第05章 重點(diǎn)突破訓(xùn)練：相交線平行線類型題舉例-簡單數(shù)學(xué)之2020-2021學(xué)年七年級下冊同步講練（原卷版）（人教版）

第05章重點(diǎn)突破訓(xùn)練：相交線平行線類型題舉例典例體系（本專題70題56頁）考點(diǎn)1：相交線所成的角典例：（2021·江蘇揚(yáng)州市·七年級期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足為O，若∠BOF=38°．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）過點(diǎn)O作射線OG，使∠GOE=∠BOF，求∠FOG的度數(shù)．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了對頂角，角平分線定義，角的有關(guān)定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力，并注意數(shù)形結(jié)合．鞏固練習(xí)1．（2021·山東濟(jì)南市·七年級期末）如圖，直線m和n相交于點(diǎn)O，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．140° D．150°2．（2021·湖北隨州市·七年級期末）如圖，直線，交于點(diǎn)，射線平分，如果，那么等于（）A．38° B．37° C．36° D．52°3．（2021·廣西桂林市·七年級期末）按語句畫圖：點(diǎn)在直線上，也在直線上，但不在直線上，直線，，兩兩相交正確的是（）A．B．C．D．4．（2021·浙江溫州市·七年級期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，AO平分，且，則的度數(shù)是________．

5．（2021·浙江溫州市·七年級期末）如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，射線OE在內(nèi)部，OA平分．（1）當(dāng)時(shí)，寫出圖中所有與互補(bǔ)的角．（2）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．6．（2021·浙江湖州市·七年級期末）如圖，已知直線與相交于點(diǎn)為的角平分線．（1）求的度數(shù)；（2）求的度數(shù)．7．（2021·浙江寧波市·七年級期末）如圖，已知直線，相交于點(diǎn)，平分，平分．若，求：（1）的度數(shù)；（2）的度數(shù)．7．（2021·重慶長壽區(qū)·七年級期末）如圖，直線、相交于點(diǎn)，平分，平分，．（1）求的度數(shù)；（2）求的度數(shù)．8．（2021·四川宜賓市·七年級期末）如圖，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，，平分，于點(diǎn)．（1）求的度數(shù)；（2）試說明平分．9．（2021·湖北鄂州市·七年級期末）如圖，點(diǎn)在直線上，與互補(bǔ)，平分．（1）若，則的度數(shù)為；（2）若，求的度數(shù)．10．（2021·江蘇泰州市·七年級期末）如圖，已知直線，相交于點(diǎn)，與互余．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù)．11．（2021·廣東東莞市·七年級期末）如圖為直線上一點(diǎn)，，平分，．（1）求的度數(shù)；（2）試判斷是否平分，并說明理由；（3）的余角是．考點(diǎn)2：在生活中應(yīng)用平行線性質(zhì)和判定典例：（2020·江蘇泰興市實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)七年級月考）某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈，主道路是平行，即PQ∥MN．如圖所示，燈A射線從AM開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度．若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動_________秒，兩燈的光束互相平行．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題主要考查補(bǔ)角、角的運(yùn)算、平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，注意分兩種情況談?wù)摚柟叹毩?xí)1．（2021·山西朔州市·七年級期末）一艘船停留在海面上，如果從船上看燈塔位于北偏東30°，那么從燈塔看船上位于燈塔的（）A．北偏東30° B．北偏東60° C．南偏西30° D．南偏西60°2．（2021·甘肅白銀市·七年級期末）一條船停留在海面上，從船上看燈塔位于北偏東60°方向，那么從燈塔看船位于燈塔的方向（）A．