第08講三角形的內角和（核心考點講與練）-2021-2022學年七年級數學下學期考試滿分全攻略（滬教版）（解析版）

第08講三角形的內角和（核心考點講與練）一．三角形內角和定理（1）三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且小于180°．（2）三角形內角和定理：三角形內角和是180°．（3）三角形內角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內角移到一起，組合成一個平角．在轉化中借助平行線．（4）三角形內角和定理的應用主要用在求三角形中角的度數．①直接根據兩已知角求第三個角；②依據三角形中角的關系，用代數方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．二．三角形的外角性質（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角．（3）若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質②將它們轉化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關系，多用外角的性質③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．一．三角形內角和定理（共9小題）1．（2021春?上海期中）如果∠A＝∠B﹣∠C，那么△ABC是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．無法確定【分析】由三角形內角和是180°，即∠A+∠B+C＝180°代入即可．【解答】解：因為∠A+∠B+C＝180°，且∠A＝∠B﹣∠C，所以∠B﹣∠C+∠B+C＝180°，所以∠B＝90°，所以△ABC是直角三角形．故選：C．【點評】本題主要考查了三角形的內角和定理，屬于容易題．2．（2021春?金山區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，BD、CE分別是△ABC的角平分線，BD與CE交于點O，如果設∠BAC＝n°（0＜n＜180），那么∠BOE的度數是（）A．90°﹣n° B．90°+n° C．45°+n° D．180°﹣n°【分析】利用三角形的內角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度數，結合角平分線的定義可求得∠OBC+∠OCB的度數，再利用三角形外角的性質可求解．【解答】解：∵∠BAC＝n°，∴∠ABC+∠ACB＝（180﹣n）°，∵BD、CE分別是△ABC的角平分線，∴∠OBC+∠OCB＝＝90°﹣n°，∴∠BOE＝∠OBC+∠OCB＝90°﹣n°，故選：A．【點評】本題主要考查角平分線的定義，三角形的內角和定理，三角形外角的性質，求解∠OBC+∠OCB的度數是解題的關鍵．3．（2021春?浦東新區(qū)期末）若一個三角形的兩個內角的度數分別為60°，50°，則這個三角形是（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【分析】根據三角形內角和等于180°求出第三個角的度數即可作出判斷．【解答】解：∵三角形的兩個內角度數分別為60°、50°，∴這個三角形的第三個角為180°﹣60°﹣50°＝70°，∵最大的角70°是銳角，∴這個三角形是銳角三角形．故選：B．【點評】本題考查了三角形的內角和定理，是基礎題，求出第三個角的度數然后確定出最大的角是銳角是解題的關鍵．4．（2021春?浦東新區(qū)校級期末）如圖，直線a∥b，在Rt△ABC中，點C在直線a上，若∠1＝56°，∠2＝29°，則∠A的度數為27度．【分析】先根據對頂角的定義得出∠3的度數，再由三角形內角與外角的關系求出∠A的度數．【解答】解：如圖，∵直線a∥b，∴∠3＝∠1，∵∠1＝56°，∴∠3＝56°，∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝29°，∴∠A＝∠3﹣∠2＝56°﹣29°＝27°．故答案為：27．【點評】本題考查的是平行線的性質，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等是解答此題的關鍵．5．（2021春?奉賢區(qū)期末）已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三個內角，下列條件不能確定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝90° C．∠A+∠B＝∠C D．∠A+∠B＝2∠C【分析】根據各個選項給出的條件結合三角形內角和定理，即三角形內角和等于180°，推導出三角形中是否存在90°的內角．若存在，則△ABC是直角三角形．若不存在，則△ABC不是直角三角形．【解答】解：選項A：∵∠A＝40°，∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°．∴△ABC是直角三角形．選項B：∵∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形．選項C：∵∠A+B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°．∴∠C＝90°．∴△ABC是直角三角形．選項D：∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴3∠C＝180°．∴∠C＝60°．∴∠A+∠B＝120°．∴無法確定△ABC是直角三角形．故選：D．【點評】本題主要考查三角形內角和定理以及直角三角形的判定，熟練運用三角形內角和等于180°以及直角三角形的判斷是本題的解題關鍵．6．（2021春?楊浦區(qū)期末）下列說法中，正確的是（）A．三角形的高都在三角形內 B．三角形的三條中線相交于三角形內一點 C．三角形的一個外角大于任何一個內角 D．三角形最大的一個內角的度數可以小于60度【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論，從而利用排除法得出答案．【解答】解：A、銳角三角形的三條高在三角形內部，相交于三角形內一點，故本選項錯誤；B、三角形的三條中線相交于三角形內一點，故本選項正確；C、三角形的一個外角大于任何一個不相鄰的一個內角，故本選項錯誤；D、根據三角形內角和等于180°，三角形最大的一個內角的度數大于或等于60度，故本選項錯誤；故選：B．【點評】本題考查三角形高線，中線的概念，三角形外角的性質和三角形內角和定理，掌握這些知識點是解題的關鍵．7．（2021春?上海期中）如圖，已知在△ABC中，∠A＝90°，∠1+∠2的度數是（）A．180° B．270° C．360° D．無法確定【分析】結合三角形內角和定理和平角的定義來解決問題．【解答】解：在△ABC中，∠A＝90°，所以∠ACB+∠ABC＝90°，又因為∠1+∠ACB＝180°，∠2+∠ABC＝180°，所以∠1+∠2＝270°，故選：B．【點評】本題綜合運用三角形內角和定理和平角的定義，屬于中檔題．8．（2020秋?虹口區(qū)期末）定義：當三角形中一個內角α是另一個內角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”，若Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，BC＝6，則Rt△ABC的面積等于9或6．【分析】分∠A＝90°或∠A≠90°，分別畫圖，根據“特征三角形”的定義即可解決問題．【解答】解：如圖，若∠A＝90°，∵Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，∴∠B＝∠C＝45°，∴AC＝AB＝＝3，∴S＝9；如圖，若∠A≠90°，∵Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴AB＝2AC，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即AC2+62＝4AC2，∴AC＝±2（負值舍去），∴S＝6，故答案為：9或6．【點評】本題是新定義題，主要考查了學生的閱讀理解能力，以及三角形內角和定理，勾股定理，特殊角三角形的計算等知識，運用分類思想是解題的關鍵．9．（2021春?奉賢區(qū)期中）在△ABC中，若存在一個內角是另外一個內角度數的n倍（n為大于1的正整數），則稱△ABC為n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC為2倍角三角形．