jī)進(jìn)行空中加油．在加油過(guò)程中，設(shè)運(yùn)輸飛機(jī)的油箱余油量為Q1噸，加油飛機(jī)的加油箱余油量為Q2噸，加油時(shí)間為t（分），Q1、Q2與t之間的函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合圖象回答下列問(wèn)題：（1）加油之前，加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了30噸油；運(yùn)輸飛機(jī)的油箱有余油量40噸油；（2）這些油全部加給運(yùn)輸飛機(jī)需10分鐘；（3）運(yùn)輸飛機(jī)的飛行油耗為每分鐘0.1噸油；（4）運(yùn)輸飛機(jī)加完油后，以原速繼續(xù)飛行，如果每分鐘油耗相同，最多能飛行11.5小時(shí)．分析：（1）通過(guò)觀察線段Q1，Q2段圖象，不難得到加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了30噸油，運(yùn)輸飛機(jī)的油箱有余油量為40噸油．（2）將這些油全部加給運(yùn)輸飛機(jī)中需10分鐘．（3）首先根據(jù)運(yùn)輸飛機(jī)在10分鐘時(shí)間內(nèi)，加油29噸，但加油飛機(jī)消耗了30噸，求出每小時(shí)耗油量．（4）根據(jù)（3）中的耗油量，可直接得出最多飛行時(shí)間．【解答】解：（1）由題意及圖象得加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了30噸油，運(yùn)輸飛機(jī)的油箱有余油量為40噸油．故答案為：30；40．（2）將這些油全部加給運(yùn)輸飛機(jī)中需10分鐘；故答案為：10；（3）∵運(yùn)輸飛機(jī)在10分鐘時(shí)間內(nèi)，加油29噸，但加油飛機(jī)消耗了30噸，所以說(shuō)10分鐘內(nèi)運(yùn)輸飛機(jī)耗油量為1噸，∴運(yùn)輸飛機(jī)每分鐘耗油量為0.1噸；故答案為：0.1；（4）由（3）知運(yùn)輸飛機(jī)每小時(shí)耗油量為＝6（噸），∴69÷6＝11.5（小時(shí)），故答案為：11.5．【變式6-2】(2023秋?富川縣期末）周末，