第10講全等三角形的判定與性質(zhì)及應(yīng)用（核心考點(diǎn)講與練）-2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期考試滿分全攻略（滬教版）（解析版）

第10講全等三角形的判定與性質(zhì)及應(yīng)用（核心考點(diǎn)講與練）一．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．二．全等三角形的應(yīng)用（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用用全等尋找下一個(gè)全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長(zhǎng)，把分散條件集中到同一個(gè)三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明．（3）全等三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用一般方法是把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．一．全等三角形的判定與性質(zhì)（共9小題）1．（2020秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上，AB＝DC，AE∥DF，AE＝DF，求證：EC＝FB．【分析】由AE∥DF得∠A＝∠D，由AB＝DC，得AC＝BD，再根據(jù)SAS證明△AEC≌△DFB即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，∵AB＝DC，∴AC＝BD，在△AEC與△DFB中，，∴△AEC≌△DFB（SAS），∴EC＝FB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?普陀區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)B、D、C、F在同一條直線上，AB∥EF，AB＝EF，AC∥DE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的長(zhǎng)等于（）A．1 B． C．2 D．3【分析】由平行線的性質(zhì)得到∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF，證得△ABC≌△EFD，得到BC＝FD，進(jìn)而得到BD＝FC，即可得出BD＝（BF﹣DC）＝．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠B＝∠F，∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠EDF，在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△EFD（AAS），∴BC＝FD，∴BC﹣DC＝FD﹣DC，∴BD＝FC，∴BD＝（BF﹣DC）＝（6﹣3）＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證得ABC≌△EFD是解決問題的關(guān)鍵．3．（2021秋?崇明區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求證：∠AFC＝2∠ADC．【分析】根據(jù)HL證明Rt△ABD≌Rt△AED，得出∠BAD＝∠EAD再由AB∥CD可推出∠EAD＝∠ADC，最后根據(jù)外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】證明：在Rt△ABD與Rt△AED中，，∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），∴∠BAD＝∠EAD，∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC，∴∠EAD＝∠ADC，∵∠AFC＝∠EAD+∠ADC，∴∠AFC＝2∠ADC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，且ED⊥AB于點(diǎn)F，且AB＝DE，CD交AB于點(diǎn)M．（1）求證：BD＝2EC；（2）求△ACM與△BCM的面積之比．【分析】（1）由E是BC的中點(diǎn)得出BC＝2EC，證明△ABC≌△EDB，得出DB＝BC，即可得出BD＝2EC；（2）由（1）可知DB＝2AC得出，由△ACM∽△BDM得出，即可得出△ACM與△BCM的面積之比．【解答】（1）證明：∵E是BC的中點(diǎn)，∴BC＝2EC，∵∠ACB＝∠DBC＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∵ED⊥AB，∴∠ABC+∠DEB＝90°，∴∠A＝∠DEB，在△ABC和△EDB中，∴△ABC≌△EDB（AAS），∴DB＝BC，∴DB＝2EC；（2）解：∵△ABC≌△EDB，∴BE＝AC，∵E是BC的中點(diǎn)，∴AC＝CE＝BC，∵DB＝2EC，∴DB＝2AC，∴，∵∠ACB＝∠DBC＝90°，∴AC∥DB，∴∠A＝∠DBM，∠ACM＝∠BDM，∴△ACM∽△BDM，∴，∴△ACM與△BCM的面積之比為1：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形的全等和相似是解決問題的關(guān)鍵．5．（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，BE與CD相交于點(diǎn)F．求證：（1）∠ADC＝∠AEB；（2）FD＝FE．【分析】（1）利用AAS證明△ABD≌△ACE即可；（2）連接DE，利用等腰三角形的性質(zhì)和判定即可證明結(jié)論．【解答】證明：（1）∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠EAD＝∠CAE+∠DAE，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE與△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ADC＝∠AEB；（2）連接DE，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ADC＝∠AEB，∴∠ADC﹣∠ADE＝∠AEB﹣∠AED，∴∠FDE＝∠FED，∴FD＝FE．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知在△ABC中，AB＝AC，在邊AC上取一點(diǎn)D，以D為頂點(diǎn)，DB為一條邊作∠BDF＝∠A，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，∠ECF＝∠ACB．求證：（1）∠FDC＝∠ABD；（2）DB＝DF；（3）當(dāng)點(diǎn)D在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，DB＝DF是否依然成立？在備用圖中畫出圖形，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；（2）過D作DG∥BC交AB于G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；（3）過D作DG∥BC交AB于G，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADG＝∠ACB，∠AGD＝∠ABC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ACB，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即∠BDF+∠FDC＝∠A+∠ABD，∵∠BDF＝∠A，∴∠FDC＝∠ABD；（2）過D作DG∥BC交AB于G，∴∠ADG＝∠ACB，∠AGD＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠AGD＝∠ADG，∴AD＝AG，∴AB﹣AG＝AC﹣AD，即BG＝DC，∵∠ECF＝∠ACB＝∠AGD，∴∠DGB＝∠FCD，在△GDB與△CFD中，，∴△GDB≌△CFD（ASA），∴DB＝DF；（3）仍然成立，如圖2，過D作DG∥BC交AB于G，∴∠ADG＝∠ACB，∠AGD＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠AGD＝∠ADG，∴AD＝AG，∴AG﹣AB＝AD﹣AC，即BG＝DC，∵∠ECF＝∠ACB＝∠AGD，∴∠DGB＝∠FCD，∵∠ACB+∠BCF+∠FCD＝180°，∴∠ACB+∠BCF+∠DGB＝180°，∵∠DGB＝∠ABC．