（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，則△DEF為3倍角三角形；（2）如圖，直線MN⊥直線PQ于點O，點A、點B分別在射線OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分線分別與∠BOQ的角平分線所在的直線交于點E、F；①說明∠ABO＝2∠E的理由；②若△AEF為4倍角三角形，直接寫出∠ABO的度數．【分析】（1）由∠E＝40°，∠F＝35°可知∠D＝105°，再根據n倍角三角形的定義可得結論．（2）①根據三角形內角和定理及一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和，利用角的和差計算即可求得結果．②首先證明∠EAF＝90°，分兩種情形分別求出即可．【解答】解：（1）∵∠E＝40°，∠F＝35°，∴∠D＝180°﹣40°﹣35°＝105°，∴∠D＝3∠F，∴△ABC為3倍角三角形，故答案為：3；（2）①∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ，∴∠BAO＝2∠EAQ，∠BOG＝2∠EOQ，由外角的性質可得：∠BOQ＝∠BAO+∠ABO，∠EOQ＝∠EAQ+∠E，∴∠ABO＝2∠E．②∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝（∠BAO+∠OAG）＝90°，∵△EAF是4倍角三角形，∴∠E＝×90°＝22.5°或×90°＝18°，∵∠ABO＝2∠E，∴∠ABO＝45°或36°．【點評】考查三角形的內角和定理，余角的意義，不等式組的解法和應用等知識，讀懂新定義n倍角三角形的意義和分類討論是解決問題的基礎和關鍵．二．三角形的外角性質（共5小題）10．（2021春?浦東新區(qū)期中）如圖，E為△ABC的BC邊上一點，點D在BA的延長線上，DE交AC于點F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，則∠D＝34°．【分析】先求∠DAC，再在△ADF可得答案．【解答】解：∵∠B＝46°，∠C＝30°，∴∠DAC＝∠B+∠C＝76°，∵∠EFC＝70°，∴∠AFD＝70°，∴∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠AFD＝34°，故答案為：34°．【點評】本題考查三角形內角和定理及三角形一個外角等于不相鄰的兩個內角的和，解題的關鍵是掌握三角形內角和定理．11．（2021秋?普陀區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，如果∠B＝80°，∠C＝40°，那么∠ADC的度數等于110°．【分析】由三角形的內角和可求得∠BAC＝60°，再由角平分線的定義得∠BAD＝30°，利用三角形的外角性質即可求∠ADC的度數．【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝110°．故答案為：110°．【點評】本題主要考查三角形的外角性質，三角形的內角和定理，解答的關鍵是對相應的知識的掌握．12．（2020春?浦東新區(qū)期末）已知：如圖，△ABC的兩個外角的平分線交于點P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度數．【分析】根據三角形內角和定理得到∠ABC+∠ACB＝140°，根據角平分線的定義、三角形內角和定理計算即可．【解答】解：∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣140°＝220°，∵BP、CP是△ABC的外角平分線，∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB）＝110°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．【點評】本題考查的是三角形內角和定理、角平分線的定義，掌握三角形內角和等于180°是解題的關鍵．13．（2020春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知點D為△ABC的邊BC延長線上一點，DF⊥AB于點F，交AC于點E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度數．解：因為DF⊥AB（已知），所以∠DFB＝90°（垂直的意義）．因為∠DFB+∠B+∠D＝180°（三角形內角和是180°），又∠D＝42°，所以∠B＝48°（等式性質）．因為∠ACD＝∠A+∠B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和），又∠A＝35°，∠B＝48°，所以∠ACD＝83°（等式性質）．【分析】根據三角形外角與內角的關系及三角形內角和定理解答．【解答】解：因為DF⊥AB（已知），所以∠DFB＝90°（垂直的意義）．因為∠DFB+∠B+∠D＝180°（三角形內角和是180°），又∠D＝42°，所以∠B＝48°（等式性質）．因為∠ACD＝∠A+∠B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和），又∠A＝35°，∠B＝48°，所以∠ACD＝83°（等式性質）．故答案為：三角形內角和是180°，48，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，48，83．【點評】本題考查了三角形外角與內角的關系，三角形內角和定理．解題的關鍵是熟練掌握三角形外角與內角的關系：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形內角和定理：三角形內角和是180°．14．（2019春?閔行區(qū)期中）（1）在銳角△ABC中，BC邊上的高所在直線和AB邊上的高所在直線的交點為P，∠APC＝110°，求∠B的度數；（2）如圖1，AF和CE分別平分∠BAD和∠BCD．當點D在直線AC上時，∠APC＝100°，則∠B的度數；（3）在（2）的基礎上，當點D在直線AC外時，如圖2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度數．【分析】（1）利用三角形的外角的性質求出∠PAE即可解決問題．（2）利用三角形的內角和定理求出∠PAC+∠PCA，再根據角平分線的定義求出∠BAC+∠BCA即可解決問題．（3）利用基本結論：∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B即可解決問題．【解答】解：（1）如圖1中，∵AF，CE是高，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，∵∠APC＝∠AEP+∠PAE，∴∠PAE＝110°﹣90°＝20°，∴∠B＝90°﹣∠PAE＝90°﹣20°＝70°．（2）如圖2中，∴∠APC＝100°，∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣100°＝80°，∵∠BAC＝2∠PAC，∠BCA＝2∠PCA，∴∠BAC+∠BCA＝160°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣160°＝20°．（3）如圖3中，∵∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠B＝70°．【點評】本題考查三角形的外角，角平分線的定義，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．分層提分分層提分題組A基礎過關練一．選擇題（共2小題）1．（2018春?閔行區(qū)期末）如果三角形三個內角的比為1：2：3，那么它是（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形【分析】根據比例設三個內角分別為k、2k、3k，然后根據三角形內角和等于180°列出方程求出最小角，繼而可得出答案．【解答】解：∵三角形三個內角度數的比為1：2：3，∴設三個內角分別為k、2k、3k，∴k+2k+3k＝180°，解得k＝30°，∴該三角形的最大角的度數為90°，即該三角形為直角三角形，故選：C．【點評】本題主要考查了三角形的內角和定理，利用“設k法”求解更加簡單．2．（2018春?普陀區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，BD與CE交于O點，如果設∠BAC＝n°，那么用含n的代數式表示∠BOC的度數是（）A．45°+n° B．90°﹣n° C．90°+n° D．180°﹣n°【分析】由垂直的定義得到∠ADB＝∠BDC＝90°，再根據三角形內角和定理得∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝90°﹣n°，然后根據三角形的外角性質有∠BOC＝∠EBD+∠BEO，計算即可得到∠BOC的度數．