高考數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)資料

高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)分類討論押題針對(duì)訓(xùn)練

例1.解關(guān)于X的不等式：/+/<(4+&2口(aeR)

例2.解關(guān)于x的不等式ax2+2ax+l>0(aeR)

例3.解關(guān)于x的不等式ax2-2,2x-ax(a6R)(西城2003,一模理科)

例4.已知函數(shù)f(x)=cos'x+asinx-a'+2a+5.有最大值2,求實(shí)數(shù)a的取值.

例5.設(shè)｛aj是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S”是其前n項(xiàng)和，證

明：蟲”&用巫！>叫05sm.

例6.設(shè)一雙曲線的兩條漸近線方程為2x-y+l=0,2x+y-5=0,求此雙曲線的離心率.

q(l-x),,

------------+1

例7.解關(guān)于x的不等式542<1.

課后練習(xí)：

1.解不等式log*(5/—8x+3)>2

2.解不等式|log|x|+|log](3—x)|Wl

23

cix—5

3.已知關(guān)于x的不等式?！?lt;0的解集為M.

x-a

(1)當(dāng)a=4時(shí)，求集合M:

(2)若301,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4.在xOy平面上給定曲線/=2x,設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(a,0),aeR,求曲線上點(diǎn)到點(diǎn)A距離的

最小值d,并寫成d=f(a)的函數(shù)表達(dá)式.

2006年高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)函數(shù)押題針對(duì)訓(xùn)練

例：由y=?圖象，經(jīng)過如何變換可得下列函數(shù)圖象？

<1>y=<2〉y=

例：y=f(x+3)的反函數(shù)與y=〃(x+3)是否相同？

X

例1.判斷函數(shù)/(X)=(1+次火?依2)?5抽%的奇偶性及周期性。

例2.〈1〉設(shè)f(x)定義在R上的偶函數(shù)，且/(x+3)=-——,又當(dāng)xG[-3,-2]時(shí)，

f(x)

f(x)=2x,求f(113.5)的值。

<2>已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)xG(0,1)時(shí),f(x)=x+l.^f(x)it(l)2)

上的解析式。

例3.<1〉若xW(1,2)時(shí),不等式(x-D'logaX恒成立,求a的取值范圍。

〈2》己知二次函數(shù)f(x)=x?+ax+5對(duì)任意t都有f(t)=f(-4-t),且在閉區(qū)間Z[m,0]上有

最大值5,最小值1,求m的取值范圍。

X—5

例4.已知函數(shù)/(X)=log"-------,(H>0且"1).

x+5

⑴判定f(x)在X6(-8,-5)上的單調(diào)性，并證明。

(II)設(shè)g(x)=l+loga(x-3),若方程f(x)=g(x)有實(shí)根,求a的取值范圍。

練習(xí)：

己知f(X)是定義在［T,1］上的奇函數(shù)，且f⑴=1，若m,nC［T,1］,m+n#O時(shí)，有

f(m)+f(n)

＞U。

m+n

＜1＞用定義證明f(x)在［T,1］上是增函數(shù)。

＜2＞若f(x)Wt?-2at+l對(duì)所有aW［-l,1］恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

參考答案：

(2)|t|22或t=0.

2006年高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)排列與組合押題針對(duì)訓(xùn)練

例1.書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書。

(1)若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

(2)若從這些書中取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？

(3)若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法。

例2.已知兩個(gè)集合A={1,2,3},B={a,b,c,d},從A到B建立映射，問可建立多少個(gè)

不同的映射？

例3.求證：PJ+mPT'PnJ

例4.解方程=14QP：

例5.7人排成一行，分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)。

(1)甲排中間；(2)甲不排兩端；(3)甲，乙相鄰：

(4)甲在乙的左邊(不要求相鄰)；(5)甲，乙，丙連排；

(6)甲，乙，丙兩兩不相鄰。

解：(1)甲排中間屬“特元特位”，優(yōu)先安置，只有一種站法，其余6人任意排列，故

共

例6.用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，分別求出下列各類數(shù)