∴∠ACB+∠BCF∠ABC＝180°，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝∠BCF，∵∠BDF＝∠A，∴∠BCF＝∠BDF，∴∠CBD＝∠CFD，∵∠GBD＝180°﹣∠ABC﹣∠CBD＝180°﹣∠FCD﹣∠CFD＝∠FDC，∴∠GBD＝∠FDC，在△GDB與△CFD中，，∴△GDB≌△CFD（ASA），∴DB＝DF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（2021春?金山區(qū)期末）閱讀并填空：如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，且AD＝AE，說明BD＝CE的理由．解：因?yàn)锳B＝AC，所以∠B＝∠C；（等邊對(duì)等角）因?yàn)锳D＝AE，（已知）所以∠AED＝∠ADE；（等邊對(duì)等角）因?yàn)椤螦ED＝∠EAC+∠C，∠ADE＝∠BAD+∠B，（三角形外角的性質(zhì)）所以∠BAD＝∠EAC；（等式性質(zhì)）在△ABD與△ACE中，所以△ABD≌△ACE（A．S．A）所以BD＝CE．（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知∠B＝∠C，∠AED＝∠ADE，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知∠BAD＝∠EAC，即可證明△ABD≌△ACE，即有BD＝CE．【解答】解：因?yàn)锳B＝AC，所以∠B＝∠C；（等邊對(duì)等角）因?yàn)锳D＝AE，（已知）所以∠AED＝∠ADE；（等邊對(duì)等角）因?yàn)椤螦ED＝∠EAC+∠C，∠ADE＝∠BAD+∠B，（三角形外角的性質(zhì)）所以∠BAD＝∠EAC；（等式性質(zhì)）在△ABD與△ACE中，，所以△ABD≌△ACE（ASA）所以BD＝CE．（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）故答案為：∠B＝∠C，AD＝AE，三角形外角的性質(zhì)，BD＝CE．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2021秋?松江區(qū)期末）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AD⊥AB，如果AC＝5，AD＝2，那么AB的長(zhǎng)是3．【分析】過點(diǎn)C作CE∥AB交AD的延長(zhǎng)線于E，利用AAS證明△ABD≌△ECD，得AB＝EC，AD＝ED＝2，再利用勾股定理即可得出答案．【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CE∥AB交AD的延長(zhǎng)線于E，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，∵AD⊥AB，CE∥AB，∴AD⊥CE，∠ABD＝∠ECD，∴∠E＝90°，在△ABD與△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB＝EC，AD＝ED＝2，∴AE＝2AD＝4，在Rt△AEC中，CE＝＝＝3，∴AB＝CE＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋?普陀區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝45°，高AD與高BE相交于點(diǎn)F，G為BF的中點(diǎn)．求證：（1）DG＝DE；（2）∠DEG＝∠DEC．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明△BDF≌△ACD，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DG＝BF，進(jìn)而可以解決問題；（2）由（1）得∠DBG＝∠DAE，BG＝BF，AE＝AC，BF＝AC，然后證明△BDG≌△ADE，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．【解答】證明：（1）AD⊥BD，∠BAD＝45°，∴AD＝BD，∵∠BFD＝∠AFE，∠AFE+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠BFD＝∠ACD，在△BDF和△ACD中，，∴△BDF≌△ACD（AAS），∴BF＝AC，∵G為BF的中點(diǎn)．∴DG＝BF，∵AB＝CB，BE⊥AC，∴E為AC的中點(diǎn)．∴DE＝AC，∴DG＝DE；（2）由（1）知：∠DBG＝∠DAE，BG＝BF，AE＝AC，BF＝AC，∴BG＝AE，在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴∠BDG＝∠ADE，∴∠DGB＝∠DBG+∠BDG，∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∴∠DGB＝∠DEC，∵DG＝DE，∴∠DGE＝∠DEG，∴∠DEG＝∠DEC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△BDG≌△ADE．二．全等三角形的應(yīng)用（共3小題）10．（2021春?金山區(qū)期末）如圖，有兩根鋼條AB、CD，在中點(diǎn)O處以小轉(zhuǎn)軸連在一起做成工具（卡鉗），可測(cè)量工件內(nèi)槽的寬．如果測(cè)量AC＝2cm，那么工件內(nèi)槽的寬BD＝2cm．【分析】利用SAS可判定△AOC≌△BOD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BD＝AC＝2厘米．【解答】解：∵有兩根鋼條AB、CD，在中點(diǎn)O處以小轉(zhuǎn)軸連在一起做成工具，∴OA＝OB，OD＝OC，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）．∴BD＝AC＝2厘米，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的應(yīng)用．在實(shí)際生活中，對(duì)于難以實(shí)地測(cè)量的線段，常常通過兩個(gè)全等三角形，轉(zhuǎn)化需要測(cè)量的線段到易測(cè)量的邊上或者已知邊上來，從而求解．11．（2020春?嘉定區(qū)期末）如圖，兩車從路段MN的兩端同時(shí)出發(fā)，以相同的速度行駛，相同時(shí)間后分別到達(dá)A，B兩地，兩車行進(jìn)的路線平行．那么A，B兩地到路段MN的距離相等嗎？為什么？【分析】要判斷A，B兩地到路段MN的距離是否相等，可以由條件證明△AEM≌△BFN，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以的得出結(jié)論．【解答】解：A，B兩地到路段MN的距離相等．理由：∵AE⊥MN，BF⊥MN，∴∠AFN＝∠AEM＝90°．∵AM∥BN，∴∠M＝∠N．在△AEM和△BFN中，，∴△AEM≌△BFN（AAS），∴AE＝BF．∴A，B兩地到路段MN的距離相等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，點(diǎn)到直線的距離的理解，在解答時(shí)弄清判斷三角形全等的條件是關(guān)鍵．12．（2019春?嘉定區(qū)期末）如圖，兩車從路段A，B的兩端同時(shí)出發(fā)，以相同的速度行駛，相同時(shí)間后分別到達(dá)C，D兩地，兩車行進(jìn)的路線平行．那么C，D兩地到路段AB的距離相等嗎？為什么？【分析】要判斷C，D兩地到路段AB的距離是否相等，可以由條件證明△AEC≌△BFD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以的得出結(jié)論．【解答】解：C，D兩地到路段AB的距離相等．證明：∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠AEC＝90°．∵AC∥BD，∴∠A＝∠B．在△AEC和△BFD中．，∴△AEC≌△BFD，∴CE＝DF．∴C，D兩地到路段AB的距離相等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，點(diǎn)到直線的距離的理解，在解答時(shí)弄清判斷三角形全等的條件是關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一．選擇題（共3小題）1．（2016秋?天津期末）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有1、2、3、4的四塊），你認(rèn)為將其中的哪一些塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應(yīng)該帶（）A．第1塊 B．第2塊 C．第3塊 D．第4塊【分析】本題應(yīng)先假定選擇哪塊，再對(duì)應(yīng)三角形全等判定的條件進(jìn)行驗(yàn)證．