【解答】解：∵BD、CE分別是邊AC，AB上的高，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，又∵∠BAC＝n°，∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180°﹣90°﹣n°＝90°﹣n°，∴∠BOC＝∠EBD+∠BEO＝90°﹣n°+90°＝180°﹣n°．故選：D．【點評】本題考查了三角形的外角性質：三角形的任一外角等于與之不相鄰的兩內角的和．也考查了垂直的定義以及三角形內角和定理．二．填空題（共17小題）3．（2021春?靜安區(qū)期末）如圖，△ABC的三個頂點分別在直線a、b上，且a∥b，若∠1＝126°，∠2＝80°，則∠3＝46度．【分析】根據平行線的性質及可得到答案．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠2+∠3，∵∠1＝126°，∠2＝80°，∴∠3＝∠1﹣∠2＝46°，故答案為：46．【點評】本題考查平行線的性質及應用、角的和差等知識，解題的關鍵是掌握兩直線平行，內錯角相等．4．（2021春?普陀區(qū)期中）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，∠C＝100°，那么△ABC是鈍角三角形．（填“銳角”、“鈍角”或“直角”）【分析】根據三角形按角的分類可得結論．【解答】解：在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，∠C＝100°，∵∠C＝100°＞90°，∴△ABC是鈍角三角形．故答案為：鈍角．【點評】本題考查三角形的分類，熟知三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形是解題關鍵．5．（2021春?黃浦區(qū)期末）在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝1：1：2，那么△ABC的形狀是等腰直角三角形．【分析】已知三角形三個內角的度數之比，可以設一份為k°，根據三角形的內角和等于180°列方程求三個內角的度數，從而確定三角形的形狀．【解答】解：設一份為k°，則三個內角的度數分別為k°，k°，2k°．則k°+k°+2k°＝180°，解得k°＝45°．∴2k°＝90°，所以這個三角形是等腰直角三角形．故應填：等腰直角．【點評】本題考查了三角形的內角和定理．此類題利用列方程求解可簡化計算．6．（2021春?奉賢區(qū)期末）將一副三角板如圖所示擺放（其中一塊三角板的一條直角邊與另一塊三角板的斜邊擺放在一直線上），那么圖中∠α＝75度．【分析】根據三角形的內角和為180°，即可得出∠α的度數．【解答】解：∵∠1＝45°，∠2＝60°，∴∠α＝180°﹣45°﹣60°＝75°，故答案為75．【點評】本題主要考查了三角形的內角和為180°，熟練掌握三角形的內角和性質是解題的關鍵，難度適中．7．（2020春?寶山區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，若△ABD的周長比△BCD的周長多1厘米，則BD＝1厘米．【分析】先根據題意找出題目中線段的等量關系，再根據等量關系求出BD值即可．【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ABC＝72°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴△ABD是等腰三角形，∴AD＝BD，∵∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴△BCD是等腰三角形，∴BD＝BC，∵△ABD的周長比△BCD的周長多1厘米，∴AB+AD+BD﹣BC﹣BD﹣CD＝AB﹣DC＝1cm，∴AB﹣DC＝AD﹣DC＝AD＝BD＝1cm，故答案為1厘米．【點評】本題主要考查等腰三角形的知識，要牢記等腰三角形的性質：等角對等邊，等邊對等角以及三線合一，這都是中考必考內容．8．（2020春?楊浦區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，點D在BC上，將△ACD沿直線AD翻折后，點C落在點E處，聯結DE，如果DE∥AB，那么∠CAD的度數是40度．【分析】在△ABC中，利用三角形內角和定理可求出∠BAC的度數，由折疊的性質可得出∠CAD＝∠EAD，∠E＝30°，由DE∥AB，利用平行線的性質可得出∠BAE＝30°，再結合∠BAC＝∠BAE+∠CAD+∠EAD，即可求出∠CAD的度數．【解答】解：在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°．由折疊的性質可知：∠CAD＝∠EAD，∠E＝∠C＝30°．∵DE∥AB，∴∠BAE＝∠E＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠CAD+∠EAD，即110°＝30°+2∠CAD，∴∠CAD＝40°．故答案為：40．【點評】本題考查了三角形內角和定理以及平行線的性質，根據三角形內角和定理及平行線的性質，找出110°＝30°+2∠CAD是解題的關鍵．9．（2020春?松江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，兩個內角∠BAC與∠BCA的角平分線交于點D，若∠B＝70°，則∠D＝125度．【分析】根據三角形內角和以及∠B的度數，先求出（∠BAC+∠BCA），然后根據角平分線的性質求出（∠DAC+∠ACD），從而再次利用三角形內角和求出∠ADC．【解答】解：∵AD、CD是∠BAC與∠BCA的平分線，∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣（180°﹣∠B）＝90°+∠B＝125°，故答案為：125．【點評】主要考查了三角形的內角和是180°．求角的度數常常要用到“三角形的內角和是180°這一隱含的條件．10．（2019秋?浦東新區(qū)期中）在△ABC中，若其中一個內角等于另外兩個內角的差，則必有一個內角等于90°．【分析】根據三角形內角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，把∠C＝∠A+∠B代入求出∠C即可．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故答案為：90．【點評】本題考查了三角形內角和定理的應用，能求出三角形最大角的度數是解此題的關鍵，注意：三角形的內角和等于180°．11．（2018秋?寶山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，則∠ABE＝23.5°．【分析】首先作EM⊥BD、EN⊥BF、EO⊥AC垂足分別為M、N、O，利用角平分線的性質得出BE為∠ABC的角平分線，求得答案解決問題．【解答】解：如圖：作EM⊥BD、EN⊥BF、EO⊥AC垂足分別為M、N、O，∵AE、CE是∠DAC和∠ACF的平分線，∴EM＝EO，EO＝EN，∴EM＝EN，∴BE是∠ABC的角平分線，∴∠ABE＝∠ABC＝23.5°．【點評】此題考查角平分線的性質：在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上，反之也是成立的．12．（2018春?金山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線BE、CD相交于點F，∠A＝60°，則∠BFC＝120°．【分析】根據角平分線的定義可得出∠CBF＝∠ABC、∠BCF＝∠ACB，再根據內角和定理結合∠A＝60°即可求出∠BFC的度數．【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分線BE、CD相交于點F，∴∠CBF＝∠ABC，∠BCF＝∠ACB，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，∴∠BFC＝180°﹣（∠CBF+BCF）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°．故答案為：120°．【點評】本題考查了三角形內角和定理，根據角平分線的定義結合三角形內角和定理求出角的度數是解題的關鍵．13．（2020春?楊浦區(qū)期中）如圖所示，∠DBA＝140°，∠A與∠C的度數之比為2：5，則∠A＝40度．【分析】依據三角形外角性質進行計算，即可得到∠A的度數．【解答】解：∵∠ABD是△ABC的外角，∴∠ABD＝∠A+∠C，又∵∠DBA＝140°，∠A與∠C的度數之比為2：5，∴∠A＝140°×＝40°，故答案為：40．