南偏西60° B．西偏南60° C．南偏西30° D．北偏西30°3．（2020·重慶璧山區(qū)·八年級期中）如圖是長方形紙帶，，將紙帶沿折疊成圖，再沿折疊成圖，則圖中的的度數(shù)是（）A．102° B．112° C．120° D．128°4．（2019·山西九年級專題練習(xí)）某同學(xué)在研究傳統(tǒng)文化“抖空竹”時(shí)有一個(gè)發(fā)現(xiàn)：他把它抽象成數(shù)學(xué)問題，如圖所示：已知，，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．5．（2020·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）如圖，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞道而過，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝160°，第三次拐的角是∠C，這時(shí)的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C是（）A．120° B．130° C．140° D．150°6．（2019·山西七年級月考）小林乘車進(jìn)入車庫時(shí)仔細(xì)觀察了車庫門口的“曲臂直桿道閘”，并抽象出如圖所示的模型，已知垂直于水平地面．當(dāng)車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的段繞點(diǎn)緩慢向上旋轉(zhuǎn)，段則一直保持水平狀態(tài)上升（即與始終平行），在該過程中始終等于（）A． B． C． D．7．（2021·陜西西安市·八年級期末）一大門的欄桿如圖所示，BA垂直地面AE于點(diǎn)A，CD平行于地面AE，則∠ABC＋∠BCD＝_____．8．（2021·山東濰坊市·八年級期末）光線在不同介質(zhì)中傳播速度不同，從一種介質(zhì)斜射進(jìn)入另一種介質(zhì)時(shí)會發(fā)生折射．如圖，水面與水杯下沿平行，光線從水中射向空氣時(shí)發(fā)生折射，光線變成，點(diǎn)在射線上，已知，則的度數(shù)是_______．9．（2021·全國七年級）如圖，在甲，乙兩地之間修一條筆直的公路，從甲地測得公路的走向是北偏東，若同時(shí)開工，則在乙地公路按南偏西___度的走向施工，才能使公路準(zhǔn)確接通．10．（2018·太原師范學(xué)院附屬中學(xué)七年級月考）如圖，要修建一條公路，從村沿北偏東75°方向到村，從村沿北偏西25°方向到村．若要保持公路與的方向一致，則的度數(shù)為______．【答案】80°11．（2014·陜西九年級專題練習(xí)）如圖，∠AOB的兩邊OA、OB均為平面反光鏡，∠AOB＝40°，在射線OB上有一點(diǎn)P，從點(diǎn)P點(diǎn)射出的一束光線經(jīng)OA上的Q點(diǎn)反射后，反射光線QR恰好與OB平行，則∠QPB的度數(shù)是___________12．（2021·全國七年級）如圖，在、兩處之間要修一條筆直的公路，從地測得公路走向是北偏東，公司要求、兩地同時(shí)開工，并保證若干天后公路準(zhǔn)確接通．（1）地修公路的走向應(yīng)該是；（2）若公路長12千米，另一條公路長6千米，且的走向是北偏西，試求到公路的距離？13．（2020·山東臨沂市·七年級期末）如圖，點(diǎn)是內(nèi)部一點(diǎn)，交于點(diǎn)．請你畫出射線，并且，或的反向延長線交于點(diǎn)．（1）補(bǔ)全圖形；（2）判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明．14．（2020·銀川九中英才學(xué)校七年級期中）如圖是種躺椅及其簡化結(jié)構(gòu)示意圖，扶手與底座都平行于地面，靠背與支架平行，前支架與后支架分別與交于點(diǎn)和點(diǎn)與交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，人躺著最舒服，求此時(shí)扶手與支架的夾角和扶手與靠背的夾角的度數(shù)．考點(diǎn)3：平行線中的折點(diǎn)問題典例：（2020·寧波市惠貞書院七年級期中）如圖，，設(shè)，那么，，的關(guān)系式______．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，正確理解平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；1．（2021·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學(xué)七年級期末）如圖，，，，則（）A． B． C． D．2．（2020·四川攀枝花市·七年級期末）如圖，某地域的江水經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)處拐彎后，水流的方向與原來相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．