【解答】解：1、3、4塊玻璃不同時(shí)具備包括一完整邊在內(nèi)的三個(gè)證明全等的要素，所以不能帶它們?nèi)?，只有?塊有完整的兩角及夾邊，符合ASA，滿足題目要求的條件，是符合題意的．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形全等的判定，看這4塊玻璃中哪個(gè)包含的條件符合某個(gè)判定．判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．2．（2015?義烏市）如圖，小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC．將儀器上的點(diǎn)A與∠PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點(diǎn)A，C畫一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．此角平分儀的畫圖原理是：根據(jù)儀器結(jié)構(gòu)，可得△ABC≌△ADC，這樣就有∠QAE＝∠PAE．則說明這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC為公共邊，AB＝AD，BC＝DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，進(jìn)而得到∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE．【解答】解：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用；這種設(shè)計(jì)，用SSS判斷全等，再運(yùn)用性質(zhì)，是全等三角形判定及性質(zhì)的綜合運(yùn)用，做題時(shí)要認(rèn)真讀題，充分理解題意．3．（2021秋?營(yíng)山縣期中）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是（）A．0＜AD＜12 B．1＜AD＜6 C．0＜AD＜6 D．2＜AD＜12【分析】作出圖形，延長(zhǎng)中線AD到E，使DE＝AD，利用“邊角邊”證明△ACD和△EBD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AC＝BE，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的范圍，再除以2即可得解．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)中線AD到E，使DE＝AD，∵AD是三角形的中線，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC＝BE，∵AB＝5，BE＝AC＝7，∴7﹣5＜AE＜7+5，即7﹣5＜2AD＜7+5，∴1＜AD＜6．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)輔助線的作法，“遇中線加倍延”作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共10小題）4．（2021秋?沂水縣期中）如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D，BF＝10，BC＝6，則EC＝2．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠B＝∠DEF，即可利用ASA證明△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BC＝EF＝6，即可根據(jù)線段的和差得解．【解答】解：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴BC＝EF，∵BF＝10，BC＝6，∴EF＝6，CF＝BF﹣BC＝4，∴EC＝EF﹣CF＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用ASA證明△ABC≌△DEF是解題的關(guān)鍵．5．（2021春?楊浦區(qū)期末）在△ABC與△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，AB＝3cm，AC＝5cm，那么DE＝3cm．【分析】根據(jù)已知可得△ABC≌△DEF中，從而DE＝AB，即可得到答案．【解答】解：如圖：在△ABC與△DEF中，，∴△ABC≌△DEF中（AAS），∴AB＝DE，∵AB＝3cm，∴DE＝3cm，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定及應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理和根據(jù)已知畫出圖形是解答本題的關(guān)鍵．6．（2015秋?蒙城縣期末）如圖所示，將兩根鋼條AA′，BB′的中點(diǎn)O連在一起，使AA′，BB′可以繞著點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成了一個(gè)測(cè)量工具，則A′B′的長(zhǎng)等于內(nèi)槽寬AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是SAS．【分析】已知二邊和夾角相等，利用SAS可證兩個(gè)三角形全等．【解答】解：∵OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）所以理由是SAS．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的應(yīng)用；根據(jù)題目給出的條件，要觀察圖中有哪些相等的邊和角，然后判斷所選方法，題目不難．7．（2009?楊浦區(qū)二模）如圖所示，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶③去玻璃店．【分析】本題就是已知三角形破損部分的邊角，得到原來三角形的邊角，根據(jù)三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第一塊和第二塊只保留了原三角形的一個(gè)角和部分邊，根據(jù)這兩塊中的任一塊均不能配一塊與原來完全一樣的；第三塊不僅保留了原來三角形的兩個(gè)角還保留了一邊，則可以根據(jù)ASA來配一塊一樣的玻璃．應(yīng)帶③去．故答案為：③．【點(diǎn)評(píng)】這是一道考查全等三角形的判定方法的開放性的題，要求學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際生活中，要認(rèn)真觀察圖形，根據(jù)已知選擇方法．8．（2021秋?普陀區(qū)期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD、BE相交于點(diǎn)F，如果BF＝AC，BC＝8，CD＝2，那么AF＝4．【分析】利用AAS證明△BFD≌△ACD，得BD＝AD，CD＝DF，即可解決問題．【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°，∵∠CAD+∠C＝90°，∠CBE+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠CAD，在△BFD與△ACD中，∴△BFD≌△ACD（AAS），∴BD＝AD，CD＝DF，∵BC＝8，CD＝2，∴BD＝AD＝BC﹣CD＝8﹣2＝6，∴AF＝AD﹣DF＝6﹣2＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△BFD≌△ACD是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC的周長(zhǎng)為26，點(diǎn)D、E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC＝10，則DE的長(zhǎng)是6．【分析】證明△ABQ≌△EBQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BA＝BE，AP＝PD，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵BQ平分∠ABC，∴∠ABQ＝∠EBQ，在△ABQ和△EBQ中，，∴△ABQ≌△EBQ（ASA），∴BA＝BE，同理：AP＝PD，∵△ABC的周長(zhǎng)為26，∴AB+AC+BC＝26，∴AB+AC＝16，∴DE＝BE+CD﹣BC＝16﹣10＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）△ABC中，AB＝6，AC＝8，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，則AD的取值范圍是1＜AD＜7．