【點評】本題主要考查了三角形外角性質的運用，即三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．14．（2020秋?長寧區(qū)期末）在△ABC中，∠C＝90°，如∠A比∠B小24°，則∠A＝33度．【分析】已知∠A比∠B小24°，先設∠A為x，根據三角形內角和定理列出方程，然后再求解即可．【解答】解：設∠A為x．則90°+x+x+24°＝180°，解得x＝33°．即∠A＝33°．故答案是：33．【點評】本題主要考查三角形的內角和定理．解答的關鍵是設未知數∠A為x，列方程求解即可．15．（2020?松江區(qū)二模）如果一個三角形中有一個內角的度數是另外兩個內角度數差的2倍，我們就稱這個三角形為“奇巧三角形”．已知一個直角三角形是“奇巧三角形”，那么該三角形的最小內角等于22.5度．【分析】設直角三角形的最小內角為x，另一個內角為y，根據三角形的內角和列方程組即可得到結論．【解答】解：設直角三角形的最小內角為x，另一個內角為y，由題意得，，解得：，答：該三角形的最小內角等于22.5°，故答案為：22.5．【點評】本題考查了三角形的內角和，熟練掌握三角形的內角和是解題的關鍵．16．（2019秋?嘉定區(qū)期末）如圖，將三角形ABC沿射線AC向右平移后得到三角形CDE，如果∠BAC＝36°，∠BCA＝72°，那么∠BCD的度數是72°．【分析】根據平移的性質得出△ACB≌△CED，進而得出∠BAC＝40°，∠BCA＝60°，進而得出∠DCE的度數，再利用三角形內角和解答即可．【解答】解：∵將△ABC沿直線AB向右平移到達△CDE的位置，∴△ACB≌△CED，∵∠BAC＝36°，∠BCA＝72°，∴∠DCE＝36°，則∠BCD＝180°﹣36°﹣72°＝72°．故答案為：72°．【點評】此題主要考查了三角形的內角和，平移的性質，根據平移的性質得出∠DCE的度數是解題關鍵．17．（2019秋?浦東新區(qū)校級月考）已知任意一個三角形三個內角的和為180°，如果有一個三角形三個內角的度數比是1：3：5，這個三角形中最大的內角是100度．【分析】根據三角形的內角和定理求出最大的內角即可．【解答】解：由題意三角形的最大的內角＝×180°＝100°，故答案為100．【點評】本題考查三角形內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．18．（2018春?長寧區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足為點D，那么∠DAE＝10度．【分析】由三角形內角和定理得出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，由角平分線定義和垂線的性質得出∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝40°，∠ADB＝90°，由直角三角形的性質求出∠BAD＝90°﹣∠B＝30°，即可得出結果．【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∵AE平分∠BAC，AD⊥BC，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝40°，∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝30°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°；故答案為：10．【點評】本題考查了三角形內角和定理、角平分線定義、直角三角形的性質；熟練掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．19．（2020春?虹口區(qū)期中）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝36°，則∠C的一個外角等于116度．【分析】根據三角形外角性質得出∠C的一個外角＝∠A+∠B【解答】解：∵∠A＝80°，∠B＝36°，∴∠C的一個外角＝∠A+∠B＝80°+36°＝116°，故答案為：116．【點評】本題考查了三角形的外角性質，注意：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．三．解答題（共8小題）20．（2019春?青浦區(qū)期末）在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝3：4：5，求三角形各內角度數．【分析】根據三角度數的比和三角形內角和定理，列出方程，再分別進行計算即可．【解答】解：∵△ABC的三個內角度數之比為3：4：5，∴設三角的度數分別為：3x°4x°5x°，∴3x+4x+5x＝180，解得：x＝15，∴三個內角的度數分別為：45°60°75°．【點評】本題考查了三角形的內角和定理，解題時可以用設未知數列方程的方法分別求出三內角的度數是本題的關鍵．21．（2019春?徐匯區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點，E為BC邊上一點，∠BCD＝∠BDC（1）若∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，則∠B＝70度（直接寫出答案）；（2）請說明：∠EAB+∠AEB＝2∠BDC的理由．【分析】（1）利用三角形的外角性質可求出∠BDC的度數，結合∠BCD＝∠BDC可得出∠BCD的度數，再在△BCD中，利用三角形內角和定理可求出∠B的度數；（2）在△ABE中，利用三角形內角和定理可得出∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B，在△BCD中，利用三角形內角和定理及∠BCD＝∠BDC可得出2∠BDC＝180°﹣∠B，進而可得出∠EAB+∠AEB＝2∠BDC．【解答】解：（1）∵∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，∴∠BDC＝∠ACD+∠CAD＝55°，∴∠BCD＝∠BDC＝55°．在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣55°﹣55°＝70°．故答案為：70；（2）理由如下：在△ABE中，∠EAB+∠AEB+∠B＝180°，∴∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B．在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∠BCD＝∠BDC，∴2∠BDC＝180°﹣∠B，∴∠EAB+∠AEB＝2∠BDC．【點評】本題考查了三角形內角和定理以及三角形的外角性質，解題的關鍵是：（1）利用三角形的外角性質，求出∠BDC的度數；（2）利用三角形內角和定理，找出∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B及2∠BDC＝180°﹣∠B．22．（2020春?浦東新區(qū)期末）已知：如圖，△ABC的兩個外角的平分線交于點P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度數．【分析】根據三角形內角和定理得到∠ABC+∠ACB＝140°，根據角平分線的定義、三角形內角和定理計算即可．【解答】解：∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣140°＝220°，∵BP、CP是△ABC的外角平分線，∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB）＝110°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．【點評】本題考查的是三角形內角和定理、角平分線的定義，掌握三角形內角和等于180°是解題的關鍵．23．（2020春?浦東新區(qū)期末）已知△ABC中，∠A＝60°，∠B﹣∠C＝58°，求∠B的度數．【分析】由三角形內角和定理得出∠B+∠C＝120°①，由∠B﹣∠C＝58°②，①+②得：2∠B＝178°，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝60°，∴∠B+∠C＝120°①，∵∠B﹣∠C＝58°②，①+②得：2∠B＝178°，∴∠B＝89°．【點評】本題考查了三角形內角和定理；熟練掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．24．（2021春?浦東新區(qū)校級期中）如圖，已知∠AGH＝∠B，∠CGH＝∠BEF，EF⊥AB于F，試說明CG⊥AB．