的個(gè)數(shù)：

(1)奇數(shù)；(2)5的倍數(shù)；(3)比20300大的數(shù)；

(4)不含數(shù)字0,且1,2不相鄰的數(shù)。

例7.直線與圓相離，直線上六點(diǎn)A,A”感，A.l,As,As,圓上四點(diǎn)B“B2)B”B?任

兩點(diǎn)連成直線，問所得直線最多幾條？最少幾條？

2006年高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義與三角變換押題針對(duì)訓(xùn)練

例1.(1)已知-求a+p與a-。的范圍。

(2)己知a的終邊在第二象限，確定兀-a所在象限。

例2.若人=小鼠=豆，keZ},B={x|x=—+—,keZ},則AB。

424

例3.設(shè)0＜。＜2兀，問5。與角。終邊相同，求0。

例4.若Jl~C°S^=ctgG-cscG,求。取值范圍。

V1+cos。

例5.已知sin（兀一a）—cos（兀+a）=^^,—<a<7i.

32

求：(1)sina-cosa的值(2)sir?(工+a)+cos'(工+a)的值

22

例6.已知sin(a-兀)二2cos(。-2兀)，求下列三角函數(shù)的值：

sin(%+a)+5cos(2%—a)-5.

(1)-----------------------(2)l+coso2a--sin2oa.

3442

3sin(----a)-cos(—+a)

22

例7.求函數(shù)y=A/25-X2+logsinx(2sinx-l)的定義域。

we-、〒seca+tga+11+sina

例8.求證：-------2----=-------.

seca-tga+1cosa

1.如果。是第二象限角，則e所在的象限是()

2

A、第一象限B、第一或第三象限C、第二象限D(zhuǎn)、第二或第四象

2.在下列表示中正確的是()

A、終邊在y軸上的角的集合是｛aa=2k7r+-,keZ｝

2

B、終邊在y二x的直線上的角的集合是｛a|a二ke三，keZ)

4

C、與(-2)的終邊相同的角的集合是｛a|a二kk工，kwZ｝

33

D、終邊在尸-x的直線上的角的集合是｛aa=2k兀-工，keZ)

4

3.若水0<，,則2恒恒11訓(xùn)等于()

2

A、sin(OF)B、一sin。C、cos(TU-0)D、-CSCO

4.函數(shù)y=2sin(4+—)在[兀，2捫上的最小值是()

26

A、2B、1C、-1D、-2

5.已知函數(shù)y=cos(sinx),下列結(jié)論中正確的是()

A、它的定義域是[T,1]B、它是奇函數(shù)；

C、它的值域是[0,1]D、它是周期為兀的函數(shù)

6.設(shè)0<x〈工，下列關(guān)系中正確的是()

4

A、sin(sinx)<sinx<sin(tgx)B、sin(sinx)<sin(tgx)<sinx

C、sin(tgx)<sinx<sin(sinx)D、sinx<sin(tgx)<sin(sinx)

7.若sint=3,cos-=--,則0w[0,2捫，終邊在()

2525

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限

8.如果一弧度的圓心角所對(duì)的弦長為2,那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長是()

A、sin-B、-C、-1—D、2sin-

26.12

sin—

2

9.化簡三角函數(shù)式tg(杵1兀+9兀)(keZ),結(jié)果是()

.7171八67rn71

A、tg—Dsctg—C、ctg—D、—tg—

10.設(shè)ae(0,1),A=(cosa)sine,8=(seca)""的大小是()

A、A>BB、A>BC、A<BD、AWB

答案：BBDCDADCBC

正、余弦函數(shù)的有界性在解題中的作用

例1.若實(shí)數(shù)x滿足log2X+2sin〃=3,求卜一2|+忖一3彳的值。

例2.在A43C中，cos(A—8)+sin(A+B)=2,試判定三角形的形狀。

AA-CAC3

例3.已知四邊形ABCD中的角A、C滿足8s2-------4-sin2-+sin2—=-

3324

求證：B+D=7T

例4.已知函數(shù)/(x)=ax+〃，2a2+6/?2=3,求證：對(duì)于任意工式一1,1],有

I/M<&。

例5.證明：1?#11+#os/424。

例6.復(fù)數(shù)Z],z2,Z3的幅角分別為a、/、y,|Z||=1?|22|=^>\z3\=2-k,

且4+Z2+Z3=0,問k為何值時(shí)，cos(〃—力分別取得最大值和最小值，并求出最大值

和最小值。

例7.設(shè)。為無理數(shù)，求證：函數(shù)/(x)=cosx+cosax不可能是周期函數(shù)。

證明：假設(shè)/(x)是周期函數(shù)，則存在常數(shù)TH0,使對(duì)于任意的x,

cos(x+T)+cosa(x+T)=-cosx+cosax都成立。

令x=0得，cosT+cosaT=-cos0+cos0=2

因?yàn)閨cosT|Wl,|cosal|KL所以cosT=cosaT=1

從而T=2K%,aT=2"(K,L為整數(shù))