【分析】作出圖形，延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，根據(jù)三角形中線的定義可得BD＝CD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE＝AB，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊只差小于第三邊求出AE，然后求解即可．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，∵AD是△ABC中BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB＝6，∵AC＝8，∴6+8＝14，8﹣6＝2，∴2＜AE＜14，∴1＜AD＜7．故答案為：1＜AD＜7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，“遇中線，加倍延”構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．11．（2021春?鹽湖區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，連接AD、BD、CD，且BD交AC于點(diǎn)O，在BD上取一點(diǎn)E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ACB＝70°，則∠BDC的度數(shù)為40°．【分析】根據(jù)SAS證明△ABE≌△ACD，再利用全等三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和解答即可．【解答】解：∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABD＝∠ACD，∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠ACB＝70°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BDC＝∠BAC＝40°．故答案為：40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．12．（2021秋?長(zhǎng)沙期中）如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分別為E，D，AD＝25，DE＝17，則BE＝8．【分析】可先證明△BCE≌△CAD，可求得CE＝AD，結(jié)合條件可求得CD，則可求得BE．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，又∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠CBE＝∠ACD，在△CBE和△ACD中，，∴△CBE≌△ACD（AAS），∴BE＝CD，CE＝AD＝25，∵DE＝17，∴CD＝CE﹣DE＝AD﹣DE＝25﹣17＝8，∴BE＝CD＝8；故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)；證明三角形全等得出對(duì)應(yīng)邊相等是解決問題的關(guān)鍵．13．（2021秋?梅里斯區(qū)期末）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有1、2、3、4的四塊），你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應(yīng)該帶第2塊．【分析】本題應(yīng)先假定選擇哪塊，再對(duì)應(yīng)三角形全等判定的條件進(jìn)行驗(yàn)證．【解答】解：1、3、4塊玻璃不同時(shí)具備包括一完整邊在內(nèi)的三個(gè)證明全等的要素，所以不能帶它們?nèi)?，只有?塊有完整的兩角及夾邊，符合ASA，滿足題目要求的條件，是符合題意的．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形全等的判定，看這4塊玻璃中哪個(gè)包含的條件符合某個(gè)判定．判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．三．解答題（共15小題）14．（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE∥DF．為什么？解：∵BE∥CF（已知），∴∠EBC＝∠FCB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意義），∴∠EBA＝∠FCD（等角的補(bǔ)角相等）．∵AC＝BD（已知），∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性質(zhì)），即AB＝CD．（完成以下說理過程）【分析】證△ABE和△DCF全等，可得出∠A＝∠D，從而AE∥DF．【解答】解：∵BE∥CF（已知），∴∠EBC＝∠FCB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意義），∴∠EBA＝∠FCD（等角的補(bǔ)角相等）．∵AC＝BD（已知），∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性質(zhì)），即AB＝CD．在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠A＝∠D，∴AE∥DF．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等角的補(bǔ)角相等；AB＝CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握憑想象的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．15．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，△ABC中，∠C＝90°，D是AB上一點(diǎn)，DE⊥CD于D，交BC于E，且有AC＝AD＝CE，求證：DE＝CD．【分析】如圖，作輔助線；首先證明△ACF≌△CED，得到CF＝DE；其次證明CF＝CD，即可解決問題．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥CD；∵∠C＝90°，DE⊥CD，∴∠ACF+∠DCE＝∠DCE+∠DEC，∴∠ACF＝∠DEC；在△ACF與△CED中，，∴△ACF≌△CED（AAS），∴CF＝DE；∵AC＝AD，且AF⊥CD，∴CF＝CD，∴DE＝CD．【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線；靈活運(yùn)用全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)來分析、判斷、解答．16．（2020春?普陀區(qū)期末）如圖，已知AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．（1）說明△ABC與△DEF全等的理由；（2）如果AC＝CF，∠1＝30°，∠D＝105°，求∠AFC的度數(shù)．【分析】（1）由BF＝EC，可得BC＝EF，根據(jù)“SSS“可得△ABC≌△DEF；（2）由（1）得：△ABC≌△DEF，有∠BAC＝∠D，根據(jù)∠D＝105°，∠1＝30°，可得∠FAC＝75°，而AC＝CF，故∠AFC＝∠FAC＝75°．【解答】（1）證明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）由（1）得：△ABC≌△DEF，∴∠BAC＝∠D，∵∠D＝105°，∴∠BAC＝105°，∵∠1＝30°，∴∠FAC＝∠BAC﹣∠1＝75°，∵AC＝CF，∴∠AFC＝∠FAC＝75°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，屬基礎(chǔ)題型，解題的關(guān)鍵掌握三角形全等的判定：SSS、SAS、ASA、AAS．17．（2019秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，M、N分別是BA、BC上的點(diǎn)，且∠MDN+∠MBN＝180°，求證：DM＝DN．【分析】根據(jù)一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，然后根據(jù)圓周角相等，即可證明對(duì)應(yīng)的弦相等．【解答】證明：∵∠MDN+∠MBN＝180°，∴B、M、D、N四點(diǎn)共圓，又∵∠MBD＝∠NBD，∴DM＝DN．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四點(diǎn)共圓的證明方法以及圓周角定理，證明B、M、D、N四點(diǎn)共圓是關(guān)鍵．18．（2021春?