【分析】利用垂直和三角形內角和定理，說明∠FEB+∠B＝90°，再由已知說明∠AGC＝90°即可．【解答】解：CG⊥AB．理由：∵EF⊥AB，∴∠EFB＝90°．∴∠FEB+∠B＝90°．∵∠AGH＝∠B，∠CGH＝∠BEF，∴∠AGH+∠CGH＝∠B+∠BEF＝90°．即∠AGC＝90°．∴CG⊥AB．【點評】本題考查了三角形的內角和定理及垂直的性質和判定，掌握垂直的性質和判定是解決本題的關鍵．25．（2019秋?虹口區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，如果BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線且他們相交于點P，設∠A＝n°．（1）求∠BPC的度數（用含n的代數式表示），寫出推理過程．（2）當∠BPC＝125°時，∠A＝70°．（3）當n＝60°時，EB＝7，BC＝12，DC的長為5．【分析】（1）根據角平分線的定義得到∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB．根據三角形的內角和得到結論；（2）根據角平分線的定義得到∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB．根據三角形的內角和得到結論；（3）在CB上取點G使得CG＝CD，可證△BFE≌△BFG，得BE＝BG，可證△CDF≌△CGF，得CD＝CG，可以求得BE+CD＝BC．【解答】解：（1）∵DB、CE分別為∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB．∵∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），∴∠A＝180°﹣2（∠PBC+∠PCB），∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BPC），∴∠A＝﹣180°+2∠BPC，∴2∠BPC＝180°+∠A，∴∠BPC＝90°+∠A，∴∠BPC＝90°+n；（2）∵DB、CE分別為∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB．∵∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），∴∠A＝180°﹣2（∠PBC+∠PCB），∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BPC），∴∠A＝﹣180°+2∠BPC，∴2∠BPC＝180°+∠A，∴∠BPC＝90°+∠A，∴∠BPC＝90°+n＝125°，∴n＝70，∴∠A＝70°；（3）在BC上取點G使得CG＝CD，∵∠BPC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°，∴∠BPE＝∠CPD＝60°，∵在△CPD和△CPG中，，∴△CPD≌△CPG（SAS），∴∠CPG＝∠CPD＝60°，∴∠BPG＝120°﹣60°＝60°＝∠BPE，∵在△BPE和△BPG中，，∴△BPE≌△BPG（ASA），∴BE＝BG，∴BE+CD＝BG+CG＝BC，∵EB＝7，BC＝12，∴CD＝BC﹣BE＝12﹣7＝5．故答案為：70°，5．【點評】本題考查了三角形的內角和，全等三角形的判定，考查了全等三角形對應角、對應邊相等的性質，本題中求證CD＝CG和BE＝BG是解題的關鍵．26．（2020春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知點D為△ABC的邊BC延長線上一點，DF⊥AB于點F，交AC于點E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度數．解：因為DF⊥AB（已知），所以∠DFB＝90°（垂直的意義）．因為∠DFB+∠B+∠D＝180°（三角形內角和是180°），又∠D＝42°，所以∠B＝48°（等式性質）．因為∠ACD＝∠A+∠B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和），又∠A＝35°，∠B＝48°，所以∠ACD＝83°（等式性質）．【分析】根據三角形外角與內角的關系及三角形內角和定理解答．【解答】解：因為DF⊥AB（已知），所以∠DFB＝90°（垂直的意義）．因為∠DFB+∠B+∠D＝180°（三角形內角和是180°），又∠D＝42°，所以∠B＝48°（等式性質）．因為∠ACD＝∠A+∠B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和），又∠A＝35°，∠B＝48°，所以∠ACD＝83°（等式性質）．故答案為：三角形內角和是180°，48，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，48，83．【點評】本題考查了三角形外角與內角的關系，三角形內角和定理．解題的關鍵是熟練掌握三角形外角與內角的關系：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形內角和定理：三角形內角和是180°．27．（2019春?黃浦區(qū)期末）（1）已知：如圖1，P是直角三角板ABC斜邊AB上的一個動點，CD、CE分別是∠ACP和∠BCP的平分線．當點P在斜邊AB上移動時，∠DCE＝45°；（2）把直角三角板的直角頂點C放在直尺的一邊MN上：①點A和點B在直線MN的上方（如圖2），此時∠ACM與∠BCN的數量關系是∠ACM+∠BCN＝90°；②當把這把直角三角板繞頂點C旋轉到點A在直線MN的下方、點B仍然在直線MN的上方時（如圖3），∠ACM與∠BCN的數量關系是∠BCN﹣∠ACM＝90°；③當把這把直角三角板繞頂點C旋轉到點A和點B都在直線MN的下方時（如圖4），∠ACM與∠BCN的數量關系是∠ACM+∠BCN＝270°．【分析】（1）根據角平分線定義得出∠DCP＝∠ACP，∠PCE＝∠BCP，那么，∠DCE＝∠DCP+∠PCE＝∠ACP+∠BCP＝∠ACB＝45°；（2）①當點A和點B在直線MN的上方時，根據平角的定義易得∠ACM+∠BCN＝90；②當點A在直線MN的下方，點B仍然在直線MN的上方時，由∠BCN＝180°﹣∠BCM，∠ACM＝90°﹣∠BCM，可得∠BCN﹣∠ACM＝90°；③當點A和點B都在直線MN的下方時，由∠BCN＝180°﹣∠BCM，∠ACM＝90°+∠BCM，可得∠ACM+∠BCN＝270°．【解答】解：（1）如圖1，∠DCE的大小不會發(fā)生變化，理由如下：∵CD、CE分別是∠ACP和∠BCP的平分線，∴∠DCP＝∠ACP，∠PCE＝∠BCP，∴∠DCE＝∠DCP+∠PCE＝∠ACP+∠BCP＝∠ACB＝45°；（2）①當點A和點B在直線MN的上方時（如圖2），∠ACM+∠BCN＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°；②當點A在直線MN的下方，點B仍然在直線MN的上方時（如圖3），∵∠BCN＝180°﹣∠BCM，∠ACM＝90°﹣∠BCM，∴∠BCN﹣∠ACM＝（180°﹣∠BCM）﹣（90°﹣∠BCM）＝90°；③當點A和點B都在直線MN的下方時（如圖4），∵∠BCN＝180°﹣∠BCM，∠ACM＝90°+∠BCM，∴∠ACM+∠BCN＝（180°﹣∠BCM）+（90°+∠BCM）＝270°．故答案為：45；90°，∠BCN﹣∠ACM＝90°，∠ACM+∠BCN＝270°．【點評】本題考查了三角形內角和定理，角平分線定義，平角的定義，角的和差計算，準確識圖是解題的關鍵．題組B能力提升練一．選擇題（共2小題）1．（2019秋?浦東新區(qū)校級月考）BP和CP是△ABC兩個外角的平分線，則∠BPC為（）A． B．90°+ C．90°﹣ D．∠A【分析】根據題意得∠PBC＝（∠A+∠ACB），∠PCB＝（∠A+∠ABC），由三角形的內角和定理以及三角形外角的性質，求得∠P與∠A的關系，從而計算出∠P的度數．【解答】解：如圖，∵BP、CP是△ABC的外角平分線，∴∠PBC＝（∠A+∠ACB），∠PCB＝（∠A+∠ABC），又∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝180°﹣（180+∠A）＝90°﹣∠A，故選：C．【點評】本題考查了三角形外角的性質以及三角形的內角和定理．解決問題的關鍵是掌握：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．2．（2020春?黃浦區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，BD、CE分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，BD與CE交于點O．