所以"U

L

此時(shí)K,L為整數(shù)，則7為有理數(shù)，但a為無理數(shù),這是不可能的，故命題成立。

1.（2002年全國）在（0,2兀）內(nèi)，使sinx>cosx成立的x取值范圍為（）。

.7T冗、5萬、.7C、

A、（?。ㄈf，二）B、（丁，乃）

4244

解：在（一,一）內(nèi)，sinx>cosx,在［—，萬］內(nèi)sinx〉cosx；在（肛'~-）內(nèi)，sinx>cosx；綜

4224

上,:.應(yīng)選C。

2.（2001年全國）吆300P+ag40N的值為（）。

A、1+V3B、1-V3C、-1-V3D、-1+V3

解：fg30（f+c/g40十

=火（364—60°）+bg（36（f+45°）

=-fg6O°+cfg450

=-y13+1

應(yīng)選B。

3.（1998年全國）已知點(diǎn)P（sina-cosa,tga）在第一象限，則在［0,2兀］內(nèi)a的取值范圍是

（）

.K3萬、/5萬、.TC、,57c.

A、（二丁）5匹一T）B、"Uy)

244

,7i3萬、,5兀3萬、7T4、An、

c、（-,一）5—,一）D、(-一,一)5—，乃)

2442423

sina-cosa>0sina>coscr

解：由題設(shè)，有，tga>0=><小乃、/3%、

aG(0,—)u

0<a<2TT

在［0,2%）的范圍內(nèi)，在同一坐標(biāo)系中作出y=sinx和y=cosx的圖像，可在

a弋苧時(shí),

sina>cosa?

71715兀、

?'?as(―,—))

424

應(yīng)選B。

4.(1998年全國)sin600。的值是()。

73

D、~T

解：sin6000=sin(360°+240°)=sin240°

=sin(180°+60°)=-sin60°

-----V--3-

2

應(yīng)選D。

2006年考前必練數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題數(shù)列經(jīng)典題選析

數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占

有重要的地位.

一、等差數(shù)列與等比數(shù)列

例1.A={遞增等比數(shù)列的公比},B={遞減等比數(shù)列的公比},求ACB.

解：設(shè)qGA,則可知q>0(否則數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列).

由a?+i—a?=ai?q"—ai?qn-1=ai,q"-1(q—1)>0,得

當(dāng)a>0時(shí)，那么q>l；當(dāng)aVO時(shí)，則OVqVl.

從而可知A={q0<q<l或q>l}.

若qWA,同樣可知q>0.由a?+i—an=ai?q"-a】?qi=ai?q"-'(q—1)<0,得

當(dāng)ai>0時(shí)，那么0<q<l；當(dāng)ai〈O時(shí)，則q>l.

亦可知B={q|(KqQ或q>l}.

故知AAB={q0<q〈l或q>l}.

說明：貌似無法求解的問題，通過數(shù)列的基本量，很快就找到了問題的突破口！

例2.求數(shù)列1,(1+2),(1+2+2?),……,(1+2+2?+……+2n?……前n項(xiàng)的

和.

分析：要求得數(shù)列的和，當(dāng)務(wù)之急是要求得數(shù)列的通項(xiàng)，并從中發(fā)現(xiàn)一定規(guī)律.而通項(xiàng)

1.(1—9")

又是一等比數(shù)列的和.設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為a0，則a“=l+2+2,+……+21=—=2"

1~2

-1.從而該數(shù)列前n項(xiàng)的和

S?=(2-l)+(22-l)+(2a-l)+-+(2n-l)

=(2+22+23+-+2")—n=2.：(1—r2")-n=2n+1-n-2.

1—2

說明：利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.