浦東新區(qū)月考）如圖所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，M是BC的中點(diǎn)，MF∥DA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，求證：BE＝CF．【分析】過點(diǎn)B作BN∥AC交EM的延長(zhǎng)線于N，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠MBN＝∠C，∠N＝∠MFC，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得BM＝CM，然后利用“角角邊”證明△BMN和△CMF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BN＝CF，根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD＝∠CAD，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠E＝∠BAD，∠N＝∠CFM＝∠CAD，從而得到∠E＝∠N，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得BE＝BN，最后等量代換即可得證．【解答】證明：如圖，過點(diǎn)B作BN∥AC交EM的延長(zhǎng)線于N，∴∠MBN＝∠C，∠N＝∠MFC，∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴BM＝CM，在△BMN和△CMF中，，∴△BMN≌△CMF（AAS），∴BN＝CF，∵AD為∠BAC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD，∵M(jìn)E∥AD，∴∠E＝∠BAD，∠MFC＝∠CAD，∴∠E＝∠MFC，∴∠E＝∠N，∴BE＝BN，∴BE＝CF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形并找出一條與BE、CF都相等的線段作為過渡橋梁．19．（2021春?閔行區(qū)期末）如圖，已知在等腰△ABC中AB＝AC，點(diǎn)D，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是BC，AB和AC邊上的點(diǎn)，且BE＝DC，∠B＝∠EDF，試說明DE＝DF．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C，由外角的性質(zhì)可得∠BED＝∠CDF，由“ASA”可證△BDE≌△CFD，可得DE＝DF．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝∠EDF，∴∠C＝∠EDF，∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，∴∠BED＝∠CDF，在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（ASA），∴DE＝DF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，證明△BDE≌△CFD是解題的關(guān)鍵．20．（2021春?閔行區(qū)期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，AD＝DC，CE和AD交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BF，試說明∠FBD＝45°．【分析】由“ASA”可證△ABD≌△CFD，可得BD＝DF，由等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADC＝∠ADB＝90°＝∠CEB，∴∠ABD+∠BAD＝90°＝∠BCE+∠ABD，∴∠BAD＝∠BCE，在△ABD和△CFD中，，∴△ABD≌△CFD（ASA），∴BD＝DF，又∵∠ADB＝90°，∴∠FBD＝45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明△ABD≌△CFD是解題的關(guān)鍵．21．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED，AB＝EC，EF⊥AD，試說明點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)的理由．【分析】證出∠BAE＝∠CED，證明△ABE≌△ECD（ASA），得出AE＝DE，得出△AED是等腰三角形．由等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，又∵∠B＝90°，∴∠B＝∠AED，∵∠AEC＝∠B+∠BAE，即∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∴∠BAE＝∠DEC，在△ABE與△ECD中，，∴△ABE≌△ECD（ASA），∴AE＝ED，∵EF⊥AD，∴點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．22．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，在三角形ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AC、AB上，且FD＝DE，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B與∠C相等嗎？為什么？【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠FDC＝∠B+∠DFB，再根據(jù)∠FDE＝∠B，證明∠DFB＝∠EDC，然后根據(jù)邊角邊定理證明△DFB與△EDC全等，根據(jù)此思路寫出相關(guān)的理由與步驟即可．【解答】解：∠B與∠C相等，理由：∵∠FDC＝∠FDE+∠EDC，又∵∠FDC＝∠B+∠BFD，∴∠FDE+∠EDC＝∠B+∠BFD，又∵∠FDE＝∠B，∴∠BFD＝∠EDC，在△BFD和△CDE中，∴△BFD≌△CDE（SAS），∴∠B＝∠C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定定理與性質(zhì)定理，理清證明思路是寫出理由與步驟的關(guān)鍵．23．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作直線CE，使CE∥AB，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．試說明AD＝ED的理由．解：因?yàn)镃E∥AB（已知），所以∠BAD＝∠E（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．因?yàn)辄c(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，所以BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，所以△ABD≌△ECD（AAS），所以AD＝ED（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．【分析】先利用平行線的性質(zhì)得到∠BAD＝∠E，再利用線段中點(diǎn)的定義得到BD＝CD，則可根據(jù)“AAS”判斷△ABD≌△ECD，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝ED．【解答】解：因?yàn)镃E∥AB（已知），所以∠BAD＝∠E（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．因?yàn)辄c(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，所以BD＝CD，在△ABD和△ECD中，所以△ABD≌△ECD（AAS），所以AD＝ED（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．故答案為∠E，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠BAD＝∠E，對(duì)頂角相等，BD＝CD；AAS；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．24．（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在邊BC上，且∠1＝∠2．（1）說明△ADE≌△BFE的理由；（2）聯(lián)結(jié)EG，那么EG與DF的位置關(guān)系是EG⊥DF，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）由AD∥BC，得出∠1＝∠F，因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，得AE＝BE，即可證明△ADE≌△BFE；（2）可證∠2＝∠F，從而有DG＝FG，再通過（1）中全等知DE＝EF，由等腰三角形三線合一即可證出EG⊥DF．