35° D．50°3．（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）如圖：，，，的度數(shù)為（）A． B． C． D．4．（2020·重慶市萬州第二高級中學(xué)九年級期中）如圖，直線為直角，則等于（）A． B． C． D．5．（2021·全國七年級）如圖，已知，，，則____________6．（2020·上海市民辦立達(dá)中學(xué)七年級月考）如圖，AB//CD，則圖中_______________°；7．（2021·全國九年級）如圖，AEFC是折線，AB//CD，那么∠1，∠2，∠3，∠4的大小所滿足的關(guān)系式為_______________；考點(diǎn)4：圖形平移性質(zhì)的應(yīng)用典例：（2020·河南鄭州市·鄭州外國語中學(xué)七年級期中）如圖，在中，，把沿著直線BC的方向平移后得到，連接AE，AD，有以下結(jié)論：①；②；③；④.其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了圖形的平移，圖形的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，學(xué)生易混淆圖形的平移與旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)．鞏固練習(xí)1．（2020·河北石家莊市·九年級其他模擬）某數(shù)學(xué)興趣小組開展動手操作活動，設(shè)計(jì)了如圖所示的三種圖形，現(xiàn)計(jì)劃用鐵絲按照圖形制作相應(yīng)的造型，則所用鐵絲的長度關(guān)系是（）A．甲種方案所用鐵絲最長 B．乙種方案所用鐵絲最長C．丙種方案所用鐵絲最長 D．三種方案所用鐵絲一樣長:學(xué)*科*網(wǎng)]2．（2019·浙江臺州市·七年級期末）三個(gè)邊長分別為，，，的正方形如圖所示擺放，則陰影部分的周長（）A．只與，有關(guān) B．只與，有關(guān) C．只與，有關(guān) D．與，，有關(guān)3．（2021·全國七年級）如圖，長8米寬6米的草坪上有一條彎折的小路（小路進(jìn)出口的寬度相等，且每段小路均為平行四邊形），小路進(jìn)出口的寬度均為1米，則綠地的面積為__平方米．4．（2020·忠縣烏楊初級中學(xué)校七年級月考）如圖,在長方形草地內(nèi)修建了寬為2米的道路,則草地面積為_______米2．5．（2020·江蘇揚(yáng)州市·七年級期末）如圖是某公園里一處矩形風(fēng)景欣賞區(qū)ABCD，長AB=50米，寬BC=30米，為方便游人觀賞，公園特意修建了如圖所示的小路（圖中非陰影部分），小路的寬均為1米，那么小明沿著小路的中間出口A到出口B所走的路線（圖中虛線）長為______米．6．（2020·莆田擢英中學(xué)七年級月考）如圖是一塊從一個(gè)邊長為50cm的正方形材料中剪出的墊片，現(xiàn)測得FG＝5cm，則這個(gè)剪出的墊片的周長是________cm.7．（2020·湖南益陽市·七年級期末）如圖所示，在長方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，將長方形ABCD沿著AB方向平移________cm，才能使平移后的長方形HEFG與原來的長方形ABCD重疊部分的面積為24cm2．8．（2020·河北衡水市·七年級期末）如圖，直角△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，則內(nèi)部五個(gè)小直角三角形的周長為_____．考點(diǎn)5：平行線性質(zhì)與判定的綜合問題典例：（2020·重慶沙坪壩區(qū)·七年級期末）如圖1，AB∥CD，直線AE分別交AB、CD于點(diǎn)A、E．點(diǎn)F是直線AE上一點(diǎn)，連結(jié)BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP與EP交于點(diǎn)P．（1）若點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，且BF⊥AE，求∠P的度數(shù)；（2）若點(diǎn)F是直線AE上一動點(diǎn)（點(diǎn)F與點(diǎn)A不重合），請直接寫出∠P與∠AFB之間的數(shù)量關(guān)系．方法或規(guī)律點(diǎn)撥此題考查平行線的性質(zhì)：兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同位角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，以及角平分線的性質(zhì)，在相交線問題中通常作平行線利用平行線的性質(zhì)解答，將角度轉(zhuǎn)化由此求出答案．解題中運(yùn)用分類思想解答問題．鞏固練習(xí)1．