1、等差數(shù)列求和公式：s〃(4+生):叫+"("T)d

22

n%(q-1)

2、等比數(shù)列求和公式：S“=,6(l—q")%—a"q/八

"-4~~—(q*1)

I"q1-4

3、S“=Z%=3"(〃+1)

k=\2

4、S“=￡22=_L〃(〃+D(2“+I)

M6

5、5"=工/=中(〃+1)]2

A=12

常用的數(shù)列求和方法有：利用常用求和公式求和；錯(cuò)位相減法求和；反序相加法求和;

分組法求和；裂項(xiàng)法求和；合并法求和；利用數(shù)列的通項(xiàng)求和等等。

例3,已知等差數(shù)列｛aj的公差d=g,Sioo=145.設(shè)S奇=21+a3+25+....+a99,S'

=a3+%+ag+....+a99,求S奇、S'.

解：依題意，可得S濟(jì)+S偶=145,

即S奇+(S奇+50d)=145,即2s奇+25=145,解得，S奇=120.

又由Sioo=145,得=145,故得ai+aioo=2.9

S'=a3+a6+&>+....+a§9

(as+agg)33(a2+aioo)33(0.5+ai+aioo)33(0.5+2.9)33

=-22=--------2--------=------2------=L7?33;

56.1.

說明：整體思想是求解數(shù)列問題的有效手段！

例4.在數(shù)列｛&,｝中，ai=b(bW0),前n項(xiàng)和S“構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列。

(1)求證：數(shù)列｛aj不是等比數(shù)列；

(2)設(shè)■=aS+a2s2T---Fa?Sn)|q|<l.求limb”。

解：(1)證明：由已知，=ai=b

???｛SJ成等比數(shù)列,且公比為q。

/.S?=bq"Sn-i=b,q"'(n^2)?

當(dāng)n》2時(shí)，an=S“一$"-i=bq"T—bq"T=b?(q-1),q"-2

b(q—1)*qn~1

故當(dāng)qWl時(shí)，—

Hn=b(qf)二口

而史=^U=q—IWq,，瓜)不是等比數(shù)列。

3.1D

當(dāng)q=l,n22時(shí)，an=0,所以｛aj也不是等比數(shù)列。

綜上所述，瓜｝不是等比數(shù)列。

(2)V|ql<b由(1)知nN2,a2,a3,&i,…，a”構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，，a2s2,

a3s3,…，aS是公比為小的等比數(shù)列。

/.bn=b2+a2S2?(l+q,+q'+…+q”'T)

_

VS2=bq,a2=S2Si=bq—b

/.a2s2=b"q(q—1)

]_2n-2

22Q

/.bn=b+bq(q-1)?1

1—q

V|q|<l

2n-2

/.limqI=0A

“f8

]

limb?=b2+b2q(q—1)?-----j=73^

“781—q1+q

說明：l+/+q'+…+q211T的最后一項(xiàng)及這個(gè)式子的項(xiàng)數(shù)很容易求錯(cuò)，故解此類題時(shí)

要細(xì)心檢驗(yàn)。數(shù)列的極限與數(shù)列前n項(xiàng)和以及其他任何有限多個(gè)項(xiàng)無關(guān)，它取決于n-8時(shí),

數(shù)列變化的趨勢(shì)。

二、數(shù)列應(yīng)用題

例5.（2001年全國理）從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，

并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少5?本

年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游

業(yè)收入每年會(huì)比上年增加;。（I）設(shè)〃年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為&萬元，旅游業(yè)總

收入為4萬元.寫出4的表達(dá)式（II）至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？

15

解：第1年投入800萬元，第2年投入800X（1—工）萬元……，~

第〃年投入800X（l-1）i萬元

5

114

所以總投入a=800+800（1—￡）+……+800X（1—3）1=4000[1-（-）〃]

同理：第1年收入400萬元，第2年收入400X（1+"）萬元，……，

第〃年收入400X（1+]）i萬元

115

瓦,=400+400乂（1+彳）+...+400X（1+"）""'=1600X[（：）"-11

54

（2）：.b-a?>0,1600E（7）"-1]-4000X[1-（T）"]>0

40

45

化簡得，5X（-）/?+2X（7）〃-7>0

54

4242

設(shè)x=（三5f—7x+2>0,x>l（舍）即（三）/?<7,"25.