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠1＝∠F，∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，在△ADE和△BFE中，，∴△ADE≌△BFE（AAS），（2）如圖，EG⊥DF，∵∠1＝∠F，∠1＝∠2，∴∠2＝∠F，∴DG＝FG，由（1）知：△ADE≌△BFE，∴DE＝EF，∴EG⊥DF．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的三線合一等知識(shí)，找出全等所需的條件是解題的關(guān)鍵．25．（2021春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AC上，說明CE∥AB的理由．解：因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形（已知），所以∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC（等邊三角形的意義）．因?yàn)椤鰾DE是等邊三角形（已知），所以∠BE＝60°，BD＝BE（等邊三角形的意義）．所以∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC（等式性質(zhì)），得∠ABD＝∠CBE．在△ABD與△CBE中，，所以△ABD≌△CBE（SAS）．所以∠A＝∠BCE（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）．又因?yàn)椤螦＝∠ABC，所以∠ABC＝∠BCE（等量代換）．所以CE∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【分析】先證明∠ABD＝∠CBE．則可判斷所以△ABD≌△CBE，所以∠A＝∠BCE，接著利用等量代換得到∠ABC＝∠BCE，然后根據(jù)平行線的判定方法得到CE∥AB．【解答】解：因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形（已知），所以∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC（等邊三角形的意義）．因?yàn)椤鰾DE是等邊三角形（已知），所以∠BE＝60°，BD＝BE（等邊三角形的意義）．所以∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC（等式性質(zhì)），得∠ABD＝∠CBE．在△ABD與△CBE中，，所以△ABD≌△CBE（SAS）．所以∠A＝∠BCE（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）．又因?yàn)椤螦＝∠ABC，所以∠ABC＝∠BCE（等量代換）．所以CE∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為∠CBE，SAS，∠BCE，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；∠BCE，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．26．（2021春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知△ADE≌△CBF，頂點(diǎn)A、D、E分別與頂點(diǎn)C、B、F對(duì)應(yīng)，據(jù)此可以判斷圖中有哪幾組直線互相平行？請(qǐng)說明理由．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DAE＝∠BCF，∠AED＝∠CFB，AE＝CF，DE＝BF，得到AD∥BC，ED∥BF，證明△CDE≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DCE＝∠BAF，根據(jù)平行線的判定定理證明AB∥CD．【解答】解：可以判斷AD∥BC，AB∥CD，DE∥BF三組直線平行，理由如下：∵△ADE≌△CBF，∴∠DAE＝∠BCF，∠AED＝∠CFB，AE＝CF，DE＝BF，∴AD∥BC，∠CED＝∠AFB，AE+EF＝CF+EF，∴ED∥BF，AF＝CE，在△CDE和△ABF中，，∴△CDE≌△ABF（SAS），∴∠DCE＝∠BAF，∴AB∥CD，∴AD∥BC，AB∥CD，DE∥BF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．27．（2021春?普陀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AB上，AE＝AC，過點(diǎn)E作EF∥BC交AC于F，EC平分∠DEF．說明∠BAD＝∠CAD．【分析】由平行線的性質(zhì)得出∠FEC＝∠DCE，由角平分線的性質(zhì)得出∠FEC＝∠DEC，推出∠DCE＝∠DEC，則ED＝CD，由SSS證得△AED≌△ACD，進(jìn)而可得結(jié)論．【解答】證明：∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠DCE，∵EC平分∠DEF，∴∠FEC＝∠DEC，∴∠DCE＝∠DEC，∴ED＝CD，在△AED和△ACD中，，∴△AED≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．28．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1＝∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O．（1）求證：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝44°，求∠BDE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可判斷△AEC≌△BED；（2）由（1）可知：EC＝ED，∠C＝∠BDE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可知∠C的度數(shù)，從而可求出∠BDE的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵AE和BD相交于點(diǎn)O，∴∠AOD＝∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（ASA）；（2）解：∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝44°，∴∠C＝∠EDC＝68°，∴∠BDE＝∠C＝68°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型．題組B能力提升練一．填空題（共2小題）1．（2021秋?浦東新區(qū)期中）如圖，已知AD是△ABC的中線，E是AC上的一點(diǎn)，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，則∠ACB＝100°．【分析】延長(zhǎng)AD到M，使得DM＝AD，連接BM，證△BDM≌△CDA（SAS），得BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，再證△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度數(shù)，即可解決問題．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AD到M，使得DM＝AD，連接BM，如圖所示：在△BDM和△CDA中，，∴△BDM≌△CDA（SAS），∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，∵BF＝AC，∴BF＝BM，∴∠M＝∠BFM＝24°，∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝132°，∵∠EBC＝32°，∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°，∴∠C＝∠DBM＝100°，故答案為：100°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．2．（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，則∠DEF的度數(shù)是65°．【分析】首先證明△DBE≌△ECF，進(jìn)而得到∠EFC＝∠DEB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠CFE+∠FEC的度數(shù)，進(jìn)而得到∠DEB+∠FEC的度數(shù)，然后可算出∠DEF的度數(shù)．