如果∠BAC＝n°，那么用含n的代數式表示∠BOC（）A．（45+n）° B．（180﹣n）° C．（90+n）° D．（90+n）°【分析】根據三角形的內角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根據角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB，然后根據三角形的內角和定理列式計算即可得解．【解答】解：∵∠BAC＝n°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣n°，∵BD、CE分別是∠ABC、∠ACB的平分線，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣n°）＝90°﹣n°，在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°．故選：D．【點評】本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，是基礎題，要注意整體思想的利用．二．填空題（共13小題）3．（2020春?奉賢區(qū)期末）在△ABC中，∠C＝40°，把△ABC沿BC邊上的高AH所在直線翻折，點C落在射線CB上的點C'處，如果∠BAC'＝20°，那么∠BAC＝80或120度．【分析】利用翻折變換的性質求出∠C′＝40°，再利用三角形內角和定理求出∠ABC′，再求出∠ABC，可得結論．【解答】解：如圖，當點B在線段CC′上時．由翻折的旋轉可知，∠C′＝∠C＝40°，∴∠ABC′＝180°﹣∠C′﹣∠BAC′＝180°﹣40°﹣20°＝120°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，當點B在CC′的延長線上時，可得∠CAB＝100°+20°＝120°故答案為：80或120．【點評】本題考查三角形內角和定理，翻折變換等知識，解題的關鍵是求出∠ABC的度數，屬于中考?？碱}型．4．（2020春?普陀區(qū)期末）如圖，點D是△ABC兩條角平分線AP、CE的交點，如果∠BAC+∠BCA＝140°，那么∠ADC＝110°．【分析】根據CE，AP分別平分∠ACB和∠BAC，得∠CAP＝∠BAC，∠ACE＝∠BCA，再根據三角形內角和定理，求出∠ADC即可．【解答】解：∵CE，AP分別平分∠ACB和∠BAC，∴∠CAP＝∠BAC，∠ACE＝∠BCA，∵∠BAC+∠BCA＝140°，∴∠CAP+∠ACE＝70°，∴∠ADC＝180°﹣（∠CAP+∠ACE）＝180°﹣70°＝110°，故答案為：110．【點評】本題考查了角平分線的性質和三角形內角和定理，熟練掌握了角平分線的性質是解題的關鍵．5．（2020春?嘉定區(qū)期末）△ABC的三個內角的度數之比是1：3：5，如果按角分類，那么△ABC是鈍角三角形．【分析】已知三角形三個內角的度數之比，可以設一份為k°，根據三角形的內角和等于180°列方程求三個內角的度數，從而確定三角形的形狀．【解答】解：設一份為k°，則三個內角的度數分別為k°，3k°，5k°．則k°+3k°+5k°＝180°，解得k＝20，∴5k°＝100°，所以這個三角形是鈍角三角形．故答案為：鈍角．【點評】此題主要考查三角形的按邊分類，直接根據三角形三個內角的度數比來判斷是解題的關鍵．6．（2020春?金山區(qū)期末）在△ABC中，∠A＝50°，D點是∠ABC和∠ACB角平分線的交點，則∠BDC＝115°．【分析】由D點是∠ABC和∠ACB角平分線的交點可推出∠DBC+∠DCB＝65°，再利用三角形內角和定理即可求出∠BDC的度數．【解答】解：∵D點是∠ABC和∠ACB角平分線的交點，∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∴∠DBC+∠DCB＝65°，∴∠BDC＝180°﹣65°＝115°，故答案為：115°．【點評】此題主要考查學生對角平分線性質，三角形內角和定理，熟記三角形內角和定理是解決問題的關鍵．7．（2019春?奉賢區(qū)期末）如圖，將一副直角三角板疊放在一起，使直角的頂點重合于點O，那么∠AOD+∠BOC＝180°．【分析】利用角的和差定義解決問題即可．【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠BOA+∠AOC＝∠BOD+∠AOC＝180°，故答案為180°．【點評】本題考查角的和差定義，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．8．（2019春?青浦區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜邊AC上的高．如果∠1＝54°，那么∠C＝54度．【分析】利用等角的余角相等證明∠C＝∠1即可．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠CDB＝90°，∵∠CBA＝90°，∴∠C+∠CBD＝90°，∠1+∠CBD＝90°，∴∠C＝∠1＝54°，故答案為54．【點評】本題考查三角形內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．9．（2019春?奉賢區(qū)期末）如圖，在△BDE中，∠E＝90°，AB∥CD，∠ABE＝20°，則∠EDC＝70°．【分析】根據直角三角形兩銳角互余可得∠EBD+∠EDB＝90°，再根據兩直線平行，同旁內角互補列式計算即可得解．【解答】解：∵∠E＝90°，∴∠EBD+∠EDB＝90°，∵AB∥CD，∴∠EDC＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）﹣∠ABE＝180°﹣90°﹣20°＝70°．故答案為70°．【點評】本題考查了平行線的性質，直角三角形兩銳角互余的性質，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．10．（2019秋?虹口區(qū)校級月考）如圖所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A＝45°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于點E．∠E＝22.5°．【分析】先根據外角定理和∠A＝45°，得出∠ACD﹣∠ABC＝45°，再利用角平分線的定義得：∠ACD﹣∠ABC＝20°，即∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝22.5°．【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一個外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∵∠A＝45°，∴∠ACD﹣∠ABC＝45°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，∵∠ECD是△BCE的一個外角，∴∠ECD＝∠EBC+∠E，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣∠ABC＝22.5°．故答案為22.5°【點評】本題考查了三角形的外角性質，同時要運用整體的思想，所以本題對初學幾何的學生來說有難度，關鍵是從∠ACD這個外角看到∠ECD，根據等量代換解決此題．11．（2019春?浦東新區(qū)期末）如圖，BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF與CE交于G，若∠BDC＝m°，∠BGC＝n°，則∠A的度數為2n°﹣m°．（用m，n表示）【分析】根據三角形內角和定理可求得∠DBC+∠DCB的度數，再根據三角形內角和定理及三角形角平分線的定義可求得∠ABC+∠ACB的度數，從而不難求得∠A的度數．【解答】解：連接BC．∵∠BDC＝m°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣m°，∵∠BGC＝n°，∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣n°，∵BF是∠ABD的平分線，CE是∠ACD的平分線，∴∠GBD+∠GCD＝∠ABD+∠ACD＝180°﹣n°﹣180°+m°＝m°﹣n°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°+2（m°﹣n°）＝180°+m°﹣2n°，∴∠A＝180°﹣（180°+m°﹣2n°）＝2n°﹣m°．故答案為：2n°﹣m°．【點評】本題考查的是三角形內角和定理，根據題意作出輔助線，構造出三角形是解答此題的關鍵．12．（2019春?