5555

說明：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，數(shù)列求和，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知

識(shí)解決實(shí)際問題的能力。解數(shù)學(xué)問題應(yīng)用題重點(diǎn)在過好三關(guān)：（1）事理關(guān)：閱讀理解，知道

命題所表達(dá)的內(nèi)容；（2）文理關(guān)：將“問題情景”中的文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，用數(shù)學(xué)關(guān)

系式表述事件；（3）數(shù)理關(guān)：由題意建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，并解答這一

數(shù)學(xué)模型，得出符合實(shí)際意義的解答。

例6.某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進(jìn)行著頑強(qiáng)的斗爭，到2001年底全縣的綠化率已

達(dá)30冊(cè)從2002年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面積的16%將被綠化，與

此同時(shí)，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化。

（1）設(shè)全縣面積為1,2001年底綠化面積為a尸而，經(jīng)過n年綠化總面積為3田

44

求證an+l=^+gan

（2）至少需要多少年（年取整數(shù)，lg2=0.3010）的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%?

⑴證明:由已知可得an確定后,an+i表示如下：an+j=an（l—4%）+（1—an）16%

44

即a+i=80%a+16%=ra+-

nn□nzo

44

（2）解：由a?i=Ta+就可得：

+0Jo

12

7(a?--)=(5)(an-l-7)=??飛/①飛)

1443144314

-r+---^-^

故有an+i=24552020

兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得一lg22(n—1)(21g2—lg5)=(n—1)(5-31g25-—1)

故n4號(hào)$+1>4,故使得上式成立的最小nGN+為5,

1—31g2

故最少需要經(jīng)過5年的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%.

三、歸納、猜想與證明

例7.已知數(shù)列｛aj滿足Sn+an=；(nL，+3n—2),數(shù)列｛bj滿足bi=a1,

且bn=a?—an-i—1(n^2).

(1)試猜想數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；

2

解：(1)VSI.+an='|(n+3n—2),Si=ai,/.2ai=^(1+3X1—2)=1,

2

ai=|=1—1.當(dāng)n=2時(shí)，有J+2a2=1(2+3X2—2)=4,a2=2=2一J

猜想，得數(shù)列｛a。｝的通項(xiàng)公式為a,,=n—/

⑵若a=bi+b2T----卜bn,求lime”的值.

n—>oo

17231

當(dāng)n=3時(shí)，有J+7+3a=8,/.a=v=3—.73

Z433oZ

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:

①當(dāng)n=l時(shí)，ai=l—,等式成立.

②假設(shè)n=k時(shí)，等式ak=k—/成立，那么

22

(k+l)+3(k+l)-21rk+3k-2,

n=k+l時(shí)，ak+i=Sk+i—S=['-a+iJ-L----g----一仇」,

k2k

..,.2ak+i=k+2+ak,2ak+i=k+2+(k—/),

品,即當(dāng)n=k+l時(shí)，等式也成立.

ak-ri=(k+1)

對(duì)一切自然數(shù)n都有an=n—"成立.

綜上①、②知,

(2)Vbi=ai=11]-1=，.

,b=a—a-i—1=[n—]—[(n—1)

nnn2,1-1

.?.Cn=bi+b2H---l-bn=l—(])n,/.=lim[1—(1)"]=1.

乙W—>00"TOO乙

例8.已知數(shù)列｛aj滿足a=2,對(duì)于任意的〃eN,都有a.>0,且(n+1)a:

+a?a?+i—na0+:=0.又知數(shù)列｛bj滿足：b?=2"-'+l..

(I)求數(shù)列｛a?｝的通項(xiàng)a?以及它的前n項(xiàng)和Sn；

(II)求數(shù)列?｝的前〃項(xiàng)和Tn；

(III)猜想S0和T”的大小關(guān)系，并說明理由.

解:(n+1)aj+a0a^+i—nan+;=O.是關(guān)于a0和a“+i的二次齊次式，故可利

用求根公式得到%與a田的更為明顯的關(guān)系式，從而求出a,,.