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（SAS），∴∠EFC＝∠DEB，∵∠A＝50°，∴∠C＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∴∠CFE+∠FEC＝180°﹣65°＝115°，∴∠DEB+∠FEC＝115°，∴∠DEF＝180°﹣115°＝65°，故答案為：65°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，以及三角形內(nèi)角和的定理，關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和是180°．二．解答題（共15小題）3．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，BC＝CD，CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，求證：AB＝AD．【分析】連接AC，利用HL得出Rt△ADC與Rt△ABC全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：連接AC，∵CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，在Rt△ADC與Rt△ABC中，，∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），∴AB＝AD．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是利用HL得出Rt△ADC與Rt△ABC全等解答．4．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．則線段AB，BE，CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【分析】由平行線的性質(zhì)證得∠ABD＝∠EDC，根據(jù)全等三角形判定證得△ABD≌△EDC，得到AB＝DE，BD＝CD，由線段的和差及等量代換即可得到AB+BE＝CD．【解答】解：AB+BE＝CD，理由如下：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC，在△ABD和△EDC中，，∴△ABD≌△EDC（AAS），∴AB＝DE，BD＝CD，∵DE+BE＝BD，∴AB+BE＝CD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)全等三角形判定證得△ABD≌△EDC是解決問題的關(guān)鍵．5．（2021春?靜安區(qū)期末）如圖，已知四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E為BD上一點(diǎn)，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）AD和BC相等嗎？為什么？（2）BF和BD相等嗎？為什么？【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出△ABD與△CDB全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出△EFB與△CDB全等，進(jìn)而解答即可．【解答】解：（1）AD＝CB，理由如下：∵AD∥BC，∴∠ABD＝∠CDB，同理可得，∠ADB＝∠CBD，在△ABD與△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（ASA），∴AD＝CB；（2）BF＝BD，理由如下：∵AD＝CB，BE＝AD，∴BC＝BE，∵∠DEF＝∠ADC，∴∠DEF﹣∠DBF＝∠ADC﹣∠ADB，即∠EFB＝∠CDB，在△EFB與△CDB中，，∴△EFB≌△CDB（ASA），∴FB＝DB．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)ASA證明三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)解答．6．（2020秋?奉賢區(qū)期末）已知：在△ABC中，AB＝6，AC＝5，△ABC的面積為9．點(diǎn)P為邊AB上動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作BD∥AC，交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．∠ACP的平分線交AB于點(diǎn)E．（1）如圖1，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，求PA的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)猜想并證明：線段AC、CD、DB的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式得出CP，進(jìn)而利用勾股定理得出PA即可；（2）延長(zhǎng)BD，過A作AO∥BC，利用平行四邊形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，△ABC的面積為9，AB＝6，∴，∴CP＝3，由勾股定理得：PA＝；（2）延長(zhǎng)BD，過A作AO∥BC，∵BD∥AC，AO∥BC，∴四邊形AOBC是平行四邊形，∵E是AB的中點(diǎn)，∴延長(zhǎng)CE肯定可以過點(diǎn)O點(diǎn)，∴∠OCD＝∠ACO＝∠COD，∴CD＝DO，∵DO+DB＝AC，∴AC＝CD+DB．【點(diǎn)評(píng)】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行解答，屬于中考常考題型．7．（2020春?虹口區(qū)期中）如圖，已知E、F是BD上的兩點(diǎn)，BE＝DF，AE＝CF，AE∥CF，請(qǐng)?zhí)顚慉D∥BC的理由．解：因?yàn)锳E∥CF（已知），所以∠AED＝∠CFB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．因?yàn)锽E＝DF（已知），所以BE+EF＝DF+EF（等式的性質(zhì)），即BF＝DE．在△ADE與△CBF中，所以△ADE≌△CBF（SAS）．得∠ADE＝∠CBF（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）．所以AD∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【分析】證△ADE≌△CBF（SAS）．得∠ADE＝∠CBF，即可得出結(jié)論．【解答】解：因?yàn)锳E∥CF（已知），所以∠AED＝∠CFB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．因?yàn)锽E＝DF（已知），所以BE+EF＝DF+EF（等式的性質(zhì)），即BF＝DE．在△ADE與△CBF中，，所以△ADE≌△CBF（SAS）．得∠ADE＝∠CBF（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）．所以AD∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：∠CFB；等式的性質(zhì)；AE＝CF，DE＝BF；SAS；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2020秋?普陀區(qū)期中）如圖，已知AB＝AC，BD＝CD，過點(diǎn)D作DE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、DF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，垂足分別為點(diǎn)E、F．（1）求證：∠DBE＝∠DCF．（2）求證：BE＝CF．【分析】（1）連接AD，證△ABD≌△ACD（SSS），得∠ABD＝∠ACD，即可得出結(jié)論；（2）證△BDE≌△CDF（AAS），即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）連接AD，如圖：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ABD＝∠ACD，∴∠DBE＝∠DCF．（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠F＝90°，由（1）得：∠DBE＝∠DCF，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴BE＝CF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2019秋?