虹口區(qū)期末）△ABC中，∠A＝70°，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P，則∠BPC＝125°．【分析】根據三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據角平分線的定義、三角形內角和定理計算即可．【解答】解：∵∠A＝70，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，∵∠ABC和∠ACB的平分線交于P，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝ACB，∴∠BPC＝180°﹣（∠ABC+ACB）＝125°，故答案為：125．【點評】本題考查的是三角形內角和定理的應用以及角平分線的定義，掌握三角形內角和等于180°是解題的關鍵．13．（2017春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知在△ABC中，∠A＝40°，將一塊直角三角板放在△ABC上使三角板的兩條直角邊分別經過B、C，直角頂點D落在△ABC的內部，那么∠ABD+∠ACD＝50度．【分析】根據三角形內角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，進而可求出∠ABD+∠ACD的度數．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，在△DBC中，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°；故答案是：50．【點評】本題考查三角形外角的性質及三角形的內角和定理，實際上證明了三角形的外角和是360°，解答的關鍵是溝通外角和內角的關系．14．（2020秋?青山區(qū)期末）如圖，三角形紙片ABC中，∠A＝75°，∠B＝72°．將三角形紙片的一角折疊，使點C落在△ABC內，如果∠1＝32°，那么∠2＝34度．【分析】如圖延長AE、BF交于點C′，連接CC′．首先證明∠1+∠2＝2∠AC′B，求出∠AC′B即可解決問題．【解答】解：如圖延長AE、BF交于點C′，連接CC′．在△ABC′中，∠AC′B＝180°﹣72°﹣75°＝33°，∵∠ECF＝∠AC′B＝33°，∠1＝∠ECC′+∠EC′C，∠2＝∠FCC′+∠FC′C，∴∠1+∠2＝∠ECC′+∠EC′C+∠FCC′+∠FC′C＝2∠AC′B＝66°，∵∠1＝32°，∴∠2＝34°，故答案為：34．【點評】本題考查翻折變換、三角形的內角和定理、三角形的外角等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，記住基本結論∠1+∠2＝2∠AC′B解決問題．15．（2018春?閔行區(qū)期中）將△ABC沿著DE翻折，使點A落到點A′處，A′D、A′E分別與BC交于M、N兩點，且DE∥BC．已知∠A′NM＝27°，則∠NEC＝126°．【分析】利用平行線的性質求出∠DEN＝27°，再利用翻折不變性得到∠AED＝∠DEN＝27°，再根據平角的性質即可解決問題．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DEN＝∠A′NM＝27°，由翻折不變性可知：∠AED＝∠DEN＝27°，∴∠CEN＝180°﹣2×27°＝126°，故答案為126°．【點評】本題考查三角形內角和定理，翻折變換，平行線的性質的等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．三．解答題（共10小題）16．（2019春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知在△ABC中，∠A＝（2x+10）°，∠B＝（3x）°，∠ACD是△ABC的一個外角，且∠ACD＝（6x﹣10）°，求∠A的度數．【分析】根據三角形的外角性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，列一元一次方程，求出x，從而求出∠A的度數．【解答】解：因為∠ACD是△ABC的一個外角（已知），所以∠ACD＝∠A+∠B（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）．（2分）所以6x﹣10＝2x+10+3x．（2分）解得x＝20．（1分）所以∠A＝50°．（1分）【點評】此題考查的知識點是三角形的外角性質及一元一次方程的應用，關鍵是先根據三角形的外角性質列一元一次方程，求出x．17．（2019春?閔行區(qū)期中）（1）在銳角△ABC中，BC邊上的高所在直線和AB邊上的高所在直線的交點為P，∠APC＝110°，求∠B的度數；（2）如圖1，AF和CE分別平分∠BAD和∠BCD．當點D在直線AC上時，∠APC＝100°，則∠B的度數；（3）在（2）的基礎上，當點D在直線AC外時，如圖2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度數．【分析】（1）利用三角形的外角的性質求出∠PAE即可解決問題．（2）利用三角形的內角和定理求出∠PAC+∠PCA，再根據角平分線的定義求出∠BAC+∠BCA即可解決問題．（3）利用基本結論：∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B即可解決問題．【解答】解：（1）如圖1中，∵AF，CE是高，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，∵∠APC＝∠AEP+∠PAE，∴∠PAE＝110°﹣90°＝20°，∴∠B＝90°﹣∠PAE＝90°﹣20°＝70°．（2）如圖2中，∴∠APC＝100°，∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣100°＝80°，∵∠BAC＝2∠PAC，∠BCA＝2∠PCA，∴∠BAC+∠BCA＝160°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣160°＝20°．（3）如圖3中，∵∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠B＝70°．【點評】本題考查三角形的外角，角平分線的定義，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．18．（2018秋?浦東新區(qū)期末）如圖①，點O為直線MN上一點，過點O作直線OC，使∠NOC＝60°．將一把直角三角尺的直角頂點放在點O處，一邊OA在射線OM上，另一邊OB在直線MN的下方，其中∠OBA＝30°（1）將圖②中的三角尺沿直線OC翻折至△A′B′O，求∠A′ON的度數；（2）將圖①中的三角尺繞點O按每秒10°的速度沿順時針方向旋轉，旋轉角為α（0＜α＜360°），在旋轉的過程中，在第幾秒時，直線OA恰好平分銳角∠NOC；（3）將圖①中的三角尺繞點O順時針旋轉，當點A點B均在直線MN上方時（如圖③所示），請?zhí)骄俊螹OB與∠AOC之間的數量關系，請直接寫出結論，不必寫出理由．【分析】（1）如圖②中，延長CO到C′．利用翻折不變性求出∠A′O′C′即可解決問題；（2）設t秒時，直線OA恰好平分銳角∠NOC．構建方程即可解決問題；（3）分兩種情形分別求解即可解決問題；【解答】解：（1）如圖②中，延長CO到C′．∵三角尺沿直線OC翻折至△A′B′O，∴∠A′OC′＝∠AOC′＝∠CON＝60°，∴∠A′ON＝180°﹣60°﹣60°＝60°．（2）設t秒時，直線OA恰好平分銳角∠NOC．由題意10t＝150或10t＝330，解得t＝15或33s，答：第15或秒時，直線OA恰好平分銳角∠NOC；（3）①當OB，OA在OC的兩旁時，∵∠AOB＝90°，∴120°﹣∠MOB+∠AOC＝90°，∴∠MOB﹣∠AOC＝30°．②當OB，OA在OC的同側時，∠MOB+∠AOC＝120°﹣90°＝30°．【點評】本題考查翻折變換，旋轉變換，三角形的內角和定理等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用參數構建方程解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．19．（2019春?虹口區(qū)期末）如果一個三角形能用一條直線將其分割出兩個等腰三角形，那么我們稱這個三角形為“活三角形”，這條直線稱為該“活三角形”的“生命線”．（1）小明在研究“活三角形”問題時（如圖），他發(fā)現，在△ABC中，若∠BAC＝3∠C時，這個△ABC一定是“活三角形”．點D在BC邊上一點，聯結AD，他猜測：當∠DAC＝∠C時，AD就是這個三角形的“生命線”，請你幫他說明AD是△ABC的“生命線”的理由；（2）如小明研究結果可以總結為：有一個內角是另一個內角的3倍時，該三角形是一個“活三角形”．