22

(I)Va?>0(nGN)，且(n+1)an+a?a?+i—nan+l=0,

/.(ZJ+1)(~^-)2+(烏~)—n=0.

an+ian4-in+1

.a,n

an>0(n《N)，

'-an+in+1

.3n8,—i8.-2a?3.2rin1n232

^n,n?-n--?--n-????????—?——,?----?----?????一?—

aiari-ian-2an-3a2ain-1n—2n—321

n.

又ai=2,所以，a?=2n.

Sn=ai+a2+a3+...+a?=2(l+2+3....+n)=n"+n.

n-I

(II)Vbn=2+l,

...1,=5+昆+也+...+b,=20+2'+22+....+2-+n=2"+n—l

(III)T?-S?=2n-n2-l.

當(dāng)〃=1時(shí)，T-S,=0,.,.T,=S1；

當(dāng)〃=2時(shí)，T2-S2=-l,,-.T2<S2；

當(dāng)〃=3時(shí)，T3-S3=-2,；.T3Vs3；

當(dāng)A=4時(shí),T4-S4=-b；.T4Vs4

>

當(dāng)〃=5時(shí)，T5-S5=6,..T5>S5；

當(dāng)〃=6時(shí)，T6-S6=27,，.\T6>S6；

猜想:當(dāng)n25時(shí)，T“>Sn.即.下用數(shù)學(xué)歸納法證明:

1°當(dāng)〃=5時(shí)，前面已驗(yàn)證成立；

2°假設(shè)n=k(k?5)時(shí)命題成立，即2k>F+l.成立，

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

2k+l=2?2k>2(k2+l)=k2+k2+2>k2+5k+2>k2+2k+2=(k+l)2+l.

即〃=4+l(425)時(shí)命題也成立.

由以上1°、2°可知，當(dāng)時(shí)，有T”>S”.；

綜上可知：當(dāng)〃=1時(shí)，Ti=Sv當(dāng)2Wn<5時(shí)，Tn<Sh.,當(dāng)〃25時(shí)，有T”

>S?..

說明：注意到2n的增長速度大于!?+1的增長速度，所以，在觀察與歸納的

過程中，不能因?yàn)閺膎=l到n=4都有TWS*就得出TWS”?的結(jié)論,而應(yīng)該堅(jiān)

信：必存在〃，使得2">/+1,從而使得觀察的過程繼續(xù)下去.

例9.已知函數(shù)f(x)=我六一3,(xW-3)

(1)求求x)的反函數(shù)L(x);

(2)記a尸1,叱=-fT(a“一l)(n》2),請(qǐng)寫出a2,a%a”的值并猜測(cè)想a0的表達(dá)式.再用數(shù)

學(xué)歸納法證明.

解：(1)設(shè)y=f(x)=山2—3,(x<一十),由y2=x2—3(x<—3),x=—\/y2+3

即ft(x)=—\/x"+3(x>0).

2

⑵由ai=l且a"=-f'Yan-i)(n22的整數(shù))，a2——f'(ai)——(—yjai+3—y[4,

ai—yfi+A—yfl,aa=y/3+7=\fib.

依不完全歸納可以猜想到：a“=d3n_2(n自然數(shù))

下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明：

當(dāng)n=l時(shí),ai—y/3X1—2=1命題成立

假設(shè)n=k(lWkWn)時(shí)，命題成立：即ak=#3k_2

那么當(dāng)n=k+l時(shí),ak+尸一廠⑸)

=、aJ+3=y/(3k-2)+3=弋3(k+1)—2

綜上所述,可知對(duì)一切自然數(shù)n均有為=何三成立.

例10.已知數(shù)列｛aj中，a7=4,為+1=筌±^

7-an

(I)是否存在自然數(shù)m,使得當(dāng)n》m時(shí)，a?<2；當(dāng)nVm時(shí),a?>2?

(II)是否存在自然數(shù)p,使得當(dāng)nep時(shí)，總有a，—；a■才<為？

解：(I)首先考慮能否化簡已知條件ae=萼M，但事實(shí)上這一條路走不通，于是,

7-an

我們轉(zhuǎn)而考慮通過計(jì)算一些血的值來尋找規(guī)律.不難得到：

1644

a8=&，@9=12,aio=—8,an=—T,ai2=0,843=5，

001

可以看出：a8,ag均大于2,從aio到a13均小于2,但能否由此斷定當(dāng)n>13時(shí)，也有

an<2?這就引導(dǎo)我們?nèi)ニ伎歼@樣一個(gè)問題：若anV2,能否得出土+1<2?