浦東新區(qū)期末）已知：如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC于D，垂足分別為點(diǎn)D、E，AD與BE相交于點(diǎn)F．求證：DF＝DC．【分析】證出△ABD是等腰直角三角形，得出BD＝AD，證明△BDF≌△ADC（ASA），即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AD，∵BE⊥AC，∴∠C+∠DBF＝∠C+∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴DF＝DC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2019春?青浦區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上．如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE∥DF．為什么？解：因?yàn)锽E∥CF（已知），所以∠EBC＝∠FCB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．因?yàn)椤螮BC+∠EB4＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意義），所以∠EBA＝∠FCD（等角的補(bǔ)角相等）．因?yàn)锳C＝BD（已知），所以AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性質(zhì)），即AB＝CD（完成以下說理過程）．【分析】先證∠EBA＝∠FCD．再證AB＝CD，然后證△ABE≌△DCF（SAS），得∠A＝∠D，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵BE∥CF（已知），∴∠EBC＝∠FCB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意義），∴∠EBA＝∠FCD．∵AC＝BD（已知），∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性質(zhì)），即AB＝CD，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠A＝∠D（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），∴AE∥CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠EBA＝∠FCD；等角的補(bǔ)角相等；AB＝CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．11．（2019春?奉賢區(qū)期末）閱讀并填空：如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，D是邊AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，E在邊AB上，且聯(lián)接DE交BC于O，如果OE＝OD，那么CD＝BE，為什么？解：過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于F，所以∠ACB＝∠EFB（兩直線平行，同位角相等），∠D＝∠OEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），在△OCD與△OFE中，，所以△OCD≌OFE，（ASA），所以CD＝FE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），因?yàn)锳B＝AC（已知），所以∠ACB＝∠B（等邊對(duì)等角），所以∠EFB＝∠B（等量代換），所以BE＝FE，所以CD＝BE．【分析】證△OCD≌OFE（ASA），得出CD＝FE，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ACB＝∠B，證出∠EFB＝∠B，得出BE＝FE，即可得出結(jié)論．【解答】解：過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于F，所以∠ACB＝∠EFB（兩直線平行，同位角相等），∠D＝∠OEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），在△OCD與△OFE中，，所以△OCD≌OFE（ASA），所以CD＝FE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），因?yàn)锳B＝AC（已知），所以∠ACB＝∠B（等邊對(duì)等角），所以∠EFB＝∠B（等量代換），所以BE＝FE，所以CD＝BE．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；對(duì)頂角相等；ASA；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；等邊對(duì)等角．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．12．（2019秋?浦東新區(qū)期中）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，連接AC、BD交于點(diǎn)M．（1）如圖1，若∠AOB＝∠COD＝40°：①AC與BD的數(shù)量關(guān)系為AC＝BD；②∠AMB的度數(shù)為40°．（2）如圖2，若∠AOB＝∠COD＝90°：①判斷AC與BD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；②求∠AMB的度數(shù)．【分析】（1）①先證明：∠BOD＝∠AOC，再證明△BOD≌△AOC（SAS），即可得AC＝BD；②由△BOD≌△AOC及三角形內(nèi)角和定理即可求得∠AMB＝40°；（2）①證明△BOD≌△AOC（SAS）即可得BD＝AC，②根據(jù)全等三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求得∠AMB；【解答】解：（1）①∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∴∠BOD＝∠AOC，在△BOD和△AOC中，，∴△BOD≌△AOC（SAS），∴AC＝BD；故答案為：AC＝BD，②∵△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，∵∠AOB＝40°，∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB＝180°﹣40°＝140°，又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝140°，∴∠MAB+ABM＝140°，∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+ABM＝180°，∴∠AMB＝40°；故答案為：40°；（2）①AC＝BD，理由如下：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∴∠BOD＝∠AOC，在△BOD和△AOC中，，∴△BOD≌△AOC（SAS），∴BD＝AC；②∵△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，又∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠ABO＝∠ABM+∠OBD，∠MAB＝∠MAO+∠OAB，∴∠MAB+∠MBA＝90°，又∵在△AMB中，∠AMB+∠ABM+∠BAM＝180°，∴∠AMB＝180°﹣（∠ABM+∠BAM）＝180°﹣90°＝90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形性質(zhì)，勾股定理等．熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（2018秋?松江區(qū)期末）在△ABC中，點(diǎn)Q是BC邊上的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作與線段BC相交的直線l，過點(diǎn)B作BN⊥l于N，過點(diǎn)C作CM⊥l于M．（1）如圖1，如果直線l過點(diǎn)Q，求證：QM＝QN；（2）如圖2，若直線l不經(jīng)過點(diǎn)Q，聯(lián)結(jié)QM，QN，那么第（1）問的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）由“AAS”可證△BQN≌△CQM，可得QM＝QN；（2）延長(zhǎng)NQ交CM于E，由“ASA”可證△BQN≌△CQE，可得Q