請通過自己操作研究，并根據上述結論，總結“活三角形”的其他特征；（注意從三角形邊、角特征及相互間關系總結）（3）如果一個等腰三角形是一個“活三角形”那么它的頂角大小為36或90或108或度．（直接寫出結果即可）【分析】（1）根據“活三角形”的定義判斷即可．（2）當一個三角形的應該內角是另一個內角的3倍時，該三角形是一個“活三角形”，當一個三角形的應該內角是另一個內角的2倍時，該三角形是一個“活三角形”．（3）根據“活三角形”的定義解決問題即可．【解答】（1）證明：∵∠DAC＝∠C，∠BAC＝3∠C，∴∠BAD＝2∠C，∵∠ADB＝∠C+∠DAC＝2∠C，∴∠BAD＝∠ADB，∴△ADB，△ADC是等腰三角形，∴△ABC是“活三角形”，直線AD稱為該“活三角形”的“生命線”．（2）解：如小明研究結果可以總結為：當一個三角形的應該內角是另一個內角的3倍時，該三角形是一個“活三角形”．當一個三角形的應該內角是另一個內角的2倍時，該三角形是一個“活三角形”．比如：∠B＝2∠C，∵∠ADC＝2∠C，∴∠B＝∠ADC，∴△ADB，△ADC是等腰三角形，∴△ABC是“活三角形“．（3）解：如圖1，當過頂角∠C的頂點的直線CD把△ABC分成了兩個等腰三角形，則AC＝BC，AD＝CD＝BD，設∠A＝x°，則∠ACD＝∠A＝x°，∠B＝∠A＝x°，∴∠BCD＝∠B＝x°，∵∠A+∠ACB+∠B＝180°∴x+x+x+x＝180，解得x＝45，則頂角是90°；∴△ABC是等腰直角三角形，即等腰直角三角形是“活三角形”．（2）如圖2，AC＝CD＝AB，BD＝AD，設∠B＝x°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x°，∵BD＝AD，∴∠BAD＝∠B＝x°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2x°，∵AC＝DC，∴∠ADC＝∠CAD＝2x°，∴∠BAC＝3x°，∴x+x+3x＝180，x＝36°，則頂角∠BAC＝108°．（3）如圖3，當過底角∠CAB的角平分線AD把△ABC分成了兩個等腰三角形，則有AC＝BC，AB＝AD＝CD，設∠C＝x°，∵AD＝CD，∴∠CAD＝∠C＝x°，∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝2x°，∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB＝2x°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠B＝2x°，∵∠CAB+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+2x＝180，x＝36°，則頂角是36°．當∠BAD＝∠ADB，∠C＝∠CAD時，也是有一種情況的，3x+3x+x＝180°，x＝（）°則∠A＝（）°．綜上所述，滿足條件的頂角的度數為90°，108°，36°，（）°．故答案為36或90或108或．【點評】本題考查了等腰三角形的性質及其判定．作此題的時候，首先大致畫出符合條件的圖形，然后根據等腰三角形的性質、三角形的內角和定理及其推論找到角之間的關系，列方程求解．20．（2018春?浦東新區(qū)期末）閱讀、填空并將說理過程補充完整：如圖，已知點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，且∠AED＝∠B，延長DE與BC的延長線交于點F，∠BAC和∠BFD的角平分線交于點G．那么AG與FG的位置關系如何？為什么？解：AG⊥FG．將AG、DF的交點記為點P，延長AG交BC于點Q．因為AG、FG分別平分∠BAC和∠BFD（已知）所以∠BAG＝∠CAG，∠PFG＝∠QFG（角平分線定義）又因為∠FPQ＝∠CAG+∠AED，∠FQG＝∠BAG+∠B（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）∠AED＝∠B（已知）所以∠FPQ＝∠FQG（等式性質）（請完成以下說理過程）【分析】根據角平分線的定義得到∠BAG＝∠CAG，∠PFG＝∠QFG，根據三角形的外角的性質得到∠FPQ＝∠FQG得到FP＝FQ，根據等腰三角形的三線合一證明．【解答】解：AG⊥FG．將AG、DF的交點記為點P，延長AG交BC于點Q．因為AG、FG分別平分∠BAC和∠BFD（已知）所以∠BAG＝∠CAG，∠PFG＝∠QFG（角平分線定義）又因為∠FPQ＝∠CAG+∠AED，∠FQG＝∠BAG+∠B（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）∠AED＝∠B（已知）所以∠FPQ＝∠FQG（等式性質）所以FP＝FQ（等角對等邊）又因為∠PFG＝∠QFG所以AG⊥FG（等腰三角形三線合一）．故答案為：∠CAG；∠PFG＝∠QFG；∠CAG；∠FQG；∠BAG；∠FQG．【點評】本題考查的是等腰三角形的性質、三角形的外角的性質，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關鍵．21．（2018春?普陀區(qū)期中）如圖，已知△ABC中，∠BAC＝70°，∠B＝30°，點F是AB上一點，且∠BCF＝25°，點D在邊CA的延長線上，AE平分∠BAD，說明CF∥AE的理由．解：因為點D在邊CA的延長線上（已知），所以∠BAC+∠BAD＝180°（鄰補角定義）．因為∠BAC＝70°（已知），所以∠BAD＝180°﹣∠BAC＝110°（等式性質）．因為AE平分∠BAD（已知），所以∠EAB＝∠BAD＝55°（角平分線定義）．因為∠AFC＝∠B+∠BCF＝55°（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和），所以∠AFC＝∠EAB（等量代換）．所以CF∥AE（內錯角相等，兩直線平行）．【分析】求出∠BAD和∠EAB的度數，求出∠AFC的度數，推出∠AFC＝∠EAB，根據平行線的判定得出即可．【解答】解：∵點D在邊CA的延長線上（已知），∴∠BAC+∠BAD＝180（鄰補角定義），∵∠BAC＝70°（已知），∴∠BAD＝180°﹣∠BAC＝110°（等式性質）．∵AE平分∠BAD（已知），∴∠EAB＝∠EAB＝∠BAD＝55°（角平分線定義），∵∠AFC＝∠B+∠BCF＝55°（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和），∴∠AFC＝∠EAB（等量代換），∴CF∥AE（內錯角相等，兩直線平行），故答案為：鄰補角定義，角平分線定義，∠B，∠BCF，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，∠AFC，∠EAB，內錯角相等，兩直線平行．【點評】本題考查了平行線的性質和判定，能求出∠AFC＝∠EAB是解此題的關鍵．22．（2018春?普陀區(qū)期中）如圖，已知∠A＝∠C，BE平分∠ABD，DF平分∠BDC．說明∠1＝∠2的理由．解：因為∠A＝∠C（已知），所以AB∥DC（內錯角相等兩直線平行）．所以∠ABD＝∠CDB（兩直線平行內錯角相等）．因為BE平分∠ABD（已知），所以（角平分線的定義）．同理．所以∠1＝∠2（等量代換）．【分析】根據平行線的判定和性質即可解決問題；【解答】解：因為∠A＝∠C（已知），所以AB∥DC（內錯角相等兩直線平行），所以∠ABD＝∠CDB（兩直線平行內錯角相等），因為BE平分∠ABD（已知），所以（角平分線的定義），同理．所以∠1＝∠2（等量代換）．故答案為內錯角相等兩直線平行，兩直線平行內錯角相等，角平分線的定義，等量代換；【點評】本題考查三角形內角和定理，平行線的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．23．（2017春?普陀區(qū)期中）如圖1，∠A1BC、∠A1CM的角平分線BA2、CA2相交于點A2，（1）如果∠A1＝68°，那么∠A2的度數是多少，試說明理由；（2）如圖2，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分線BA3、CA3相交于點A3，請直接寫出∠A3的度數；（3）如圖2，重復上述過程，∠An﹣1BC、∠An﹣1CM的角平分線BAn、CAn相交于點An得到∠An，設∠A1＝θ，請用θ表示∠An（直接寫出答案）解：（1）結論：∠A2＝34度．說理如下：因為BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（角平分線的定義）．因為∠A1CM＝∠A1BC+∠∠A1，∠2＝∠1+∠A2（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），（完成以下說理過程）【分析】（1）利用角平分線的定義