（2020·黑龍江哈爾濱市·七年級期末）已知：直線分別與直線，交于點(diǎn)，．平分，平分，并且．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中四個(gè)角，使寫出的每個(gè)角的度數(shù)都為．2．（2020·福建福州市·七年級期末）已知兩條直線l1，l2，l1∥l2，點(diǎn)A，B在直線l1上，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，點(diǎn)C，D在直線l2上，且滿足．（1）如圖①，求證：AD∥BC；（2）點(diǎn)M，N在線段CD上，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊且滿足，且AN平分∠CAD；（Ⅰ）如圖②，當(dāng)時(shí)，求∠DAM的度數(shù)；（Ⅱ）如圖③，當(dāng)時(shí)，求∠ACD的度數(shù)．3．（2021·全國七年級）（探究）如圖①，，點(diǎn)E在直線，之間．求證：．（應(yīng)用）如圖②，，點(diǎn)E在直線，之間．若，，，平分，平分，則的大小為_________．4．（2020·山東省青島第五十九中學(xué)八年級期末）已知，，，試解答下列問題：（1）如圖①，則__________，則與的位置關(guān)系為__________（2）如圖②，若點(diǎn)E、F在線段上，且始終保持，．則的度數(shù)等于__________；（3）在第（2）題的條件下，若平行移動到圖③所示①在移動的過程中，與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變，若不改變，求出它們之間的數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由．②當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．5．（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）已知：和同一平面內(nèi)的點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)在邊上，過作交于，交于．根據(jù)題意，在圖1中補(bǔ)全圖形，請寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，點(diǎn)在的延長線上，，．請判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，點(diǎn)是外部的一個(gè)動點(diǎn)．過作交直線于，交直線于，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系，并在圖3中補(bǔ)全圖形．6．（2020·惠州市江南學(xué)校八年級期中）已知△ABC中，點(diǎn)D是AC延長線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG與BG交于點(diǎn)G．（1）如圖1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ACB≠90°，試判斷∠G與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；7．（2019·河北保定市·八年級月考）如圖1所示的是北斗七星的位置圖，圖2將北斗七星分別標(biāo)為，，，，，，，并順次首尾連接，若恰好經(jīng)過點(diǎn)，且，．（1）求的度數(shù)．（2）連接，當(dāng)與滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，，并說明理由．8．（2018·上海七年級零模）已知：AB∥DE．（1）如圖1，點(diǎn)C是夾在AB和DE之間的一點(diǎn)，當(dāng)AC⊥CD時(shí)，垂足為點(diǎn)C，你知道∠A+∠D是多少嗎？這一題的解決方法有很多，例如（i）過點(diǎn)C作AB的平行線；（ii）過點(diǎn)C作DE的平行線；（iii）聯(lián)結(jié)AD；（iv）延長AC、DE相交于一點(diǎn)．請你選擇一種方法（可以不選上述四種），并說明理由．（2）如圖2，點(diǎn)C1、C2是夾在AB和DE之間的兩點(diǎn)，請想一想：∠A+∠C1+∠C2++∠D=度，并說明理由．（3）如圖3，隨著AB與CD之間點(diǎn)增加，那么∠A+∠C1+∠C2++…+∠Cn+1+∠D=度．（不必說明理由）9．（2019·河北唐山市·七年級期中）根據(jù)所給圖形及已知條件，回答下列問題：（1）①如圖1所示，已知直線，，那么根據(jù)_________可得________；②如圖2，在①的條件下，如果平分，則________；③如圖3，在①、②的條件下，如果，則________．（2）嘗試解決下列問題：如圖4，已知，，是的平分線，，求的度數(shù)．10．