為此，我們考查須+i—2與也一2的關(guān)系，易得

小3a+4「5(an—2)

="n

Hn+l-2z--2=".

7an/-a?

可以看出：當(dāng)a“<2時(shí)，必有a"+】<2.于是，我們可以確定：當(dāng)nN10時(shí)，必有a“<2.

為了解決問題(I),我們還需驗(yàn)證當(dāng)n=l,2,……，9時(shí)，是否均有a?>2.

方法之一是一一驗(yàn)證.即通過已知條件解出：a..=7an+'-4.由此，我們可以從土出發(fā),

a?+i+3

計(jì)算出這個(gè)數(shù)列的第6項(xiàng)到第1項(xiàng)，從而得出結(jié)論.

另外，得益于上述解法，我們也可以考慮這樣的問題：“若an+1>2,能否得出a.>2”？

74

由an-2^--~~—2=5S廿二2)不難得知：上述結(jié)論是正確的.

an+l+3Hn+1+J

所以，存在m=10,使得當(dāng)時(shí)，a?<2；當(dāng)n<m時(shí)，a?>2.

(II)問題等價(jià)于：是否存在自然數(shù)p,使得當(dāng)n》p時(shí)，總有a”一—a0+i—2a?<0.

,,、一,口-2(a?+i—2)1

由(1)可得：a?-i—a?+i—2a?=—)(3+a)'

我們已經(jīng)知道：當(dāng)n210時(shí),a11V2,于是(即<2”<0,(7-a?)<0,所以，我們只需

考慮：是否存在不小于10的自然數(shù)P，使得當(dāng)n》p時(shí)，總有a”>-3?

觀察前面計(jì)算的結(jié)果，可以看出：a,o<-3,an,a12,均大于一3,可以猜想：p=

11即可滿足條件.

這樣的猜想是否正確？我們只需考查a,+.+3與a?+3的關(guān)系：

Q+425

由++|+3=泮a1+3=#一可知：上述結(jié)論正確.

7—a?7—a?

另外，如果我們注意到從a”到ag,數(shù)列的項(xiàng)呈遞增的趨勢(shì),則也可以考慮a.+La..

由a+i—a”產(chǎn)1一a"二(『)->0,從而得出結(jié)論.

/-Hn/-Hn

說明：(1)歸納、猜想是建立在細(xì)致的觀察和縝密的分析基礎(chǔ)上的，并非

無源之水、無本之木.(2)上述分析的過程如果用數(shù)學(xué)歸納法寫出，則相當(dāng)簡

潔，但同時(shí)也掩蓋了思維的過程.

四、由遞推公式探求數(shù)列問題

例11.設(shè)A.為數(shù)列瓜｝的前n項(xiàng)的和，A..=-(a?-l),數(shù)列｛bj的通項(xiàng)公式為b“=4n+3。

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)把數(shù)列｛a?｝與｛b,,｝的公共項(xiàng)按從小到大先后順序排成一個(gè)新的數(shù)列｛4｝,證明數(shù)列

｛&｝的通項(xiàng)公式為5=3?田；

(3)設(shè)數(shù)列｛&｝的第n項(xiàng)是數(shù)列｛b“｝中的第r項(xiàng)，B,為數(shù)列｛bn｝的前r項(xiàng)的和，D“為數(shù)

列｛5｝的前n項(xiàng)和，T?=B,—D?,求lim；?。

M—>00

33

解：(1)由An=5(a?—1),可知An+】=5(a?+i—1)

/.An+1-A?=-1(an+1—a?)=an+L即=3

3

而ai=Ai=](ai-1)f得a1=3

所以數(shù)列區(qū)}是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列{aj的通項(xiàng)公式為an=3%

(2)V32n+l=3-32n=3?(4—l)2n

2n-12n-12n

=3X?4(-l)+-+C2??4?(-l)+(-l))

=4m+3

.,.32"+1G{bn}

而數(shù)3*=(4-1)2n

2,2n-12n

=4'+C2?'-4?(-1)+…+CL?4?(-l)+(-l)