（2020·洛陽市第二外國語學(xué)校七年級期中）如圖1，D是△ABC延長線上的一點(diǎn)，CEAB．（1）求證：∠ACD＝∠A+∠B；（2）如圖2，過點(diǎn)A作BC的平行線交CE于點(diǎn)H，CF平分∠ECD，F(xiàn)A平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度數(shù)．（3）如圖3，AHBD，G為CD上一點(diǎn)，Q為AC上一點(diǎn)，GR平分∠QGD交AH于R，QN平分∠AQG交AH于N，QMGR，猜想∠MQN與∠ACB的關(guān)系，說明理由．考點(diǎn)6：與平行線、交線有關(guān)的作圖問題典例：（2021·江蘇泰州市·七年級期末）如圖是由相同邊長的小正方形組成的網(wǎng)格圖形，小正方形的邊長為1個(gè)單位長度，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)都叫做格點(diǎn)，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，利用網(wǎng)格畫圖．（注：所畫格點(diǎn)、線條用黑色水筆描黑）（1）過點(diǎn)畫的垂線，并標(biāo)出垂線所過格點(diǎn)；（2）過點(diǎn)畫的平行線，并標(biāo)出平行線所過格點(diǎn)；（3）畫出向右平移8個(gè)單位長度后的位置；（4）的面積為______．方法或規(guī)律點(diǎn)撥此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，正確掌握相關(guān)性質(zhì)以及結(jié)合網(wǎng)格畫出對應(yīng)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2021·江蘇南京市·七年級期末）如圖，所有小正方形的邊長都為1個(gè)單位，A、B、C均在格點(diǎn)上．（1）過點(diǎn)A畫線段BC的垂線，垂足為E；（2）過點(diǎn)A畫線段AB的垂線，交線段CB的延長線于點(diǎn)F；（3）線段BE的長度是點(diǎn)到直線的距離；（4）線段AE、BF、AF的大小關(guān)系是．（用“＜”連接）2．（2021·浙江寧波市·七年級期末）如圖，已知同一平面內(nèi)四個(gè)點(diǎn)，，，．（1）同時(shí)過，，兩點(diǎn)能作幾條直線？作圖并寫出理由；（2）在直線上畫出符合下列條件的點(diǎn)和，并說明理由．①使線段長度最?。虎谑棺钚。?．（2021·江蘇南京市·七年級期末）在如圖，所示的方格紙中不用量角器與三角尺，僅用直尺．（1）經(jīng)過點(diǎn)畫的平行線．（2）過點(diǎn)，畫的垂線．（3）過點(diǎn)，畫的垂線．（4）請直接寫出、的位置關(guān)系．4．（2020·北京七年級期末）如圖，已知直線AB及直線AB外一點(diǎn)P，按下列要求完成畫圖和解答：（1）連接PA，PB，用量角器畫出∠APB的平分線PC，交AB于點(diǎn)C；（2）過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D；（3）用刻度尺取AB中點(diǎn)E，連接PE；（4）根據(jù)圖形回答：點(diǎn)P到直線AB的距離是線段的長度．5．（2020·莆田擢英中學(xué)七年級月考）如圖，在正方形網(wǎng)格中有一個(gè)△ABC，按要求進(jìn)行下列作圖（只借助網(wǎng)格，需要寫出結(jié)論）．（1）過點(diǎn)B畫出AC的平行線；（2）畫出三角形ABC向右平移5格，再向上平移2格后的△DEF；（3）若每一個(gè)網(wǎng)格的單位長度為a，求三角形ABC的面積．6．（2021·河南新鄉(xiāng)市·七年級期末）畫圖并度量，已知點(diǎn)A是直線l上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N是直線l外兩點(diǎn)，畫圖：（1）畫線段，并用刻度尺找出它的中點(diǎn)B；（2）畫直線，交直線l于點(diǎn)C，并用量角器畫出的平分線；（3）畫出點(diǎn)M到直線l的垂線段，并度量點(diǎn)M到直線l的距離為__．（精確到）7．（2020·北京延慶區(qū)·七年級期中）已知：四點(diǎn)A，B，C，D的位置如圖所示，（1）連接AD；（2）畫射線AB與線段DC的延長線交于點(diǎn)E；（3）過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F．8．（2020·巨野縣育才實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級月考）如圖，在方格紙中，直線m與n相交于點(diǎn)C，（1）請過點(diǎn)A畫直線AB，使AB⊥m，垂足為點(diǎn)B；（2）請過點(diǎn)A畫直線AD，使AD∥m；交直線n于點(diǎn)D．9．（2020·黑龍江雞西市·七年級期末）如圖，已知點(diǎn)P、Q分別在∠AOB的邊OA、OB上，按下列