=(4k+l)

；.3嗅{bj

而數(shù)列{&}={32n+,}U{32n}

:.d?=32n+1

(3)由32“+I=4?r+3,可知r=

4

r(7+4r+3)32n+,-332n+,+7

VB=-=r(2r+5)=

r242

97

27?(1—9")=￡(9-1)

D尸口o

92n+1+4?32m-2197

ATn=B-Dn=—百(9J)

r8

_9?3T.32"+1

=8

又???(a")4=3”

...工_2

??lim4—Q

/i->oo3nO

例12.已知函數(shù)f(x)=x+y/x2—a2(a>0)

(1)求f(x)的反函數(shù)ff(x)及其定義域;

(2)數(shù)列｛a.｝滿足產(chǎn)

〔au+i—f⑸)

OO7

設(shè)卜=七-，數(shù)列?｝的前n項(xiàng)和為S”試比較S“與6的大小，并證明你的結(jié)論。

a”十a(chǎn)8

解：(1)給y-x=q?二裝兩邊平方，整理得XMEU

..y2+a2y2—a2(y+a)(y—a)

?y-x=y—k=—而一2°

.?.y2a或一aWy〈O

故f-'(x)=卷至,其定域?yàn)閇—a,0)U[a,+8)

(2)?.2+尸L(a0)=

2an

.?.b?=%F="=(T)'b：(可兩邊取對(duì)數(shù)求解)

an+i十a(chǎn)an十a(chǎn)

ai—a3a—a1

又ai=3a,b=^—=丁匚=9

ta]+a3a+a2

**?bn=(bn-1)~=(bn-2)'=(bn-3)

=..=(E)2'i=七尸

；?Sn=b1+b2+…+bn

11,1iId1

=5+(p)2+(7)2+[(9)2,+)2,H----1-(5)2"']-----：—=1—(5)"

乙乙乙乙乙乙1乙

1--

2

777

由此可知，當(dāng)nV3時(shí)，Sn<-，當(dāng)n=3時(shí)，Sn=-，當(dāng)n>3時(shí)，5?>-.

OOO

又,.,2n7=(l+l)nf=l+C，—1+C,—1+?！?+...+C^—|

n-1

則當(dāng)n24時(shí),2>l+cJ_1+c2_1

(n—1)(n—2)

=1+(n-1)4->n+l

2

(1)2",<(1)

ASn=1+(1)2+(1)2+[(1)2+(1)2,H----F(1)2"1]如一針］

7

由此可知，當(dāng)n24時(shí)，Sn>Q.

O

當(dāng)n=3時(shí),S?=|+(1)2+(1)2-=|+|<??

乙乙乙Z4loloo

,.7

故知當(dāng)nW3時(shí)，Sn<Q.

O

說明：本題是一道數(shù)列與函數(shù)的綜合題。首先應(yīng)準(zhǔn)確地求出fT(x)及其定義域。搞清

定義域是解題成功的一半。根據(jù)函數(shù)f(x)解析式的特點(diǎn)，也可以利用三角代換X=asec9,

9G[0,5)U[n,號(hào))，求函數(shù)f(x)的值域，即f-'(x)的定義域。

4an—2Ban+C

例13.已知數(shù)列｛aj中，ai=4,an+i—,是否存在這樣的數(shù)列｛bj,bn=-

an+1ar,+A'

其中A、B、C為實(shí)常數(shù)，使得｛b』是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列？證明你的結(jié)論，并求｛&J的

取值范圍。

解：假設(shè)這樣的｛bj存在，則應(yīng)有

4a?—24B+C.C-2B

+C

Ba?+i+CB°4+ra-

atl+1'4+A

bn+i=A-2-

an+i+A4an—2

+Aan4-I+A

a(i+1

Ban+C

又b“=R

存在q#0,q#l,q為常數(shù)，使bn+i=qbn,對(duì)n￡N都成立，于是比較兩邊的分子和分

母，有

<A-2

--=A

4+A⑴

4B+C

<"ir—q⑵

C-2B

[7T?=Cq⑶

由(1)可解得A=-1或一2,由(2)、(3)可解得B=—C或C=-2B。

A=-1

1°若__代入(2)知q=l(B、C不能為0